Teorema Pythagoras - Pembuktian, Aplikasi, Rumus Euclid

Diperbarui: March 9th, 2021

Materi teorema Pythagoras — Relasi antar sisi pada suatu segitiga siku-siku.

Pernah gak, mengukur panjang sisi suatu bangun menggunakan informasi panjang sisi lainnya?

Jadi, kali ini kita bakal mengukur panjang salah satu sisi segitiga berdasarkan informasi dua sisi lainnya. Hal tersebut mampu dilakukan menggunakan teorema Pythagoras.

Daftar Isi

Teorema Pythagoras
- Pembuktian Teorema Pythagoras
Penerapan
- Menghitung Panjang atau Jarak
Menentukan Macam-Macam Segitiga
Tripel Pythagoras
- Rumus Euclid

Teorema Pythagoras

Apabila sedang berbicara tentang teorema, artinya kita lagi membicarakan sesuatu yang dapat dibuktikan. Apa yang dibuktikan?

Yaitu suatu pernyataan matematika, salah satu pernyataan matematika yang paling dikenal yaitu:

$a^2 + b^2 = c^2$

Di mana c merupakan panjang diagonal segitiga siku-siku, lalu a serta b adalah panjang sisi lainnya.

Dalam matematika, suatu pernyataan bisa berupa suatu ekspresi matematis. Seperti halnya tadi, dalam hal ini bentuknya merupakan sebuah persamaan.

Tentu berbeda dengan pernyataan-pernyataan yang sering kita ucapkan sehari-hari.

Seperti "Saya adalah anaknya Pak Tyo", "Saya tinggal dekat pasar induk", dan lainnya.

Pembuktian Teorema Pythagoras

Pernyataan tersebut merupakan wujud dari teorema Pythagoras, dan sekarang, kita bakal coba membuktikan kebenarannya.

Misalnya terdapat sebuah persegi dengan panjang sisi l. Selain itu di dalamnya terdapat suatu persegi dengan ukuran lebih kecil, mempunyai panjang sisinya sebesar c.

Kemudian, kita susun kedua persegi tersebut sedemikian rupa, sehingga sisi dari persegi yang besar dapat dibagi menjadi dua bagian.

Sebagian sisinya memiliki panjang a dan yang satu lagi panjangnya b.

Panjang a dan b tersebut tidak harus sama, contohnya seperti berikut:

Pembuktian teorema Pythagoras menggunakan dua persegi berbeda ukuran

Sekarang coba amati luas bangunan tersebut, persegi yang besar mempunyai luas sebesar l · l = l², setuju ya?

Kemudian, untuk persegi yang kecil luas bangunnya sebesar c · c = c², benar kan?

Nah sekarang lihat, ternyata persegi paling besar merupakan susunan dari beberapa bangun lainnya, yaitu empat segitiga siku-siku dan satu persegi.

Keempat segitiga tersebut saling identik, maksudnya panjang sisinya sama semua, sehingga luasannya pun sama.

Dengan demikian, luas bangun dari persegi terbesar setara dengan gabungan dengan empat segitiga dan satu persegi tersebut.

Sebelum terjun ke dalam bentuk matematisnya, ada satu hal lagi yang perlu diketahui, yaitu a + b = l.

Sehingga, luasan persegi terbesar bisa dituliskan sebagai $(a+b)^2$ .

Berdasarkan ide-ide tersebut, sekarang kita bisa terjun ke ekspresi matematikanya.

$\begin{align*}l^2&=c^2+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab\\ (a+b)^2&=c^2+\frac{1}{2}(ab+ab+ab+ab)\end{align*}$

Lalu ekspansikan bentuk kuadrat pada ruas kiri, lalu sederhanakan bentuk di ruas kanan dengan menggabungkan variabel-variabel serupa.

$\begin{align*}(a+b)(a+b)&=c^2+\frac{1}{2}(4ab)\\a^2+ab+ab+b^2&=c^2+\frac{1}{2}(4ab)\\a^2+2ab+b^2&=c^2+2ab\end{align*}$

$\boxed{a^2+b^2=c^2}$

Dan terbukti sudah, mirip kan dengan persamaan pertama?

Penerapan

Bayangin aja, ratusan tahun sebelum masehi aja teorema ini udah ada. Kalian bisa tahu sendiri, pasti udah banyak banget penerapannya di dunia ini.

Mulai dari bidang robotika, teknik tenaga listrik, teknik sipil, dan masih banyak lagi.

Dari sekian banyaknya penerapan itu, ada satu hal yang membuat teorema ini begitu penting dan bermanfaat.

Menghitung Panjang atau Jarak

Salah satu aplikasi pentingnya adalah digunakan untuk perhitungan panjang atau jarak.

Seperti contoh, asumsikan ada suatu titik, sebut saja A. Letaknya berada di bidang kartesius yang berlokasi di (2, 5).

Di sini, ingin diketahui jaraknya terhadap titik asal O. Permasalahan tersebut bisa dimodelkan menjadi sebuah segitiga siku-siku.

Mencari jarak suatu titik terhadap titik asal dengan teorema Pythagoras

Jadi, tinggi segitiga siku-siku dimaksud memiliki tinggi 5 satuan, alias posisi titik A terhadap sumbu-y.

Serta mempunyai panjang alas sebesar 2 satuan, yaitu posisi titik A terhadap sumbu-x.

Apabila panjang atau jarak yang dimaksud adalah d, maka nilainya:

$\begin{align*}d^2&=x^2+y^2\\d^2&=2^2+5^2\end{align*}$

Akarkan keduan ruas, demikian hasilnya adalah:

$d = \sqrt{29}\,\text{SP}$

Ingat bahwa SP adalah satuan panjang. Karena kita gak menentukan penggunaan satuannya, bisa itu meter, atau bisa juga centimeter, sehingga digunakan SP.

Dengan hadirnya konsep ini, keuntungannya adalah bisa menyatakan jarak cukup menggunakan satu angka saja.

Tidak perlu repot-repot menyebutnya, "Titik A berada 2 satuan panjang pada arah horisontal, dan 5 satuan panjang pada arah vertikal", ribet bukan peneybutannya?

Menentukan Macam-Macam Segitiga

Tanpa perlu mengetahui gambar/ilustrasi suatu segitiga, berdasarkan teorema Pythagoras dapat diketahui kategori suatu segitiga.

Pada pembahasan mengenai segiempat dan segitiga, telah dijelaskan kalau ada beberapa macam segitiga berdasarkan sudut dan kesamaan sisinya.

Namun secara garis besar, bisa dibilang hanya ada tiga jenis segitiga.

Segitiga tersebut merupakan segitiga lancip dengan sudut kurang dari 90^°.
Segitiga siku-siku yang salah satu sudutnya membentuk 90^°.
Dan segitiga tumpul yang salah satu sudutnya lebih besar dari 90^°.

Pada segitiga lancip, persamaan pada teorema Pythagoras tidak terpenuhi.

Sebab ekspresinya berubah menjadi sebuah pertidaksamaan, yaitu berupa a² + b² > c².

Artinya jumlah kuadrat dari dua sisi yang membentuk sudut lancip tersebut, lebih besar dari kuadrat panjang sisi lainnya (yaitu c).

Hal serupa tapi berbeda tanda berlaku pada segitiga tumpul. Jumlah kuadrat dari dua sisi yang membentuk sudut tumpul kurang dari kuadrat panjang sisi lainnya, yaitu i>a² + b² < c².

Dan tanda kesamaan akan berlaku ketika segitiganya merupakan segitiga siku-siku.

Dari itu semua, bisa diringkas kondisi-kondisinya menjadi seperti berikut:

a² + b² = c², segitiga siku-siku, sudutnya 90^°.
a² + b² > c², segitiga tumpul, sudutnya > 90^°.
a² + b² < c², segitiga lancip, sudutnya < 90^°.

Menentukan jenis segitiga dengan teorema Pythagoras

Tripel Pythagoras

Tripel Pythagoras merupakan suatu kondisi khusus pada teorema ini, karena ada hal menarik di sini.

Yaitu ketika panjang dua sisi yang membentuk sudut siku-siku adalah bilangan bulat, maka panjang diagonalnya merupakan bilangan bulat juga.

Contohnya pasangan sisi 3, 4, dan 5, coba periksa:

$\begin{align*}c&=\sqrt{a^2+b^2}\\c&=\sqrt{3^2+4^2}\\c&=\sqrt{9+16}\\c&=\sqrt{25}\\c&=5\end{align*}$

Tidak semua pasangan bilangan bulat berlaku kondisi ini, contoh sederhananya ketika panjang sisinya 4 dan 5. Di mana panjang diagonalnya adalah √41.

Contoh lain dari kondisi khusus ini adalah 8 dan 6. Panjang diagonal dari segitiga siku-siku dengan panjang sisi tersebut adalah 10, coba periksa:

$\begin{align*}c&=\sqrt{8^2+6^2}\\c&=\sqrt{64+36}\\c&=\sqrt{100}\\c&=10\end{align*}$

Rumus Euclid

Secara umum, kalian dapat mengetahui pasangan-pasangan yang memenuhi kondisi tersebut dengan memanfaatkan rumus Euclid.

Yaitu, untuk suatu bilangan bulat positif m dan n, di mana m > n atau m > n > 0, dan $m,n\in\mathbb{R$ , terdapat suatu segitiga dengan panjang sisi a = m² - n², b = 2mn, dan c = m² + n².

Sebagai contoh, kita pilih n = 7 dan m = 10, panjang sisi dari segitiganya adalah:

$\begin{align*}a&=m^2-n^2=10^2-7^2=100-49=51\\b&=2mn=2(10)(7)=140\\c&=m^2+n^2=10^2+7^2=100+49=149\end{align*}$

Mari periksa menggunakan rumus Pythagoras, hasilnya:

$\begin{align*}a^2+b^2&=c^2\\51^2+140^2&=149^2\\22201&=22201\end{align*}$

Perhatikan bahwa, kita bisa pilih sembarang m dan n, asalkan mematuhi aturannya. Yakni lebih besar dari nol dan m lebih besar dari n.

Misal kita pilih m = 9 dan n = 5 (perhatikan 9 > 5), demikian pasangan tripel Pythagoras tersebut ialah:

$\begin{align*}a&=m^2-n^2=9^2-5^2=81-25=56\\b&=2mn=2(9)(5)=90\\c&=m^2+n^2=9^2+5^2=81+25=106\end{align*}$

Sekarang coba kalian periksa dengan kalkulator, apakah terpenuhi atau tidak kondisi tripel Pythagoras ini.