Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Apa itu persamaan dan pertidaksamaan?
Apa itu persamaan dan pertidaksamaan?

Di dunia, suatu kebenaran harus bisa diterima oleh semua akal dan pikiran manusia. Dan hal tersebut dapat dicapai dengan suatu pernyataan atau bisa disebut proposisi yang didasari oleh logika kita.

Daftar Isi

Pernyataan

Melanjuti kalimat sebelumnya, untuk itu kita tidak bisa sekedar mengutarakan/mengungkapkan opini menjadi sebuah pernyataan. Karena yang seperti kita ketahui, sebuah opini merupakan pandangan pribadi, yang mungkin bisa salah di mata orang lain.

Bukan Sebuah Opini

Pernyataan tidak bisa seperti itu, dia harus bersifat konkrit/pasti, sehingga tidak boleh bernilai sekaligus, yaitu salah dan benar. Suatu pernyataan harus memiliki satu nilai saja, benar atau salah.

Pernyataan hanya bisa mengandung satu nilai, benar atau salah, tidak bisa keduanya.

Misal nih, "Wah lukisan mu keren banget!", "Beh sangar, baju kamu keren banget!", dan lainnya. Kalimat-kalimat tersebut tidak bisa digunakan sebagai pernyataan sebab keduanya relatif, artinya orang lain belum tentu mengatakan hal yang sama.

Alasan yang pertama, karena selera orang itu beda-beda terhadap karya seni seperti lukisan, sehingga belum tentu semua setuju. Begitu juga pada kasus yang kedua, sekalipun bisa didasari oleh logika seperti kualitas bahan dan sebagainya, namun masih ada aspek kenyamanan yang mungkin tiap orang berbeda.

Selain dari itu, pertanyaan seperti "Bro, besok ada PR gak?" juga tidak bisa digolongkan suatu pernyataan, karena hal tersebut justru tujuannya untuk menggali informasi atau fakta.

Pernyataan terbuka dan tertutup

Pernyataan Tertutup

Pada pembahasan sebelumnya kita udah mengenal tentang bentuk aljabar. Di sana kita udah menyinggung soal suatu persaaman, dan bagaimana menuangkan sebuah ide ke dalam persamaan matematika, yakni ketika suatu bilangan belum diketahui, yaitu menggunakan variabel.

Pernyataan Bisa Juga Berbentuk Persamaan

Di awal pembahasan tersebut, kita menggunakan contoh-contoh yang sederhana ketika menjelaskan tentang suatu persamaan, seperti 9 = 9, 2+1+3 = 6, 2\times5 > 9, dan sejenisnya. Jika ketiga contoh kita tersebut kita anggap sebagai suatu pernyataan, coba bandingkan dengan pernyataan ini, "Salah satu negara tetangga kita adalah Malaysia" dan "Provinsi DKI Jakarta memiliki 5 kota".

Apakah ada kesamaan antara pernyataan dalam bentuk matematis dan kalimat tersebut? Jawabanya ada, dan keduanya sama-sama merupakan fakta dan bernilai benar. Ingat bahwa, pernyataan tidak harus selalu benar, bisa juga salah (asal jangan keduanya), seperti 1 + 1 = 9 dan "Kita tinggal di planet Bekasi", merupakan pernyataan yang salah.

Terus, apa yang dimaksud dengan "tertutup" di sini? Artinya adalah, pernyataan tersebut tidak memiliki ketidakpastian. Hal tersebut berbeda dengan bagian yang satu ini.

Pernyataan Terbuka

Kita sudah paham tentang apa itu persamaan, dan juga tahu tentang apa itu bentuk aljabar. Yakni suatu persamaan yang memuat bentuk aljabar tentu melibatkan variabel yang nilainya belum diketahui.

Adanya Nilai Yang Belum Diketahui

Ketidaktahuan akan variabel tersebut akan membuat ketidakpastian pada suatu pernyataan, seperti 2x = 10. Terlepas dari bagaimana kita menyelesaikannya, variabel x dapat kita substitusikan menjadi dengan nilai yang sembarang.

Bisa saja kita substitusikan x nya misal dengan angka 3, pernyataan tersebut menjadi tertutup, namun bernilai salah. Atau misal kita ingin mensubstitukan dengan x = 5, sehingga pernyataan menjadi tertutup dan bernilai benar.

Penyelesaian

Sesuai judul, terdapat persamaan dan pertidaksamaan, sifatnya linear, dan cuman ada satu variabel. Mungkin di antara tukang iseng ada yang bertanya tentang apa itu linear?

Sebenarnya makna dari linear sendiri sangat berkaitan erat dengan konsep garis, sehubung kita belum mempelajarinya, mungkin gambaran sederhananya gini. Kita kan udah mengenal makna pangkat atau eksponen pada suatu persamaan kan.

Pada persamaan yang linear, maksimal kita cuman punya pangkat satu aja. Untuk sementara pegang dulu aja ide tersebut, kalau mau lebih rincinya silahkan baca-baca tentang konsep garis dan sudut.

Nah sekarang, kita tertarik untuk mengetahui nilai yang dapat menggantikan suatu variabel, misal x, sehingga pernyataannya menjadi benar. Idenya sama seperti sebelumnya, dengan melakukan operasi pada kedua ruas, kemudian kita menyisakan variabel di salah satu ruas.

Di sini kita bakal banyak belajar bagaimana memanipulasi baik suatu persamaan maupun pertidaksamaan.

Contoh Persamaan

Misal kita punya 5x + 7 = 12, maka penyelesaiannya seperti ini.

Kurangi kedua ruas dengan 7:

5x + 7 - {\color{Red}{7}} = 12 - {\color{Red}{7}}

Kali kedua ruas dengan \frac{1}{5}:

\rightarrow 5x\,\times{\color{Red}{\frac{1}{5}}} = 5\,\times{\color{Red}{\frac{1}{5}}}
\rightarrow x=1

Sekarang kita coba menggunakan bentuk pecahan \frac{9x+10}{2} - \frac{1}{5} = \frac{2}{3}, penyelesaiannya sebagai berikut.

Tambahkan kedua ruas dengan \frac{1}{5}:

\frac{9x+10}{2} - \frac{1}{5} + {\color{Red}{\frac{1}{5}}} = \frac{2}{3} + {\color{Red}{\frac{1}{5}}}

Kalikan dengan 2:

\rightarrow \frac{9x+10}{2}\,\times{\color{Red}{2}} = \frac{7}{15}\,{\color{Red}{2}}

Kurangi dengan 10:

\rightarrow 9x+10 - {\color{Red}{10}} = \frac{14}{15} - {\color{Red}{10}}

Kalikan dengan \frac{1}{9}:

\rightarrow 9x\,\times{\color{Red}{\frac{1}{9}}} = -\frac{136}{15}\,\times{\color{Red}{\frac{1}{9}}}
\rightarrow x = -\frac{136}{135}

Contoh Pertidaksamaan

Pada persamaan kita selalu memiliki satu solusi tunggal, nah, pada pertidaksamaan yang bakal kita bahas ini kita tidak hanya punya satu solusi melainkan banyak solusi, saking banyaknya kita menyebutnya sebagai daerah atau bisa juga interval solusi.

Seperti contoh, kita punya 2x + 1 > 5, secara nalar kita bakal menerka bahwa solusinya adalah x = 3, tentu itu benar. Namun, solusi tersebut merupakan salah satu solusi dari sekian banyak solusi yang ada, kok bisa?

Coba kita selesaikan dengan cara yang serupa seperti pada persamaan:

Kurangi dengan 1:

2x + 1 - {\color{Red}{1}} > 5 - {\color{Red}{1}}

Kalikan dengan \frac{1}{2}:

\rightarrow 2x\,\times{\color{Red}{\frac{1}{2}}}> 5\,\times{\color{Red}{\frac{1}{2}}}
\rightarrow x > \frac{5}{2} atau x > 2.5

Apa maksud dari solusi ini? Artinya, semua bilangan yang lebih besar dari \frac{5}{2} atau 2.5 merupakan solusi dari pertidaksamaan ini. Bayangin ada berapa banyak, ada 2.51, 2.5000001, dan lainnya.

Contoh lainnya, misal -\frac{x}{5} + \frac{2}{3} \leq \frac{1}{2}, berikut penyelesaiannya.

Kurangi dengan \frac{2}{3}:

-\frac{x}{5} + \frac{2}{3} - {\color{Red}{\frac{2}{3}}} \leq \frac{1}{2} - {\color{Red}{\frac{2}{3}}}

Kalikan dengan -5:

\rightarrow -\frac{x}{5}\,\times {\color{Red}{5}} \leq \frac{1}{6} \,\times {\color{Red}{5}}
\rightarrow x \geq -\frac{5}{6}

Tunggu..., kenapa tandanya berubah awalnya \leq tiba-tiba menjadi \geq? Jawaban singkatnya karena dikali bilangan negatif.

Cuman gitu aja alasannya? Perhatikan lagi yang satu ini untuk lebih detailnya lagi. Proses tersebut setara dengan menambahkan \frac{x}{5}, kemudian dikurangi \frac{5}{6}, seperti ini:

-\frac{x}{5} + {\color{Red}{\frac{x}{5}}} \leq \frac{1}{6} + {\color{Red}{\frac{x}{5}}}
\rightarrow 0 - {\color{Red}{\frac{1}{6}}} \leq \frac{1}{6} + {\color{Red}{\frac{x}{5}}} - {\color{Red}{\frac{1}{6}}}
\rightarrow -\frac{1}{6} \leq \frac{x}{5}

Perhatikan posisinya, berubah kan? Dan \frac{x}{5} jadi lebih besar dari -\frac{1}{6} sekarang. Terakhir, tinggal kalikan aja dengan 5, beres.

Label

Komentar

Search icon