Teorema Pythagoras - Pembuktian, Aplikasi, dan Rumus Euclid

Relasi antar sisi pada suatu segitiga siku-siku
Relasi antar sisi pada suatu segitiga siku-siku.
Daftar Isi

Teorema Pythagoras

Ketika kita berbicara tentang teorema, artinya kita sedang membicarakan sesuatu yang dapat dibuktikan, apa yang dibuktikan? Yaitu suatu pernyataan matematika, salah satu pernyataan matematika yang paling dikenal yaitu.

a^2 + b^2 = c^2

Di mana c merupakan panjang diagonal segitiga siku-siku, dan a serta b adalah panjang sisi lainnya.

Dalam matematika, suatu pernyataan bisa berupa suatu ekspresi matematis seperti sebelumnya, yang mana dalam hal ini merupakan persamaan. Tentu berbeda dengan pernyataan-pernyataan yang sering kita ucapkan sehari-hari, seperti "Saya adalah anaknya Pak Tyo", "Saya tinggal dekat pasar induk", dan lainnya.

Pembuktian Teorema Pythagoras

Pernyataan tersebut merupakan wujud dari teorema Pythagoras, dan sekarang, kita bakal coba membuktikan kebenarannya. Misal kita punya sebuah persegi dengan panjang l, selain itu kita juga punya suatu persegi yang lebih kecil, panjang sisinya yakni dengan besar c.

Kemudian, kita susun kedua persegi tersebut sedemikian rupa, sehingga sisi dari persegi yang besar dapat dibagi menjadi dua bagian, yang pertama memiliki panjang a dan yang satu lagi panjangnya b.

Panjang a dan b tersebut tidak harus sama, contohnya seperti berikut.

Pembuktian teorema Pythagoras menggunakan dua persegi berbeda ukuran

Sekarang kita perhatikan luas bangunan tersebut, persegi yang besar mempunyai luas sebesar l\cdot l=l^2, setuju ya?

Kemudian, untuk persegi yang kecil luas bangunnya sebesar c\cdot c= c^2, benar kan? Nah sekarang lihat, ternyata persegi yang paling besar merupakan susunan dari beberapa bangun lainnya, yaitu empat segitiga dan satu persegi.

Keempat segitiga tersebut saling identik, maksudnya panjang sisinya sama semua, sehingga luasannya pun sama.

Dengan demikian, luas bangun dari persegi terbesar setara dengan gabungan dengan empat segitiga dan satu persegi tersebut. Sebelum kita terjun ke bentuk matematisnya, satu lagi yang perlu diingat, yaitu a+b = l. Sehingga kita bisa menuliskan luasan persegi terbesar dengan (a+b)^2.

Berdasarkan ide-ide tersebut, sekarang kita bisa terjun ke ekspresi matematikanya.

l^2 = c^2 + \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}ab
(a+b)^2 = c^2 + \frac{1}{2}(ab+ab+ab+ab)

Kita ekspansikan bentuk kuadrat yang di ruas kiri, lalu sederhanakan bentuk yang berada di ruas kanan.

(a+b)(a+b) = c^2 + \frac{1}{2}(4ab)
a^2 + ab + ab + b^2 = c^2 + \frac{1}{2}(4ab)
a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab
a^2 + b^2 = c^2

Dan terbukti sudah, mirip kan dengan persamaan yang pertama?

Penerapan

Bayangin aja, ratusan tahun sebelum masehi aja teorema ini udah ada, kalian tahu sendiri pasti udah banyak banget penerapannya di dunia ini, mulai dari bidang robotika, teknik tenaga listrik, dan masih banyak lagi. Dari banyaknya penerapan itu, ada satu hal yang membuat teorema ini begitu penting dan bermanfaat.

Menghitung Panjang atau Jarak

Salah satu aplikasinya yaitu dalam perhitungan panjang atau jarak. Seperti contoh, kita punya suatu titik, sebut saja A berada di bidang kartesius yang berlokasi di (2,5), dan kita ingin mengetahui jaraknya terhadap titik asal O. Permasalahan tersebut bisa dimodelkan menjadi sebuah segitiga siku-siku.

Mencari jarak suatu titik terhadap titik asal dengan teorema Pythagoras

Jadi, tinggi segitiga siku-siku yang dimaksud memiliki tinggi 5 alias posisi titik A terhadap sumbu-y, dan mempunyai panjang alas sebesar 2 yaitu posisi titik A terhadap sumbu-x. Apabila panjang atau jarak yang dimaksud adalah d, maka.

d^2 = x^2 + y^2
d^2 = 2^2 + 5^2

Akarkan keduan ruas, maka hasilnya adalah.

d = \sqrt{29}\,\text{SP}

Ingat bahwa \text{SP} adalah satuan panjang. Karena kita gak menentukan penggunaan satuannya, bisa itu meter, atau bisa juga centimeter, maka kita gunakan saja \text{SP}.

Dengan ada konsep ini, maka kita bisa menyatakan jaraknya dengan cukup satu angka saja. Tidak perlu repot-repot menyebutnya, "Titik A berada 2 satuan panjang pada arah horisontal, dan 5 satuan panjang pada arah vertikal", ribet bukan peneybutannya?

Menentukan Macam-Macam Segitiga

Tanpa perlu mengetahui gambar/ilustrasi suatu segitiga, kita dapat mengetahui kategori suatu segitiga. Pada pembahasan tentang segiempat dan segitiga, kita mengetahui bahwa ada beberapa macam segitiga berdasarkan sudut dan kesamaan sisinya.

Namun secara garis besar, segitiga tersebut merupakan segitiga lancip yang sudutnya kurang dari 90^{\circ}, segitiga siku-siku yang salah satu sudutnya membentuk 90^{\circ}, dan segitiga tumpul yang salah satu sudutnya lebih besar dari 90^{\circ}.

Menentukan kategori segitiga dengan teorema Pythagoras

Pada segitiga lancip, persamaan pada teorema Pythagoras tidak terpenuhi, melainkan ekspresinya berubah menjadi sebuah pertidaksamaan, yaitu berupa a^2+b^2>c^2, artinya jumlah kuadrat dari dua sisi yang membentuk sudut lancip tersebut, lebih besar dari kuadrat panjang sisi lainnya (yaitu c).

Dan hal sebaliknya pada segitiga tumpul, jumlah kuadrat dari dua sisi yang membentuk sudut tumpul kurang dari kuadrat panjang sisi lainnya, yaitu a^2+b^2 < c^2. Dan tanda kesamaan akan berlaku ketika segitiga yang dimaksud merupakan segitiga siku-siku.

Dari itu semua, bisa kita ringkas kondisi-kondisinya sebagai berikut.

  • a^2+b^2 = c^2, segitiga siku-siku, sudutnya 90^{\circ}.
  • a^2+b^2 > c^2, segitiga tumpul, sudutnya > 90^{\circ}.
  • a^2+b^2 < c^2, segitiga lancip, sudutnya < 90^{\circ}.

Tripel Pythagoras

Tripel Pythagoras merupakan hal kondisi khusus pada teorema ini, karena ada yang menarik di sini. Yaitu ketika panjang dua sisi yang membentuk sudut siku-siku adalah bilangan bulat, seperti 3 dan 4, maka panjang diagonalnya merupakan bilangan bulat juga yaitu 5, kita periksa.

c = \sqrt{a^2+b^2}
c = \sqrt{3^2+4^2}
c = \sqrt{9+16}
c = \sqrt{25}
c = 5

Tidak semua pasangan bilangan bulat berlaku kondisi ini, contoh sederhananya ketika panjang sisinya 4 dan 5, di mana diagonalnya adalah \sqrt{41}. Contoh lain dari kondisi khusus ini adalah 8 dan 6, panjang diagonal dari segitiga siku-siku dengan panjang sisi tersebut adalah 10, kita periksa.

c = \sqrt{8^2+6^2}
c= \sqrt{64+36}
c= \sqrt{100}
c= 10

Rumus Euclid

Secara umum, kalian dapat mengetahui pasangan-pasangan yang memenuhi kondisi tersebut dengan memanfaatkan rumus Euclid. Yaitu, untuk suatu bilangan bulat positif m dan n, di mana m > n atau m > n > 0 dan m,n\in\mathbb{R, terdapat suatu segitiga dengan panjang sisi a = m^2 - n^2, b = 2mn, dan c = m^2 + n^2.

Sebagai contoh, kita pilih n=7 dan m=10, panjang sisi dari segitiganya adalah.

a = m^2 - n^2 = 10^2 - 7^2 = 100-49 = 51
b = 2mn = 2(10)(7) = 140
c = m^2 + n^2 = 10^2 + 7^2 = 100+49 = 149

Mari periksa menggunakan rumus Pythagoras, hasilnya.

a^2 + b^2 = c^2
51^2 + 140^2 = 149^2
22201 = 22201

Perhatikan bahwa, kita bisa pilih sembarang m dan n, asalkan mematuhi aturannya, lebih besar dari nol dan m lebih besar dari n. Misal kita pilih m=9 dan n=5 (perhatikan 9 > 5), maka pasangan tripel Pythagoras tersebut.

a = m^2 - n^2 = 9^2 - 5^2 = 81-25 = 56
b = 2mn = 2(9)(5) = 90
c = m^2 + n^2 = 9^2 + 5^2 = 81+25 = 106

Sekarang coba kalian periksa dengan kalkulator, apakah terpenuhi atau tidak kondisi tripel Pythagoras ini.

Label

Komentar

Search icon