Persamaan Garis Lurus

Representasi garis lurus oleh persaamaan
Representasi garis lurus oleh persaamaan.

Persamaan Garis Lurus (PGL)

Konsep persamaan garis lurus sangat mirip atau bahkan dikatakan sama seperti konsep fungsi linear pada pembahasan sebelumnya, hanya saja kali ini kita tidak terlalu berfokus pada, bagaimana suatu nilai (x) menjadi nilai yang lain (y). Kali ini kita tertarik untuk mengetahui karakteristik dari persamaan itu sendiri.

Secara umum PGL diekspresikan oleh persamaan seperi berikut y = ax+b. Jika kita pertama kali melihat persamaan tersebut, memang tidak ada yang menarik dari ekspresinya, namun kalau kita kaji lagi, ada makna tersendiri pada koefisien dan konstantanya.

Mungkin kita bahas dulu dari konstantanya, yaitu b. Jika kita mempunyai tiga PGL berupa y_1 = 2x + 1, y_2 = 2x + 2, dan y_3 = 2x - 1, apa yang ada dibenak kalian? Mungkin mayoritas mengatakan bahwa, tiga persamaan tersebut sama, hanya berbeda konstantanya saja.

Jawaban tersebut benar, tapi bisakah tukang iseng mengartikannya? Oke, sekarang kita sebut ketiga konstanta tersebut secara berturut-turut, sebagai b_1 = 1, b_2 = 2, dan b_3 = -1. Nah, Konstanta tersebut akan menentukan pergeseran nilai kepada y, maksudnya gimana?

Jadi, sekarang kita uji dua (berhubung linear dua saja cukup) nilai x sembarang, kita coba pakai x = 1, dan x = 2. Sekarang coba kita substitusikan ke masing-masing persamaan.

x=1
\rightarrow y_1 = 2(1) + 1 = 3
\rightarrow y_2 = 2(1) + 2 = 4
\rightarrow y_3 = 2(1) - 1 = 1
x=2
\rightarrow y_1 = 2(2) + 1 = 5
\rightarrow y_2 = 2(2) + 2 = 6
\rightarrow y_3 = 2(2) - 1 = 3 .

Sekarang coba perhatikan untuk x=1 dan x=2 sekaligus, berapa pergeseran nilai yang dialami antara y_1 dan y_2, jelas jawabannya adalah 1, coba perhatikan lagi konstanta dari kedua persamaan tersebut yaitu b_1 dan b_2, berapa selisih nilai antara kedunya? Sangat jelas bahwa, b_2 - b_1 = 1. Silahkan diulangi cara yang sama untuk pasangan PGL lainnya!

Nah jadi, konstanta pada suatu PGL akan menentukan pergeseran pada suatu garis, dan pergeseran tersebut akan sangat mudah teramati ketika dibuatkan grafik dari ketiga persamaan tersebut, satu lagi yang perlu diketahui ketiganya tetap saling sejajar. Ini baru konstantanya, bagaimana dengan koefisien a?

Pergeseran persamaan garis linear disebabkan oleh konstantanya

Kemiringan

Kalau tadi kita menggunakan tiga persamaan dengan nilai a yang sama namun konstanta b yang berubah-ubah, sekarang kita coba sebaliknya nilai a yang berubah-ubah namun konstanta b yang tetap. Misal ketiga persamaan tersebut adalah y_1 = 2x + 1, y_2 = \frac{1}{2}x + 1, dan y = -x + 1.

Mungkin dengan pembahasan sebelumnya, kalian ke-trigger buat cari tahu juga apa pengaruh nilai koefisien a ini, mending kita bareng-bareng aja. Biar lebih nyaman, kita ganti nilai x sembarangnya menjadi x = 2 dan x = 4.

Buat kalian yang iseng pasti langsung coba gambar grafik dari tiga persamaant tersebut, dan mengatakan bahwa, ternyata koefisien a menentukan kemiringan dari suatu garis. Semakin besar besar koefisiennya, semakin besar pula kemiringan suatu garis tersebut.

Kemudian untuk tanda negatif tersebut, hanya menentukan arah kemiringannya saja, tapi curam atau landainya tetap dipengaruhi oleh besar koefisiennya (dengan mengabaikan tanda, perhatikan besarnya). Kalian benar, tapi ada satu lagi yang bisa kita kaji makna dari perbedaan koefisien ini.

Kemiringan persamaan garis linear disebabkan oleh koefisiennya

Sekarang coba substitusikan nilai x yang udah kita jadikan buat pengujian ini, untuk x = 2 dan x = 4.

x=2
\rightarrow y_1 = 2(2) + 1 = 5
\rightarrow y_2 = \frac{1}{2}(2) + 1 = 2
\rightarrow y_3 = -(2) + 1 = -1
x=4
\rightarrow y_1 = 2(4) + 1 = 9
\rightarrow y_2 = \frac{1}{2}(4) + 1 = 3
\rightarrow y_3 = -(4) + 1 = -3 .

Sekarang kita gak akan memperhatikan pebedaan nilai antara dua persamaan yang berbeda, namun kita tertarik buat lihat perubahan pada persamaan yang sama, ketika nilai x nya berubah-ubah. Pada persamaan y_1 = 2x+ 1, begitu nilai x naik dua langkah (dari 2 ke 4), ternyata nilai y-nya sebesar 4, alias dua kali lipat dari perubahan x-nya.

Lanjut, kita uji persamaan yang kedua yaitu y_2 = \frac{1}{2}x + 1. Dengan perubahan x sebesar dua langkah, ternyata nilai y-nya hanya mengalami perubahan sebesar 1 saja (yang berasal dari 3-2), alias hanya setengah dari perubahan nilai x.

Begitu juga untuk persamaan yang ketiga, pada persamaan perubahan 2 nilai x diikuti juga dengan perubahan yang sama pada nilai y, yaitu sebesar 2 juga. Jadi, makna dari koefisien ini selain menentukan kemiringan, juga menentukan pesat perubahan, yang dialami oleh y. Sebagai info aja, selain disebut kemiringan, koefisien ini juga biasa disebut sebagai gradien.

Titik Potong Garis

Pada pembahasan tentang bidang kartesius kita telah mengetahui bahwa suatu garis dapat memiliki posisi yang unik pada sistem koordinat tersebut. Ada yang memotong sumbu-x saja, sumbu-y saja, dan ada juga yang memotong keduanya.

Pertanyaanya, pada titik mana garis-garis tersebut memotong satu atau dua sumbu sekaligus? Untuk mengetahuinya cukup sederhana, pertama, kita harus tahu pada nilai x atau y berapa suatu garis bertemu pada sumbu yang dimaksud.

Garis memotong sumbuy-x dan sumbu-y

Kalau kita anggap sumbu-y adalah sebuah garis, bisa gak kalian tentukan posisi garis tersebut pada sumbu-x, tentu garis tersebut berada di x = 0, dan sebaliknya, kalau sumbu-x kita anggap sebuah garis, di mana posisi garis tersebut pada sumbu-y, tentu ada di y = 0.

Dari ide tersebut, maka kita dapat mengetahui di mana suatu garis memotong sumbu-y dan/atau sumbu-x, yakni suatu garis dapat diketahui posisinya ketika memotong sumbu-y dengan menguji persamaannya untuk x=0, dan sebaliknya, untuk mengetahui perpotongannya dengan sumbu-x kita uji persamaannya untuk y=0.

Misal kita punya persamaan y = 2x + 2, untuk mengetahui titik potongnya pada sumbu-y maka

x = 0
\rightarrow y = 2(0) + 2 = 2

, artinya persamaan tersebut memotong sumbu-y pada titik (0,2), kemudian untuk perpotongan dengan sumbu-x maka

\rightarrow 0 = 2x + 2
\rightarrow 2x + 2 = 0
\rightarrow 2x = -2
\rightarrow x = -1

, dengan demikian persamaan tersebut memotong sumbu-x pada titik (-1,0).

Kedudukan Dua Garis

Ingat lagi, kata-kata pada pembahasan yang pertama mengenai konstanta yang berbeda-beda, namun kemiringannya sama. Ada yang menarik di sini, yaitu, untuk garis yang sejajar atau paralel maka gradien dari kedua persamaannya garis tersebut bernilai sama.

Jika gradien dari persamaan pertama adalah m_1 dan gradien untuk persamaan kedua adalah m_2, maka hubungan keduanya adalah
m_1 = m_2 .

Dua garis saling sejajar

Pada pembahasan tentang garis dan sudut, kita lihat bahwa dua buah garis dapat saling berpotongan secara tegak lurus, seperti halnya garis yang saling sejajar, ada hubungan khusus antara kedua gradiennya. Hubungan tersebut diekspresikan melalui persamaan
m_1\cdot m_2 = -1 .

Dua Garis saling tegak lurus
Label
< Materi SebelumnyaPersamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
Search icon