Vektor - Pertambahan, Perkalian Dot, Cross, dan Skalar

Diperbarui: July 31st, 2021

Bahas vektor secara mendalam — Representasi matematis yang mempunyai arah dan besaran.

Ketika kita ingin menuju tempat yang belum pernah ditemui, terkadang saat di perjalanan kita bertanya pada seseorang guna mengetahui arah jalan menuju tempatnya.

Orang yang menyampaikan informasi kerap kali berkata "Nanti kalau sudah sekitar 200 meter dari sini ketemu ...(sesuatu) belok kanan. Habis itu lurus kira-kira 100 meter ada gapura terus belok lagi kiri", dan sebagainya.

Tapi informasi itu rasanya seperti ada yang kurang.

Daftar Isi

Mengapa Perlu Vektor?
- Perlunya Informasi Arah
Apa Itu Vektor?
Operasi pada Vektor
- Pertambahan Vektor
- Perkalian Vektor

Mengapa Perlu Vektor?

Melanjuti kasus di atas, nampaknya kita semua perlu satu hal lagi yang bisa memberikan petunjuk berupa orientasinya. Lalu harus bagaimana? Mari kita bahas.

Perlunya Informasi Arah

Apabila kita hanya menyimpan informasi jarak yang ditempuh saja rasanya tidaklah cukup. Karena informasi jarak tidak memberi tahu lokasi pasti suatu tiik. Tentunya, harus tahu arah mana saja yang perlu ditempuh.

Permasalahan tersebut dapat direpresentasikan atau dimodelkan oleh sebuah hal yang dapat menyimpan informasi jarak sekaligus arah. Hal yang dimaksud merupakan vektor.

Vektor merupakan elemen yang mempunyai besaran sekaligus arah.

Apa Itu Vektor?

Jadi vektor itu apa sih? Intinya sederhana, vektor merupakan elemen dari matematika yang mempunyai besaran serta arah.

Vektor sendiri mengandung informasi arah dan besaran secara implisit, artinya tidak secara langsung tertera pada representasinya.

Jadi, jika tanpa menghitungnya terlebih dahulu, gak bakal langsung kelihatan informasi arah yang dimaksud.

Kecuali vektor ini direpresentasikan pada koordinat yang berbeda, ada yang tahu? Reprentasi yang dimaksud yaitu dalam bentuk koordinat polar.

Contoh penggunaan vektor yang paling sederhana yaitu saat merepresentasikan nilai kecepatan suatu benda yang bergerak.

Terutama kecepatan yang melibatkan beberapa komponen, misalnya benda mempunyai kecepatan arah horisontal dan vertikal.

Supaya gampang, pertama-tama coba dibayangin dulu objek yang bergerak di satu dimensi saja.

Maksud satu dimensinya yaitu suatu benda yang berpindah dari satu titik ke titik lainnya secara lurus gak ada belok-beloknya.

Bentuk Khusus Dari Matriks

Tukang iseng mungkin bertanya, bukannya kecepatan pada 1 dimensi merupakan bentuk dari skalar?

Betul, lalu apakah ada hubungan antara vektor dengan skalar? Jawabannya ada tapi cuman untuk kecepatan yang terdiri dari satu komponen aja.

Jadi, skalar merupakan representasi khusus dari vektor, yaitu vektor yang memiliki satu dimensi.

Dan baik skalar maupun vektor merupakan bentuk khusus juga dari representasi yang lebih umum lagi, yaitu matriks.

Oke kita lanjut lagi, informasi arah pada vektor satu dimensi ini dapat terlihat dengan jelas pada tanda bilangannya, positif atau negatif.

Apabila kecepatan positif, maka biasanya benda dianggap bergerak "maju" (ini informsi arahnya), kalau negatif maka diasumsikan "mundur" (arahnya).

Namun ini semua ada pertimbangannya lagi, kondisi ini akan bergantung dari kesepatakan kalian ketika menentukan koordinatnya.

Simbol Vektor

Secara umum vektor dapat ditulis seperti berikut:

$v=\begin{bmatrix} v_1\\v_2\\\cdots \\v_n \end{bmatrix}$

Yaitu vektor yang berdimensi n.

Tapi jangan khawatir, gak akan sampai dimensi nkok. Akan dibatasi dimensi tiga saja, mengingat objek-objek yang diamati berada di ruang tiga dimensi.

Namun khusus kali ini, nampaknya akan lebih sering lagi berkutat di dua dimensi saja.

Representasi vektor pada koordinat kartesius

Gambar di atas merupakan contoh sebuah vektor yang diparametrisasi oleh nilai x dan y.

Menghitung Besar dan Arah

Lantas bagaimana besar dan arah yang disebutkan sebelumnya bisa kita dapatkan informasinya?

Ambil contoh untuk dua dimensi (akan sering digunakan seterusnya), secara umum vektornya bisa kita tuliskan sebagai berikut:

$v=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$

Representasi dari vektor ini tak lain merupakan bentuk yang menentukan posisi, analoginya mirip posisi suatu titik pada bidang kartesius.

Selaras dengan materi itu, dengan demikian besarannnya (magnitude) sama-sama bisa dicari dengan:

$\|v\|=\sqrt{x^{2} + y^{2}}$

Bentuk ini tak lain merupakan panjang suatu titik dari titik acuannya, yang mana ditentukan dengan teorema Pythagoras.

Untuk arah atau orientasinya digunakan konsep trigonometri. Ibaratnya titik itu membentuk segitiga dengan alas x dan tinggi y. Demikian besar sudutnya:

$\theta=tan^{-1}\,\left(\frac{y}{x}\right)$

Operasi pada Vektor

Jika pada skalar alias vektor satu dimensi dapat dioperasikan artinya vektor dua, tiga dimensi dan seterusnya bisa dong? Tentu bisa jawabannya.

Pertambahan Vektor

Pada pertambahan, vektor hasil operasi tersebut merupakan vektor yang elemennya merupakan pertambahan dari dua elemen vektor dengan letak yang sama. Begitu juga untuk operasi pengurangan.

Sebagai contoh, kita punya dua vektor v₁ dan v₂ (akan digunakan pada operasi yang lain juga).

Secara visual, hasil dari pertambahannya yakni seperti berikut:

Atau bisa juga disusun seperti ini:

Alternatif hasil operasi pertambahan dua vektor

Secara gak langsung bisa dilihat kalau operasi pertambahan pada vektor bersifat komutatif, buktinya apa?

Sederhana saja, coba kalian perhatikan bentuk pertambahan skalar yang menjadi elemen vektor ini. Bukankah pertambahan pada dua bilangan bersifat komutatif?

Perkalian Vektor

Kemudian untuk operasi perkalian akan dibahas dua jenis saja, yaitu perkalian dot dan cross.

Perkalian Dot

Perkalian dot diilustrasikan sebagai berikut:

Perkalian ini dapat dipandang sebagai suatu perkalian yang bertujuan untuk mencari seberapa besar porsi suatu vektor pada vektor lainnya.

Atau bisa dianggap juga mencari komponen suatu vektor pada vektor lainnya. Proses tersebut dinamakan proyeksi.

Hasil dari perkalian dot yaitu berupa skalar, dan skalar ini lah yang memberitahu seberapa besar komponen suatu vektor terhadap yang vektor lainnya.

Secara matematis, untuk vektor dua dimensi dituliskan sebagai:

$v_1\cdot v_2 = \begin{bmatrix}x_1\\y_1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}x_1\\y_1\end{bmatrix}$

$= x_1 x_2 + y_1 y_2$

Dan inilah nilai c yang dimaksud gambar sebelumnya.

Perkalian Cross

Kemudian untuk perkalian cross dapat diilustrasikan sebagai berikut:

Tujuan dari perkalian ini yaitu mencari suatu vektor lainnya yang tegak lurus terhadap kedua vektor yang dioperasikan.

Mengacu pada gambar sebelumnya, vektor hasil operasi cross yaitu v. Secara matematis, rumusnya adalah:

$v = \begin{bmatrix}v_{1y}v_{2z} - v_{1z}v_{2y}\\v_{1z}v_{2x} - v_{1x}v_{2z}\\v_{1x}v_{2y} - v_{1y}v_{2x} \end{bmatrix}$

Pada perkalian cross memang cukup membingungkan apabila kita lakukan perkalian pada vektor dua dimensi.

Mengingat tujuan utamanya adalah mencari vektor yang tegak lurus terhadap keduanya, dan tentunya tidak berada di bidang tersebut. Makanya ditunjukkin dengan contoh 3 dimensi.

Perkalian Dengan Skalar

Kemudian, vektor juga dapat dikalikan dengan skalar, hasil operasinya yaitu suatu vektor yang semua elemennya dikalikan dengan skalar yang dimaksud.

Apabila $c\in\mathbb{R}$ (artinya sebuah skalar bilangan real) dan terdapat suatu vektor v₁, maka hasil perkalian dengan skalarnya yaitu:

$v = cv = c\begin{bmatrix}v_1\\v_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}cv_1\\cv_2\end{bmatrix}$

Kalau diilustrasikan, perkalian dengan skalar itu sama saja seperti proses dilatasi pada transformasi geometri.

Jika nilai skalarnya 0 < |c| < 1, akan menyebabkan vektornya menyusut. Jika diluar rentang nilai itu, vektornya memanjang.

Bagaimana jika skalarnya negatif? Maka arah vektornya akan berbalik sejauh 180^° terhadap arah awalnya.

Materi vektor ini akan menjadi pegangan kita semua untuk mempelajari materi-materi fisika lainnya, terutama pada materi yang berkaitan dengan gerak.