Search icon

Metode Cramer

Solusi sistem persamaan menggunakan aturan Cramer
Menghitung solusi sistem persamaan menggunakan determinan.

Ternyata, menyelesaikan sistem persamaan linear itu ada banyak macam cara. Mulai dari eliminasi variabel dalam bentuk persamaan, hingga dalam bentuk matriks.

Nah kali ini, kalian bakal melihat bagaimana sebuah sistem persamaan mampu diselesaikan tanpa melakukan eliminasi. Nama tekniknya ialah aturan Cramer.

Daftar Isi

Aturan Cramer

Penyelesaian sebuah sistem persamaan dapat dilakukan tanpa perlu pusing-pusing memikirkan sebuah faktor pengali atau pivotnya.

Tetapi, menggunakan cara satu ini diperlukan setidaknya pemahaman mengenai dasar matriks berupa determinan.

Ada satu sifat determinan yang bakal dimanfaatkan sekarang. Yaitu apabila dua matriks dikalikan, maka determinan atas hasil perkaliannya sama dengan determinan dari masing-masing matriks lalu dikalikan.

Artinya perhitungan determinannya bisa dilakukan secara terpisah, seperti ini maksudnya:

\begin{align*}AB&=C\\\rightarrow\det AB=\det A\det B&=\det C\end{align*}

Ingat kembali kalau suatu matriks apabila dikalikan dengan matriks identitas, maka hasilnya adalah matriks itu sendiri.

Lalu, perlu diketahui juga kalau suatu sistem persamaan linear dapat ditulis dalam bentuk persamaan matriks sebagai Ax = b.

Sebagai gambaran, asumsikan terdapat matriks berukuran n × n (persegi), sebut saja A.

Matriks tersebut anggap aja mewakili suatu sistem persamaan linear. Apabila dikalikan dengan matriks identitas, maka:

Matriks identitas kolomnya diganti

Lalu supaya lebih jelas, matriks identitasnya dituliskan dalam bentuk vektor kolomnya.

Berdasarkan ilustrasi sebelumnya juga, bisa dilihat kalau bentuk identitasnya dimanipulasi sehingga salah satu kolomnya adalah vektor x.

Akibatnya, hasil perkaliannya tidak lagi matriks itu sendiri. Melainkan bentuk yang serupa namun salah satu kolomnya adalah hasil dari Ax, yakni b.

Hasil manipulasi dari bentuk indentitas tersebut masih berbentuk matriks segitiga.

Alhasil dapat digunakan sifat determinan dari jenis matriks tersebut. Yakni nilai determinannya adalah perkalian antara elemen diagonal utamanya.

Terlihat jelas juga kalau perkalian pada diagonal utamanya yaitu x1.

Misalkan bentuk matriks A dengan perubahan pada kolom pertamanya disimbolkan oleh B1.

Demikian determinan dari ruas kanan dan kirinya adalah:

\begin{align*}\det A\cdot x_1&=\det B_1\\x_1&=\frac{\det B_1}{\det A}\end{align*}

Untuk ruas kirinya dimanfaatkan sifat perkalian determinan.

Bagaimana jika kolom yang diubahnya merupakan kolom kedua? Maka akan diperoleh nilai x2.

Begitu seterusnya untuk masing-masing kolom. Intinya penempatan vektor x pada bentuk identitas tersebut menentukan variabel mana yang ingin dicari.

Rumus Aturan Cramer

Sehingga secara umum, rumus untuk aturan Cramer dapat dituliskan sebagai:

\boxed{x_i = \frac{\det B_i}{\det A}}

Keterangan variabel:

  • xi: Variabel yang ingin diketahui nilainya.
  • det Bi: Determinan dari matriks di mana vektor kolom ke-i diganti vektor b.
  • det A: Determinan matriks A.
Rumus aturan Cramer

Syarat Penggunaan

Metode Cramer hanya mampu menyelesaikan masalah sistem persamaan jika jumlah variabel tidak diketahuinya sama dengan jumlah persamaannya.

Seandainya banyak persamaannya lebih sedikit menyebabkan determinan penyebutnya bernilai nol.

Kalau jumlah variabelnya lebih sedikit, menyebabkan matriksnya tidak berbentuk persegi. Alhasil tidak bisa dihitung determinannya.

Bisa Untuk Mencari Invers

Aturan Cramer dapat juga digunakan untuk menghitung invers matriks.

Mengingat solusi sistem persamaan mampu diketahui, sangat masuk akal kalau inversnya pun bisa.

Agar lebih jelas bagaimana inversnya ditemukan, perhitungan determinannya bakal menggunakan kofaktor. Ilustrasinya seperti gambar di bawah.

Invers matriks menggunakan aturan Cramer

Inti dari proses di atas yaitu saat hendak menghitung determinan Bi jangan langsung dijumlahkan, melainkan dibuat menjadi kombinasi linear.

Jadi pada dasarnya, perhitungan matriks bisa diperoleh melalui perhitungan kofaktor dari masing-masing elemen matriks. Kemudian matriksnya dibagi determinan matriks A.

Contoh Soal Metode Cramer

Misalnya, kita memiliki sebuah sistem persamaan sebagai berikut:

\begin{align*}x-3y+2z&=4\\2x+3y-z&=16\\4x-3y-z&=19\end{align*}

Langkah pertama adalah merubah representasi tersebut ke dalam bentuk matriks berupa Ax = b.

\begin{bmatrix}1&&-3&&2\\2&&3&&-1\\4&&-3&&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\\16\\19\end{bmatrix}

Setelah itu, hitung determinan dari matriks sistemnya. Silahkan kalian pilih menggunakan teknik apapun, boleh menggunakan metode Sarrus ataupun kofaktor.

Tapi karena lebih umum menggunakan metode Sarrus, di sini bakal ditunjukkan menggunakan cara tersebut. Demikian nilai determinannya adalah:

\begin{align*}\det A&=1\cdot3\cdot(-1)+(-3)\cdot(-1)\cdot4+2\cdot2\cdot(-3)\\&\quad-4\cdot3\cdot2-(-3)\cdot(-1)\cdot1-(-1)\cdot(2)\cdot(-3)\\&=-36\end{align*}

Setelah itu, maka solusi dari sistem persamaannya dapat langsung ditemukan menggunakan rumus aturan Cramer di atas.

Untuk x1, susun dahulu matriks B1-nya:

\begin{bmatrix}4&&-3&&2\\16&&3&&-1\\19&&-3&&-1\end{bmatrix}

Perhatikan: Kolom pertamanya merupakan vektor b.

Determinan dari matriks tersebut adalah:

\begin{align*}\det B_1&=4\cdot3\cdot(-1)+(-3)\cdot(-1)\cdot19+2\cdot16\cdot(-3)\\&\quad19\cdot3\cdot2-(-3)\cdot(-1)\cdot4-(-1)\cdot(16)\cdot(-3)\\&=-225\end{align*}

Selanjutnya, untuk x2:

\begin{bmatrix}1&&4&&2\\2&&16&&-1\\4&&19&&-1\end{bmatrix}

Besar determinannya:

\begin{align*}\det B_2&=1\cdot16\cdot(-1)+4\cdot(-1)\cdot4+2\cdot2\cdot19\\&\quad-4\cdot16\cdot2-19\cdot(-1)\cdot1-(-1)\cdot(2)\cdot4\\&=-57\end{align*}

Terakhir, untuk x3:

\begin{bmatrix}1&&-3&&4\\2&&3&&16\\4&&-3&&19\end{bmatrix}

Besar determinannya:

\begin{align*}\det B_2&=1\cdot3\cdot19+(-3)\cdot16\cdot4+4\cdot2\cdot(-3)\\&\quad-4\cdot3\cdot4-(-3)\cdot16\cdot1-19\cdot(2)\cdot(-3)\\&=-45\end{align*}

Sehingga, solusi dari sistem persamaannya adalah:

  • x1 = det B1/det A = -225/-36 = 6.25.
  • x2 = det B2/det A = -57/-36 = 19/12.
  • x3 = det B3/det A = -45/-36 = 1.25.

Dengan langkah serupa bisa kalian selesaikan untuk ordo matriks berapapun. Pada kasus ukuran 2 × 2, penyelesaiannya bakal lebih mudah lagi.

Trik Cepat Biar Lebih Efisien

Berdasarkan ngulik-ngulik Tim ISENG, pengerjaannya bisa dilakukan lebih cepat apabila digunakan metode kofaktor.

Di materi kofaktor pernah dijelaskan kalau perhitungannya tidak melulu terpaku pada baris. Boleh juga pada elemen-elemen kolom matriksnya.

Jadi intinya, kalian pilih salah satu kolom dari matrks A yang ingin dihitung kofaktornya.

Nanti di salah satu variabelnya, misalnya xi, kalian gak perlu menghitung kofaktornya lagi. Tinggal ganti nilai elemennya, sisanya sama.

Jadi kalau tadinya harus menghitung seluruh determinan yang diperlukan, dengan ini kita menghemat satu tahap perhitungan.

Cara ini bakal cukup membantu untuk ordo yang tidak begitu besar. Contohnya 3 × 3, 4 × 4, hingga 5 × 5.

Soalnya kalau sudah terlalu tinggi ordonya bakal gak begitu signifikan kalau melewati satu tahap aja.

Kelebihan dan Kekurangan Metode Cramer

Bagusnya metode ini antara lain:

  • Gak perlu repot-repot mikirin berapa faktor pengali yang dibutuhkan untuk melakukan eliminasi.
  • Tidak perlu menyusun ulang baris matriksnya jika ditemui pivotnya bernilai nol.
  • Pokoknya, bisa langsung dipakai rumusnya secara mentah-mentah.

Lalu seperti yang telah dijelaskan pada materi metode kofaktor, menggunakan determinan meminimalisir adanya bilangan pecahan. Cocok untuk perhitungan secara manual (tanpa kalkulator).

Tetapi di samping kelebihan itu ada juga beberapa kekurangannya.

Pertama, jika determinan A nol, maka dianggap tidak ada solusi, padahal belum tentu.

Memang nilai determinan menentukan apakah matriksnya dapat diinvers atau tidak, sehingga ada pengaruhnya ke Ax = b.

Karena ketidakhadiran invers matriks hanya menentukan tidak adanya solusi tunggal (unik). Maksudnya akan menyebabkan ada banyak solusi yang memenuhi sistem persamaannya.

Terus jumlah operasi perkalian yang dibutuhkan lebih banyak ketimbang eliminasi Gauss.

Sebab pada tahap eliminasi kedua, mengeliminasi elemen di atas diagonal utamanya jauh lebih gampang.

Alasannya karena elemen di bawah diagonal utamanya sudah bernilai nol. Sehingga tidak merubah elemen lainnya yang tidak satu kolom dengan pivot.

Label

Komentar