Program Linear Dua Variabel

Ide utama dari program linear dua variabel yakni mencari nilai optimal
Ide utama dari program linear dua variabel yakni mencari nilai optimal.

Program Linear

Mungkin kalian banyak yang bertanya, apa bedanya pembahasan kali ini dengan pembahasan mengenai sistem persamaan dan pertidaksamaan linear dua variabel? Secara konsep mungkin bisa dikatakan sama, namun secara objektif atau tujuannya berbeda.

Pada dasarnya, kita tertarik untuk mengetahui solusi dari dua buah persamaan linear dua variabel, namun permasalahan tersebut kita kembangkan lagi, sehingga kita tertarik mengetahui solusi yang optimal. Optimal gimana? Artinya kita punya suatu target.

Target tersebut bisa berupa suatu persamaan yang mewakili fungsi biaya, fungsi efisiensi pemakaian bahan bakar, dan masih banyak lagi. Dan nilai optimal yang dimaksud bergantung pada konteksnya, misal fungsi target kita merupakan keuntungan, maka kita ingin mencari solusi yang memaksimalkan keuntungan.

Sebaliknya, apabila fungsi targetnya berupa suatu durasi/lama pengerjaan suatu barang, maka kita ingin mencari solusi yang meminimalkan durasi tersebut. Dalam pembahasan kali ini, fungsi yang menjadi targetnya disebut sebagai fungsi objektif, dan sifatnya linear.

Lebih spesifiknya lagi, pada program linear, biasanya kita memiliki suatu batasan-batasan (constraint), ya seperti halnya kondisi-kondisi nyata yang ada di dunia ini, seperti misal kita ingin membeli suatu barang, tentu kita punya batasan bahwa uang kita terbatas. Kurang lebih seperti itu gambaran tentang program linear dua variabel ini.

Penyelesaian

Misal kita adalah seorang pedagang pakaian online, kita menjual pakaian-pakaian berupa, baju dan celana. Kita patok untuk jenis baju atau celana apapun, seharga \text{Rp.}\,75000 untuk baju dan \text{Rp.}\,100000 untuk celana. Misal keuntungan yang didapat dalam penjualan baju adalah 10\% dari harga penjualan, dan 15\% untuk celana.

Kemudian diketahui juga bahwa, kita mempunyai stok yang terbatas, anggap aja kita punya baju sebanyak 15 dan celana terdapat 10. Kemudian ketika melakukan proses pengiriman barang, kita hanya mampu membawa sebanyak 30 pakaian jika baju yang dibawa lebih banyak, yang dimodelkan oleh persamaan 5x + 2y \leq 30.

Apabila celan yang dibawa lebih banyak, kita hanya mampu membawa 16 pakaian saja, dan dibatasi oleh persamaan -x + 4y \leq 16. Berdasarkan informasi dan konteks yang dipermasalahkan, tentu kalian tahu bahwa, target kita adalah mencapai keuntungan sebesar-besarnya.

Jika kita sebut baju adalah x dan celana y, dan kita ingin memaksimal keuntungan, maka fungsi objektif kita adalah

f(x,y) = 10\%\times75000x + 15\%\times100000y.
\rightarrow = 7500x + 15000y.

Berdasarkan informasi tersebut, maka kita juga bisa mendapatkan batasan-batasan yang ada dan mengkspresikannya secara matematis. Yang pertama, tentu bisa dipastikan bahwa, keduanya pasti positif (tidak mungkin jumlah baju negatif), sehingga x\geq0 dan y\geq0.

Kemudian untuk batasan yang kedua, karena jumlah stoknya terbatas, maka batasan-batasannya yaitu x\leq50 dan y\leq30. Dan batasan yang terakhir yaitu mengenai limitasi dalam pengangkutan barang menuju jasa pengiriman. Yang jadi pertanyaan, berapa penjualan baju dan celana yang memaksimalkan keuntungan?

Ide penyelesainnya yaitu kita perlu mencari titik ekstrim dari suatu daerah yang dibentuk oleh batasan-batasan kita, maksudnya titik ekstrim gimana? Sekarang coba kita gambarkan terlebih dahulu grafik-grafik yang menjadi batasan-batasan kita.

Grafik batasan masalah beserta daerah penyelesaiannya

Mungkin secara nalar kita berpikir bahwa kita bisa mencari solusi di mana jumlah celana harus sebanyak-banyaknya karena untungnya yang begitu besar, namun perlu diingat bahwa kita punya kapasitas untuk pengangkutan barangnya. Berdasarkan gambar grafik sebelumnya, kita dapat melihat bahwa titik ekstrimnya terdapat tiga titik, yaitu A, B, dan C.

Titik A(0,4) merupakan perpotongan antara batasan -x+4y dengan sumbu y, sedangkan titik B(4,5) merupakan perpotongan antara dua batasan untuk permasalahan logistik kita, kemudian titik C(6,0) merupakan perpotongan antara batasan -x+4y\leq16 dengan sumbu x.

Coba kita periksa untuk masing-masing solusi yang berada di titik ekstrim tersebut, untuk A keuntungan yang didapat yaitu f(0,4) = 60000, kemudian untuk titik B yaitu f(4,5) = 105000, dan yang terakhir titik C, keuntungannya adalah f(6,0) = 45000.

Berdasarkan solusi tersebut, maka begitu jelas bahwa, apabila kita dapat menjual pakaian berupa 4 baju dan 5 celana, kita dapat menghasilkan keuntungan yang maksimal.

Mengapa Titik Ekstrim?

Mungkin kalian bertanya, mengapa harus di titik ekstrim, padahal ada banyak kemungkinan solusi yang bisa dipilih? Jadi gini, fungsi objektif itu bisa kita anggap sebagai suatu persamaan linear dua variabel seperti biasa, namun perbedaanya kita belum mengetahui konstantanya.

Secara umum fungsi objektif dari program linear dua variabel dapat dituliskan sebagai f(x,y) = ax+by, sebut saja hasil pemetaan dari fungsi f sebagai c sehingga bisa kita tuliskan sebagai ax+by - c = 0.

Disini, c selaku konstanta yang merupakan penentu pergeseran (karena koefisien x dan y tidak berubah) persamaan garis tersebut, semakin besar c maka akan bergeser ke atas, sedangkan semakin kecil akan semakin ke bawah. Apabila digambarkan pergeserannya, maka akan seperti ilustrasi berikut.

Fungsi objek untuk hasil pemetaaan yang berbeda-beda

Sangat jelas bahwa dari ilustrasi tersebut jika solusi yang optimal (tidak hanya maksimal) selalu berada di titik ekstrim atau titik yang berada di sudut (jika dianggap daerah solusi merupakan sebuah polygon).

Label
< Materi SebelumnyaPertidaksamaan Mutlak Pecahan dan Irasional
Search icon