Matriks Dasar Meliputi Operasi, Transpose, Determinan, Invers

Melanjuti sebelumnya, emangnya hal apa sih yang berbeda, kira-kira apanya ya?

Jadi, kali ini kita berhadapan dengan suatu ekspresi yang menyatakan banyak angka sekaligus.

Angka-angka tersebut disusun sedemikian rupa sehingga terbentuk baris dan kolom, seperti di bawah ini.

Bila mengacu kalimat barusan akan semakin jelas bahwa, bilangan tunggal merupakan bentuk khusus dari matriks.

Yaitu suatu matriks yang mempunyai baris serta kolomnya berjumlah satu. Hal tersebut dinamakan sebagai skalar.

Selain skalar, pemaparan vektor di bab awal fisika juga merupakan kondisi khusus dari matriks.

Yakni kondisi ketika jumlah kolomnya satu, untuk jumlah barisnya bisa berapa aja.

Nah, mungkin akan muncul pertanyaan buat kalian karena sesuai faktanya skalar dapat dioperasikan.

Seperti dilakukan tambah, kurang, kali, dan bagi. Apakah matriks mampu dioperasikan juga?

Jawabannya bisa, namun prosedurnya berbeda, terutama perkalian serta pembagian.

Pada matriks, operasi perkalian selain dengan skalar bukan sekedar mengalikan elemen-elemen matriksnya.

Kalau pada skalar 5×6 diartikan sebagai penjumlahan 5 sebanyak 6 kali atau sebaliknya. Dalam matriks, ada maknanya tersendiri.

Begitu pula operasi pembagian, pada matriks operasi yang setara pembagian disebut invers.

Konsepnya mirip seperti skalar, misal x = b/a. Hanya saja, operasinya menjadi invers, contohnya X = A^-1B.

Catatan: Matriks disimbolkan huruf kapital. Sedangkan anggotanya dinotasikan huruf kecil.

Ukuran matriks itu bisa berbeda-beda, bisa terdapat 3 baris 2 kolom, 5 baris 7 kolom, macam-macam pokoknya.

Agar penulisannya lebih singkat, biasanya ditulis sebuah subscript pada variabel matriksnya.

Dalam matriks, ukuran tersebut diberi nama ordo matriks.

Anggap terdapat matriks A yang memiliki 3 baris serta 4 kolom.

Subscript yang menandakan dimensi/ukurannya dapat dituliskan di sebelah kanan bawah variabel matriks A sebagai A_3×4. Secara umum yaitu:

Keterangan: n menunjukkan jumlah baris, dan m menentukan banyaknya kolom.

Sesuai yang telah dijelaskan bahwa matriks dapat dilakukan operasi seperti pertambahan serta perkalian. Berikut rinciannya.

Kita awali dahulu dengan operasi yang paling sederhana yaitu pertambahan.

Untuk operasi penjumlahan dua matriks, diperlukan dua buah matriks berordo sama.

Prosedur pertambahannya dioperasikan pada tiap elemen dengan posisi yang sama. Secara umum seperti ini, misalkan ada dua buah matriks, yang pertama A_n×m:

Beserta matriks B_n×m dengan ordo yang sama:

Hasil operasi keduanya yakni seperti yang ditunjukkan di bawah ini.

Secara garis besar operasi penjumlahan langkahnya sebagai berikut:

1. Pastikan kedua matriks ordonya sama. Jika tidak, maka tidak dapat dioperasikan.
2. Lalu jumlahkan masing-masing anggota pada posisi terkait. Terus letakkan di posisi serupa pada hasil operasinya.

Bagaimana dengan pengurangan matriks? Caranya sama persis, yang membedakan hanyalah tanda operasi per elemennya.

Jika pertambahan tiap elemennya dijumlahkan, kalau pengurangan elemennya dikurangi. Gambarannya kayak begini:

Yang menjadi perhatian sekarang ialah, apakah operasi penjumlahan matriks bersifat komutatif?

Coba dicermati baik-baik jumlahannya. Elemen matriks hasil akumulasinya merupakan pertambahan seperti halnya skalar.

Berarti, operasi pada elemen tersebut berlaku sifat komutatif.

Didasari ide tersebut, kesimpulannya seluruh elemennya memenuhi sifat komutatif sehingga dapat ditulis ulang menjadi:

Atau sama saja penjumlahan B + A, alhasil operasi penjumlahan matriks sifatnya komutatif.

Perhatikan contoh berikut, asumsikan matriks A_3×3:

Serta matriks B:

Sehingga, hasil pertambahannya yaitu A + B (atau B + A).

Pada operasi pertambahan matriks berlaku sifat komutatif.

Berikutnya untuk operasi perkalian, ini akan sedikit menantang.

Karena tidak semata wayang mengalikan elemen pada posisi yang sama (ibaratnya pertambahan tetapi operasinya kali).

Untuk saat ini, kita tidak akan mencari maksud lain dari perkalian matriks. Namun lebih diutamakan ke metodenya dahulu.

Jika pertambahan dibutuhkan ordonya sama, pada perkalian tidak terlalu ketat aturannya.

Syaratnya, jumlah kolom matriks sebelah kiri mesti sama dengan jumlah baris matriks sebelah kanan.

Maksudnya yaitu, seandainya ada dua matriks A_n×m beserta B_m×l, maka keduanya jika dikalikan akan menghasilkan matriks baru. Seperti ini:

Perlu diamati kalau ordo matriks hasil perkalian tersebut yaitu n×l.

Untuk operasi perkalian bakal dibatasi dulu agar tidak melihatnya untuk ukurannya secara umum.

Akan dicontohkan perkalian matriks berordo 3×3 terlebih dahulu. Misalnya terdapat suatu matriks A_3×3 serta B_3×3:

Perkalian antara A dengan B, yaitu:

Perhatikan bahwa, elemen yang berada di (1,1) (baris 1, kolom 1) merupakan jumlahan dari perkalian (sum of product) antara baris 1 pada A dengan kolom 1 pada B.

Kemudian elemen yang berada di (2,3) merupakan jumlahan atas perkalian baris 2 pada A dengan kolom 3 pada B.

Coba kalian amati elemen di (3,2) merupakan jumlahan dari perkalian antara baris ... pada A dengan kolom ... pada B, coba diisi angkanya.

Sebagai contoh, matriks A serta B tadi digunakan kembali. Hasil kali antara keduanya yaitu:

Untuk perkalian matriks berordo lainnya pun begitu. Misal n×m dengan m×l yakni dilakukan perkalian antara baris dan kolomnya.

Khusus berukuran 2×2 wujud perkaliannya lebih sederhana lagi. Anggap terdapat matriks A beserta B seperti ini:

Hasil operasi perkaliannya adalah:

Apakah perkalian matriks bersifat komutatif, seperti halnya operasi pertambahan?

Coba kalian lakukan perkalian BA menggunakan bentuk umum untuk ordo matriks 3×3 barusan, didapat:

Nampak bahwa hasilnya berlainan AB≠BA.

Tetapi ada beberapa kondisi, di mana AB = BA, yaitu ketika matriksnya sama A = B.

Bisa juga saat A dan B merupakan matriks diagonal, maksudnya elemen selain di (1,1), (2,2), dan (3,3) nilainya nol.

Adakah kondisi lainnya? Tentunya ada, yaitu ketika pengalinya adalah invers dari matriks yang ingin dikalikan. Nanti akan dipaparkan detilnya konsep invers tersebut.

Secara umum, perkalian matriks tidak bersifat komutatif. Namun di beberapa situasi sifat ini berlaku, salah satunya perkalian dengan matriks identitas.

Terakhir untuk perkalian skalar, caranya setiap elemen matriks dikalikan dengan bilangan bersangkutan.

Contohnya, kita gunakan bentuk umum matriks 3×3 A sebelumnya. Apabila dikali dengan suatu skalar c hasilnya adalah:

Pada perkalian skalar, hasil operasinya yaitu setiap elemen matriks masing-masing dikalikan skalar tersebut.

Selain pertambahan, perkalian, dan sejenisnya, terdapat sebuah operator bernama transpose yang merubah letak elemen matriks.

Transpose menukar posisi anggota-anggota pada suatu baris, kemudian dijadikan kolom. Begitu pun sebaliknya, pada kolomnya ditukar menjadi baris.

Misal ada suatu matriks A_n×m, jika ditransposekan, maka menjadi (A_n×m)^T = A_m×n^T.

Lihat ordonya, awalnya n×m menjadi m×n, disebabkan adanya penukaran baris menjadi kolom dan sebaliknya.

Misal, kita punya matriks A berukuran 3×4, seperti berikut:

Lakukan ide sebelumnya, maka matriks transpose dari A yaitu:

Proses ini dapat dilihat juga berdasarkan per elemennya. Misal elemen a_ij, maka hasil transposenya, elemen tersebut bertukar posisi dengan elemen a_ji.

Supaya lebih mudah, ini beberapa tips dalam melakukan tranpose:

• Ordo matriksnya bebas, tanpa ada aturan.
• Elemen diagonalnya, yaitu a_ii, seperti a₁₁ dan a₂₂, tidak berganti letaknya.
• Elemen yang berada di (i,j) berpindah posisi dengan yang terletak pada baris j, kolom i (j,i). Contoh a₂₅ bertukar dengan a₅₂.

Asumsikan terdapat dua buah matriks sebut saja A dan B. Bila keduanya ditambahkan A + B, hasil transpose dari operasi pertambahan tersebut yaitu:

Jika teman-teman penasaran kok bisa gitu? Silahkan eksekusi hal serupa seperti pembuktian sifat komutatif, yakni perhatikan anggota-anggotanya.

Hasil transpose dari jumlahan dua matriks sama seperti jumlahan dari masing-masing transpose matriks tersebut.

Kemudian untuk operasi perkalian yaitu AB, transposenya adalah:

Ada suatu nilai skalar yang mewakili suatu matriks yang dikenal sebagai determinan. Nilai ini tidak unik, artinya matriks-matriks berbeda bisa saja memiliki nilai determinan yang sama.

Determinan suatu matriks berukuran 2×2, sebut saja A besarnya adalah:

Bagaimana rumus determinan matriks ordo 2×2 bisa kayak gitu?

Sebenarnya ada pengetahuan dasar terlebih dahulu tentang eliminasi pada baris matriks. Namun berhubung ukurannya 2×2, saya singgung sedikit saja informasinya.

Jadi ada sifat "spesial" yang mengatakan bahwa determinan matriks segitiga atas adalah perkalian antara elemen-elemen diagonalnya. Matriks segitiga atas terdiri dari elemen bernilai nol di bawah diagonal utamanya.

Bentuk umum 2×2 di atas bisa dibuat juga menjadi segitiga atas, yaitu menggunakan cara eliminasi. Selengkapnya, bisa kalian baca pada materi eliminasi Gauss.

Hasil eliminasi dari ukuran 2×2 ini yaitu:

Sekarang, coba kalian kalikan anggota diagonalnya, dan amati hasilnya.

Kemudian untuk suatu matriks A berukuran 3×3, determinannya adalah (metode Sarrus):

Untuk ukuran ini juga bisa dilakukan eliminasi barisnya menggunakan cara eliminasi yang diutarakan sebelumnya.

Sebagai contoh, gunakan lagi matriks A_3×3 sebelumnya, determinannya ialah:

Saat ini kita belum langsung memaknai arti dari invers ini. Tapi kasarannya analoginya seperti pembagian bilangan.

Namun setidaknya kita tahu seputar prinsip invers ini, dan bakal dimulai dengan mengenalkan martiks identitas.

Apabila terdapat suatu matriks A, dikalikan dengan matriks identitas I, maka hasilnya adalah matriks A itu sendiri.

Harus berlaku juga untuk perkalian dari sebelah kanan.

Wujud matriks identitas berordo 2×2 ini yakni seperti berikut:

Sedangkan untuk ordo 3×3:

Begitu seterunya untuk ukuran n×n.

Balik lagi ke pembahasan tentang invers. Jika terdapat matriks A kemudian dikalikan dengan "suatu matriks", maka hasilnya adalah matriks identitas.

Matriks yang dimaksud merupakan invers dari matriks A itu, yaitu A^-1, seperti berikut:

Berlaku juga untuk perkalian dari kiri:

Info: Invers matriks ditandai berupa superscript angka -1, seolah-olah seperti pangkat.

Untuk matriks 2x2 lumayan sederhana, asumsi matriksnya adalah:

Demikian inversnya adalah:

Apabila teman-teman penasaran benarkah hasilnya merupakan inversnya. Kalian bisa kalikan hasilnya dengan bentuk umum matriks 2×2.

Lalu, untuk matriks 3x3, atau berordo sembarang n×n prinsipnya sama, perlu dicari "sesuatu" yang menghasilkan matriks identitas.

Penjelasan lebih rincinya bisa teman-teman temui di materi mengenai invers matriks ukuran berapa pun. Di situ akan dibahas bagaimana menghitung menggunakan eliminasi Gauss.

Mengapa perlu dipahami jenis-jenis matriks? Salah satu alasan pentingnya yaitu, sebab akan membantu mempermudah perhitungan.

Dikarenakan pada beberapa jenis matriks, operasi matriks di atas dapat dilakukan secara gampang. Atau bahkan tidak melakukan usaha pun hasil operasinya sudah ketahuan. Unik kan?

Sesuai namanya, matriks persegi wujudnya menyerupai bangun persegi, mempunyai panjang dan lebar yang sama.

Dalam kasus ini, penyebutannya didasari oleh jumlah kolom dan barisnya yang sama. Tidak ada spesialnya dengan matriks ini.

Contohnya yaitu:

Matriks ini mempunyai total kolom dan barisnya berbeda. Dan perlu dimengerti juga, jenis ini tidak mempunyai determinan dan invers.

Contohnya adalah:

Matriks baris mempunyai jumlah baris sebanyak satu, sedangkan jumlah kolomnya sembarang, alias boleh berapapun.

Contohnya adalah:

Kalau yang satu ini, keterbalikan dari jenis sebelumnya. Matriks kolom mempunyai jumlah baris sembarang, tapi jumlah kolomnya hanya satu.

Contohnya adalah:

Apabila matriks ini ditransposekan, maka menghasilkan matriks baris. Dan sebaliknya, jika matriks baris ditransposekan, hasilnya adalah matriks kolom.

Keseluruhan elemen matriks ini berisi angka nol. Jika jumlah kolom dan barisnya sama (berbentuk persegi) maka dikategorikan matriks singular, determinannya bernilai nol, serta tidak mempunyai invers.

Contohnya yaitu:

Tipe ini sempat disinggung sebelumnya, keunikan matriks identitas yaitu jika dikalikan dengan matriks apapun hasilnya tidak merubah matriks yang dikalikan.

Hasil tranpose dan inversnya pun matriks ini sendiri, dan untuk determinannya bernilai 1.

Contohnya adalah:

Untuk matriks diagonal, mirip seperti matriks identitas, selain dari elemen di diagonalnya bernilai nol. Cuman nilai diagonalnya tidak terbatas pada bilangan 1, boleh bilangan bulat lainnya, bilangan real, bilangan kompleks juga boleh, bebas intinya.

Contohnya adalah:

Nilai determinan tipe ini adalah perkalian elemen diagonalnya utamanya. Pada contoh ini besarnya adalah 280.

Kemudian inversnya adalah matriks itu sendiri tapi elemennya diinverskan. Untuk contoh ini inversnya:

Matriks segitiga atas mempunyai semua elemen di bawah diagonalnya tersusun atas angka nol, sisanya bebas.

Contohnya yaitu:

Dari jenis sebelumnya, cukup jelas ya kalau matriks segitiga bawah elemen di atas diagonalnya bernilai nol, dan sisanya terserah.

Contohnya adalah:

Baik matriks segitiga atas maupun bawah, determinannya merupakan perkalian elemen diagonalnya.

Keistimewaan dari matriks simetris yaitu ketika ditransposekan hasilnya tidak berubah.

Contohnya adalah:

Jenis satu ini bisa didapatkan secara mudah. Apabila terdapat matriks A, sifatnya diperoleh dengan mengalikan terhadap transposenya.

Hasil dari operasinya merupakan matriks simetris. Buktinya:

Manfaatkan sifat transpose di atas.

Catatan: Ketahui bahwa, mentransposekan dua kali sama saja tidak melakukan apa-apa.

Ternyata matriks tidak hanya sekedar menyimpan informasi berupa angka yang disusun sehingga berbentuk kolom dan baris.

Tak terhitung banyaknya implementasi matriks di berbagai bidang, khususnya sains dan ilmu teknik.

Pemahaman materi matriks akan menolong banget ketika mau memperdalam sebuah mata pelajaran, terutama di dunia perkuliahan.

Posisi suatu objek bisa direpresentasikan menggunakan vektor, sehingga memungkinkan untuk melakukan transformasi menggunakan matriks.

Bahkan memakai ekspresi matriks, translasi, rotasi, hingga dilatasi malah lebih gampang dieksekusi. Sebab hanya butuh dilakukan operasi perkalian terhadap vektor posisinya.

Berikut beberapa disiplin ilmu yang memanfaatkan matriks selaku "alat" transformasi geometri.

Kalau kalian suka sama robot dan tertarik mendalaminya, sudah menjadi hal wajib untuk memahami konsep matriks.

Gerakkan tangan sampai kaki pada robot memerlukan tahap transformasi.

Pengalaman saya pribadi merasakan bagaimana bergunanya menghitung transformasi tiap joint dengan bantuan ekspresi ini.

Selain memudahkan kalkulasi, juga terbantu juga dalam hal struktur data saat mendesain programnya.

Struktur penyimpanan dalam memori komputer yang paling sederhana bisa digunakan fitur array.

Modelnya bisa berbagai variasi, mau dibuat array 2 dimensi silahkan. Dibikin 1 dimensi juga gak masalah.

Game Developer itu tidak seindah yang dibayangkan. Proses pembuatan animasi keren-keren tersebut merupakan bagian dari transformasi setiap titik yang mewakili bagian-bagian penting objeknya.

Berdasarkan coba-coba saya dulu pakai OpenGL (salah satu library untuk bikin animasi) untuk simulasi robot memang banyak banget keterlibatan transformasi menggunakan matriks.

Apabila teman-teman pernah membaca materi tentang invers matriks berordo sembarang di ISENG Belajar, kemungkinan paham bagaimana sistem persamaan linear bisa dituliskan sebagai persamaan matriks.

Sejatinya tidak sebatas itu, sebuah sistem nonlinear pun bisa. Berikut beberapa penerapannya.

Barang-barang seperti motor, drone, pesawat merupakan sebuah sistem yang mempunyai dinamikanya masing-masing. Dengan matriks, dapat dibuat sebuah persamaan yang memodelkan perilaku nilai-nilai sistemnya bekerja.

Yang dimaksud nilai-nilainya yaitu seperti kecepatan linear dan sudut, hingga orientasi objek yang dimodelkan. Hal-hal tersebut umumnya diketahui sebagai state.

Kalau kita seringnya menyelesaikan sistem persamaan lalu ingin tahu di mana persamaan-persamaannya bertemu, pada regresi sebaliknya.

Di sini ada kumpulan titik, terus pengen tahu persamaan seperti apa yang paling bagus/cocok guna mewakili titik-titik tersebut.

Penyelesaiannya dilakukan dengan meminimalisir besar error antara titik asli dengan persamaan estimasinya. Yang mana error tersebut dinyatakan dalam bentuk matriks.