Baris dan Deret

Fokus kita kali ini yaitu menggali informasi apa saja pada suatu rentetan bilangan
Fokus kita kali ini yaitu menggali informasi apa saja pada suatu rentetan bilangan.

Pola Bilangan

Kita selalu tertarik untuk mengetahui sesuatu yang mempunyai pola tertentu, seperti misal siang dan malam yang silih berganti setiap 12 jam sekali (mulai dari jam 6 pagi hingga jam 6 malam), selain itu ada pula periode bulan mengelilingi bumi selama 30 hari, dan masih banyak lagi.

Suatu rentetan bilangan juga dapat memiliki pola seperti itu, misal 2,6,10,14,18,\dotsc, bilangan-bilangan tersebut merupakan hasil pertambahan dari bilangan sebelumnya. Atau bisa juga rentetan bilangan seperti 8,4,2,1,\frac{1}{2},\dotsc, bilangan-bilangan tersebut merupakan setengah dari bilangan sebelumnya.

Baris dan deret

Mungkin sebagian dari kalian telah menyadarinya bahwa, pola bilangan terlah dipelajari semasa SMP, nah sekarang, kita akan mengembangkan lagi permasalahan tentang pola bilangan tersebut, seperti mengetahui total dari semua bilangan, kemudian menanganinya lebih kuantitatif lagi.

Baris Aritmatika dan Geometri

Kita awali dengan pembahasan mengenai baris terlebih dahulu. Bilangan pada suatu baris mempunyai hubungan dengan bilangan sebelumnya, dan hubungan tersebut bisa saja berupa pertambahan atau bisa juga perkalian. Baris yang bilangan-bilanganya saling berkaitan berdasarkan operasi pertambahan (atau pengurangan, alias pertambahan dengan bilangan negatif) disebut sebagai baris aritmatika.

Apabila bilangan-bilangan pada suatu baris saling berkaitan berdasarkan operasi perkalian (atau pembagian, alias perkalian dengan bilangan pecahan), baris tersebut dinamakan sebagai baris geometri. Mulai saat ini bilangan-bilangan pada suatu baris akan kita sebut sebagai suku..

Pada baris aritmatika, dua suku yang saling bersebelahan mempunyai selisih yang sama ketika kita menghitung selisih pada dua suku yang bersebelahan pada posisi sembarang. Begitu juga pada baris geometri, perbandingan (atau kelipatan) antara bilangan yang saling berdekatan akan selalu sama seperti dua suku yang bersebelahan juga namun pada posisi sembarang.

Kita akan menyebut perbedaan antara suatu suku dengan suku sebelumnya sebagai "beda" pada baris artimetika, sedangkan pada baris geometri, kita akan menyebutnya sebagai rasio. Secara matematis, maka bisa kita buat rumus untuk baris aritmatika sebagai berikut U_n = U_{n-1} + b
, di mana U_n merupakan suku pada posisi ke n, U_{n-1} merupakan suku pada posisi ke n-1 (suku yang berada tepat sebelum U_n), dan b adalah beda atau selisih antara U_n dengan U_{n-1}.

Kemudian untuk baris geometri, secara matematis dapat dibuat rumusnya seperti berikut
U_n = U_{n-1}r
, dengan penjelasan yang sama untuk U_n dan U_{n-1}, dan r adalah rasio antara U_n dengan U_{n-1}.

Tapi kalau dipikir-pikir rumus tersebut dirasa kurang efektif, karena kita perlu mengetahui suku-suku sebelumnya terlebih dahulu sebelum mengetahui, misal suku ke n. Seperti contoh, untuk mengetahui suku ke 7, maka kita harus mengetahui suku ke 6, terus ke 5, terus ke 4, dan seterusnya.

Untuk mempermudah proses tersebut, kita perlu rumus yang lebih canggih. Perhatikan baris di bawah ini

U_1, U_2, U_3, \dotsc, U_n

Untuk baris aritmatika, maka dapat kita tuliskan sebagai berikut

U_1, U_1 + b, U_2 + b, \dotsc, U_{n-1}+b

, karena bedanya konstan, maka kita dapat mengujinya untuk tiga suku pertama yaitu

U_1, U_1 + b, (U_1+b) + b, \dotsc
U_1, U_1 + b, U_1 + 2b, \dotsc
U_1 + (1-1)b, U_1 + (2-1)b, U_1 + (3-1)b, \dotsc

, dapat dipastikan bahwa pada suku ke n yaitu
U_n = U_1 + (n-1)b .

Kemudian untuk baris geometri, maka dapat kita tuliskan sebagai berikut

U_1, U_1r, U_2r, \dotsc, U_{n-1}r

, karena rasionya konstan, maka kita dapat mengujinya untuk tiga suku pertama yaitu

U_1, U_1r, (U_1r)r, \dotsc
U_1, U_1r, U_1r^2, \dotsc
U_1r^{0}, U_1r^{2-1}, U_1r^{3-1}, \dotsc

, dapat dipastikan bahwa pada suku ke n yaitu
U_n = U_1r^{n-1} .

Sebagai contoh, kita punya deret seperti berikut 3,10,17,24,\dotsc, dengan prinsip bahwa bedanya sama, maka b = 7 dengan menguji salah satu suku dengan suku sebelumnya. Untuk mengetahui suku ke 50, dengan mudah akan kita ketahui dengan rumus sebelumnya, yaitu
U_{50} = 3 + (50 -1 )7
U_{50} = 346 .

Itu adalah contoh untuk baris aritmatika, untuk baris geometri misal kita punya deret sebagai berikut 2,10,50,250,1250,\dotsc, dengan prinsip bahwa rasionya sama, maka r = 5 dengan menguji salah satu suku dengan suku sebelumnya. Coba kita cari suku ke 10, maka suku tersebut ialah
U_{10} = 2(5)^{10}
U_{10} = 19531240 .

Deret Aritmatika dan Geometri

Nah sekarang, kita masuk ke pembahasan mengenai berapa jumlah dari n suku pertama dari suatu rentetan bilangan, atau yang biasa disebut sebagai deret. Misal pada deret aritmatika, seperti 2+4+6+8+10+..., kita tahu bahwa deret tersebut merupakan deret aritmatika dengan beda b = 2.

Pertanyaanya bagaimana menghitung jumalahan tersebut pada untuk 20 suku pertama? Mungkin kita dapat menghitungnya satu-persatu, tapi bagaimana untuk 50 suku pertama, atau bagaimana dengan 100 suku pertama? Tentu kita bisa menghitungnya secara satu-persatu juga.

Namun, dengan cara tersebut tentu melelahkan karena banyaknya angka yang ingin dijumlahkan, selain itu rawan error juga saat perhitungannya. Dengan demikian kita perlu cara lain yang lebih mudah, mari kita cari rumusnya.

Misal jumlahan dari suatu deret aritmatika untuk n suku pertama kita anggap sebagai S_n, yaitu

S_n = U_1 + U_2 + U_3 + \dotsc + U_n
S_n = U_1 + (U_1+b) + (U_1+2b) + \dotsc + (U_1 + (n-1)b)

, cukup tricky untuk mencari rumusnya, coba kalian balik urutan penulisannya dari suku n menuju suku ke 1.

S_n = (U_1 + (n-1)b) + (U_1 + (n-2)b) + (U_1 + (n-3)b) + \dotsc + U_1

Lalu, kita jumlahkan keduanya

S_n = U_1 + (U_1+b) + (U_1+2b) + \dotsc + (U_1 + (n-1)b)
\underline{S_n = (U_1 + (n-1)b) + (U_1 + (n-2)b) + (U_1 + (n-3)b) + \dotsc + U_1}+
2S_n = (2U_1 + (n-1)b) + (2U_1 + (n-1)b) + (2U_1 + (n-1)b) + \dotsc + (2U_1 + (n-1)b)
2S_n = n(2U_1 + (n-1)b)
S_n = n(U_1 + \frac{(n-1)b}{2}).

Nah, sekarang kita coba untuk deret geometri, kita anggap juga jumlahan n suku pertama untuk deret geometri sebagai S_n, yaitu

S_n = U_1 + U_2 + U_3 + \dotsc + U_n
S_n = U_1 + U_1r + U_1r^2 + \dotsc + U_1r^{n-1}

, coba kita kalikan rumus tersebut dengan rasio deret tersebut r, sehingga menjadi

rS_n = U_1r + U_1r^2 + U_1r^3 + \dotsc + U_1r^n

Kemudian kita kurangkan antara yang sebelum dan sesudah dikalikan rasionya

S_n = U_1 + \cancel{U_1r} + \cancel{U_1r^2} + \dotsc + \cancel{U_1r^{n-1}}
\underline{rS_n = \cancel{U_1r} + \cancel{U_1r^2} + \cancel{U_1r^3} + \dotsc + U_1r^n}-
S_n - rS_n = U_1 - U_1r^n
S_n = U_1\frac{1 - r^n}{1 - r}

Untuk deret geometr, terutama untuk rasio yang berada di 0<r<1, bisa saja kita berurusan dengan jumlah sukunya yang sangat banyak, bahkan mendekati tak berhingga. Karena kita tahu, dengan rasio 0<r<1, nilai pada suku ke n dan seterusnya akan semakin mengecil.

Karena kita belum belajar mengenai konsep limit, kita tulis lagi rumus jumlahan deret geometri, namun untuk banyak suku yang tak berhingga

S_n = U_1 + U_2 + U_3 + \dotsc
S_n = U_1 + U_1r + U_1r^2 + \dotsc

, lagi-lagi kita kalikan dengan rasionya r, sehingga menjadi

rS_n = U_1r + U_1r^2 + U_1r^3 + \dotsc

Dengan prosedur yang sama seperti sebelumnya

S_n = U_1 + \cancel{U_1r} + \cancel{U_1r^2} + \dotsc
\underline{rS_n = \cancel{U_1r} + \cancel{U_1r^2} + \cancel{U_1r^3} + \dotsc}-
S_n - rS_n = U_1
S_n = U_1\frac{1}{1 - r}

Silahkan untuk kalian yang penasaran, bisa dicoba sendiri!

Label
< Materi SebelumnyaTurunan Fungsi Aljabar
Search icon