Konsep Matriks

Konsep dasar matematika mengenai matriks
Konsep dasar matematika mengenai matriks.

Matriks

Representasi matematis yang selama ini kita pelajari merupakan bentuk khusus dari representasi yang lebih umum, yang dinamakan sebagai matriks. Kalau kita biasanya merepresentasikan dengan suatu bilangan tunggal, misal seperti 1,2,9,209 dan lainnya, sekarang kalian akan melihat sesuatu yang beda.

Kali ini kita berurusan dengan suatu bentuk yang merepresentasikan banyak angka, yang mana angka-angka tersebut disusun sedemikian rupa sehingga terbentuk baris dan kolom, seperti di bawah ini. Mungkin kalau kita mengacu kalimat sebelumnya akan semakin jelas bahwa bilangan tunggal tersebut merupakan bentuk khusus dari matriks.

\left[\begin{matrix}1&&2&&3\\4&&5&&6\\7&&8&&9\end{matrix}\right]

Yaitu suatu matriks yang mempunyai jumlah baris dan kolomnya adalah satu, hal tersebut dinamakan sebagai skalar. Selain skalar, vektor yang kita pelajari di bab awal mengenai fisika, juga merupakan bentuk khusus dari matriks, yaitu ketika jumlah kolomnya adalah satu (jumlah barisnya bisa berapa aja).

Nah, mungkin akan muncul pertanyaan buat kalian semua karena mengingat bahwa skalar dapat dioperasikan seperti tambah, kurang, kali, dan bagi. Apakah matriks bisa dioperasikan juga? Jawabannya bisa, namun dengan prosedur yang berbeda, terutama pada perkalian dan pembagian.

Pada matriks, operasi perkalian yang bukan dengan skalar, bukan sekedar mengalikan elemen-elemen matriks tersebut, kalau pada skalar kita mengartikan 5\times6 sebagai penjumlahan 5 sebanyak 6 kali atau sebaliknya, pada matriks ada maknanya tersendiri.

Begitu juga pada operasi pembagian, pada matriks, operasi yang setara dengan pembagian disebut sebagai invers. Konsepnya mirip seperti pada skalar, misal x = \frac{b}{a}, pada matriks operasinya menjadi invers, misal X = A^{-1}B. Pada pembahasan tentang matriks, kita melambangkanya dengan huruf kapital.

Ordo Matriks

Ukuran matriks itu bisa berbeda-beda, bisa terdapat 3 baris 2 kolom, bisa juga 5 baris 7 kolom, dan lainnya. Untuk menyederhanakan ukurannya tersebut, biasanya ditulis sebuah subscript pada suatu variabel matriks, misal kita punya matriks A yang mempunyai 3 baris dan 4 kolom. Dan dalam matriks, ukuran tersebut dinamakan sebagai ordo matriks.

Subscript yang menunjukan dimensi/ukuran yang dimaksud bisa tulis pada matriks A tersebut sehingga menjadi A_{3\times4}, secara umum yaitu
A_{n\times m}
, di mana n menunjukkan jumlah baris, dan m menunjukkan jumlah kolom.

Operasi Pertambahan

Kita awali terlebih dahulu dengan operasi yang paling sederhana yaitu pertambahan. Untuk operasi pertambahan pada dua matriks, diperlukan dua buah matriks yang berordo sama, dan prosedur pertambahannya dilakukan pada tiap elemen dengan posisi yang sama, secara umum seperti ini, misal kita punya dua buah matriks A_{n\times m} dan B_{n\times m}.

A = \left[\begin{matrix}a_{11}&&a_{12}&&\dotsc&&a_{1n}\\
                                a_{21}&&a_{22}&&\cdots&&\vdots\\
                                \vdots&&\cdots&&\ddots&&\vdots\\
                                a_{m1}&&\dotsc&&\dotsc&&a_{mn} \end{matrix}\right]

Dan matriks B_{n\times m} dengan ordo yang sama

B = \left[\begin{matrix}b_{11}&&b_{12}&&\dotsc&&b_{1n}\\
                b_{21}&&b_{22}&&\cdots&&\vdots\\
                \vdots&&\cdots&&\ddots&&\vdots\\
                b_{m1}&&\dotsc&&\dotsc&&b_{mn} \end{matrix}\right] .

Hasil operasi dari keduanya yaitu seperti yang ditunjukkan di bawah ini. Yang menjadi perhatian di sini yaitu, apakah operasi pertambahan pada matriks bersifat komutatif? Coba kalian perhatikan baik-baik, jika elemen pada matriks hasil pertambahan merupakan pertambahan seperti halnya pada skalar, artinya operasi pada elemennya tersebut bersifat komutatif juga.

A+B = \left[\begin{matrix}a_{11} + b_{11}&&a_{12}+b_{12}&&\dotsc&&a_{1n} + b_{1n}\\
                a_{21}+b_{21}&&a_{22}+b_{22}&&\cdots&&\vdots\\
                \vdots&&\cdots&&\ddots&&\vdots\\
                a_{n1}+b_{n1}&&\dotsc&&\dotsc&&a_{nn}+b_{nn} \end{matrix}\right] .

Dengan ide tersebut, artinya semua elemennya komutatif sehingga dapat kita tuliskan menjadi

\left[\begin{matrix}b_{11} + a_{11}&&b_{12}+a_{12}&&\dotsc&&b_{1n} + a_{1n}\\
                b_{21}+a_{21}&&b_{22}+a_{22}&&\cdots&&\vdots\\
                \vdots&&\cdots&&\ddots&&\vdots\\
                b_{n1}+a_{n1}&&\dotsc&&\dotsc&&b_{nn}+a_{nn} \end{matrix}\right]

, atau sama saja dengan B+A, dengan demikian operasi pertambahan pada matriks bersifat komutatif.

Sebagai contoh, misal matriks A_{3\times3}

A = \left[\begin{matrix}1&&3&&5\\7&&9&&11\\13&&15&&17\end{matrix}\right]

, dan matriks B

B = \left[\begin{matrix}2&&4&&6\\8&&10&&12\\14&&16&&18\end{matrix}\right] .

Maka, hasil pertambahannya yaitu A+B (atau B+A)

A+B = \left[\begin{matrix}1+2&&3+4&&5+6\\7+8&&9+10&&11+12\\13+14&&15+16&&17+18\end{matrix}\right]
\rightarrow = \left[\begin{matrix}3&&7&&11\\15&&19&&23\\27&&31&&35\end{matrix}\right] .

Operasi Perkalian

Kemudian untuk operasi perkalian, ini akan sedikit menarik karena tidak semata wayang mengalikan elemen pada posisi yang sama (ibaratnya pertambahan namun operasinya kali). Untuk saat ini, kita tidak akan memaknai tentang perkalian matriks terlebih dahulu , namun lebih ke prosedurnya terlebih dahulu.

Jika pada pertambahan diperlukan ordonya sama, pada perkalian jumlah kolom pada matriks yang berada di sebelah kiri harus sama dengan jumlah baris pada matriks yang berada di sebelah kanan, seperti maksudnya, misal ada dua matriks A_{n\times m} dan B_{m\times l}, maka keduanya jika dikalikan

A_{n\times m}B_{m\times l}
A_{n\times \cancel{m}}B_{\cancel{m}\times l}
(AB)_{n\times l}

, dan kita lihat bahwa ukuran matriks dari hasil perkalian tersebut yaitu n\times l .

Mungkin untuk perkalian ini kita batasi dulu untuk tidak melihatnya dengan ukuran secara umum, kita akan mencoba perkalian matriks untuk ordo 3\times3 terlebih dahulu. Misal terdapat suatu matriks A_{3\times 3} dan B_{3\times 3}

A = \left[\begin{matrix}a_{11}&&a_{12}&&a_{13}\\a_{21}&&a_{22}&&a_{23}\\a_{31}&&a_{32}&&a_{33}\end{matrix}\right]
B = \left[\begin{matrix}b_{11}&&b_{12}&&b_{13}\\b_{21}&&b_{22}&&b_{23}\\b_{31}&&b_{32}&&b_{33}\end{matrix}\right] .

Perkalian antara A dengan B, yaitu

AB = \left[\begin{matrix}a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + a_{13}b_{31} && a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} + a_{13}b_{32} && a_{11}b_{13} + a_{12}b_{23} + a_{13}b_{33}
                \\a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} + a_{23}b_{31}&&a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} + a_{23}b_{32}&&a_{21}b_{13} + a_{22}b_{23} + a_{23}b_{33}
                \\a_{31}b_{11} + a_{32}b_{21} + a_{33}b_{31}&&a_{31}b_{12} + a_{32}b_{22} + a_{33}b_{33}&&a_{31}b_{13} + a_{32}b_{23} + a_{33}b_{33}\end{matrix}\right] .

Perhatikan bahwa, elemen yang berada di (1,1) (baris 1, kolom 1) merupakan jumalahan dari perkalian (sum of product) antara baris 1 pada A dengan kolom 1 pada B, kemudian elemen yang berada di (2,3) merupakan jumlahan antara baris 2 pada A dengan kolom 3 pada B, coba kalian perhatikan elemen di (3,2) merupakan jumlahan dari perkalian dari baris ... pada A dengan kolom ... pada B, silahkan tentukan sendiri.

Perkalian matriks dilakukan antara baris dan kolom

Sebagai contoh, misal matriks A dan B sebelumnya kita gunakan kembali, hasil perkalian antara keduanya yaitu

AB = \left[\begin{matrix}1\cdot2 + 3\cdot8 + 5\cdot14
                &&1\cdot4 + 3\cdot10 + 5\cdot16
                &&1\cdot6 + 3\cdot12 + 5\cdot18
                \\7\cdot2 + 9\cdot8 + 11\cdot14
                &&7\cdot4 + 9\cdot10 + 11\cdot16
                &&7\cdot6 + 9\cdot12 + 11\cdot18
                \\13\cdot2 + 15\cdot8 + 17\cdot14
                &&13\cdot4 + 15\cdot10 + 17\cdot18
                &&13\cdot6 + 15\cdot12 + 17\cdot18\end{matrix}\right]
AB = \left[\begin{matrix}96&&114&&132\\240&&294&&348\\384&&474&&564\end{matrix}\right] .

Apakah perkalian matriks bersifat komutatif, seperti halnya pada pertambahan? Coba kalian lakukan perkalian BA menggunakan bentuk umum untuk ordo matriks 3\times 3, hasilnya yaitu

AB = \left[\begin{matrix}b_{11}a_{11} + b_{12}a_{21} + b_{13}a_{31}
                &&b_{11}a_{12} + b_{12}a_{22} + b_{13}a_{32}
                &&b_{11}a_{13} + b_{12}a_{23} + b_{13}a_{33}
                \\b_{21}a_{11} + b_{22}a_{21} + b_{23}a_{31}
                &&b_{21}a_{12} + b_{22}a_{22} + b_{23}a_{32}
                &&b_{21}a_{13} + b_{22}a_{23} + b_{23}a_{33}
                \\b_{31}a_{11} + b_{32}a_{21} + b_{33}a_{31}
                &&b_{31}a_{12} + b_{32}a_{22} + b_{33}a_{33}
                &&b_{31}a_{13} + b_{32}a_{23} + b_{33}a_{33}\end{matrix}\right]

, nampak bahwa hasilnya berbeda AB\neq BA .

Namun ada beberapa kondisi, di mana AB = BA, yaitu ketika matriksnya sama, alias A=B, kemudian A dan B merupakan matriks diagonal, maksudnya elemen selain di (1,1), (2,2), dan (3,3) bernilai nol.

Untuk perkalian matriks berordo lainnya pun begitu, misal n\times m dengan m\times l yakni dengan perkalian baris dan kolom. Terakhir untuk perkalian dengan skalar, maka setiap elemen dari matriks dikalikan dengan skalar tersebut.

Determinan

Ada suatu nilai skalar yang mewakili suatu matriks yang dinamakan sebagai determinan, nilai ini tidak unik, artinya matriks-matriks yang berbeda bisa saja memiliki nilai determinan yang sama. Untuk suatu matriks berukuran 2\times 2, sebut saja A

A = \left[\begin{matrix}a_{11}&&a_{12}\\a_{21}&&a_{22}\end{matrix}\right] .

Determinan dari matriks tersebut yaitu

\det A = \lvert A\rvert = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} .

Kemudian untuk suatu matriks A berukuran 3\times 3, determinannya yaitu

\det A = \lvert A \rvert = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - (a_{13}a_{22}a_{31} + a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{21}a_{33}) .

Sebagai contoh, kita gunakan lagi matriks A_{3\times 3} sebelumnya, dan determinannya adalah

\det A = \lvert A \rvert = 1\cdot9\cdot17 + 3\cdot11\cdot13 + 5\cdot7\cdot15 - (5\cdot9\cdot13 + 1\cdot11\cdot15 + 3\cdot7\cdot17)
\rightarrow = 0 .

Invers

Mungkin untuk saat ini kita belum langsung dapat memaknai arti dari invers ini, namun setidaknya kita tahu mengenai apa invers ini, dan kita mulai dengan mengenalkan martiks identitas terlebih dahulu. Apabila terdapat suatu matriks A, kemudian dikalikan dengan matriks identitas I, maka hasilnya adalah matriks A itu sendiri

AI = A, atau
IA = A .

Wujud matriks identitas ini yakni seperti berikut

I_{2\times2} = \left[\begin{matrix}1&&0\\0&&1\end{matrix}\right]

, dan untuk ordo 3\times 3

I_{3\times3} = \left[\begin{matrix}1&&0&&0\\0&&1&&0\\0&&0&&1\end{matrix}\right]

, dan seterunya untuk ukuran n\times n .

Balik lagi ke pembahasan tentang invers, jika terdapat suatu matriks A kemudian dikalikan dengan "suatu matriks", maka hasilnya adalah matriks identitas. Suatu matriks yang dimaksud merupakan invers dari matriks A tersebut, A^{-1}, seperti ini

AA^{-1} = I

, atau

A^{-1}A = I .

Untuk matriks berukuran 2\times 2, cukup sederhana, misal matriks tersebut adalah

A = \left[\begin{matrix}a_{11}&&a_{12}\\a_{21}&&a_{22}\end{matrix}\right]

, inversnya adalah

A = \frac{1}{a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}}\left[\begin{matrix}a_{22}&&-a_{12}\\-a_{21}&&a_{11}\end{matrix}\right] .

Transpos

Selain pertambahan, perkalian, dan lainnya ada juga operator yang merubah posisi-posisi elemen dari suatu matriks, yaitu transpos. Tranpos menukar posisi dari elemen-elemen pada suatu baris, kemudian dijadikan kolom, begitu juga pada kolomnya, ditukar menjadi baris.

Misal ada suatu matriks A_{n\times m}, jika ditransposkan, maka menjadi (A_{n\times m})^T = A_{m\times n}^T, perhatikan ordonya, dari n\times m menjadi m\times n, karena ada penukaran baris menjadi kolom dan sebaliknya.

Misal, kita punya matriks A berukuran 3\times 4, seperti berikut

A = \left[\begin{matrix}a_{11}&&a_{12}&&a_{13}&&a_{14}\\a_{21}&&a_{22}&&a_{23}&&a_{24}\\a_{31}&&a_{32}&&a_{33}&&a_{34}\end{matrix}\right] .

Maka tranposnya, yaitu

A^T = \left[\begin{matrix}a_{11}&&a_{21}&&a_{31}\\a_{12}&&a_{22}&&a_{32}\\a_{13}&&a_{23}&&a_{33}\\a_{14}&&a_{24}&&a_{34}\end{matrix}\right] .

Sebagai informasi tambahan, buat temen-temen sekalian yang ambis banget belajar mengenai konsep baik matriks ataupun vektor. Temen-temen bisa coba pelajari mengenai aljabar linear.

Untuk mempelajarinya, saran saya coba dipelajari kuliah-kuliah Gilbert Strang dari MIT, bisa diakses di OCW MIT. Di situ ada lecture notes-nya atau kalian bisa juga nonton videonya di Youtube, tinggal tulis aja linear algebra, terus cari yang dari MIT.

Label
< Materi SebelumnyaLimit Fungsi Aljabar
Search icon