Program Linear Dua Variabel

Kita awali pemaparannya dengan mengetahui dulu masalah utama yang diangkat pada materi ini. Sambil menjawab pertanyaan sebelumnya.

Pada dasarnya, kita tertarik untuk mengetahui solusi dari dua buah persamaan linear dua variabel.

Namun permasalahan tersebut dikembangkan lagi, sehingga pengen dicari tahu solusi optimalnya. Optimal gimana? Artinya kita punya suatu target.

Target tersebut bisa berupa suatu persamaan yang mewakili fungsi biaya, fungsi efisiensi pemakaian bahan bakar, dan masih banyak lagi.

Dan nilai optimal yang dimaksud bergantung pada konteksnya. Misal fungsi targetnya merupakan keuntungan, tentunya ingin dicari solusi sehingga memaksimalkan keuntungan.

Sebaliknya, apabila fungsi targetnya berupa suatu durasi/lama pengerjaan suatu barang. Maka sebisa mungkin dicari solusi sehingga meminimalkan durasi tersebut.

Dalam pembahasan kali ini, fungsi yang menjadi targetnya disebut sebagai fungsi objektif, dan sifatnya linear.

Teman-teman sekalian udah pada tahu kan kalau linear itu seperti apa? Jadi gampangannya pangkat variabelnya maksimal satu.

Lebih spesifiknya lagi, pada program linear umumnya terdapat beberapa batasan (constraint). Batasan ini menyebabkan solusinya tidak bisa dipilih secara bebas.

Ya seperti halnya kondisi-kondisi nyata yang ada di dunia ini. Seperti contoh kita ingin membeli suatu barang, pastinya muncul batasan kalau uangnya terbatas.

Kurang lebih seperti itu gambaran umum tentang materi program linear dua variabel ini.

Misal kita adalah seorang pedagang pakaian online, kita menjual pakaian-pakaian berupa baju dan celana.

Kita patok untuk jenis baju atau celana apapun, seharga Rp. 75000 untuk baju dan Rp. 100000 untuk celana.

Asumsikan keuntungan yang didapat dalam penjualan baju adalah 10% dari harga penjualan, dan 15% untuk celana.

Lalu diketahui juga bahwa, kita mempunyai stok terbatas, anggap aja hanya punya baju sebanyak 15 dan celana terdapat 10.

Kemudian ketika melakukan proses pengiriman barang, kendaraannya hanya mampu membawa sebanyak 30 pakaian apabila membawa baju lebih banyak.

Batasan tersebut dimodelkan oleh persamaan 5x + 2y ≤ 30. Maklum lagi ngerintis, cuman kendaraan roda dua, hehe.

Apabila celana dibawa lebih banyak, hanya mampu membawa 16 pakaian saja, dan dibatasi oleh persamaan -x + 4y ≤ 16.

Berdasarkan informasi dan konteks yang dipermasalahkan, tentu kalian tahu kalau targetnya adalah mencapai keuntungan sebesar-besarnya.

Sehingga dari fungsi objektifnya, ingin ditargetkan mendapatkan nilai maksimal. Dengan demikian bagaimana cara menyelesaikannya?

Jika kita sebut baju adalah x dan celana y, dan ingin memaksimalkan keuntungan.

Berarti fungsi objektifnya merupakan jumlah keuntungan dari masing-masing jenis pakaian:

Berdasarkan informasi-informasi sebelumnya, maka kita juga bisa mendapatkan limitasinya, lalu menyatakannya secara matematis.

Batasan pertama, tentu bisa dipastikan bahwa jumlah barang pasti positif (tidak mungkin jumlah baju negatif), sehingga x ≥ 0 dan y ≥ 0.

Kemudian untuk batasan kedua, karena jumlah stoknya terbatas, maka batasan-batasannya yaitu x ≤ 10 dan y ≤ 15.

Dan batasan terakhir yaitu mengenai limitasi dalam pengangkutan barang menuju jasa pengiriman.

Yang jadi pertanyaan, berapa penjualan baju dan celana sehingga memaksimalkan keuntungannya?

Ide penyelesainnya yaitu kita perlu mencari titik ekstrim dari suatu daerah yang dibentuk oleh batasan-batasan tadi.

Maksudnya titik ekstrim gimana? Sekarang coba digambarkan terlebih dahulu grafik-grafik yang menjadi batasan-batasannya seperti di bawah ini.

Daerah berwarna abu di atas ialah seluruh kombinasi jumlah baju dan celana yang memenuhi batasan-batasan masalah.

Mungkin secara nalar kita berpikir bahwa solusi optimalnya yaitu kondisi saat jumlah celananya paling banyak, mengingat persentase keuntungannya paling besar.

Namun perlu diingat lagi, kita punya kapasitas untuk pengangkutan barangnya.

Berdasarkan gambar grafik sebelumnya, kita dapat melihat bahwa titik ekstrimnya terdapat tiga titik, yaitu A, B, dan C.

Titik A(0,4) merupakan perpotongan antara batasan -x + 4y dengan sumbu y.

Sedangkan titik B(4,5) merupakan perpotongan antara dua batasan untuk permasalahan logistik kita.

Tips: Guna memperoleh titik B, kalian bisa menggunakan cara seperti pada materi SPtLDV.

Kemudian titik C(6,0) merupakan perpotongan antara batasan -x + 4y ≤ 16 dengan sumbu x.

Coba diperiksa untuk masing-masing solusi (profit) yang berada di titik ekstrim tersebut.

Untuk A laba yang diperoleh sebesar f(0,4) = 60000, kemudian untuk titik B yaitu f(4,5) = 105000, dan yang terakhir titik C keuntungannya adalah f(6,0) = 45000.

Berdasarkan solusi tersebut, maka begitu jelas bahwa, apabila kita mampu menjual pakaian berupa 4 baju dan 5 celana, bisa menghasilkan keuntungan maksimal.

Kalian ada yang penasaran gak, mengapa harus di titik ekstrim, padahal ada banyak kemungkinan solusi yang bisa dipilih?

Jadi gini, fungsi objektif itu bisa kita anggap sebagai suatu persamaan linear dua variabel seperti biasa, namun perbedaanya kita belum mengetahui konstantanya.

Secara umum fungsi objektif dari program linear dua variabel dapat dituliskan sebagai f(x,y) = ax + by.

Sebut saja hasil pemetaan dari fungsi f sebagai c, sehingga bisa kita tuliskan sebagai ax + by - c = 0.

Di sini, c selaku konstanta yang merupakan penentu pergeseran persamaan garis tersebut. Karena koefisien x dan y tidak berubah.

Semakin besar c maka akan bergeser ke atas, sedangkan semakin kecil akan semakin ke bawah. Apabila digambarkan pergeserannya, maka akan seperti ilustrasi berikut.

Sangat jelas bahwa dari ilustrasi tersebut jika solusi optimal (tidak hanya maksimal) selalu berada di titik ekstrim.

Dengan kata lain merupakan titik yang berada di sudut (jika dianggap daerah solusi merupakan sebuah polygon).

Pada program linear dua variabel, solusi optimal mau itu minimal ataupun maksimal, selalu terletak di titik ekstrim.

Konsep titik ekstrim ini sangatlah berguna, sebab dapat meminimalisir kombinasi solusi lainnya.