Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Apa itu persamaan dan pertidaksamaan?
Apa itu persamaan dan pertidaksamaan?

Pernyataan

Di dunia, suatu kebenaran harus bisa diterima oleh semua akal dan pikiran manusia, dan hal tersebut dapat dicapai dengan suatu pernyataan atau bisa disebut proposisi yang didasari oleh logika kita.

Untuk itu, kita tidak bisa sekedar mengutarakan/mengungkapkan opini menjadi sebuah pernyataan, karena yang seperti kita ketahui, sebuah opini merupakan pandangan pribadi, yang mungkin bisa salah di mata orang lain.

Pernyataan tidak bisa seperti itu, dia harus konkrit/pasti, sehingga tidak boleh bernilai sekaligus, yaitu salah dan benar. Suatu pernyataan harus memiliki satu nilai saja, benar atau salah.

Misal nih, "Wah lukisan mu keren banget!", "Beh sangar, baju kamu keren banget!", dan lainnya kalimat-kalimat tersebut tidak bisa digunakan sebagai pernyataan sebab keduanya relatif, artinya orang lain belum tentu mengetakan hal yang sama.

Alasan yang pertama, karena selera orang itu beda-beda terhadap karya seni seperti lukisan, sehingga belum tentu semua setuju. Begitu juga pada kasus yang kedua. Selain dari itu, pertanyaan seperti "Bro, besok ada PR gak?" juga tidak bisa digolongkan suatu pernyataan.

Pernyataan terbuka dan tertutup

Pernyataan Tertutup

Pada pembahasan sebelumnya kita udah mengenal tentang bentuk aljabar, di sana kita udah menyinggung soal suatu persaaman, dan bagaimana menuangkan ide, apabila suatu bilangan belum diketahui, yaitu menggunakan variabel.

Di awal pembahasan tersebut, kita menggunakan contoh-contoh yang sederhana ketika menjelaskan tentang suatu persamaan, mirip 9 = 9, 2+1+3 = 6, 2\times5 > 9, dan sejenisnya. Jika ketiga contoh kita tersebut kita anggap sebagai suatu pernyataan, coba bandingkan dengan pernyataan ini, "Salah satu negara tetangga kita adalah Malaysia" dan "Provinsi DKI Jakarta memiliki 5 kota".

Apakah ada kesamaan antara pernyataan tersebut? Jawabanya ada, dan keduanya sama-sama merupakan fakta dan bernilai benar. Ingat bahwa, pernyataan tidak harus selalu benar, bisa juga salah (asal jangan keduanya), seperti 1 + 1 = 9 dan "Kita tinggal di planet Bekasi", merupakan pernyataan yang salah.

Maksud "tertutup" di sini adalah pernyataan tersebut tidak memiliki ketidakpastian, seperti bagian selanjutnya ini.

Pernyataan Terbuka

Kita sudah paham tentang apa itu persamaan, dan juga tahu tentang apa itu bentuk aljabar. Suatu persamaan yang memuat bentuk aljabar tentu melibatkan variabel yang nilainya belum diketahui.

Ketidaktahuan akan variabel tersebut akan membuat ketidakpastian pada suatu pernyataan, seperti 2x = 10, terlepas dari bagaimana kita menyelesaikannya, variabel x dapat kita substitusikan menjadi dengan nilai yang sembarang.

Bisa saja kita substitusikan x nya misal dengan angka 3, pernyataan tersebut menjadi tertutup, namun bernilai salah, beda halnya ketika x = 5, maka pernyataan menjadi tertutup dan bernilai benar.

Penyelesaian

Sesuai judul, ada persamaan dan pertidaksamaan, bersifat linear, dan cuman ada satu variabel. Mungkin diantara tukang iseng ada yang bertanya tentang apa itu linear?

Sebenarnya makna dari linear sendiri sangat berkaitan erat dengan garis sehubung kita belum mempelajarinya, mungkin gambaran sederhananya gini, kita kan udah mengenal makna pangkat atau eksponen pada suatu persamaan kan. Pada persamaan yang linear, kita maksimal kita cuman punya pangkat satu aja, sementara pegang dulu aja ide tersebut.

Nah sekarang, kita tertarik untuk mengetahui nilai yang dapat menggantikan suatu variabel, misal x, sehingga pernyataannya menjadi benar. Idenya sama seperti sebelumnya, dengan melakukan operasi pada kedua ruas, kemudian kita menyisakan variabel di salah satu ruas.

Misal kita punya 5x + 7 = 12, maka penyelesaiannya

5x + 7 - {\color{Red}{7}} = 12 - {\color{Red}{7}}, kurangi kedua ruas dengan 7
\rightarrow 5x\,\times{\color{Red}{\frac{1}{5}}} = 5\,\times{\color{Red}{\frac{1}{5}}}, kali kedua ruas dengan \frac{1}{5}
\rightarrow x=1 .

Sekarang kita coba menggunakan bentuk pecahan \frac{9x+10}{2} - \frac{1}{5} = \frac{2}{3}, penyelesaiannya
\frac{9x+10}{2} - \frac{1}{5} + {\color{Red}{\frac{1}{5}}} = \frac{2}{3} + {\color{Red}{\frac{1}{5}}}, tambahkan kedua ruas dengan \frac{1}{5}
\rightarrow \frac{9x+10}{2}\,\times{\color{Red}{2}} = \frac{7}{15}\,{\color{Red}{2}}, kalikan dengan 2
\rightarrow 9x+10 - {\color{Red}{10}} = \frac{14}{15} - {\color{Red}{10}}, kurangi dengan 10
\rightarrow 9x\,\times{\color{Red}{\frac{1}{9}}} = -\frac{136}{15}\,\times{\color{Red}{\frac{1}{9}}}, kalikan dengan \frac{1}{9}
\rightarrow x = -\frac{136}{135}.

Pada persamaan kita selalu memiliki satu solusi tunggal, nah, pada pertidaksamaan yang bakal kita bahas ini kita tidak hanya punya satu solusi melainkan banyak solusi, saking banyaknya kita menyebutnya sebagai daerah atau bisa juga interval solusi.

Seperti contoh, kita punya 2x + 1 > 5, secara nalar kita bakal menerka bahwa solusinya adalah x = 3, tentu itu benar, namun solusi tersebut merupakan salah satu solusi dari sekian banyak solusi yang ada, kok bisa?

Coba kita selesaikan dengan cara yang serupa seperti pada persamaan
2x + 1 - {\color{Red}{1}} > 5 - {\color{Red}{1}}, kurangi dengan 1
\rightarrow 2x\,\times{\color{Red}{\frac{1}{2}}}> 5\,\times{\color{Red}{\frac{1}{2}}}, kalikan dengan \frac{1}{2}
\rightarrow x > \frac{5}{2} atau x > 2.5
, apa artinya? Artinya, semua bilangan yang lebih besar dari \frac{5}{2} atau 2.5 merupakan solusi dari pertidaksamaan ini, bayangin ada berapa banyak, ada 2.51, 2.5000001, dan lainnya.

Contoh lainnya, misal -\frac{x}{5} + \frac{2}{3} \leq \frac{1}{2}, penyelesaiannya
-\frac{x}{5} + \frac{2}{3} - {\color{Red}{\frac{2}{3}}} \leq \frac{1}{2} - {\color{Red}{\frac{2}{3}}}, kurangi dengan \frac{2}{3}
\rightarrow -\frac{x}{5}\,\times {\color{Red}{5}} \leq \frac{1}{6} \,\times {\color{Red}{5}}, kalikan dengan -5
\rightarrow x \geq -\frac{5}{6}
, tunggu..., kenapa tandanya berubah awalnya \leq tiba-tiba menjadi \geq? Jawaban singkatnya karena dikali bilangan negatif.

Cuman gitu aja alasannya? Perhatikan untuk lebih detailnya lagi, proses tersebut setara dengan menambahkan \frac{x}{5}, kemudian dikurangi \frac{5}{6}, seperti ini
-\frac{x}{5} + {\color{Red}{\frac{x}{5}}} \leq \frac{1}{6} + {\color{Red}{\frac{x}{5}}}
\rightarrow 0 - {\color{Red}{\frac{1}{6}}} \leq \frac{1}{6} + {\color{Red}{\frac{x}{5}}} - {\color{Red}{\frac{1}{6}}}
\rightarrow -\frac{1}{6} \leq \frac{x}{5}
, perhatikan posisinya, berubah kan, dan \frac{x}{5} jadi lebih besar dari -\frac{1}{6} sekarang, terakhir tinggal kalikan aja dengan 5, beres.

Label
< Materi SebelumnyaPerbandingan
Search icon