Konsep Vektor

Representasi matematis yang mempunyai arah dan besaran
Representasi matematis yang mempunyai arah dan besaran.

Mengapa Vektor?

Ketika kita ingin menuju tempat yang belum pernah ditemui, terkadang saat di perjalanan kita bertanya pada seseorang arah jalan untuk menuju tempat yang ingin kita tuju.

Orang yang memberi informasi sering kali berkata "nanti kalau sudah sekitar 200 meter dari sini ketemu ...(sesuatu) belok kanan, habis itu lurus kira-kira 100 meter ada gapura terus belok lagi kiri", dan sebagainya.

Apabila kita hanya menyimpan informasi jarak yang ditempuh saja rasanya tidaklah cukup, tentunya kita harus tahu arah mana saja yang perlu ditempuh.

Permasalahan tersebut dapat direpresentasikan atau dimodelkan oleh sebuah hal yang dapat menyimpan informasi jarak sekaligus arah, dia adalah vektor.

Vektor

Jadi vektor itu apa sih? Intinya sederhana, vektor merupakan elemen dari matematika yang mempunyai besaran serta arah.

Vektor sendiri mengandung informasi arah secara implisit artinya tidak secara langsung tertera pada representasinya, jadi jika tanpa menghitungnya terlebih dahulu kita tidak akan bisa mendapatkan informasi arah tersebut, kecuali vektor ini direpresentasikan pada koordinat yang berbeda, ada yang tau?.

Contoh paling sederhana adalah nilai kecepatan suatu benda yang bergerak pada satu arah, maksudnya suatu benda yang berpindah dari satu titik ke titik lainnya secara lurus.

Tukang iseng mungkin bertanya, kalau gitu berarti kecepatan merupakan bentuk dari skalar? Betul untuk kecepatan yang berada pada satu arah saja, tapi perlu diketahui terlebih dahulu, skalar merupakan representasi khusus dari vektor, yaitu vektor yang memiliki satu dimensi.

Informasi arah pada vektor satu dimensi ini dapat terlihat dengan jelas pada tanda bilangannya, positif atau negatif.

Apabila kecepatan positif, maka biasanya benda dianggap bergerak "maju" (arah), kalau negatif maka diasumsikan "mundur" (arah), tapi balik lagi, ini akan bergantung dari kesepatakan kalian ketika menentukan koordinatnya.

Secara umum vektor dapat ditulis sebagai berikut

v=\begin{bmatrix} v_1\\v_2\\\cdots \\v_n  \end{bmatrix}

yaitu vektor yang berdimensi n .

Sejauh ini kita akan dibatasi dimensi tiga saja, mengingat objek-objek yang diamati berada di ruang tiga dimensi. Dan khusus untuk kali ini, mampaknya akan lebih sering lagi berkutat di dua dimensi saja.

Representasi vektor pada koordinat kartesius

Lantas bagaimana besar dan arah yang disebutkan sebelumnya bisa kita dapatkan informasinya? Ambil contoh untuk dua dimensi (yang akan sering digunakan), secara umum vektornya bisa kita tuliskan sebagai berikut v=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}

Representasi dari vektor ini tak lain merupakan menentukan posisi, analoginya mirip posisi suatu titik pada bidang kartesius. Dengan demikian besarannnya (magnitude) adalah \|v\|=\sqrt{x^{2} + y^{2}}, yang tak lain merupakan panjang suatu titik dari titik acuannya, yang mana ditentukan dengan teorema Pythagoras. Dan untuk arah (orientasinya) adalah \theta=tan^{-1}\,\left(\frac{y}{x}\right) .

Operasi pada Vektor

Jika pada skalar alias vektor satu dimensi dapat dioperasikan artinya vektor dua, tiga dimensi dan seterusnya bisa dong? Tentu bisa jawabannya.

Pada pertambahan, vektor hasil operasi tersebut merupakan vektor yang elemennya merupakan pertambahan dari dua elemen vektor dengan letak yang sama, begitu juga untuk operasi pengurangan. Sebagai contoh kita punya dua vektor v_1 dan v_2 (akan digunakan pada operasi yang lain juga).

Dua vektor yang akan dioperasikan

Secara visual, hasil dari pertambahannya yakni sebagai berikut.

Hasil operasi pertambahan dua vektor

Atau bisa juga sebagai berikut.

Alternatif hasil operasi pertambahan dua vektor

, secara gak langsung kita melihat bahwa operasi pertambahan pada vektor bersifat komutatif, buktinya apa? Sederhana, coba kalian perhatikan bentuk pertambahan skalar yang menjadi elemen vektor ini.

Bukankah pertambahan pada dua bilangan bersifat komutatif?

Kemudian untuk operasi perkalian akan dibahas dua jenis saja, yaitu perkalian dot dan cross.

Perkalian dot diilustrasikan sebagai berikut.

Perkalian dot pada dua vektor

Perkalian ini dapat dipandang sebagai suatu perkalian yang bertujuan untuk mencari seberapa besar porsi suatu vektor pada vektor lainnya atau mencari komponen suatu vektor pada vektor lainnya. Proses tersebut dinamakan proyeksi.

Hasil dari perkalian ini yaitu berupa skalar, dan skalar ini lah yang memberitahu seberapa besar komponen suatu vektor terhadap yang vektor lainnya. Secara matematis untuk vektor dua dimensi dituliskan sebagai

v_1\cdot v_2 = \begin{bmatrix}x_1\\y_1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}x_1\\y_1\end{bmatrix}
\rightarrow = x_1 x_2 + y_1 y_2

, dan inilah nilai c yang dimaksud gambar sebelumnya.

Kemudian untuk perkalian cross dapat diilustrasikan sebagai berikut.

Perkalian cross pada dua vektor

Tujuan dari perkalian ini yaitu mencari suatu vektor lainnya yang tegak lurus terhadap kedua vektor yang dioperasikan. Mengacu pada gambar sebelumnya, vektor hasil operasi yaitu v secara matematis adalah

v = \begin{bmatrix}v_{1y}v_{2z} - v_{1z}v_{2y}\\v_{1z}v_{2x} - v_{1x}v_{2z}\\v_{1x}v_{2y} - v_{1y}v_{2x} \end{bmatrix} .

Pada perkalian cross cukup membingungkan apabila kita lakukan perkalian pada vektor dua dimensi, mengingat, kita selalu mencari vektor yang tegak lurus keduanya, dan tentunya tidak berada di bidang tersebut.

Kemudian, vektor juga dapat dikalikan dengan skalar, hasil operasinya yaitu, suatu vektor yang semua elemennya dikalikan dengan skalar yang dimaksud. Apabila c\in\mathbb{R} dan terdapat suatu vektor v_1, maka v = cv = c\begin{bmatrix}v_1\\v_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}cv_1\\cv_2\end{bmatrix}.

Label
< Materi SebelumnyaTeori Relativitas Khusus
Search icon