Persamaan Linear Dua Variabel

Mencari titik potong antara dua garis
Mencari titik potong antara dua garis.

Sistem Persamaan

Jika kita bicara sistem, artinya kita memiliki bagian-bagian atau elemen-elemen yang saling berkaitan, elemen tersebut bisa apa aja, seperti komponen listrik yang tersusun sedemikian rupa membentuk suatu rangkaian listri, bahan bangunan yang disusun sedemikian rupa sehingga menjadi suatu rumah dan lainnya.

Tak hanya itu, kita juga bisa membuat suatu sistem persamaan, yang artinya persamaan-persamaan di dalam sistem tersebut saling berkaitan. Dan kali ini kita akan membahas suatu sistem yang terdiri dari dua persamaan linear yang memiliki dua variabel.

Coba ingat lagi pada pembahasan tentang bentuk aljabar, suatu persamaan tidak terbatas pada satu variabel saja, bisa juga dua atau lebih, tentu semakin banyak variabelnya permasalahan semakin rumit, dan kali ini kita akan membatasi permasalahan kita pada dua variabel saja.

Sebut saja variabel tersebut adalah x dan y, nah, karena persamaannya linear maka masing-masing variabel maksimal memiliki pangkat 1, artinya kita tidak akan memiliki suku seperti 2x^2, -y^2, x^3, dan sejenisnya. Dengan adanya variabel kedua, kita bisa katakan bahwa kita bakal memiliki 3 suku di sini.

Yang pertama adalah suku yang memuat variabel x beserta koefisiennya, kemudian suku yang memuat variabel y beserta koefisiennya, dan yang terakhir konstanta, Dengan demikian bentuk umumnya bisa kita tuliskan sebagai
ax+by=c .

Penyelesaian

Pada pembahasan tentang garis dan sudut, kita melihat bahwa dua garis bisa saling berpotongan. Selain itu, pada pembahasan sebelumnya mengenai persamaan garis lurus, kita mencari titik potongnya terhadap sumbu-x dan sumbu-y.

Jika untuk mencari titik potong pada salah satu sumbu, kita dapat menggunakan ide bahwa suatu sumbu merupakan suatu garis yang berada di posisi tertentu terhadap sumbu lainnya. Sekarang kita gak bisa pakai ide tersebut, karena kita ingin mencari letak titik potongnya terhadap garis yang lain.

Ada satu ide atau pedoman yang lebih umum yang bisa kalian pakai, yaitu pada dua garis yang saling berpotongan, maka kedua garis tersebut memotong pada titik yang sama, apa artinya? Misal ada dua garis g_1 (garis 1) dan g_2 (garis 2), jika g_1 memotong g_2 pada (x_p,y_p) maka g_2 memotong g_1 pada titik yang sama juga, yaitu (x_p,y_p).

Titik potong tersebutlah yang kita anggap solusi pada pembahasan kali ini. Di samping itu, ada hal lain yang perlu diperhatikan dan perlu dipertanyakan, apakah suatu garis yang saling sejajar memiliki titik potong? Tentu tidak, tapi berbeda ketika kedua garis saling berhimpit akan ada banyak solusinya, bahkan tak berhingga, ada yang tau kenapa?

Secara Grafik

Dengan memanfaat ide tersebut, kita bisa menyelesaikan permasalahan ini secara grafik. Langkah pertamanya sangat jelas, ya kita perlu menggambarkan grafik dari dua persamaan yang ingin dicari solusinya. Misal kita punya dua persamaan 2x + y =  5 dan x + 3y = 5.

Kita buat grafik dari dua persamaan tersebut pada bidang kartesius, kemudian kita taksir di mana letak dari perpotongan tersebut dengan cara, menarik suatu garis (putus-putus) dari terkaan kita pada titik potong tersebut ke sumbu-x, kemudian kita tarik juga garis (putus-putus) lainnya menuju sumbu-y.

Dua persamaan linear dua variabel saling berpotongan

Berdasarkan taksiran tersebut kita mendapatkan bahwa solusinya berada di (2,1). Dari tadi kita selalu menyebutnya sebagai taksiran, hal ini disebabkan dengan cara ini, kita akan sulit mengetahui titik potong sebenarnya, ditambah lagi ketika kita menggambarkan grafiknya kurang presisi, seperti misal membuatnya di buku tulis.

Bisa saja ketika membuat grafiknya tidak presisi solusinya menjadi di (2.5,1.1), dan semakin rumit lagi apabila solusinya berupa pecahan. Pertanyaannya, apakaha ada cara yang lebih pasti atau konkrit? Mari kita lanjut.

Eleminasi

Kita masih menggunakan pedoman bahwa ada satu titik tunggal di mana kedua garis saling bertemu, dengan memegang pedoman tersebut, kita bisa berasumsi bahwa variabel x dan y pada kedua persamaan yaitu 2x + y =  5 dan x + 3y = 5 merupakanlah variabel yang sama.

Apa artinya? Artinya, variabel x yang berada di suku 2x pada persamaan pertama dan suku x pada persamaan kedua merupakan variabel yang sama, begitu juga dengan variabel y. Dengan demikian kita bisa melakukan operasi pada kedua suku tersebut, yaitu dengan melakukan operasi pada kedua persamaan tersebut.

Dan ide utama dari eleminasi ini adalah kita melakukan operasi pada kedua persamaan sehingga salah satu suku yang memuat variabel tertentu (bisa x atau y) menghilang dan menyisakan suku yang memuat salah satu variabel saja, langsung kita coba aja biar lebih jelas.

Misal kita mau menghilangkan suku yang memuat variabel y, kemudian kita operasikan kedua persamaan tersebut dengan pengurangan persamaan pertama terhadap persamaan kedua

2x+y = 5
\underline{x+3y = 5\,\,-}
x-2y = 0

, ternyata masih menyisakan dua suku yang memuat dua variabel yang berbeda.

Sekarang, coba kita kalikan dengan 3 pada persamaan pertama terlebih dahulu, baru kemudian dioperasikan dengan persamaan kedua

2x+y = 5\,\,\times 3\rightarrow 6x+3y=15
\underline{x+3y = 5\rightarrow x+3y=5\,\,-}
5x= 10
\rightarrow x= 2

Ternyata kita menyisakan satu suku saja memuat variabel, artinya kita sudah tahu letak x-nya di mana.

Ingat lagi konsep persamaan garis lurus atau sebuah fungsi, persamaan seperti 2x+y = 5 bisa kita susun menyerupai sebuah fungsi, kita pindah ruaskan suku lain sedemikian rupa sehingga, menyisakan suku yang memuat variabel y di ruas kiri. Kita tulis menjadi y = -2x + 5.

Karena kita sudah mengetahui letak x-nya di mana, artinya x tersebut bisa kita petakan untuk mendapatkan nilai y tersebut. Langsung aja,
y = -2(2) + 5
\rightarrow y = 1
, dan selesai sudah, kita telah mendapatkan solusi aslinya yaitu berada di (2,1)

Kalau kalian bingung bagaimana proses eleminasi ini dilakukan, perhatikan ide berikut. Kita tentukan bentuk umum dari sistem persamaan linear dua variabel berikut sebagai ax+by=c dan dx + ey = f. Misal kita fokus eleminasi variabel y, perhatikan koefisiennya.

Persamaan pertama memiliki koefisien b sedangkan persamaan kedua memiliki koefisien e, coba kalian kalikan persamaan pertama dengan e dan persamaan kedua dengan b, lihat apa jadinya

ax+by=c\,\times e \rightarrow (ae)x+(be)y = ce
dx+ey=f\,\times b \rightarrow (bd)x+(be)y = bf

, perhatikan bahwa kedua persamaan memiliki koefisien dari variabel y yang sama, dapat kan idenya?

Label
< Materi SebelumnyaPersamaan Kuadrat
Search icon