Fungsi - Domain, Range, Operasi, Komposisi, Invers

Fungsi matematika sebagai pemetaan suatu nilai
Ide utama dari fungsi adalah melakukan pemetaan.

Fungsi itu bisa diibaratkan seperti sebuah sistem. Bayangin saja sama kalian seperti halnya sebuah mesin.

Tapi bukan mesin pengolah bahan mentah menjadi bahan menjadi, tapi pengolah bilangan menjadi bilangan lainnya. Bagaimana detilnya sistem ini mengolah bilangan? Mari bahas bersama.

Catatan: Materi ini merupakan pembahasan lanjut dari konsep yang lebih dasar, yaitu relasi dan fungsi.

Daftar Isi

Apa Itu Fungsi?

Kalian tentunya sepakat, ketika sedang mengendarai sepeda motor, cepat atau lambatnya pergerakkan kendaraan bergantung dengan kehendak kita sendiri ya gak?

Motor sebagai fungsi dari putaran gas menjadi kecepatan

Gerakkan tersebut diatur oleh seberapa jauh diputar handle gas motor yang berada di stang. Kemudian motor merespon dengan gerakkan maju.

Dalam matematika, proses tersebut bisa dimodelkan dengan suatu hal yang bernama fungsi.

Analoginya seperti ini, jauhnya putaran handle gas merupakkan masukkan atau input.

Lalu motor dianggap sebagai fungsi. Efek gerakkan yang dilakukan motor merupakan keluaran atau output atas masukkan tersebut.

Berdasarkan ilustrasi sebelumnya, dapat dilihat bahwa fungsi merupakan represetansi matematika yang bertugas untuk memetakan suatu nilai.

Lebih spesifiknya lagi, jauh putaran handle gas tersebut dipetakan menjadi kelajuan yang dimiliki kendaraan tersebut.

Pemetaan dari domain menuju range

Secara matematis, fungsi dilambangkan sebagai berikut:

x\rightarrow f(x)

Kalau di artikan, kurang lebih bisa dibaca sebagai, f merupakan fungsi dari x.

Contoh dari fungsi yang lebih sederhana lagi yaitu persamaan garis yang tentunya telah kita pelajari di jenjang sebelumnya.

Misalnya y = 2x + 1, tentu ketika kita mensubstitusikan nilai pada x, ekspresi matematis tersebut akan memberikan nilai pada y.

Dalam hal ini, nilai hasil pemetaannya adalah dua kali lipat dari nilai input-nya kemudian ditambahkan satu.

Domain, Range, dan Co-domain

Ada istilah tertentu yang digunakan pada suatu fungsi. Istilah tersebut berhubungan dengan masukkan serta keluaran dari fungsi itu.

Kelompok atau himpunan suatu bilangan (secara umum gak harus bilangan) disebut sebagai domain.

Sedangkan kelompok atau himpunan hasil pemetaan elemen dari domain merupakan range.

Ada satu istilah lagi yaitu co-domain yang merupakan himpunan secara keseluruhan nilai hasil pemetaan oleh fungsi f(x).

Catatan: Buat yang bingung apa bedanya antara range dengan co-domain.

Coba bayangkan apakah range harus selalu menjadi himpunan sehingga hasil pemetaannya selalu berada di co-domain?

Tentunya tidak, karena domain bisa diatur sedemikian rupa oleh kita secara bebas. Anggap co-domainnya berisi semua bilangan bulat.

Misal saja, domainnya kita anggap hanya 10 bilangan bulat pertama, atau mungkin hanya bilangan yang bernilai negatif saja.

Peran Domain

Prinsip domain sangat vital di sini, sebab dapat membatasi nilai-nilai yang membuat suatu fungsi tidak terdefinisi.

Seperti misal fungsi berikut f(x) = 1/x, semua nilai x bisa dipetakkan kecuali pada x = 0. Ingat bahwa 1/0 itu tidak terdefinisi, yang artinya nilai x tidak boleh nol.

Domain dapat membantu membatasi suatu fungsi supaya selalu dapat terdefinisi nilainya.

Pada pembahasan kali ini, fokus pembahasannya ialah bagaimana menentukan domain dari suatu fungsi. Sebagai contoh, kita punya suatu fungsi:

f(x)=\frac{\sqrt{x+7}}{x-1}

Anggap diinginkan hasil pemetaan f(x) tidak mencakup bilangan imajiner (akar dari bilangan negatif).

Maka tentunya x + 7 ≥ 0, dan supaya terdefinisi penyebutnya juga tidak boleh bernilai nol, sehingga x - 1 ≠ 0.

Dengan mencari irisan dari kedua pertidaksamaan itu, akan didapat solusinya seperti di bawah ini.

Apabila domainnya dilambangkan dengan \mathcal{D}_f, demikian himpunan bilangan yang diperbolehkan yaitu:

\mathcal{D}_f = \{x\geq -7 \cup x\neq -1\}

Kalau dibaca kurang lebih artinya, x harus lebih besar dari -7 tapi tidak termasuk x = -1.

Operasi pada Fungsi

Sebagai salah satu elemen dalam matematika, ternyata fungsi juga dapat dioperasikan layaknya suatu bilangan.

Namun jangan dibayangkan seutuhnya seperti bilangan. Operasi pada fungsi lebih ke bagaimana kita mengoperasikan domain dari dua fungsi.

Misal, kita mempunyai dua buah fungsi f(x) dan g(x).

Macam-Macam Operasi Fungsi

Dua fungsi tersebut dapat dioperasikan seperti pertambahan, perkalian dan sebagainya.

  • Perkalian: f(x) + g(x)
  • Pengurangan: f(x) - g(x)
  • Perkalian: f(x) × g(x)
  • Pembagian: f(x) / g(x)

Atau dalam simbol yang lebih sederhana (f + g)(x), (f - g)(x), (f × g)(x), dan (f /g)(x), secara berturut-turut.

Di sini kita gak akan banyak berbicara mengenai operasi tersebut, karena yang menjadi fokus kita kali ini bukanlah hasil operasinya. Melainkan domain dari suatu fungsi hasil operasi di atas.

Sebagai contoh, kita punya dua fungsi f(x) = √(2x2 - 8) dan g(x) = √(x - 3). Yang ingin dicari tahu adalah bagaimana domain secara keseluruhan apabila dua fungsi teresbut dioperasikan.

Mengapa ini penting? Karena setiap fungsi mempunyai domainnya masing-masing.

Tujuannya untuk menghindari adanya overlap antar nilai yang tidak diperboleh pada kedua fungsi.

Oke lanjut lagi ke contoh, asumsikan kita ingin hasil pemetaan f(x) dan g(x)')?> tidak memuat bilangan imajiner.

Pertama, kita tentukan terlebih dahulu domain dari masing-masing fungsi. Untuk f(x) domainnya adalah:

\mathcal{D}_f = \{x < -2 \cup x > 2 \}

Dan untuk g(x) adalah:

\mathcal{D}_g = \{x\geq 3\}

Operasi Pertambahan

Contoh pertama, coba kita operasikan pertambahan pada kedua fungsi, hasil dari operasinya yaitu:

\left(f+g\right)(x) = \sqrt{2x^2-8} + \sqrt{x-3}

Maka, supaya kedua suku tersebut tidak menjadi bilangan imajiner, perlu dicari daerah di mana f(x) = √(2x2 - 8) dan g(x) = √(x - 3) sama-sama terpenuhi.

Artinya, kita perlu mencari daerah irisan dari domain dari masing-masing fungsi yang telah ditentukan, dalam hal ini yaitu:

\mathcal{D}_{f+g} = \mathcal{D}_f \cap \mathcal{D}_g
 = \{x < -2 \cup x > 2 \} \cap \{x\geq 3\}

Di mana daerah irisannya yaitu berada di: (jika bingung kalian bisa memanfaatkan garis bilangan).

\{x\geq3\}

Lalu bagaimana dengan operasi pengurangan? Dalam hal ini kebetulan domainnya akan sama persis. Karena hasil operasinya tidak mempengaruhi wujud dari kedua fungsi.

Operasi Perkalian

Kemudian untuk dua fungsi yang dioperasikan dengan perkalian, hasil operasinya yaitu:

\left(f\times g\right)(x) = \sqrt{2x^2-8} \cdot \sqrt{x-3}
= \sqrt{\left(2x^2-8\right)\cdot\left(x-3 \right)}

Coba perhatikan, tidak selalu suku \left(2x^2-8\right) dan (x-3) harus positif.

Mengapa berlaku untuk tidak selalu positif? Ingat lagi konsep perkalian untuk dua buah bilangan untuk menghasilkan hasil positif.

Ada dua kemungkinan di sini, keduanya sama-sama negatif atau keduanya sama-sama positif. Nah jadi, saat kedua suku tersebut negatif secara tidak langsung berlaku kondisi di mana hasilnya tidak imajiner.

Interval di mana keduanya bernilai negatif adalah:

\{-2 < x < 2 \} \cap \{x < 3\}

Kemudian kita cari daerah domain yang saling overlap antara keduanya. Sehingga menjadi:

\{-2 < x < 2 \}

Selanjutnya, untuk interval di mana keduanya bernilai positif yaitu:

\{x < -2 \cup x > 2 \} \cap \{x\geq 3\}

Irisan antara kedua interval ini dan sebelumnya adalah:

\{x\geq 3\}

Dengan demikian, domainnya dari hasil perkalian ini yakni sebagai berikut:

\mathcal{D}_{f\times g} = \{x\geq 3 \cap -2 < x < 2 | x\in \mathbb{R}\}

Operasi Pembagian

Terakhir, mari kita coba untuk dua fungsi yang dioperasikan pembagian, seperti ini hasil operasinya:

 \frac{f}{g}(x) = \frac{\sqrt{2x^2-8}}{\sqrt{x-3}} = \sqrt{\frac{2x^2-8}{x-3}}

Sangat jelas bahwa, domain-nya akan serupa dengan pada operasi perkalian (ingat konsep perkalian bilangan negatif).

Hanya saja sekarang x - 3 tidak boleh bernilai nol. Mengingat, akan menyebabkan bentuk hasil pembagian tersebut tidak terdefinisi.

Oleh karena itu, domain-nya adalah irisan antara domain pada hasil perkalian dengan syarat bahwa x ≠ 3.

\mathcal{D}_{\frac{f}{g}} = \{x > 3 \cap -2 < x < 3 | x\in \mathbb{R}\}

Perhatikan tanda x > 3, pada operasi perkalian intervalnya memuat angka 3 karena tandanya ≥. Karena sekarang tidak boleh menyertakannya, artinya tandanya berubah menjadi lebih besar >.

Fungsi Komposisi

Bisa gak kalau nilai hasil pemetaan dari fungsi, terus dipetakkan kembali oleh fungsi lainnya?

Nah itu dia yang akan dijelaskan kali ini, dan konsepnya dinamakan sebagai fungsi komposisi.

Misalnya ada dua buah fungsi f(x) serta g(x). Fungsi komposisi f dan g terhadap x, akan menghasilkan fungsi lainnya, sebut saja h, seperti ini:

h(x) = f(g(x))

Amati kalau hasil pemetaan fungsi g terhadap x dipetakkan lagi oleh f. Bisa juga dituliskan dengan simbol ○ kayak gini:

h(x) = (f\circ g)(x)

Oke langsung praktek aja, asumsikan f dan g tadi, fungsinya adalah:

f(x) = 3x - 1
g(x) = x + 5

Pertama coba kita cari fungsi komposisi f dan g terhadap x. Hasilnya yaitu:

h(x) = f(g(x))
 = f(x + 5)
 = 3(x + 5) - 1 = 3x + 14

Bentuk di atas merupakan wujud fungsi komposisi yang telah disederhanakan.

Dari sini dapat dilihat kalau proses pemetaan secara beruntun dapat diintegrasikan menjadi satu fungsi.

Buat lebih jelasnya lagi, coba liat perbandingan fungsi f ini:

f(x) = 3x - 1
f(a) = 3a - 1
f(2x + 1) = 3(2x + 1) - 1

Jadi sebenarnya, pemetaan fungsi itu tidak terbatas terhadap x semata. Bisa juga ekspresi-ekspresi lainnya.

Sifat-Sifat Fungsi Komposisi

Fungsi komposisi mempunyai beberapa sifat dalam pengoperasiannya. Gas! Langsung kita cari tahu aja bareng-bareng.

Sifat Komutatif

Kira-kira, sama gak hasilnya antara f(g(x)) dan f(g(x))?

Cara membayangkannya gini, analogikan dengan sebuah sistem seperti di awal. Fungsi f dan g anggap aja dua sistem yang berbeda.

Masing-masing sistem mempunyai ciri khasnya tersendiri dalam melakukan pemetaan. Jadi, sekalipun x yang disubstitusikan sama, keduanya akan memberikan nilai berbeda.

Lalu nilai yang berbeda itu digunakan lagi sebagai masukkan kepada fungsi yang berbeda pula. Kemungkinan besar beda hasilnya.

Tapi dibeberapa situasi, ketika f(x) = g(x) atau saat salah satunya merupakan fungsi x itu sendiri, sifat komutatif ini berlaku.

Sifat Asosiatif

Kali ini akan ditunjukkan 3 fungsi yang dikomposisikan, yaitu f, g, serta h. Apakah mengkomposisikan f dan g dahulu lalu dengan h sama seperti g dan h lalu dengan f?

Sifat asosiatif ini bisa ditunjukkan dengan menuliskannya seperti ini:

(f\circ (g\circ h))(x) = f((g\circ h)(x)) = f(g(h(x)))
((f\circ g)\circ h)(x) = (f\circ g)(h(x)) = f(g(h(x)))
Pada fungsi komposisi, berlaku sifat asosiatif.

Fungsi Invers

Sekarang gini, selama ini alur berpikirnya selalu maju. Kalau punya masukkan x maka keluarannya kayak gimana? Misalnya y.

Coba cara berpikirnya dibalik, kalau punya keluaran y, pengen diketahui nilai masukannya tuh seperti apa. Itulah kurang lebih maksud dari fungsi invers.

Contohnya, ada fungsi pemetaan waktu (dalam hari) produksi kerajinan terhadap jumlah karya yang dihasilkan. Rumusnya seperti ini:

y = f(x) = 15x + 50

Tiba-tiba ada orderan dari klien sebanyak 125 kerajinan. Kita pengen tahu, berapa hari yang diperlukan. Dengan itu, diperlukan fungsi inversnya:

x = f^{-1}(y)

Untuk ekspresi yang linear, cara mencari relatif mudah. Cukup memanipulasinya seperti halnya sebuah persamaan pada bentuk aljabar:

y = 15x + 50
y - 50 = 15x
\frac{y - 50}{15} = x
x = f^{-1}(y) = \frac{y - 50}{15}

Sehingga, untuk menghasilkan kerajinan sebanyak 125 unit, diperlukan waktu selama 5 hari.

x = f^{-1}(125) = \frac{125 - 50}{15} = 5
Label

Komentar

Search icon