Bilangan Bulat dan Pecahan - Operasi, KPK, FPB

Konsep bilangan bulat dan pecahan
Konsep bilangan bulat dan pecahan

Semua hal yang kompleks yang ada di dunia ini tak lepas dari konsep sederhana mengenai bilangan.

Baik itu fenomena alam, sebuah kondisi, suatu objek, dan masih banyak lagi yang bisa dinyatakan menggunakan bilangan. Seakan-akan ini adalah materi wajib yang harus dipelajari.

Daftar Isi

Bilangan Bulat

Sejak kecil kita semua sudah terbiasa untuk berhitung, mulai dari 0, 1, 2, 3, dan seterusnya. Di dalam subjek matematika, ada penamaan khusus pada objek tersebut yaitu bilangan cacah.

Bilangan Cacah

Bilangan cacah kerap sekali digunakan untuk merepresentasikan suatu "jumlah" maupun "urutan". Dengan angka 0 mengartikan kosong, tidak memiliki, atau tidak ada.

Bilangan-bilangan yang digunakan untuk menunjukkan jumlah/besar suatu benda disebut bilangan kardinal.

Contoh penggunaan bilangan kardinal:

  • Ibnu mempunyai 1 (satu) buah sepeda motor.
  • Dia membeli bensin sebanyak 2 (dua) liter.
  • Warung makan ISENG mampu menjual 100 (seratus) porsi makanan setiap harinya.
Bilangan kardinal tidak meliputi angka nol, sebab angka ini tidak menyatakan jumlah.

Jika bilangannya menandakan urutan/posisi maka dinamakan bilangan ordinal. Contoh penggunaan bilangan ordinal:

  • Asep juara ke-1 (pertama/kesatu) pada perlombaan catur antar kelas.
  • Dia datang ke sekolah pada urutan ke-3 (ketiga).
  • Bambang adalah pembeli ke-5 (kelima) hari ini.

Bilangan ini dapat dilambangkan oleh satu angka saja. Wah maksudnya apa ya? Jangan khawatir nanti kalian akan tahu maksudnya.

Bilangan Negatif

Di dalam dunia nyata, bilangan seperti 0, 1, 2, 3, dan seterusnya tidaklah cukup untuk merepresentasikan kondisi-kondisi di alam.

Sebagai contoh, apabila saya mempunyai dua pulpen, dan kemudian saya pinjamkan dua pulpen tersebut. Dari sudut pandang orang yang meminjam, jumlah puplen yang dimiliki orang tersebut bukanlah berjumlah 1.

Sebab dari sisi kepemilikan benda tersebut, pulpen yang dia pakai bukanlah milik dia seutuhnya.

Ada suatu kelompok angka yang dapat merepresentasikan kasus tersebut, yang disebut sebagai bilangan negatif.

Bilangan ini pada dasarnya dapat merepresentasikan adanya kekurangan yang perlu dibayar oleh seseorang. Simbol matematisnya dilambangkan oleh tanda "-" misal -1, -2, -3, dan seterusnya.

Pengertian bilangan bulat

Operasi Matematika

Ada kata "operasi" dalam bahasan kali ini, artinya terdapat "aksi" yang dilakukan.

Aksi tersebut ditujukkan pada komponen matematika yaitu bilangan. Kita semua setuju, kalau ada aksi umumnya diikuti dengan adanya perubahan atau hasil dari aksi tersebut.

Dalam matematika, operasi pada sebuah bilangan itu pada dasarnya hanya terdapat dua, yaitu pertambahan dan perkalian.

Mungkin di antara teman-teman sekalian akan menanyakan kehadiran pengurangan dan pembagian. Sebaiknya pertanyaan itu disimpan dulu ya.

Operasi Pertambahan

Pertambahan, dari katanya saja sudah sangat identik dengan kenaikan jumlah suatu kuantitas.

Contohnya seperti teman-teman sedang makan di warung makan, eh tiba-tiba teman-teman pengen "nambah" makannya.

Di sini artinya ada kenaikan jumlah makanan yang teman-teman makan. Dalam matematika aksi ini (selanjutnya akan disebut operasi) di beri simbol "+".

Seperti contoh, 1 + 1 = 2, 2 + 9 + 1 = 12, dan masih banyak lagi, mungkin kalian bisa menemukan contoh lainnya.

Secara bahasa, contoh yang pertama dapat dikatakan kenaikan satu nilai dimulai dari angka 1, hasil dari operasi ("aksi") tersebut adalah angka 2, bisakah teman-teman mengartikan yang kedua?

Maksud yang kedua, dimulai dari angka 2, lalu mengalami kenaikan 9 nilai, dilanjut kenaikan 1 nilai.

Operasi Perkalian

Perkalian itu bisa diartikan sebagai kelipatan suatu angka. Maksudnya, jika kita mengatakan satu dikalikan lima, maka maknanya terdapat ada lima buah angka satunya atau 1 + 1 + 1 + 1 + 1.

Operasi ini dilambangkan dengan \times, pada contoh sebelumnya, bentuknya dapat ditulis menjadi:

1\times5=1+1+1+1+1=5

Operasi Pengurangan

Lantas, bagaimana dengan pengurangan dan pembagian? Untuk pembagian akan lebih tepat jika dibahas nanti.

Untuk pengurangan sendiri sejatinya merupakan operasi pertambahan, kok bisa?

Contoh yang telah diberikan sebelumnya merupakan pertambahan antara dua bilangan bulat positif.

Apabila kita operasikan dua bilangan dan salah satu bilangan itu merupakan bilangan negatif, seperti 2 + (-1) = 1, secara bahasa dapat diartikan sebagai berikut.

Bila kita memiliki DUA buah mangga kemudian memberikan SATU buah kepada teman, sehingga total buah yang kita miliki berjumlah SATU.

Dalam matematika operasi ini disimbolkan dengan tanda "-".

Cara melakukan operasi bilangan

Bilangan Pecahan

Di antara kita sudah terbiasa mendengar kata setengah, seperempat, dan sebaginya. Angka-angka tersebut tidak dapat disimbolkan oleh satu bilangan bulat.

Sebagai jawaban atas pertanyaan yang pertama, jadi ada representasi bilangan yang tidak dapat disusun oleh satu angka saja.

Bilangan tersebut dinamakan bilangan pecahan. Wah apanya yang pecah nih? Apakah nanti, misal angka 1 pada lambangnya dicoret-coret sehingga berantakan alias pecah, seperti di bawah ini?

\cancel{1}

Jelas bukan seperti itu ya teman-teman maknanya. Yang dipecah itu adalah nilai yang terkandung pada suatu angka.

Seperti ini, misal angka 6, angka tersebut dapat direpresentasikan sebagai 6 = 2 + 2 + 2 atau 6 = 3 + 3.

Coba teman-teman perhatikan, ada angka-angka lain yang lebih kecil yang menyusun bilangan tersebut. Mungkin contoh di atas dapat membantu memahami mengapa ada istilah pecahan.

Contoh lainnya, pada kasus bilangannya adalah angka 1, maka dapat direpresentasikan sebagai 1 = 0.5 + 0.5. Perhatikan banyaknya angka yang menyusun angka 1 tersebut, terdapat DUA bilangan 0.5.

Dengan demikian, sebagai gantinya representasi bilangan 0.5, dalam bentuk pecahan dapat ditulis sebagai \frac{1}{2}.

Di mana angka 1 di atas merupakan angka yang ingin disusun, sedangkan angka 2 di bawah merepresentasikan jumlah angka penyusunnya yaitu DUA

Bilangan yang terdapat di atas disebut pembilang atau dalam bahasa Inggrisnya numerator. Sedangkan yang di bawah disebut penyebut atau denominator.

Saya rasa, ini momen yang tepat buat membahas operasi pembagian.

Serupa dengan pengurangan, pada pembagian sejatinya merupakan suatu perkalian hanya saja salah satu angkanya merupakan suatu pecahan.

Sebagai contoh, 2\times\frac{1}{4}, maka bentuknya dapat disederhanakan kedalam bentuk \frac{2}{4}=0.5.

Operasi ini disimbolkan dengan tanda \div, sebagai contoh, 4\div2=\frac{4}{2}=2.

Faktor Persekutuan Terbesar dan Kelipatan Persekutuan Terkecil

Untuk memahami Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK), setidaknya kita perlu tahu terlebih dahulu apa itu bilangan prima.

Bilangan Prima

Bilangan prima merupakan bilangan yang hanya bisa dibagi oleh dirinya sendiri dan angka 1.

Sebagai contoh angka 2, 3, 5, dan seterunya. Maksudnya gimana nih?

Secara rinci, bilangan prima ialah bilangan yang apabila dibagi selain bilangan itu sendiri atau angka 1 maka hasilnya merupakan pecahan.

Cara Mencari KPK

Oke, kita bahas KPK dulu pertama-tama. Setiap bilangan bulat sejatinya dapat ditulis dalam bentuk perkalian bilangan prima.

Sebagai contoh, angka 9, 9 = 3\times3, kemudian angka 24, 24=2\times2\times2\times3, dan ini berlaku untuk semua bilangan bulat.

Misal kita ingin mencari KPK dari 18 dan 24. Cara paling sederhananya adalah kita lakukan perkalian pada setiap bilangan prima yang memiliki jumlah paling banyak.

Perhatikan berikut ini:

18=2\times3\times3
24=2\times2\times2\times3

Angka 18 memiliki jumlah angka 3 lebih banyak, maka kita simpan jumlahnya yaitu 3\times3=9.

Sedangkan 24 memiliki angka 2 paling banyak yaitu ada tiga, maka kita hitung 2\times2\times2=8.

Maka KPKnya adalah perkalian antara masing-masing perwakilan bilangan prima terbanyak tadi, yaitu:

(3\times3)\times(2\times2\times2)=9\times8=72

Cara Mencari FPB

Untuk menyelesaikan FPB konsepnya sama, kita perlu membuat suatu angka tersusun atas bilangan prima. Saya ambil contoh yang sama yaitu pada angka 18 dan 24.

Perhatikan kembali kombinasi perkalian bilangan primanya:

18=2\times3\times3
24=2\times2\times2\times3

Baik angka 18 dan 24, memiliki angka 2 dan 3.

Kita cari angka prima dengan jumlah paling kecil, angka 18 memiliki jumlah angka 2 sebanyak satu sedangkan 24 terdapat tiga.

Oke kita simpan yang paling sedikit yaitu 2 bukan yang berjumlah tiga buah 2\times2\times2.

Kemudian angka 24 memiliki jumlah angka 3 paling sedikit sedangkan 18 terdapat dua buah.

Demikian, kita simpan yang paling sedikit yaitu 3 bukan 3\times3.

Dengan demikian FPB dari 18 dan 24 adalah (2)\times(3)=6.

Cara mencari KPK dan FPB

Membandingkan Bilangan

Teman-teman tentunya sudah tidak asing lagi mengatakan "Lihat tinggi anak tersebut MELEBIHI kita".

Sesuatu yang lebih tinggi, besar dan sebaginya, ada simbolnya dalam matematika. Hal itu dilambangkan dengan tanda < yang artinya kurang dari dan > lebih dari.

Sebagai contoh, 2 > 1 dibaca dua lebih besar dari satu, kemudia 3 < 9 dibaca tiga lebih kecil dari sembilan.

Hal ini akan menjadi "seru", ketika kita ingin membandingkan suatu bilangan pecahan.

Karena bilangan yang besar pada pembilang, bukan berarti nilainya besar, ada pengaruh dari bilangan di penyebutnya.

Kalau teman-teman tertarik, kalian bisa baca-baca materi tentang perbandingan.

Operasi Bilangan Pecahan

Kali ini kita akan bahas bagaimana suatu bilangan pecahan itu dioperasikan.

Perkalian Pada Pecahan

Akan dimulai dengan membahas perkalian, karena operasi ini sangat mudah. Apabila kita memiliki dua bilangan pecahan katakanlah, \frac{1}{3} dan \frac{7}{5}.

Maka proses perkaliannya adalah dengan mengalikan masing-masing angka pada pembilang dan penyebut seperti berikut:

\frac{1\times7}{3\times5}=\frac{7}{15}
Operasi perkalian pada pecahan dilakukan dengan mengalikan angka pada posisi yang sama.

Pertambahan Pada Pecahan

Untuk melakukan pertambahan, prinsipnya mirip seperti perkalian. Namun yang membedakan yaitu operasi dilakukan pada pembilangnya saja. Sedangkan penyebutnya tetap sama.

Namun perlu diketahui juga, hal tersebut tidak berlaku ketika penyebut kedua angka tersebut tidak sama.

Sebagai contoh menggunakan angka yang sama \frac{1}{3} dan \frac{7}{5}. Mungkin di antara teman-teman sempat terpikir untuk menyamakan penyebutnya terlebih dahulu.

Prinsip menyamakan penyebut tersebut merupakanlah solusinya!

Cara paling sederhana untuk menyamakan penyebut adalah mengalikan pembilang dan penyebut pada angka sebelah kiri dengan angka pada penyebut sebelah kanan dan sebaliknya. Melanjutkan contoh sebelumnya, maka:

\frac{1}{3} + \frac{7}{5}=\frac{1\times5}{3\times5} + \frac{7\times3}{5\times3}=\frac{5}{15} + \frac{21}{15}=\frac{26}{15}
Cara menghitung operasi bilangan pecahan
Label

Komentar

Search icon