Persamaan Garis Lurus - Kemiringan, Titik Temu, Kedudukan

Diperbarui: February 1st, 2021

Rincian persamaan garis lurus — Representasi garis lurus oleh persaamaan.

Agar dapat gambaran sebelum belajar materinya, intinya kalian bakal belajar komponen apa saja yang mempengaruhi persamaan garis lurus (PGL).

Serta sifatnya terhadap sumbu koordinat ataupun dengan garis lainnya.

Daftar Isi

Persamaan Garis Lurus (PGL)
- Peran Konstanta
Kemiringan (Gradien)
- Peran Koefisien
- Maksud Dari Gradien
Titik Potong Garis
- Titik Temu Dengan Sumbu
- Contoh Soal
Kedudukan Dua Garis
- Saling Sejajar
- Saling Tegak Lurus

Persamaan Garis Lurus (PGL)

Konsep persamaan garis lurus sangat mirip atau bahkan dikatakan sama seperti konsep fungsi linear.

Hanya saja kali ini kita tidak terlalu berfokus pada, bagaimana suatu nilai (x) menjadi nilai yang lain (y). Kali ini kita tertarik untuk mengetahui karakteristik dari persamaan itu sendiri.

Secara umum PGL diekspresikan oleh persamaan seperi berikut y = ax + b. Jika kita pertama kali melihat persamaan tersebut, memang tidak ada hal menarik dari ekspresinya.

Namun kalau dikaji kembali, ada makna tersendiri pada koefisien dan konstantanya. Keduanya menentukan karakteristik dari persamaan itu.

Peran Konstanta

Mungkin kita bahas dulu dari konstantanya, yaitu b. Jika kita mempunyai tiga PGL berupa:

$\begin{align*}y_1 &= 2x + 1\\y_2 &= 2x + 2\\y_3 &= 2x - 1\end{align*}$

Apa yang akan muncul ada dibenak kalian?

Mungkin mayoritas mengatakan bahwa, tiga persamaan tersebut sama, hanya berbeda konstantanya saja.

Jawaban tersebut benar, tapi bisakah tukang iseng mengartikannya?

Oke, sekarang kita sebut ketiga konstanta tersebut secara berturut-turut, sebagai b₁ = 1, b₂ = 2, dan b₃ = -1.

Nah, konstanta tersebut akan menentukan pergeseran nilai kepada y, maksudnya gimana?

Jadi, sekarang kita uji dua nilai x sembarang (berhubung linear dua saja cukup), biar gak terlalu sulit saya pilih x = 1, dan x = 2.

Sekarang coba kita substitusikan ke masing-masing persamaan.

$x=1$

$\begin{align*}\rightarrow y_1 &= 2(1) + 1 = 3\\y_2 &= 2(1) + 2 = 4\\y_3 &= 2(1) - 1 = 1\end{align*}$

$x=2$

$\begin{align*}\rightarrow y_1 &= 2(2) + 1 = 5\\y_2 &= 2(2) + 2 = 6\\y_3 &= 2(2) - 1 = 3\end{align*}$

Sekarang coba amati untuk x = 1 dan x = 2 sekaligus. Berapa pergeseran nilai yang dialami antara y₁ dan y₂? Jelas jawabannya adalah 1.

Coba perhatikan lagi konstanta dari kedua persamaan tersebut yaitu b₁ dan b₂.

Berapa selisih nilai antara kedunya? Sangat jelas bahwa, b₂ - b₁ = 1. Silahkan diulangi cara yang sama untuk pasangan PGL lainnya!

Nah jadi, konstanta pada suatu PGL akan menentukan pergeseran secara vertikal pada suatu garis.

Dan pergeseran tersebut akan sangat mudah teramati ketika dibuatkan grafik dari ketiga persamaan tersebut.

Satu lagi yang perlu diketahui ketiganya tetap saling sejajar. Nah ini baru konstantanya, bagaimana dengan koefisien a?

Pergeseran persamaan garis linear oleh konstantanya

Kemiringan (Gradien)

Barusan kita menggunakan tiga persamaan dengan nilai a yang sama namun konstanta b yang berubah-ubah.

Sekarang kita coba sebaliknya nilai a yang berubah-ubah namun konstanta b yang tetap.

Misal ketiga persamaan tersebut adalah:

$\begin{align*}y_1 &= 2x + 1\\y_2 &= \frac{1}{2}x + 1\\y_3 &= -x + 1\end{align*}$

Peran Koefisien

Mungkin dengan pembahasan sebelumnya, kalian ke-trigger buat cari tahu juga apa pengaruh nilai koefisien a ini.

Daripada penasaran, mending kita bahas bareng-bareng aja. Biar lebih pas, kita ganti nilai x sembarangnya menjadi x = 2 dan x = 4.

Buat kalian yang "iseng" pasti langsung coba gambar grafik dari tiga persamaant tersebut.

Setelah itu mengatakan bahwa, ternyata koefisien a menentukan kemiringan dari suatu garis. Semakin besar besar koefisiennya, semakin besar pula kemiringan suatu garis tersebut.

Kemudian untuk tanda negatif tersebut, hanya menentukan arah kemiringannya saja.

Tapi curam atau landainya tetap dipengaruhi oleh besar koefisiennya (dengan mengabaikan tanda, perhatikan besarnya).

Udah cuman itu aja? Belum, ada satu makna lagi yang bisa dikaji dari perbedaan koefisien ini.

Kemiringan persamaan garis linear oleh koefisiennya

Sekarang coba substitusikan nilai x yang udah kita jadikan buat pengujian ini, untuk x = 2 dan x = 4.

$x=2$

$\begin{align*}\rightarrow y_1 &= 2(2) + 1 = 5\\y_2 &= \frac{1}{2}(2) + 1 = 2\\y_3 &= -(2) + 1 = -1\end{align*}$

$x=4$

$\begin{align*}\rightarrow y_1 &= 2(4) + 1 = 9\\y_2& = \frac{1}{2}(4) + 1 = 3\\y_3 &= -(4) + 1 = -3\end{align*}$

Sekarang kita gak akan memperhatikan pebedaan nilai antara dua persamaan yang berbeda.

Namun kita tertarik buat lihat perubahan pada persamaan yang sama. Yaitu saat nilai x-nya berubah-ubah.

Pada persamaan y₁ = 2x+ 1, begitu nilai x naik dua langkah (dari 2 ke 4), ternyata nilai y-nya sebesar 4.

Dengan kata lain menaik juga sebesar dua kali lipat dari perubahan x-nya.

Lanjut, kita uji persamaan yang kedua yaitu y₂ = (1/2)x + 1.

Dengan perubahan x sebesar dua langkah, ternyata nilai y-nya hanya mengalami perubahan sebesar 1 saja (yang berasal dari 3 - 2). Alias hanya setengah dari perubahan nilai x.

Begitu juga untuk persamaan yang ketiga. Pada persamaan ini perubahan 2 nilai x diikuti juga dengan perubahan yang sama pada nilai y. Dalam kasus ini, besarnya 2 juga seperti persamaan pertama.

Maksud Dari Gradien

Jadi, makna dari koefisien ini selain menentukan kemiringan, juga menentukan pesat perubahan, yang dialami oleh y.

Sebagai info aja, selain disebut kemiringan, koefisien ini juga biasa disebut sebagai gradien.

Supaya teman-teman dapat gambaran tentang pesat perubahan ini, jadi gini.

Jika gradiennya besar, perubahan sedikit saja pada nilai x-nya, maka diikuti perubahan yang besar pada y-nya.

Sebaliknya, jika gradiennya kecil, perubahan besar sekalipun pada x-nya, perubahan secara signifikan sukar terlihat pada y-nya.

Titik Potong Garis

Pada pembahasan tentang bidang kartesius,pernah dibahas bahwa suatu garis dapat memiliki posisi yang unik pada sistem koordinat. Ada yang memotong sumbu-x saja, sumbu-y saja, dan bisa juga memotong keduanya.

Titik Temu Dengan Sumbu

Pertanyaanya, pada titik mana garis-garis tersebut memotong satu atau dua sumbu sekaligus?

Untuk mengetahuinya cukup sederhana. Pertama, kita harus tahu pada nilai x atau y berapa suatu garis bertemu pada sumbu yang dimaksud.

Kita anggap kalau sumbu-y adalah sebuah garis. Pasti bisa kan kalian tentukan posisi garis tersebut terhadap sumbu-x. Tentunya, garis tersebut berada di x = 0.

Dan sebaliknya, kalau sumbu-x dianggap sebuah garis, di mana posisi garis tersebut pada sumbu-y? Tentu berada di y = 0.

Dari ide tersebut, maka kita dapat mengetahui di mana suatu garis memotong sumbu-y dan/atau sumbu-x.

Yakni suatu garis dapat diketahui posisinya ketika memotong sumbu-y dengan menguji persamaannya untuk x = 0.

Dengan cara yang serupa, untuk mengetahui perpotongannya dengan sumbu-x, kita uji persamaannya untuk y = 0.

Contoh Soal

Misal kita punya persamaan y = 2x + 2, untuk mengetahui titik potongnya pada sumbu-y maka:

$\begin{align*}x &= 0\\\rightarrow y &= 2(0) + 2 = 2\end{align*}$

Artinya persamaan tersebut memotong sumbu-y pada titik (0,2). Kemudian untuk perpotongan dengan sumbu-x maka:

$\begin{align*}\rightarrow 0 &= 2x + 2\\2x + 2 &= 0\\2x &= -2\\x &= -1\end{align*}$

Dengan demikian persamaan tersebut memotong sumbu-x pada titik (-1,0).

Kedudukan Dua Garis

Ingat lagi, kata-kata pada pembahasan yang pertama mengenai konstanta yang berbeda-beda, namun kemiringannya sama.

Di sini akan ditunjukkan relasi antara garis-garis tersebut.

Saling Sejajar

Ada yang unik di sini, yaitu untuk garis yang sejajar atau paralel maka gradien dari kedua persamaannya garis tersebut bernilai sama.

Jika gradien dari persamaan pertama adalah m₁ dan gradien untuk persamaan kedua adalah m₂, maka hubungan keduanya adalah:

$m_1 = m_2$

Saling Tegak Lurus

Pada pembahasan tentang garis dan sudut, kita lihat bahwa dua buah garis dapat saling berpotongan secara tegak lurus.

Seperti halnya garis yang saling sejajar, ada juga hubungan khusus antara kedua gradiennya. Hubungan tersebut diekspresikan melalui persamaan:

$m_1\cdot m_2 = -1$