Konsep Fungsi

Ide utama dari fungsi adalah melakukan pemetaan
Ide utama dari fungsi adalah melakukan pemetaan.

Fungsi

Kalian tentunya sepakat, ketika kita sedang mengendarai sepeda motor, cepat atau lambatnya pergerakkan kendaraan ini bergantung dengan kehendak kita sendiri ya gak?.

Motor sebagai fungsi dari putaran gas menjadi kecepatan

Gambar diambil dari Unsplash.

Gerakkan tersebut diatur oleh seberapa jauh diputar handle gas motor yang berada di stang, kemudian motor merespon dengan gerakkan maju.

Dalam matematika proses tersebut bisa dimodelkan dengan yang namanya disebut sebagai fungsi.

Seberapa jauh putaran handle merupakkan masukkan atau input, kemudian motor merupakkan fungsi, dan gerakkan yang dilakukan motor merupakan keluaran atau output atas masukkan tersebut.

Berdasarkan ilustrasi sebelumnya dapat dilihat bahwa fungsi merupakan represetansi matematika yang bertugas untuk memetakan suatu nilai. Masih mengacu contoh sebelumnya di mana jauh putaran handle gas dipetakan menjadi kelajuan yang dimiliki kendaraan tersebut.

Pemetaan dari domain menuju range

Fungsi dilambangkan sebagai berikut

x\rightarrow f(x)

yang dibaca sebagai f fungsi dari x.

Contoh yang lebih sederhana lagi adalah persamaan-persamaan garis yang telah kita pelajari sebelumnya. Misal y = 2x+1, tentu ketika kita mensubstitusikan nilai pada x hal tersebut akan memberikan nilai pada y.

Ada istilah tertentu yang digunakan pada suatu fungsi. Kelompok atau himpunan suatu bilangan (secara umum gak harus bilangan) disebut sebagai domain sedangkan kelompok atau himpunan hasil pemetaan elemen dari domain merupakan range.

Ada satu istilah lagi yaitu co-domain yang merupakan himpunan secara keseluruhan nilai yang bisa f(x). Catatan: Buat yang bingung apa bedanya dengan range coba bayangkan apakah domain harus selalu menjadi himpunan sehingga hasil pemetaannya berada di co-domain.

Prinsip domain sangat vital di sini, sebab dapat membatasi nilai-nilai yang membuat suatu fungsi tidak terdefinisi. Seperti misal, f(x)=\frac{1}{x} semua nilai x bisa memenuhi fungsi kecuali pada x=0 alias x\neq0.

Pada pembahasan kali ini, kita bakal membahas bagaimana menentukan domain dari suatu fungsi.

Misal, kita punya suatu fungsi f(x)=\frac{\sqrt{x+7}}{x-1}

Apabila diinginkan hasil pemetaan f(x) tidak mencakup bilangan imajiner (akar dari bilangan negatif). Maka tentu x+7 \geq0, dan supaya terdefinisi penyebutnya juga tidak boleh bernilai nol, sehingga x-1\neq 0.

Apabila domainnya dilambangkan dengan \mathcal{D}_f, maka \mathcal{D}_f = \{x\geq -7 \cup x\neq -1\}, kalau dibaca kurang lebih artinya, x harus lebih besar dari -7 tapi tidak termasuk x=-1.

Operasi pada Fungsi

Sebagai salah satu ekspresi Matematika, fungsi juga dapat dioperasikan layaknya suatu bilangan.

Misal, kita mempunyai dua buah fungsi f(x) dan g(x).

Dua fungsi tersebut dapat dioperasikan seperti pertambahan, perkalian dan sebagainya, f(x)+g(x), f(x)-g(x), f(x)\times g(x), dan \frac{f(x)}{g(x)}.

Atau dalam simbol yang lebih sederhana \left(f+g\right)(x), \left(f-g\right)(x), \left(f\times g\right)(x), dan \left(\frac{f}{g}\right)(x), secara berturut-turut.

Namun kita gak akan banyak berbicara pada operasi tersebut, karena yang menjadi fokus kita kali ini bukanlah hasil operasinya melainkan domain dari suatu fungsi hasil operasi di atas.

Misal kita punya fungsi f(x) = \sqrt{2x^2-8} dan g(x) = \sqrt{x-3}

Apabila kita ingin hasil pemetaan f(x) dan g(x) tidak memuat bilangan imajiner.

Pertama kita tentukan terlebih dahulu domain untuk f(x) yaitu \mathcal{D}_f = \{x < -2 \cup x> 2 \} dan untuk g(x) adalah  \mathcal{D}_g = \{x\geq 3\} .

Kemudian kita operasikan misal

\left(f+g\right)(x) = \sqrt{2x^2-8} + \sqrt{x-3}

, maka supaya kedua suku tersebut tidak menjadi bilangan imajiner, maka kita perlu mencari daerah di mana \sqrt{2x^2-8} dan \sqrt{x-3} sama terpenuhi.

Artinya kita perlu mencari daerah irisan dari domain yang telah ditentukan, yaitu

\mathcal{D}_{f+g} = \mathcal{D}_f \cap \mathcal{D}_g

, di mana daerah irisannya yaitu berada di (jika bingung kalian bisa memanfaatkan garis bilangan)

\{x\geq3\} .

Kemudian untuk dua fungsi yang dioperasikan dengan perkalian,

\left(f\times g\right)(x) = \sqrt{2x^2-8} \cdot \sqrt{x-3}
= \sqrt{\left(2x^2-8\right)\cdot\left(x-3 \right)}

, coba perhatikan tidak selalu suku \left(2x^2-8\right) dan (x-3) harus positif.

Mengapa berlaku untuk tidak selalu positif? Ingat lagi konsep perkalian untuk dua buah bilangan negatif, nah jadi ketika kedua suku tersebut itu negatif maka hasilnya merupakan sesuatu yang positif, dan secara tidak langsung berlaku kondisi sehingg hasilnya tidak imajiner.

Dengan demikian, domainnya sekarang adalah

\mathcal{D}_{f\times g} = \{x\geq 3 \cap -2 < x < 3 | x\in \mathbb{R}\} .

Sekarang kita coba untuk dua fungsi yang dioperasikan dengan pembagian,  \frac{f}{g}(x) = \frac{\sqrt{2x^2-8}}{\sqrt{x-3}} = \sqrt{\frac{2x^2-8}{x-3}}

Sangat jelas bahwa, domain-nya akan serupa dengan pada operasi perkalian hanya saja sekarang x-3 tidak boleh bernilai nol.

Maka dari itu, domain-nya adalah

\mathcal{D}_{\frac{f}{g}} = \{x> 3 \cap -2 < x < 3 | x\in \mathbb{R}\}. Perhatikan tanda x> 3, jika pada operasi perkalian memuat angka 3 itu sendiri, karena sekarang tidak boleh menyertakannya artinya tandanya berubah menjadi lebih besar.
Label
< Materi SebelumnyaBaris dan Deret
Search icon