Barisan dan Deret Aritmetika & Geometri

Diperbarui: February 16th, 2021

Menghitung barisan dan deret — Mencari suku serta menghitung jumlahan suku rentetan bilangan.

Menghitung jumlah bilangan yang banyaknya tak berhingga? Siapa takut! Kita bakal dibantu sama konsep barisan dan deret.

Tapi semua itu ada syaratnya. Cari tahu yuk apa saja kondisi yang harus dipenuhi.

Daftar Isi

Merumuskan Pola Bilangan
Barisan Bilangan
Deret Bilangan
- Deret Aritmatika dan Geometri
- Contoh Soal 2

Merumuskan Pola Bilangan

Kita selalu tertarik untuk mengetahui suatu hal yang mempunyai pola tertentu.

Seperti misal siang dan malam yang silih berganti setiap 12 jam sekali (mulai dari jam 6 pagi hingga jam 6 malam).

Selain itu, ada pula periode bulan mengelilingi bumi selama 30 hari, pola tahunan akibat revolusi bumi, dan masih banyak lagi.

Suatu rentetan bilangan juga dapat memiliki pola seperti itu, misalnya 2, 6, 10, 14, 18, ... . Bilangan-bilangan tersebut adalah hasil pertambahan dari bilangan sebelumnya.

Atau, bisa juga rentetan bilangan seperti 8, 4, 2, 1, 1/2, ..., bilangan-bilangan itu merupakan setengah dari bilangan sebelumnya.

Mungkin sebagian dari kalian telah menyadarinya bahwa, pola bilangan telah dipelajari semasa SMP.

Nah sekarang, kita akan mengembangkan lebih lanjut permasalahan tentang pola bilangan tersebut. Seperti mengetahui total dari semua bilangan, kemudian menanganinya lebih kuantitatif lagi.

Barisan Bilangan

Akan awali dengan pembahasan mengenai barisan terlebih dahulu.

Bilangan pada suatu baris mempunyai hubungan dengan bilangan sebelumnya. Hubungan tersebut bisa saja berupa operasi pertambahan atau bisa juga perkalian.

Barisan Aritmatika dan Geometri

Baris yang bilangan-bilanganya saling berkaitan berdasarkan operasi pertambahan (atau pengurangan, alias pertambahan dengan bilangan negatif) disebut sebagai baris aritmatika.

Apabila bilangan-bilangan pada suatu baris saling berkaitan berdasarkan operasi perkalian (atau pembagian, alias perkalian dengan bilangan pecahan), baris tersebut dinamakan sebagai baris geometri.

Mulai saat ini, bilangan-bilangan pada suatu baris akan disebut sebagai suku.

Pada baris aritmatika, dua suku yang saling bersebelahan mempunyai selisih yang sama ketika kita menghitung selisih pada dua suku yang bersebelahan pada posisi sembarang.

Begitu juga pada baris geometri, perbandingan (atau kelipatan) antara bilangan yang saling berdekatan akan selalu sama seperti dua suku yang bersebelahan juga namun pada posisi sembarang.

Hubungan Suatu Suku Dengan Suku Sebelumnya

Kita akan menyebut perbedaan antara suatu suku dengan suku sebelumnya sebagai beda pada baris artimetika.

Secara matematis, maka bisa dibuat rumus untuk menentukan bilangan pada suku tertentu dari baris aritmatika, sebagai berikut:

$U_n = U_{n-1} + b$

Keterangan variabel:

U_n merupakan suku pada posisi ke n.
U_n-1 merupakan suku pada posisi ke n-1 (suku yang berada tepat sebelum U_n).
b adalah beda atau selisih antara U_n dengan U_n-1.

Untuk baris geometri, hal yang mirip dengan "beda" yang dimaksud sebelumnya dinamai sebagai rasio.

Rasio ini ialah perbandingan antara dua suku. Yakni suku yang dituju dibagi dengan tepat suku sebelumnya.

Kemudian untuk baris geometri, secara matematis rumus untuk mencari suku tertentu dituliskan seperti berikut:

$U_n = U_{n-1}r$

Dengan penjelasan yang sama untuk U_n dan U_n-1. Sedangkan r-nya adalah rasio antara U_n dengan U_n-1.

Mencari Suku Ke-n Berdasarkan Suku Pertama

Tapi kalau dipikir-pikir rumus tersebut dirasa kurang efektif kalau ingin mencari tahu suku ke-n.

Karena kita perlu mengetahui suku-suku sebelumnya terlebih dahulu sebelum mengetahui bilangan pada suku yang dituju.

Seperti contoh, untuk mengetahui suku ke-7, maka harus diketahui dahulu suku ke 6, terus ke 5, terus ke-4, dan seterusnya.

Untuk mempermudah proses tersebut, kita perlu rumus yang lebih "canggih". Perhatikan baris di bawah ini:

$U_1, U_2, U_3, \dotsc, U_n$

Untuk baris aritmatika, maka dapat kita tuliskan sebagai berikut:

$U_1, U_1 + b, U_2 + b, \dotsc, U_{n-1}+b$

Karena bedanya konstan, maka kita dapat mengujinya untuk tiga suku pertama yaitu:

$U_1, U_1 + b, (U_1+b) + b, \dotsc$

$U_1, U_1 + b, U_1 + 2b, \dotsc$

$U_1 + (1-1)b, U_1 + (2-1)b, U_1 + (3-1)b, \dotsc$

Demikian, dapat dipastikan bahwa pada suku ke-n yaitu:

$U_n = U_1 + (n-1)b$

Dengan ini, hanya diperlukan informasi suku pertama saja untuk menemukan suku lainnya.

Kemudian untuk baris geometri, maka dapat kita tuliskan sebagai berikut:

$U_1, U_1r, U_2r, \dotsc, U_{n-1}r$

Anggap rasionya konstan, secara sama, dapat diuji untuk tiga suku pertama yaitu:

$U_1, U_1r, (U_1r)r, \dotsc$

$U_1, U_1r, U_1r^2, \dotsc$

$U_1r^{0}, U_1r^{2-1}, U_1r^{3-1}, \dotsc$

Sehingga dapat dipastikan bahwa pada suku ke-n yaitu:

$U_n = U_1r^{n-1}$

Contoh Soal 1

Sebagai contoh, kita punya deret seperti berikut 3, 10, 17, 24, ..., karena bedanya konstan maka bisa diterapkan rumus tadi.

Dalam hal ini b = 7, bisa dicari dengan menguji salah satu suku dengan suku sebelumnya. Kemudian U₁-nya adalah 3.

Untuk mengetahui suku ke-50, dengan mudah akan kita ketahui dengan rumus sebelumnya, yaitu:

$U_{50} = 3 + (50 -1 )7$

$U_{50} = 346$

Itu adalah contoh untuk baris aritmatika, untuk baris geometri misal terdapat deret seperti ini 2, 10, 50, 250, 1250, ... .

Dengan prinsip bahwa rasionya sama, maka r = 5, cara mengetahuinya dengan menguji salah satu suku dengan suku sebelumnya.

Coba kita cari suku ke-10, maka suku tersebut ialah:

$U_{10} = 2(5)^{10}$

$U_{10} = 19531240$

Deret Bilangan

Nah sekarang, kita masuk ke pembahasan mengenai berapa jumlah dari n suku pertama dari suatu rentetan bilangan. Atau yang biasa disebut sebagai deret.

Misal pada deret aritmatika seperti 2 + 4 + 6 + 8 + 10 +..., sangat jelas bahwa deret tersebut merupakan deret aritmatika dengan bedanya dua, b = 2.

Deret Aritmatika dan Geometri

Pertanyaanya bagaimana menghitung jumlahan tersebut untuk 20 suku pertamanya?

Salah satu cara caranya bisa dengan menghitungnya secara manual. Tapi bagaimana untuk 50 suku pertama? Atau dengan 100 suku pertama?

Tentunya kalau niat dapat menghitungnya satu demi satu setiap sukunya.

Namun, dengan cara tersebut tentu melelahkan karena banyaknya angka yang ingin dijumlahkan.

Selain itu rawan error juga saat perhitungannya. Oleh karena itu diperlukan cara lain yang lebih mudah, mari kita cari rumusnya.

Rumus Deret Aritmatika

Misal jumlahan dari suatu deret aritmatika untuk n suku pertama kita anggap sebagai S_n yaitu:

$S_n = U_1 + U_2 + U_3 + \dotsc + U_n$

$S_n = U_1 + (U_1+b) + (U_1+2b) + \dotsc + (U_1 + (n-1)b)$

Cukup tricky untuk mencari rumusnya, coba kalian balik urutan penulisannya dari suku ke-n menuju suku ke 1.

$S_n = (U_1 + (n-1)b) + (U_1 + (n-2)b) + (U_1 + (n-3)b) + \dotsc + U_1$

Setelah diurutkan, lalu jumlahkan keduanya:

$S_n = U_1 + (U_1+b) + (U_1+2b) + \dotsc + (U_1 + (n-1)b)$

$\underline{S_n = (U_1 + (n-1)b) + (U_1 + (n-2)b) + (U_1 + (n-3)b) + \dotsc + U_1}+$

$2S_n = (2U_1 + (n-1)b) + (2U_1 + (n-1)b) + (2U_1 + (n-1)b) + \dotsc + (2U_1 + (n-1)b)$

$2S_n = n(2U_1 + (n-1)b)$

$S_n = n(U_1 + \frac{(n-1)b}{2})$

Rumus Deret Geometri

Nah, sekarang kita coba untuk deret geometri, kita anggap juga jumlahan n suku pertama untuk deret geometri juga sebagai S_n, yaitu:

$S_n = U_1 + U_2 + U_3 + \dotsc + U_n$

$S_n = U_1 + U_1r + U_1r^2 + \dotsc + U_1r^{n-1}$

Coba kita kalikan rumus tersebut dengan rasio deretnya, yakni r, sehingga menjadi:

$rS_n = U_1r + U_1r^2 + U_1r^3 + \dotsc + U_1r^n$

Kemudian kita kurangkan antara jumlahan sebelum dikalikan dan sesudah dikalikan rasionya:

$S_n = U_1 + \cancel{U_1r} + \cancel{U_1r^2} + \dotsc + \cancel{U_1r^{n-1}}$

$\underline{rS_n = \cancel{U_1r} + \cancel{U_1r^2} + \cancel{U_1r^3} + \dotsc + U_1r^n}-$

$S_n - rS_n = U_1 - U_1r^n$

$S_n = U_1\frac{1 - r^n}{1 - r}$

Rumus Deret Geometri Tak Hingga

Untuk deret geometri, terutama untuk rasio yang berada di 0 < r < 1, bisa saja kita berurusan dengan jumlah sukunya yang sangat banyak.

Bahkan saking banyaknya, mendekati tak berhingga. Tapi hal itu tidak akan menjadi masalah.

Karena diketahui kalau rasionya merupakan sebuah pecahan yang nilainya 0 < r < 1. Nilai pada suku ke n dan seterusnya akan semakin mengecil.

Karena kita belum belajar mengenai konsep limit, kita tulis lagi rumus jumlahan deret geometri, namun untuk banyak suku yang tak berhingga.

$S_n = U_1 + U_2 + U_3 + \dotsc$

$S_n = U_1 + U_1r + U_1r^2 + \dotsc$

Lagi-lagi kita kalikan dengan rasionya r, sehingga menjadi:

$rS_n = U_1r + U_1r^2 + U_1r^3 + \dotsc$

Dengan prosedur yang sama seperti sebelumnya:

$S_n = U_1 + \cancel{U_1r} + \cancel{U_1r^2} + \dotsc$

$\underline{rS_n = \cancel{U_1r} + \cancel{U_1r^2} + \cancel{U_1r^3} + \dotsc}-$

$S_n - rS_n = U_1$

$S_n = U_1\frac{1}{1 - r}$

Contoh Soal 2

Sebagai contoh, gunakan lagi deret bilangan genap yang di awal, yakni 2 + 4 + 6 +... .

Diketahui U₁ = 2, serta bedanya, b = 2. Jumlah 10 suku pertama dari deret itu adalah:

$S_{10} = 10(2 + \frac{(10-1)2}{2}) = 110$

Contoh lainnya, ingin dihitung jumlah 9 suku pertama untuk deret geometri 1 + 3 + 9 + 27 + ... .

Suku pertamanya U₁ = 1, untuk rasionya r = 3. Jumlahnya sebesar:

$S_n = 1\frac{1 - 3^9}{1 - 3} = 9841$