Matriks Dasar Meliputi Operasi, Transpose, Determinan, dan Invers

Konsep dasar matematika mengenai matriks
Konsep dasar matematika mengenai matriks.

Representasi matematis yang selama ini kita pelajari merupakan bentuk khusus dari representasi yang lebih umum, yang dinamakan sebagai matriks. Kalau kita biasanya merepresentasikan dengan suatu bilangan tunggal, misal seperti 1,2,9,209 dan lainnya, sekarang kalian akan melihat sesuatu yang beda.

Daftar Isi

Apa Itu Matriks?

Tadi disebutkan, apanya yang beda? Jadi, kali ini kita berurusan dengan suatu bentuk yang merepresentasikan banyak angka, yang mana angka-angka tersebut disusun sedemikian rupa sehingga terbentuk baris dan kolom, seperti di bawah ini. Mungkin kalau kita mengacu kalimat sebelumnya akan semakin jelas bahwa bilangan tunggal tersebut merupakan bentuk khusus dari matriks.

\left[\begin{matrix}1&&2&&3\\4&&5&&6\\7&&8&&9\end{matrix}\right]
Bagian-bagian matriks

Yaitu suatu matriks yang mempunyai jumlah baris dan kolomnya adalah satu, hal tersebut dinamakan sebagai skalar. Selain skalar, vektor yang kita pelajari di bab awal mengenai fisika, juga merupakan bentuk khusus dari matriks, yaitu ketika jumlah kolomnya adalah satu (jumlah barisnya bisa berapa aja).

Nah, mungkin akan muncul pertanyaan buat kalian semua karena mengingat bahwa skalar dapat dioperasikan seperti tambah, kurang, kali, dan bagi. Apakah matriks bisa dioperasikan juga? Jawabannya bisa, namun dengan prosedur yang berbeda, terutama pada perkalian dan pembagian.

Pada matriks, operasi perkalian yang bukan dengan skalar, bukan sekedar mengalikan elemen-elemen matriks tersebut, kalau pada skalar kita mengartikan 5\times6 sebagai penjumlahan 5 sebanyak 6 kali atau sebaliknya, pada matriks ada maknanya tersendiri.

Begitu juga pada operasi pembagian, pada matriks, operasi yang setara dengan pembagian disebut sebagai invers. Konsepnya mirip seperti pada skalar, misal x = \frac{b}{a}, pada matriks operasinya menjadi invers, misal X = A^{-1}B. Pada pembahasan tentang matriks, kita melambangkanya dengan huruf kapital.

Ordo Matriks

Ukuran matriks itu bisa berbeda-beda, bisa terdapat 3 baris 2 kolom, bisa juga 5 baris 7 kolom, dan lainnya. Untuk menyederhanakan ukurannya tersebut, biasanya ditulis sebuah subscript pada suatu variabel matriks, misal kita punya matriks A yang mempunyai 3 baris dan 4 kolom. Dan dalam matriks, ukuran tersebut dinamakan sebagai ordo matriks.

Subscript yang menunjukan dimensi/ukuran yang dimaksud bisa tulis pada matriks A tersebut sehingga menjadi A_{3\times4}, secara umum yaitu.

A_{n\times m}

Di mana n menunjukkan jumlah baris, dan m menunjukkan jumlah kolom.

Operasi Matriks

Seperti yang telah diutarakan bahwa matriks dapat dilakukan operasi seperti pertambahan dan juga perkalian. Berikut adalah rinciannya.

Operasi Pertambahan

Kita awali terlebih dahulu dengan operasi yang paling sederhana yaitu pertambahan. Untuk operasi pertambahan pada dua matriks, diperlukan dua buah matriks yang berordo sama, dan prosedur pertambahannya dilakukan pada tiap elemen dengan posisi yang sama, secara umum seperti ini, misal kita punya dua buah matriks A_{n\times m} dan B_{n\times m}.

A = \left[\begin{matrix}a_{11}&&a_{12}&&\dotsc&&a_{1n}\\
 a_{21}&&a_{22}&&\cdots&&\vdots\\
 \vdots&&\cdots&&\ddots&&\vdots\\
 a_{m1}&&\dotsc&&\dotsc&&a_{mn} \end{matrix}\right]

Dan matriks B_{n\times m} dengan ordo yang sama.

B = \left[\begin{matrix}b_{11}&&b_{12}&&\dotsc&&b_{1n}\\
 b_{21}&&b_{22}&&\cdots&&\vdots\\
 \vdots&&\cdots&&\ddots&&\vdots\\
 b_{m1}&&\dotsc&&\dotsc&&b_{mn} \end{matrix}\right]

Hasil operasi dari keduanya yaitu seperti yang ditunjukkan di bawah ini. Yang menjadi perhatian di sini yaitu, apakah operasi pertambahan pada matriks bersifat komutatif?

Coba kalian perhatikan baik-baik, jika elemen pada matriks hasil pertambahan merupakan pertambahan seperti halnya pada skalar, artinya operasi pada elemennya tersebut bersifat komutatif juga.

A+B = \left[\begin{matrix}a_{11} + b_{11}&&a_{12}+b_{12}&&\dotsc&&a_{1n} + b_{1n}\\
 a_{21}+b_{21}&&a_{22}+b_{22}&&\cdots&&\vdots\\
 \vdots&&\cdots&&\ddots&&\vdots\\
 a_{n1}+b_{n1}&&\dotsc&&\dotsc&&a_{nn}+b_{nn} \end{matrix}\right]

Dengan ide tersebut, artinya semua elemennya komutatif sehingga dapat kita tuliskan menjadi

\left[\begin{matrix}b_{11} + a_{11}&&b_{12}+a_{12}&&\dotsc&&b_{1n} + a_{1n}\\
 b_{21}+a_{21}&&b_{22}+a_{22}&&\cdots&&\vdots\\
 \vdots&&\cdots&&\ddots&&\vdots\\
 b_{n1}+a_{n1}&&\dotsc&&\dotsc&&b_{nn}+a_{nn} \end{matrix}\right]

, atau sama saja dengan B+A, dengan demikian operasi pertambahan pada matriks bersifat komutatif.

Sebagai contoh, misal matriks A_{3\times3}

A = \left[\begin{matrix}1&&3&&5\\7&&9&&11\\13&&15&&17\end{matrix}\right]

, dan matriks B

B = \left[\begin{matrix}2&&4&&6\\8&&10&&12\\14&&16&&18\end{matrix}\right]

Maka, hasil pertambahannya yaitu A+B (atau B+A).

A+B = \left[\begin{matrix}1+2&&3+4&&5+6\\7+8&&9+10&&11+12\\13+14&&15+16&&17+18\end{matrix}\right]
\rightarrow = \left[\begin{matrix}3&&7&&11\\15&&19&&23\\27&&31&&35\end{matrix}\right]
Pada operasi pertambahan matriks berlaku sifat komutatif.

Operasi Perkalian

Kemudian untuk operasi perkalian, ini akan sedikit menarik karena tidak semata wayang mengalikan elemen pada posisi yang sama (ibaratnya pertambahan namun operasinya kali). Untuk saat ini, kita tidak akan memaknai tentang perkalian matriks terlebih dahulu , namun lebih ke prosedurnya terlebih dahulu.

Jika pada pertambahan diperlukan ordonya sama, pada perkalian, jumlah kolom pada matriks yang berada di sebelah kiri harus sama dengan jumlah baris pada matriks yang terletak di sebelah kanan. Maksudnya yaitu, misal ada dua matriks A_{n\times m} dan B_{m\times l}, maka keduanya jika dikalikan.

A_{n\times m}B_{m\times l}
A_{n\times \cancel{m}}B_{\cancel{m}\times l}
(AB)_{n\times l}

Perlu kita lihat bahwa ukuran matriks dari hasil perkalian tersebut yaitu n\times l.

Mungkin untuk perkalian ini kita batasi dulu untuk tidak melihatnya dengan ukuran secara umum, kita akan mencoba perkalian matriks untuk ordo 3\times3 terlebih dahulu. Misal terdapat suatu matriks A_{3\times 3} dan B_{3\times 3}.

A = \left[\begin{matrix}a_{11}&&a_{12}&&a_{13}\\a_{21}&&a_{22}&&a_{23}\\a_{31}&&a_{32}&&a_{33}\end{matrix}\right]
B = \left[\begin{matrix}b_{11}&&b_{12}&&b_{13}\\b_{21}&&b_{22}&&b_{23}\\b_{31}&&b_{32}&&b_{33}\end{matrix}\right]

Perkalian antara A dengan B, yaitu.

AB = \left[\begin{matrix}a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + a_{13}b_{31} && a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} + a_{13}b_{32} && a_{11}b_{13} + a_{12}b_{23} + a_{13}b_{33}
 \\a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} + a_{23}b_{31}&&a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} + a_{23}b_{32}&&a_{21}b_{13} + a_{22}b_{23} + a_{23}b_{33}
 \\a_{31}b_{11} + a_{32}b_{21} + a_{33}b_{31}&&a_{31}b_{12} + a_{32}b_{22} + a_{33}b_{33}&&a_{31}b_{13} + a_{32}b_{23} + a_{33}b_{33}\end{matrix}\right]

Perhatikan bahwa, elemen yang berada di (1,1) (baris 1, kolom 1) merupakan jumalahan dari perkalian (sum of product) antara baris 1 pada A dengan kolom 1 pada B, kemudian elemen yang berada di (2,3) merupakan jumlahan antara baris 2 pada A dengan kolom 3 pada B, coba kalian perhatikan elemen di (3,2) merupakan jumlahan dari perkalian dari baris ... pada A dengan kolom ... pada B, silahkan tentukan sendiri.

Perkalian matriks dilakukan antara baris dan kolom

Sebagai contoh, misal matriks A dan B sebelumnya kita gunakan kembali, hasil perkalian antara keduanya yaitu.

AB = \left[\begin{matrix}1\cdot2 + 3\cdot8 + 5\cdot14
 &&1\cdot4 + 3\cdot10 + 5\cdot16
 &&1\cdot6 + 3\cdot12 + 5\cdot18
 \\7\cdot2 + 9\cdot8 + 11\cdot14
 &&7\cdot4 + 9\cdot10 + 11\cdot16
 &&7\cdot6 + 9\cdot12 + 11\cdot18
 \\13\cdot2 + 15\cdot8 + 17\cdot14
 &&13\cdot4 + 15\cdot10 + 17\cdot18
 &&13\cdot6 + 15\cdot12 + 17\cdot18\end{matrix}\right]
AB = \left[\begin{matrix}96&&114&&132\\240&&294&&348\\384&&474&&564\end{matrix}\right]

Untuk perkalian matriks berordo lainnya pun begitu, misal n\times m dengan m\times l yakni dengan perkalian baris dan kolom.

Perkalian Tidak Bersifat Komutatif

Apakah perkalian matriks bersifat komutatif, seperti halnya pada pertambahan? Coba kalian lakukan perkalian BA menggunakan bentuk umum untuk ordo matriks 3\times 3, hasilnya yaitu.

AB = \left[\begin{matrix}b_{11}a_{11} + b_{12}a_{21} + b_{13}a_{31}
 &&b_{11}a_{12} + b_{12}a_{22} + b_{13}a_{32}
 &&b_{11}a_{13} + b_{12}a_{23} + b_{13}a_{33}
 \\b_{21}a_{11} + b_{22}a_{21} + b_{23}a_{31}
 &&b_{21}a_{12} + b_{22}a_{22} + b_{23}a_{32}
 &&b_{21}a_{13} + b_{22}a_{23} + b_{23}a_{33}
 \\b_{31}a_{11} + b_{32}a_{21} + b_{33}a_{31}
 &&b_{31}a_{12} + b_{32}a_{22} + b_{33}a_{33}
 &&b_{31}a_{13} + b_{32}a_{23} + b_{33}a_{33}\end{matrix}\right]

Nampak bahwa hasilnya berbeda AB\neq BA.

Namun ada beberapa kondisi, di mana AB = BA, yaitu ketika matriksnya sama, alias A=B, kemudian A dan B merupakan matriks diagonal, maksudnya elemen selain di (1,1), (2,2), dan (3,3) bernilai nol.

Adakah kondisi lainnya? Tentunya ada, yaitu ketika pengalinya adalah invers dari matriks yang ingin dikalikan. Nanti akan dijelaskan bagaimana konsep invers tersebut.

Secara umum, perkalian matriks tidak bersifat komutatif. Namun di beberapa kondisi sifat ini berlaku, salah satunya perkalian dengan matriks identitas.

Perkalian Dengan Skalar

Terakhir untuk perkalian dengan skalar, maka setiap elemen dari matriks dikalikan dengan skalar tersebut.

Contohnya, kita gunakan bentuk umum matriks 3x3 A sebelumnya, apabila dikalikan dengan suatu skalar c, hasilnya adalah.

cA = c\left[\begin{matrix}a_{11}&&a_{12}&&a_{13}\\a_{21}&&a_{22}&&a_{23}\\a_{31}&&a_{32}&&a_{33}\end{matrix}\right]
 = \left[\begin{matrix}ca_{11}&&ca_{12}&&ca_{13}\\ca_{21}&&ca_{22}&&ca_{23}\\ca_{31}&&ca_{32}&&ca_{33}\end{matrix}\right]
Pada perkalian dengan skalar, hasil dari operasinya yaitu setiap elemen dari matriks masing-masing dikalikan dengan skalar tersebut.

Transpose

Selain pertambahan, perkalian, dan lainnya ada juga operator yang merubah posisi-posisi elemen dari suatu matriks, yaitu transpose. Transpose menukar posisi dari elemen-elemen pada suatu baris, kemudian dijadikan kolom, begitu juga pada kolomnya, ditukar menjadi baris.

Misal ada suatu matriks A_{n\times m}, jika ditransposekan, maka menjadi (A_{n\times m})^T = A_{m\times n}^T, perhatikan ordonya, dari n\times m menjadi m\times n, karena ada penukaran baris menjadi kolom dan sebaliknya.

Misal, kita punya matriks A berukuran 3\times 4, seperti berikut.

A = \left[\begin{matrix}a_{11}&&a_{12}&&a_{13}&&a_{14}\\a_{21}&&a_{22}&&a_{23}&&a_{24}\\a_{31}&&a_{32}&&a_{33}&&a_{34}\end{matrix}\right]

Maka transposenya yaitu.

A^T = \left[\begin{matrix}a_{11}&&a_{21}&&a_{31}\\a_{12}&&a_{22}&&a_{32}\\a_{13}&&a_{23}&&a_{33}\\a_{14}&&a_{24}&&a_{34}\end{matrix}\right]

Sifat-Sifat Transpose

Apabila kita mempunyai dua buah matriks sebut saja A dan B, jika keduanya ditambahkan A+B. Hasil transpose dari operasi pertambahan tersebut yaitu.

(A+B)^T = A^T + B^T

Jika teman-teman penasaran kok bisa gitu? Silahkan lakukan hal yang sama seperti sebelumnya, yaitu perhatikan elemen-elemennya.

Hasil transpose dari jumlahan dua matriks sama seperti jumlahan dari masing-masing transpose matriks tersebut.

Kemudian untuk operasi perkalian yaitu AB, transposenya adalah.

(AB)^T = B^T A^T

Determinan

Ada suatu nilai skalar yang mewakili suatu matriks yang dinamakan sebagai determinan, nilai ini tidak unik, artinya matriks-matriks yang berbeda bisa saja memiliki nilai determinan yang sama. Untuk suatu matriks berukuran 2\times 2, sebut saja A.

A = \left[\begin{matrix}a_{11}&&a_{12}\\a_{21}&&a_{22}\end{matrix}\right]

Ukuran 2x2

Determinan dari matriks tersebut yaitu

\det A = \lvert A\rvert = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}

Bagaimana rumus determinan tersebut bisa seperti itu?

Sebenarnya ada pengetahuan dasar terlebih dahulu tentang eliminasi pada baris matriks. Namun berhubungan ukurannya 2x2 alias sederhana, saya singgung sedikit saja informasinya di sini.

Jadi ada sifat khusus yang mengatakan bahwa determinan pada matriks segitiga atas adalah perkalian antara elemen pada diagonalnya. Matriks segitiga atas sendiri mempunyai elemen bernilai nol di bawah diagonalnya.

Bentuk umum 2x2 di atas bisa dibuat juga menjadi segitiga atas, yaitu dengan cara eliminasi. Secara lengkap, bisa kalian baca pada materi tentang eliminasi Gauss.

Hasil eliminasi dari ukuran 2x2 ini yaitu.

\left[\begin{matrix}a_{11}&&a_{12}\\0&&a_{22} - a_{12}\cdot(a_{21}/a_{11})\end{matrix}\right]

Sekarang, coba kalian kalikan elemen-elemen diagonalnya, dan perhatikan hasilnya.

Ukuran 3x3

Kemudian untuk suatu matriks A berukuran 3\times 3, determinannya yaitu.

\det A = \lvert A \rvert = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - (a_{13}a_{22}a_{31} + a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{21}a_{33})

Untuk ukuran ini juga bisa dilakukan eliminasi barisnya menggunakan cara eliminasi yang disebutkan sebelumnya.

Sebagai contoh, kita gunakan lagi matriks A_{3\times 3} sebelumnya, dan determinannya adalah.

\det A = \lvert A \rvert = 1\cdot9\cdot17 + 3\cdot11\cdot13 + 5\cdot7\cdot15 - (5\cdot9\cdot13 + 1\cdot11\cdot15 + 3\cdot7\cdot17)
\rightarrow = 0

Invers Matriks

Mungkin untuk saat ini kita belum langsung dapat memaknai arti dari invers ini, namun setidaknya kita tahu mengenai apa invers ini, dan kita mulai dengan mengenalkan martiks identitas terlebih dahulu. Apabila terdapat suatu matriks A, kemudian dikalikan dengan matriks identitas I, maka hasilnya adalah matriks A itu sendiri.

AI = A

Dan harus berlaku juga untuk perkalian dari sebelah kanan.

IA = A

Wujud matriks identitas ini yakni seperti berikut.

I_{2\times2} = \left[\begin{matrix}1&&0\\0&&1\end{matrix}\right]

Sedangkan untuk ordo 3\times 3.

I_{3\times3} = \left[\begin{matrix}1&&0&&0\\0&&1&&0\\0&&0&&1\end{matrix}\right]

Begitu seterunya untuk ukuran n\times n.

Balik lagi ke pembahasan tentang invers, jika terdapat suatu matriks A kemudian dikalikan dengan "suatu matriks", maka hasilnya adalah matriks identitas. Suatu matriks yang dimaksud merupakan invers dari matriks A tersebut, A^{-1}, seperti ini.

AA^{-1} = I

Berlaku juga untuk perkalian dari kiri.

A^{-1}A = I

Invers 2x2

Untuk matriks berukuran 2\times 2, cukup sederhana, misal matriks tersebut adalah.

A = \left[\begin{matrix}a_{11}&&a_{12}\\a_{21}&&a_{22}\end{matrix}\right]

Lalu inversnya adalah.

A = \frac{1}{a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}}\left[\begin{matrix}a_{22}&&-a_{12}\\-a_{21}&&a_{11}\end{matrix}\right]

Apabila dari teman-teman penasaran apakah betul ini adalah inversnya, kalian bisa coba kalikan hasil ini dengan bentuk umum dari matriks 2x2.

Invers 3x3 dan NxN

Lalu, bagaimana untuk matriks berukuran 3x3, atau mungkin yang berukuran NxN? Konsepnya sama, kita perlu mencari "sesuatu" yang menghasilkan matriks indentitas.

Penjelasan lebih rincinya bisa teman-teman temui di materi mengenai invers matriks sembarang. Di situ akan dijelaskan bagaimana menghitung menggunakan eliminasi Gauss.

Jenis-Jenis Matriks

Mengapa kita perlu belajar mengenai jenis-jenis matriks? Salah satu alasan pentingnya yaitu, akan membantu kita dalam melakukan perhitungan. Karena pada beberapa jenis matriks, operasi-operasi di atas dapat dilakukan dengan mudah, atau bahkan dengan tidak melakukan usaha pun hasil operasinya sudah ketahuan. Unik kan?

Berdasarkan Jumlah Baris dan Kolom

Matriks Persegi

Sesuai dengan namanya matriks persegi wujudnya yang menyerupai bangun persegi, mempunyai panjang dan lebar yang sama. Dalam kasus ini, matriks tersebut mempunyai jumlah kolom dan baris yang sama. Tidak ada yang spesial dengan matriks yang satu ini.

Contohnya yaitu:

\left[\begin{matrix}1&&2&&3\\
 4&&5&&6 \\
 7&&8&&9 \end{matrix}\right]

Matriks Persegi Panjang

Matriks yang satu ini mempunyai jumlah kolom dan barisnya berbeda. Dan perlu diketahui juga, jenis yang satu ini tidak mempunyai determinan dan invers.

Contohnya adalah:

\left[\begin{matrix}1&&2&&3&&4\\
 5&&6&&7&&8 \\
 9&&10&&11&&12 \end{matrix}\right]

Matriks Baris

Jenis yang satu ini mempunyai jumlah baris sebanyak satu, dan untuk jumlah kolomnya sembarang, alias bisa berapapun.

Contohnya adalah:

\left[\begin{matrix}3&&2&&1\end{matrix}\right]

Matriks Kolom

Kalau yang satu ini, keterbalikan dari jenis sebelumnya. Matriks kolom mempunyai jumlah baris yang sembarang, tapi jumlah kolom hanya ada satu.

Contohnya adalah:

\left[\begin{matrix}3\\2\\1\end{matrix}\right]

Apabila matriks ini ditransposekan, maka akan menghasilkan matriks baris. Dan sebaliknya, jika matriks baris ditransposekan, hasilnya adalah jenis yang satu ini.

Berdasarkan Elemennya

Matriks Nol

Semua elemen dari matriks ini terdiri angka nol. Jika jumlah kolom dan barisnya sama, alias persegi, determinannya adalah nol, namun tidak mempunyai invers.

Contohnya adalah:

Contohnya yaitu:

\left[\begin{matrix}0&&0&&0\\
 0&&0&&0 \\
 0&&0&&0 \end{matrix}\right]

Matriks Identitas

Tipe yang satu ini sempat disinggung sebelumnya, keunikan dari matriks yang satu ini yaitu jika dikalikan dengan matriks apapun hasilnya tidak merubah matriks yang dikalikan.

Tranpose dan inversnya pun matriks ini sendiri. Nilai determinannya adalah 1.

Contohnya adalah:

\left[\begin{matrix}1&&0&&0\\
 0&&1&&0 \\
 0&&0&&1 \end{matrix}\right]

Matriks Diagonal

Untuk yang satu ini, mirip seperti matriks identitas, selain dari elemen di diagonalnya bernilai nol. Hanya saja nilai pada diagonalnya tidak terbatas hanya pada bilangan 1, bisa berapapun.

Contohnya adalah:

\left[\begin{matrix}7&&0&&0\\
 0&&5&&0 \\
 0&&0&&8 \end{matrix}\right]

Nilai determinan tipe ini adalah perkalian dari elemen yang berada di diagonalnya. Pada contoh ini nilainya adalah 280.

Kemudian untuk inversnya adalah matriks itu sendiri tapi elemennya diinverskan. Untuk contoh ini adalah.

\left[\begin{matrix}1/7&&0&&0\\
 0&&1/5&&0 \\
 0&&0&&1/8 \end{matrix}\right]

Matriks Segitiga Atas

Matriks ini mempunyai semua elemen di bawah diagonalnya bernilai nol, sisanya bebas.

Contohnya yaitu:

\left[\begin{matrix}7&&1&&-2\\
 0&&5&&-3 \\
 0&&0&&8 \end{matrix}\right]

Matriks Segitiga Bawah

Dari jenis sebelumnya, mungkin cukup jelas ya kalau yang satu ini elemen di atas diagonalnya bernilai nol, dan sisanya sembarang.

Contohnya adalah:

\left[\begin{matrix}7&&0&&0\\
 -11&&5&&0 \\
 1&&-3&&8 \end{matrix}\right]

Baik matriks segitiga atas maupun bawah, determinannya yaitu perkalian dari elemen pada diagonalnya.

Matriks Simetris

Keistimewaan dari matriks simetris yaitu ketika ditransposekan maka hasilnya tidak berubah.

Contohnya adalah:

\left[\begin{matrix}1&&2&&7\\
 2&&5&&-9 \\
 7&&-9&&8 \end{matrix}\right]

Sebagai informasi tambahan, buat temen-temen sekalian yang ambis banget belajar mengenai konsep baik matriks ataupun vektor. Temen-temen bisa coba pelajari mengenai aljabar linear.

Untuk mempelajarinya lebih lanjut, saran saya coba dipelajari kuliah-kuliah Gilbert Strang dari MIT, bisa diakses di OCW MIT. Di situ ada lecture notes-nya atau kalian bisa juga nonton videonya di Youtube, tinggal tulis aja linear algebra, terus cari yang dari MIT.

Label
Search icon