Determinan Matriks - Metode Kofaktor

Dipublikasi: October 4th, 2021

Determinan matriks dengan metode kofaktor — Cara menghitung determinan matriks melalui metode kofaktor.

Sebelum masuk ke pemaparan bagaimana menghitung determinan, alangkah baiknya tahu dulu untuk apa sih sebenarnya angka ini?

Salah satu kegunaan utamanya yaitu untuk mengetahui, apakah sebuah matriks memiliki invers atau tidak. Bisa pula untuk menyelesaikan sistem persamaan linear.

Masalah utamanya muncul saat matriks yang ingin dicari determinannya lebih dari 3 × 3. Di mana metode Sarrus, ataupun rumus langsung lainnya tidak bisa langsung digunakan.

Bagi teman-teman yang ingin langsung ke metode kofaktornya bisa langsung aja ke bagian dua.

Daftar Isi

Pola Perkalian Determinan
Metode Kofaktor
- Rumus Kofaktor
Determinan Matriks 4x4 Cara Kofaktor
- Pilih Baris Banyak Nolnya?
Eliminasi Gauss vs Metode Kofaktor

Pola Perkalian Determinan

Coba ingat kembali rumus determinan untuk matriks ordo 2 × 2, yaitu:

$\begin{vmatrix}a_{11}&&a_{12}\\a_{21}&&a_{22}\end{vmatrix} = a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$

Berdasarkan rumus tersebut, dapat dilihat ada kombinasi perkalian dari elemen pada kolom dan baris yang berbeda.

Sekarang, lihat rumus determinan untuk matriks 3 × 3 menggunakan metode Sarrus berikut:

$\begin{vmatrix}a_{11}&&a_{12}&&a_{13}\\a_{21}&&a_{22}&&a_{23}\\a_{31}&&a_{32}&&a_{33}\end{vmatrix}=$

$a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}$

Jika diperhatikan, determinan selalu melibat penjumlahan atas perkalian (sum of product) dalam perhitungannya.

Dan setiap suku perkaliannya tersebut selalu terdiri atas anggota matriks dari kolom dan baris berbeda.

Kita gunakan contoh matriks 3 × 3 sebelumnya, dan sebagai contoh, amati suku keduanya, baik elemen a₁₂, a₂₃, serta a₃₁ tak ada satu pun yang sekolom maupun sebaris.

Begitupun untuk suku-suku lainnya. Tetapi, pertanyaanya bagaimana tanda positif dan negatifnya muncul?

Lihat urutan baris dari masing-masing elemennya. Suku pertama urutan kolomnya adalah 1-2-3, suku kedua 2-3-1, kemudian suku ketiga 3-1-2.

Lalu, pada suku-suku yang bertanda negatif urutan kolomnya yaitu 1-3-2 untuk suku keempat, 2-1-3 suku kelima, dan 3-2-1 suku keenam.

Di sini, urutan kolom 1-2-3 dianggap tidak memerlukan pertukaran kolomnya.

Suku kedua supaya urutannya sama seperti pertama perlu dua (genap) kali perpindahan. Contohnya kolom 1 bertukar dengan 3 lalu dengan 2.

Begitu pula suku ketiga, perlu 2 (genap) kali berpindah. Misalnya kolom 3 tukar dengan 1 lalu dengan 2.

Dari situ bisa dilihat kalau suku-suku negatif selalu berkaitan dengan perpindahan kolomnya sebanyak 1 (ganjil) kali.

Misal suku keenam hanya perlu menukar kolom 1 dengan 3.

Jadi, perpindahan kolom tersebut bekaitan dengan matriks permutasi yang mampu merubah tanda determinan.

Apabila terjadi satu perubahan kolom (bisa juga barisnya), maka menyebabkan determinannya menjadi negatif.

Pola sebelumnya bukanlah suatu kebetulan. Sejatinya ada dua sifat determinan yang bakal dimanfaatkan guna menunjukkan proses tadi, keduanya yaitu:

Apabila dua baris saling tukar, maka determinannya berubah tanda.
Besar determinan suatu matriks merupakan fungsi linear atas baris-baris matriksnya.
Determinan matriks segitiga adalah perkalian elemen diagonal utamanya.

Khusus sifat kedua, maksudnya jika kalian punya matriks seperti:

$\begin{bmatrix}a_{11}&&a_{12}&&a_{13}\\a_{21}&&a_{22}&&a_{23}\\a_{31}&&a_{32}&&a_{33}\end{bmatrix}$

Determinan matriksnya bisa dihitung menjadi sebagai:

$\begin{vmatrix}a_{11}&&0&&0\\a_{21}&&a_{22}&&a_{23}\\a_{31}&&a_{32}&&a_{33}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0&&a_{12}&&a_{13}\\a_{21}&&a_{22}&&a_{23}\\a_{31}&&a_{32}&&a_{33}\end{vmatrix}$

Bisa juga dibuat begini:

$\begin{vmatrix}a_{11}&&0&&0\\a_{21}&&a_{22}&&a_{23}\\a_{31}&&a_{32}&&a_{33}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0&&a_{12}&&0\\a_{21}&&a_{22}&&a_{23}\\a_{31}&&a_{32}&&a_{33}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0&&0&&a_{13}\\a_{21}&&a_{22}&&a_{23}\\a_{31}&&a_{32}&&a_{33}\end{vmatrix}$

Catatan: Baris lainnya tetap sama, hanya salah satu barisnya saja.

Oleh karena itu, saat menghitung determinan matriks 3 × 3 bisa dilakukan:

Di setiap hasil penguraian dari matriks mulanya, masing-masing menyumbang dua suku. Alhasil pada determinan matriks 3 × 3 terdapat 6 suku.

Cara ini juga berlaku untuk menghitung determinan matriks 4 × 4, 5 × 5, bahkan hingga n × n.

Cuman ya perlu kesabaran aja, soalnya perlu hati-hati mencari pasangan elemen dengan baris dan kolomnya berbeda.

Metode Kofaktor

Sesuai nama metodenya, kofaktor, berarti ada sebuah faktor, dalam hal ini adalah faktor pengali yang sama.

Jika ditelaah kembali cara ataupun rumus sebelumnya, terlihat bahwa suku-suku determinan tersebut mempunyai kesamaan beberapa faktornya.

Pada ukuran 2 × 2, sudah tidak bisa difaktorkan kembali, tetapi pada ordo 3 ×3 faktor-faktor yang sama bisa "dikeluarkan".

$a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})+a_{12}(a_{23}a_{31}-a_{21}a_{33})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})$

Nilai-nilai di dalam kurung tersebutlah yang disebut sebagai kofaktor.

Apabila diamati lagi, sekilas terlihat kalau kofaktor tersebut merupakan determinan dari submatriks.

$a_{11}\begin{vmatrix}a_{22}&&a_{23}\\a_{32}&&a_{33}\end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix}a_{21}&&a_{23}\\a_{31}&&a_{33}\end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix}a_{21}&&a_{22}\\a_{31}&&a_{32}\end{vmatrix}$

Supaya makin jelas terlihat bentuk submatriksnya:

$\begin{vmatrix}a_{11}&&\,&&\,\\\,&&a_{22}&&a_{23}\\\,&&a_{32}&&a_{33}\end{vmatrix}$

$\begin{vmatrix}\,&&a_{21}&&\,\\a_{21}&&\,&&a_{23}\\a_{31}&&\,&&a_{33}\end{vmatrix}$

$\begin{vmatrix}\,&&\,&&a_{13}\\a_{21}&&a_{22}&&\,\\a_{31}&&a_{32}&&\,\end{vmatrix}$

Rumus Kofaktor

Secara umum, rumus determinan menggunakan kofaktor yaitu:

$\boxed{\det A = a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+\cdots+a_{in}C_{in}}$

Di mana C_ij adalah kofaktor dari elemen a_ij, rumusnya adalah:

$C_{ij} = (-1)^{i+j} \det M_{ij}$

Variabel i menunjukkan letak baris, j posisi kolom, dan M_ij adalah submatriksnya.

Jadi umumnya, bisa digunakan elemen baris berapapun untuk menentukan kofaktornya. Tidak terbatas pada baris pertama saja.

Bahkan boleh juga kalau mau ekspansi melalui kolomnya. Sehingga nantinya dihitung kofaktor dari elemen-elemen yang sekolom. Nanti tinggal disesuaikan saja indeks-indeks pada rumus tadi.

Penentuan submatriks tersebut bergantung pada elemennya. Asumsikan dipilih semua elemen pada baris kedua.

Misalnya ingin dihitung kofaktor dari elemen a₂₁, maka submatriksnya adalah semua elemen yang tidak berada di baris 2 dan kolom 1.

Agar lebih jelasnya, kalian bisa lihat gambar di bawah.

Penting: Seperti halnya invers matriks, untuk menghitung determinan, matriksnya juga harus persegi, yakni jumlah baris dan kolomnya sama.

Determinan Matriks 4x4 Cara Kofaktor

Di bagian ini coba kita eksekusi metode sebelumnya untuk menghitung determinan matriks 4 × 4.

$\begin{vmatrix}8&&8&&3&&5\\3&&9&&6&&0\\4&&6&&4&&1\\3&&0&&1&&0\end{vmatrix}$

Pada contoh bakal dipilih baris baris ke-1 sebagai perhitungannya. Maka selanjutnya, perlu dihitung kofaktor dari masing-masing elemen pada baris pertama.

Elemen ke-1,1, a₁₁ = 8, kofaktornya:

$\begin{align*}C_{11}&=(-1)^{1+1} \det M_{11}\\&=\begin{vmatrix}9&&6&&0\\6&&4&&1\\0&&1&&0\end{vmatrix}\end{align*}$

Sebenarnya di sini mampu secara langsung dihitung menggunakan metode Sarrus.

Tapi sekarang akan ditunjukkan kalau determinan tersebut bisa juga diterapin metode kofaktor lagi.

Tujuannya, supaya dari teman-teman dapat gambaran apabila menemui masalah berupa menghitung matriks yang ordonya lebih besar.

Besar determinan dari matriks M₁₁ tersebut menggunakan metode kofaktor adalah:

$\begin{align*}\det M_{11}&=9\begin{vmatrix}4&&1\\1&&0\end{vmatrix}-6\begin{vmatrix}6&&1\\0&&0\end{vmatrix}+0\begin{vmatrix}6&&4\\0&&1\end{vmatrix}\\&=-9\end{align*}$

Catatan: Lagi-lagi digunakan baris pertama.

Demikian besar kofaktornya, C₁₁ = -9.

Kofaktor elemen ke-1,2 (a₁₂):

$\begin{align*}C_{12}&=(-1)^{1+2} \det M_{11}\\&=-\begin{vmatrix}3&&6&&0\\4&&4&&1\\3&&1&&0\end{vmatrix}\end{align*}$

Perhitungan determinan submatriks M₁₂:

$\begin{align*}\det M_{12}&=3\begin{vmatrix}4&&1\\1&&0\end{vmatrix}-6\begin{vmatrix}4&&1\\3&&0\end{vmatrix}+0\begin{vmatrix}4&&4\\3&&1\end{vmatrix}\\&=15\end{align*}$

Maka nilai kofaktornya, C₁₂ = -15.

Kofaktor elemen ke-1,3 (a₁₃):

$\begin{align*}C_{13}&=(-1)^{1+3} \det M_{11}\\&=\begin{vmatrix}3&&9&&0\\4&&6&&1\\3&&0&&0\end{vmatrix}\end{align*}$

Kalkulasi determinan submatriks M₁₃:

$\begin{align*}\det M_{13}&=3\begin{vmatrix}6&&1\\0&&0\end{vmatrix}-9\begin{vmatrix}4&&1\\3&&0\end{vmatrix}+0\begin{vmatrix}4&&6\\3&&0\end{vmatrix}\\&=27\end{align*}$

Dengan itu, kofaktornya adalah C₁₃ = 27

Kofaktor elemen ke-1,4 (a₁₄):

$\begin{align*}C_{14}&=(-1)^{1+4} \det M_{11}\\&=-\begin{vmatrix}3&&9&&6\\4&&6&&4\\3&&0&&1\end{vmatrix}\end{align*}$

Nilai determinan submatriks M₁₄:

$\begin{align*}\det M_{14}&=3\begin{vmatrix}6&&4\\0&&1\end{vmatrix}-9\begin{vmatrix}4&&4\\3&&1\end{vmatrix}+6\begin{vmatrix}4&&6\\3&&0\end{vmatrix}\\&=-18\end{align*}$

Dengan itu, kofaktornya adalah C₁₄ = 18

Setelah diperoleh semua kofaktornya, maka determinan matriks 4 × 4 tersebut adalah:

$\begin{align*}a_{11}C_{11}&+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13}+a_{14}C_{14}=\\&8\cdot(-9)+8\cdot(-15)+3\cdot(27)+5\cdot(18)=-21\end{align*}$

Pilih Baris Banyak Nolnya?

Jika di antara kalian bertanya-tanya, kenapa gak menghitung kofaktor dari baris keempat saja?

Pertanyaan menarik, memang kalau dilihat baris tersebut memuat elemen nol paling banyak.

Tapi sebenarnya sama saja, kalau kalian pilih baris keempat, tapi nanti perhitungan determinan pada submatriksnya jarang ditemui nol.

Jadi silahkan pilih saja cara yang menurut kalian paling nyaman.

Eliminasi Gauss vs Metode Kofaktor

Balik sedikit ke sifat-sifat determinan yang telah dimanfaatkan. Sejatinya dari sifat nomor tiga itu bisa pula menghitung nilai ini menggunakan eliminasi Gauss.

Sebab hasil dari proses eliminasi tersebut diperoleh bentuk matriks segitiga, dan tinggal kalikan elemen diagonalnya.

Tapi kalau dari Tim ISENG sendiri lebih memilih cara ini untuk menghitungnya. Terutama untuk perhitungan secara manual tanpa kalkulator.

Alasan utamanya, pada metode kofaktor tidak melibatkan operasi pembagian.

Sehingga, kalau dari elemennya tidak ada pecahan maka tidak akan ada perkalian terhadap pecahan.

Berbanding terbalik dengan proses eliminasi, karena ada terlibatnya pembagian terhadap pivotnya.

Belum lagi kalau pivotnya nol, perlu ditukar dulu, alhasil kalau mengacu pada sifat 1 terjadi perubahan tanda (perlu diingat perubahannya).