Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Dengan adanya tiga buah persamaan, harapannya kita akan mempunyai tiga buah solusi pada persamaan ini
Dengan adanya tiga buah persamaan, harapannya kita akan mempunyai tiga buah solusi pada persamaan ini.

Sistem Persamaan Linear

Kita semua sepakat bahwa sistem merupakan suatu satu kesatuan atau kelompok dari suatu elemen atau unit yang saling berkaitan. Kira-kira dari judulnya mungkin sudah terlihat jelas apa yang akan menjadi elemennya.

Di samping itu, coba kalian ingat kembali, suatu representasi matematika disebut persamaan ketika ada tanda "=" yang artinya ada kesamaan nilai antara dua ruas, ruas kanan dan ruas kiri.

Lagi, kita masih membongkar maksud dari judul yang akan di bahas kali ini, bahasa paling sederhana untuk mengatakan bahwa suatu persamaan itu linear yaitu apabila dibuat grafiknya, maka berbentuk garis lurus.

SPLTV

Bahasan kali ini kita akan bicara tentang sistem dari suatu persamaan linear yang memiliki tiga variabel. Dan sistem ini terdiri dari tiga elemen (yaitu persamaan linear).

Secara umum, representasi matematika dari sistem yang kita maksud tersebut yakni seperti berikut

{\color{Red}{a}}x+{\color{Red}{b}}y+{\color{Red}{c}}z={\color{Red}{d}}
{\color{Green}{e}}x+{\color{Green}{f}}y+{\color{Green}{g}}z={\color{Green}{h}}
{\color{Blue}{i}}x+{\color{Blue}{j}}y+{\color{Blue}{k}}z={\color{Blue}{l}}

Pada dasarnya tugas kita kali ini yaitu mencari nilai x, y, dan z, yang memenuhi ketiga persamaan di atas. Artinya ketika kita substitusikan x, y, dan z, ketiga persamaan tersebut terpenuhi, apabila hanya berlaku pada satu ada dua saja, maka pasangan x, y, dan z bukan solusinya.

Nah, untuk menentukan pasangan solusi tersebut, kita dapat menggunakan metode yang paling umum dan tergolong relatif mudah yaitu metode eleminasi, seperti halnya ketika kita menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel.

Ide dibalik metode tersebut yaitu menyederhanakan tiga persamaan sebelumnya, sehingga kita mendapatkan suatu persamaan linear dengan variabel yang lebih sedikit.

Secara teknis, yaitu memanipulasi persamaan sehingga dua persamaan yang berbeda, memiliki suku yang saling berlawanan.

Oke, kita langsung ke contoh aja biar lebih jelas, misal sistem kita yaitu

2x+4y+2z=16 (1)
-2x-3y+z=-5 (2)
2x+2y-3z=-3 (3) .

Pertama, misal kita ingin menyederhanakan (1) dan (2), dan sebagai contoh ingin mengelemeninasi suku z. Sebenarnya bebas ingin pilih suku yang mana dan dengan cara apapun.

Untuk kali ini coba kita kalikan -2 pada persamaan (2), sehingga menjadi

4x+6y-2z=10 (2')

Kemudian kita jumlahkan (1) dan (2'), perhatikan suku z memiliki koefisien yang berlawanan

2x+4y+2z=16
4x+6y-2z=10
\color{White}{\rule{6cm}{0.4pt}+}
6x+10y=26 (4)

, perhatika bahwa suku yang memuat variabel z kini tidak ada.

Selanjutnya misal kita eleminasikan suku z pada (2) dan (3) (bisa juga (1) dan (3)), kali ini coba kita kalikan persamaan (2) dengan 3, sehingga-6x-9y+3z=-15 (2'')

Dilanjutkan dengan menjumlahkan (2'') dan (3), sekali lagi perhatikan koefisien z

-6x-9y+3z=-15
2x+2y-3z=-3
\color{White}{\rule{6cm}{0.4pt}+}
-4x-7y=-18 (5)

Dari proses di atas didapat dua persamaan yang hanya memuat dua variabel yaitu (4) dan (5), dan permasalahan berubah jadi sistem persamaaan linear dua variabel, di mana suku z telah dieleminasi, alias disederhanakan.

Kita lanjut lagi, misal kita eleminasi suku x pada (4) dan (5), untuk menyamakan suku x kami ingatkan lagi tukang iseng bebas caranya mau gimana, kali ini kita pakai cara, kalikan (4) dengan 4 dan (5) dengan 6.

Sehingga didapat bentuk lain dari persamaannya

6x+10y=26 \times 4
\rightarrow 24x+40y=104 (4')
-4x-7y=-18 \times 6
 \rightarrow -24x-42y=-108 (5')

Lalu kita jumlahkan (4') dan (5') untuk mengeleminasi x

24x+40y=104
-24x-42y=-108
\color{White}{\rule{6cm}{0.4pt}+}
-2y=-4 atau y=2

Karena informasi yang kita miliki baru satu solusi yaitu y, kita hanya bisa mencari x terlebih dahulu, mengingat tersedianya sistem persamaan linear dua variabel pada x dan y pada (4) dan (5).

Misal digunakan persamaan (4) (bebas sebenarnya, pakai persamaan (5) juga oke), maka

6x+10(2) = 26\rightarrow x=1

Terakhir kita substitusikan x dan y pada (1) misal (ini juga bebas gak harus persamaan kesatu) untuk mendapatkan z, sehingga

2(1)+4(2)+2z=16\rightarrow z=3

Sehingga solusi akhirnya adalah
x = 1
y = 2
z = 3

Sekedar tips untuk mengerjakan permasalahan ini, carilah kombinasi persamaan (misal (1) dan (3)) yang membutuhkan manipulasi lebih mudah, maksudnya apabila tanpa perlu manipulasi cobalah kombinasi dua persamaan yang dimaksud. Namun jika tidak memungkinkan, coba cari yang memerlukan operasi yang lebih sedikit.

Pemodelan

SPLTV merupakan salah satu upaya untuk menyelesaikan suatu masalah di dunia ini. Sebagai contoh, misal kita tengah berbisnis online.

Kita memiliki modal sebesar Rp. 1.000.000 untuk dibelanjakan alat tulis berupa pulpen, pensil, dan penggaris. Lemari kecil untuk penyimpanan barang hanya mampu menyimpan total 250 barang.

Harga dari grosir untuk satu unit pulpen seharga Rp. 1500, untuk pensil Rp. 1000, dan penggaris Rp. 2000. Diketahui juga bahwa kebutuhan pasar untuk penggaris setara dengan dua kali lipat pulpen ditambah dengan satu kali lipat pensil.

Jika x adalah pulpen, y adalah pensil, dan z adalah pengaris, maka pemodelannya adalah

1. x+y+z=250 yaitu kapasitas penyimpanan barang.
2. 1500x+1000y+2000z=1000000 yaitu jumlah barang yang dibeli harus sepadan dengan modal.
3. z=2x+y\rightarrow 2x+y-z=0 yaitu kondisi kebutuhan pasar.

Kemudian permasalahan ini dapat diselesaikan dengan cara yang sama seperti di atas. Eleminasi terlebih dahulu variabel yang sekiranya mudah untuk dilakukan kemudian substitusikan balik untuk mendapatkan pasangan variabelnya.

Label
< Materi SebelumnyaProgram Linear Dua Variabel
Search icon