Bilangan Bulat dan Pecahan

Konsep bilangan bulat dan pecahan
Konsep bilangan bulat dan pecahan

Bilangan Bulat

Sejak kecil kita semua sudah terbiasa untuk berhitung, mulai dari 0,1,2,3, dan seterusnya. Di dalam subjek Matematika ada penamaan khusus pada objek tersebut yaitu bilangan cacah.

Bilangan cacah kerap sekali digunakan untuk merepresentasikan suatu “jumlah”, “urutan”, dan masih banyak lagi, dengan angka 0 mengartikan kosong, tidak memiliki, atau tidak ada.

Bilangan ini dapat dilambangkan oleh satu angka saja. Wah maksudnya apa ya? Jangan khawatir nanti akan terjawab pertanyaannya.

Di dalam dunia nyata, bilangan seperti 0,1,2,3, dan seterusnya tidaklah cukup untuk merepresentasikan kondisi-kondisi di alam.

Sebagai contoh, apabila saya mempunyai dua pulpen, dan kemudian saya pinjamkan dua pulpen tersebut. Dari sudut pandang orang yang meminjam, jumlah puplen yang dimiliki orang tersebut bukanlah berjumlah 1, sebab dari sisi kepemilikan benda tersebut, pulpen yang dia pakai bukanlah milik dia seutuhnya.

Ada suatu kelompok angka yang dapat merepresentasikan kasus tersebut, yang disebut sebagai bilangan negatif. Bilangan ini pada dasarnya dapat merepresentasikan adanya kekurangan yang perlu dibayar oleh seseorang. Simbol Matematika-nya dilambangkan oleh tanda "-" misal -1,-2,-3, dan seterusnya.

Operasi Matematika

Ada kata "operasi" dalam bahasan kali ini, artinya terdapat "aksi" yang dilakukan. Aksi tersebut ditujukkan pada komponen Matematika yaitu bilangan. Kita semua setuju, kalau ada aksi umumnya diikuti dengan adanya perubahan atau hasil dari aksi tersebut.

Dalam Matematika operasi itu pada dasarnya hanya terdapat dua, yaitu pertambahan dan perkalian.

Mungkin di antara teman-teman sekalian akan menanyakan kehadiran pengurangan dan pembagian, sebaiknya pertanyaan itu disimpan dulu ya.

Per"tambah"an, dari katanya saja sudah sangat identik dengan kenaikan jumlah suatu kuantitas.

Contohnya seperti teman-teman sedang makan di warung makan, eh, tiba-tiba teman-teman pengen "nambah" makannya. Di sini artinya ada kenaikan jumlah makanan yang teman-teman makan. Dalam Matematika aksi ini (selanjutnya akan disebut operasi) di beri simbol "+".

Seperti contoh, 1+1=2, 2+9=11, dan masih banyak lagi. Secara bahasa, contoh yang pertama dapat dikatakan kenaikan satu nilai dimulai dari angka 1, hasil dari operasi ("aksi") tersebut adalah angka 2, bisakah teman-teman mengartikan yang kedua?

Per"kali"an itu bisa diartikan sebagai kelipatan suatu angka. Maksudnya jika kita mengatakan satu dikalikan lima, maka maknanya terdapat ada lima buah angka satunya atau 1+1+1+1+1.

Operasi ini dilambangkan dengan \times, pada contoh sebelumnya, bentuknya menjadi 1\times5=1+1+1+1+1=5.

Lantas, bagaimana dengan pengurangan dan pembagian? Untuk pembagian akan lebih tepat jika dibahas nanti.

Untuk pengurangan sendiri sejatinya merupakan operasi pertambahan, kok bisa?.

Contoh yang telah diberikan sebelumnya merupakan pertambahan antara dua bilangan bulat positif.

Apabila kita operasikan dua bilangan dan salah satu bilangan itu merupakan bilangan negatif, seperti 2+(-1)=1, secara bahasa dapat diartikan, sebagai contoh, apabila kita memiliki DUA buah mangga kemudian memberikan SATU buah kepada teman, sehingga total buah yang kita miliki berjumlah SATU.

Dalam Matematika operasi ini disimbolkan dengan tanda "-"

Bilangan Pecahan

Di antara kita sudah terbiasa mendengar kata setengah, seperempat, dan sebaginya. Angka-angka tersebut tidak dapat disimbolkan oleh satu bilangan bulat.

Sebagai jawaban atas pertanyaan sebelumnya, jadi ada representasi bilangan yang tidak dapat disusun oleh satu angka saja.

Bilangan tersebut dinamakan bilangan pecahan. Wah apanya yang pecah nih? Apakah sebagai contoh angka 1-nya pada lambangnya dicoret-coret sehingga berantakan alias pecah?.

Jelas bukan seperti itu ya teman-teman maknanya. Yang dipecah itu adalah nilai yang terkandung pada suatu angka.

Seperti ini, misal angka 6, angka tersebut dapat direpresentasikan sebagai 6 = 2 + 2 + 2 atau 6 = 3 + 3

Coba perhatikan teman-teman ada angka-angka lain yang lebih kecil yang menyusun bilangan tersebut, mungkin contoh di atas dapat membantu memahami mengapa ada istilah pecahan.

Contoh lainnya, pada kasus bilangannya adalah angka 1, maka dapat direpresentasikan sebagai 1 = 0.5 + 0.5. Perhatikan banyaknya angka yang menyusun angka 1 tersebut, terdapat DUA bilangan 0.5.

Dengan demikian, sebagai gantinya representasi bilangan 0.5, dalam bentuk pecahan dapat ditulis sebagai \frac{1}{2}.

Dimana angka 1 di atas merupakan angka yang ingin disusun, sedangkan angka 2 dibawah merepresentasikan jumlah angka penyusunnya yaitu DUA

Bilangan yang terdapat di atas disebut pembilang atau dalam bahasa Inggrisnya numerator sedangkan yang di bawah disebut penyebut atau denominator.

Saya rasa, ini momen yang tepat buat membahas operasi pembagian. Serupa dengan pengurangan,pada pembagian sejatinya merupakan suatu perkalian hanya saja salah satu angkanya merupakan suatu pecahan.

Sebagai contoh, 2\times\frac{1}{4}, maka bentuknya dapat disederhanakan kedalam bentuk \frac{2}{4}=0.5.

Operasi ini disimbolkan dengan tanda \div, sebagai contoh, 4\div2=\frac{4}{2}=2.

Faktor Persekutuan Terbesar dan Kelipatan Persekutuan Terkecil

Untuk memahami Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK), setidaknya kita perlu tahu terlebih dahulu apa itu bilangan prima.

Bilangan prima merupakan bilangan yang hanya bisa dibagi oleh dirinya sendiri dan angka 1.

Sebagai contoh angka 2, 3, 5, dan seterunya. Maksudnya gimana nih? Secara rinci, bilangan prima ialah bilangan yang apabila dibagi selain bilangan itu sendiri atau angka 1 maka hasilnya merupakan pecahan.

Oke, kita bahas KPK dulu pertama-tama. Setiap bilangan bulat sejatinya dapat ditulis dalam bentuk perkalian bilangan prima.

Sebagai contoh, angka 9 = 3\times3, kemudian angka 24=2\times2\times2\times3, dan ini berlaku untuk semua bilangan bulat.

Misal kita ingin mencari KPK dari 18 dan 24, cara paling sederhananya adalah kita lakukan perkalian pada setiap bilangan prima yang memiliki jumlah paling banyak, perhatikan 18=2\times3\times3 dan 24=2\times2\times2\times3.

Angka 18 memiliki jumlah angka 3 lebih banyak, maka kita simpan jumlahnya yaitu 3\times3=9.

Sedangkan 24 memiliki angka 2 paling banyak yaitu ada tiga, maka kita hitung 2\times2\times2=8.

Maka KPKnya adalah perkalian antara masing-masing perwakilan bilangan prima terbanyak tadi, yaitu

(3\times3)\times(2\times2\times2)=9\times8=72 .

Untuk menyelesaikan FPB konsepnya sama, kita perlu membuat suatu angka tersusun atas bilangan prima. Saya ambil contoh yang sama yaitu pada angka 18 dan 24.

Perhatikan 18=2\times3\times3 dan 24=2\times2\times2\times3, baik angka 18 dan 24, memiliki angka 2 dan 3.

Kita cari angka prima dengan jumlah paling kecil, angka 18 memiliki jumlah angka 2 sebanyak satu sedangkan 24 terdapat tiga, oke kita simpan yang paling sedikit yaitu 2 bukan 2\times2\times2.

Kemudian angka 24 memiliki jumlah angka 3 paling sedikit sedangkan 18 terdapat dua buah, oke kita simpan yang paling sedikit yaitu 3 bukan 3\times3.

Dengan demikian FPB dari 18 dan 24 adalah (2)\times(3)=6.

Membandingkan Bilangan

Teman-teman tentunya sudah tidak asing lagi mengatakan "Lihat tinggi anak tersebut me"lebih"i kita". Sesuatu yang lebih tinggi, besar dan sebaginya, ada simbolnya dalam Matematika yang dilambangkan dengan tanda < yang artinya kurang dari dan > lebih dari.

Sebagai contoh, 2>1 dibaca dua lebih besar dari satu dan 3 < 9 dibaca tiga lebih kecil dari sembilan.

Hal ini akan menjadi "seru", ketika kita ingin membandingkan suatu bilangan pecahan.

Operasi Bilangan Pecahan

Kali ini kita akan bahas bagaimana suatu bilangan pecahan itu dioperasikan.

Akan dimulai dengan membahas perkalian, karena operasi ini sangat mudah, apabila kita memiliki dua bilangan pecahan katakanlah, \frac{1}{3} dan \frac{7}{5}.

Maka proses perkaliannya adalah dengan mengalikan masing-masing angka pada pembilang dan penyebut seperti berikut \frac{1\times7}{3\times5}=\frac{7}{15}.

Untuk melakukan pertambahan prinsipnya sama seperti perkalian yaitu mengoperasikan pada masing-masing pembilang dan penyebut.

Namun hal tersebut tidak berlaku ketika penyebut kedua angka tersebut tidak sama.

Sebagai contoh menggunakan angka yang sama \frac{1}{3} dan \frac{7}{5}, mungkin diantara teman-teman sempat terpikir untuk menyamakan penyebutnya terlebih dahulu.

Prinsip menyamakan penyebut tersebut merupakanlah solusinya!.

Cara paling sederhana untuk menyamakan penyebut adalah mengalikan pembilang dan penyebut pada angka sebelah kiri dengan angka pada penyebut sebelah kanan dan sebaliknya, melanjutkan contoh sebelumnya, maka

\frac{1}{3} + \frac{7}{5}=\frac{1\times5}{3\times5} + \frac{7\times3}{5\times3}=\frac{5}{15} + \frac{21}{15}=\frac{26}{15} .
Label
< Materi SebelumnyaBilangan Berpangkat dan Bentuk Akar
Search icon