Persamaan Linear Dua Variabel - Titik Potong, Eliminasi

Kita mulai dengan mengartikan maksud dari sistem. Artiannya sederhana, sistem itu bisa dianggap sebuah kesatuan.

Kesatuan dari apa? Yaitu kesatuan dari bagian-bagian atau elemen-elemen yang saling berkaitan.

Elemen tersebut bisa apa aja, seperti komponen listrik yang tersusun sedemikian rupa membentuk suatu rangkaian listrik.

Mungkin juga bahan bangunan yang disusun sedemikian rupa sehingga menjadi suatu rumah dan lainnya.

Tak hanya itu, kita juga bisa membuat suatu sistem yang elemennya ialah persamaan matematika.

Artinya, persamaan-persamaan di dalam sistem tersebut mempunyai hubungannya masing-masing.

Dan kali ini, kita akan membahas suatu sistem yang terdiri dari dua persamaan linear yang memiliki dua variabel.

Coba ingat lagi pada pembahasan tentang bentuk aljabar. Suatu persamaan tidak terbatas pada satu variabel saja, bisa juga dua bahkan lebih.

Tentu semakin banyak variabelnya permasalahan semakin rumit.

Namun kali ini, kita akan membatasi permasalahan kita pada dua variabel saja.

Sebut saja variabel tersebut adalah x dan y. Nah sesuai topik pembahasan, karena persamaannya linear maka masing-masing variabel maksimal memiliki pangkat 1.

Berarti kita tidak akan memiliki suku seperti 2x², -y², x³, dan sejenisnya.

Lalu dengan adanya dua variabel, bisa dikatakan bahwa kita bakal memiliki 3 suku pada masalah kali ini.

Yang pertama adalah suku yang memuat variabel x beserta koefisiennya. Kemudian suku yang memuat variabel y beserta koefisiennya.

Dan yang terakhir adalah konstantanya. Dengan itu, bentuk umumnya bisa kita tuliskan sebagai:

Pada pembahasan tentang garis dan sudut, kita melihat bahwa dua garis bisa saling berpotongan.

Selain itu, pada pembahasan lainnya mengenai persamaan garis lurus, dapat dicari titik potong garis terhadap sumbu x dan y.

Jika untuk mencari titik potong pada salah satu sumbu, dapat digunakan ide bahwa suatu sumbu merupakan sebuah garis. Yakni garis yang berada di posisi tertentu terhadap sumbu lainnya.

Untuk saat ini gak bisa dipakai ide tersebut, karena kita ingin mencari letak titik potongnya terhadap garis yang lain.

Karena garis satu dengan yang lainnya tidak saling mengetahui letaknya.

Ada satu ide atau pedoman yang lebih umum yang bisa kalian pakai.

Yaitu, pada dua garis yang saling berpotongan, maka kedua garis tersebut memotong pada titik yang sama.

Apa maksudnya? Gini, misal ada dua garis g₁ (garis 1) dan g₂ (garis 2).

Asumsikan g₁ memotong g₂ pada titik (x_p, y_p). Maka g₂ memotong g₁ pada titik yang sama juga, yaitu (x_p, y_p).

Titik potong tersebutlah yang kita anggap solusi pada pembahasan kali ini.

Di samping itu, ada hal lain yang perlu diperhatikan dan perlu dipertanyakan.

Apakah suatu garis yang saling sejajar memiliki titik potong? Tentu tidak. Karena keduanya tidak pernah saling bertemu

Tapi berbeda ketika kedua garis saling berhimpit akan ada banyak solusinya, bahkan tak berhingga, ada yang tau kenapa?

Alasannya, karena setiap titik yang dilalui salah satu garis, pasti dilalui oleh garis lainnya.

Dengan memanfaat ide sebelumya, kita bisa menyelesaikan permasalahan ini secara grafik.

Langkah pertamanya sangat jelas, ya kita perlu menggambarkan grafik dari dua persamaan yang ingin dicari solusinya.

Misal kita punya dua persamaan, yaitu:

Buat dahulu grafik dari dua persamaan tersebut pada bidang kartesius.

Kemudian kita taksir di mana letak dari perpotongan tersebut. Dengan cara, menarik suatu garis (putus-putus) dari terkaan kita pada titik potong tersebut ke sumbu-x.

Dilanjutkan dengan menarik juga garis (putus-putus) lainnya menuju sumbu-y.

Untuk contoh ini, berdasarkan taksiran tersebut didapat bahwa solusinya berada di titik (2, 1).

Dari tadi kita selalu menyebutnya sebagai taksiran, ada yang tahu alasannya?

Hal ini disebabkan dengan cara ini, kita akan sulit mengetahui titik potong sebenarnya.

Ditambah lagi ketika kita menggambarkan grafiknya kurang presisi, seperti contoh membuatnya di buku tulis secara manual.

Maksudnya gini, bisa saja ketika membuat grafiknya tidak presisi solusinya menjadi di (2.5, 1.1).

Dan semakin rumit lagi apabila solusinya berupa pecahan. Pertanyaannya, apakah ada cara yang lebih pasti atau konkrit? Mari kita lanjut.

Kita masih menggunakan pedoman bahwa ada satu titik tunggal di mana kedua garis saling bertemu.

Dengan memegang pedoman tersebut, dapat diasumsikam kalau variabel x dan y pada kedua persamaan tadi, yaitu 2x + y = 5 dan x + 3y = 5 merupakanlah variabel yang sama.

Apa artinya? Maksudnya, variabel x yang berada di suku 2x pada persamaan pertama dan suku x pada persamaan kedua merupakan variabel yang sama.

Begitu pula dengan variabel y. Dengan demikian, kita bisa melakukan operasi pada kedua suku tersebut.

Yakni dengan melakukan operasi pada kedua persamaan tersebut.

Dan ide utama dari eliminasi ini adalah kita melakukan operasi pada kedua persamaan sehingga salah satu suku yang memuat variabel tertentu (bisa x atau y) menghilang.

Lalu menyisakan suku yang memuat salah satu variabel saja. Langsung kita coba aja biar lebih jelas.

Asumsikan kita mau menghilangkan suku yang memuat variabel y.

Kemudian lakukan operasikan kedua persamaan tersebut dengan pengurangan persamaan pertama terhadap persamaan kedua.

Ternyata masih menyisakan dua suku yang memuat dua variabel yang berbeda.

Sekarang persamaannya dimanipulasi sedikit.

Coba kalikan dengan 3 pada persamaan pertama terlebih dahulu. Baru kemudian dioperasikan dengan persamaan kedua.

Ternyata telah disisakan satu suku saja yang memuat variabel. Artinya sudah diketahui letak x-nya di mana. Dalam hal ini berada di x = 2.

Ingat lagi konsep persamaan garis lurus atau sebuah fungsi. Persamaan seperti 2x + y = 5 bisa kita susun menyerupai sebuah fungsi.

Kita pindah ruaskan suku lain sedemikian rupa sehingga, menyisakan suku yang memuat variabel y di ruas kiri. Dituliskan kembali menjadi:

Sudah diketahui letak x-nya di mana. Oleh karena itu, nilai variabel x tersebut bisa kita petakan untuk mendapatkan nilai y-nya. Langsung substitusikan aja:

Dan selesai sudah, kita telah mendapatkan solusi aslinya yaitu berada di (2,1).

Kalau kalian bingung bagaimana proses eliminasi ini dilakukan, perhatikan ide berikut.

Kita tentukan bentuk umum dari sistem persamaan linear dua variabel sebagai berikut:

Misal ditargetkan untuk mengeliminasi variabel , maka perhatikan koefisiennya.

Persamaan pertama memiliki koefisien b sedangkan persamaan kedua memiliki koefisien e.

Coba kalian kalikan persamaan pertama dengan e dan persamaan kedua dengan b. Lihat apa jadinya:

Amati bahwa kedua persamaan memiliki koefisien dari variabel y yang sama. Sampai sini dapat kan idenya?

Setelah kondisi itu dicapai, barulah dilakukan kedua persamaan dioperasikan hingga menyisakan satu variabel.