Invers Matriks Menggunakan Eliminasi Gauss

Menghitung invers matriks itu bukan sekedar menjadikan semua elemennya menjadi ke dalam bentuk inversnya.

Perlu diketahui suatu matriks di mana jika dikalikan dengan matriks bersangkutan maka akan menghasilkan matriks identitas.

Misalnya terdapat sebuah matriks, sebut saja A, anggap invers dari matriks tersebut adalah B.

Demikian perkalian antara keduanya harus memenuhi kondisi berikut:

Invers dari matriks A sendiri dituliskan sebagai A^-1. Apabila keduanya dikalikan berlaku kondisi tadi:

Pada kasus matriks diagonal, dapat dengan mudah dicari inversnya. Yaitu dengan mencari invers dari masing-masing elemen (skalar) yang berada di diagonal matriks tersebut.

Sebagai contoh, anggap terdapat matriks diagonal seperti di bawah ini:

Matriks invers dari matriks di atas dapat dengan mudah ditentukan hanya dengan menginverskan elemennya, yaitu:

Kalau kalian penasaran, emang bener kayak gitu invers dari matriks diagonal?

Silahkan untuk teman-teman bayangkan perkalian antara matriks tersebut dengan matriks yang diasumsikan di awal. Lalu perhatikan hasilnya.

Cukup mudah bukan? Tentunya, namun itu hanyalah kondisi khusus. Tidak semua matriks berlaku kondisi seperti itu.

Nah, untuk mencari invers suatu matriks sembarang baik dari elemen hingga ukurannya (tapi harus persegi), kali ini kalian akan ditunjukkan metode bernama eliminasi Gauss.

Sebenarnya metode ini digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear yang dimodelkan dengan matriks.

Tapi nantinya bakal dimanipulasi sedikit metodenya supaya bisa menghitung invers.

Sebelum lanjut, kenalan dulu sedikit kali ya sama metode ini. Jadi intinya, metode ini kurang lebih sama seperti metode eliminasi yang biasa dilakukan dalam penyelesaian sistem persamaan linear.

Yang bikin beda itu hanya di wujudnya aja, kalau eliminasi Gauss ini bakal eksekusi dalam bentuk matriks.

Sekarang, mari coba eksekusi metode eliminasi Gauss ini, dimulai dengan ukuran 3x3 dulu.

Asumsikan kita punya sistem persamaan linear tiga variabel sebagai berikut:

Lalu transformasikan masalah tersebut ke dalam bentuk matriks, yaitu Ax = b.

Di mana matriks A sendiri akan mewakili koefisien variabel ketiga persamaan tersebut. Lalu x merepresentasikan variabelnya, dan b konstantanya.

Jika ditransformasikan maka bentuknya akan menjadi seperti berikut:

Kemudian susun sebuah matriks augmented, yaitu matriks A dengan tambahan kolom di samping paling kanannya berupa matriks b, seperti ini:

Langkah pertama yang perlu dilakukan yaitu membuat matriks augmented ini menjadi suatu matriks segitiga atas. Yakni matriks dengan elemen di bawah diagonalnya adalah nol.

Untuk itu, pada matriks 3x3 terdapat 3 elemen yang perlu dieliminasi, a₂₁, a₃₁, serta a₃₂.

Pertama, kurangi baris 2 dari matriks tersebut dengan 1/2 dari baris 1.

Faktor pengali 1/2 tersebut ditentukan sedemikian rupa sehingga elemen pada posisi tersebut besarnya menjadi nol. Umumnya orang menggunakan rumus:

Di mana:

• a_ij elemen target eliminasi.
• a_ii elemen acuan untuk melakukan eliminasi (pivot).

Elemen yang menjadi pembagi pada rumus sebelumnya dikenal sebagai pivot. Nanti akan dibahas bagaimana cara menanganinya jika pivotnya bernilai nol.

Selanjutnya, untuk memberikan nilai nol pada elemen ke-(3,1), tambahkan elemen pada baris ketiga dengan 3/2 baris pertama.

Ada satu lagi yang perlu dibuat nol supaya matriks A (bukan yang augmeneted ya) menjadi matriks segitiga atas, yaitu elemen ke 3,2.

Maka perlu dikalikan baris ketiga dengan 7/5 baris kedua.

Setelah eliminasinya selesai, ubah lagi matriks augmented tersebut ke dalam bentuk Ax = b.

Dari situ bisa diamati bahwa nilai z adalah 1. Kemudian substitusikan balik ke persamaan di atasnya, didapat bahwa y = -1, dan terakhir x = 2.

Terlihat juga, sebenarnya proses eliminasi Gauss ini sama saja seperti eliminasi yang biasa dilakukan, ya gak? Hanya saja wujudnya kali ini dalam bentuk matriks.

Mungkin sampe sini belum kelihatan bagaimana metode ini bisa digunakan sebagai cara untuk mencari invers. Untuk itu mari kita lanjutkan pembahasannya.

Jadi gini, proses substitusi sebelumnya sebenarnya bisa kita lakukan juga dengan cara eliminasi sehingga tiga kolom pertama pada matriks augmented sebelumnya merupakan matriks identitas.

Oke kalau gitu, artinya tahapan eliminasinya belum selesai. Selanjutnya, kurangi baris kedua dengan 6/5 dari baris ketiga sehingga elemen ke-(2,3) bernilai nol.

Catatan: Untuk yang sudah bernilai nol tidak akan ditulis lagi operasinya.

Dilanjutkan dengan menjadikan elemen ke-(1,3) bernilai nol, dengan mengurangi baris 1 dengan 1/3 baris ketiga.

Satu lagi, kita buat elemen ke-(1,2) menjadi nol, dengan cara menambahkan baris pertama dengan 2/5 baris kedua.

Dilanjutkan dengan membagi masing-masing baris dengan nilai elemen pada masing-masing pivot.

Ibaratnya sebuah sistem persamaan, apabila salah satunya dikalikan konstanta maka tidak merubah solusinya.

Sampai sini kira-kira sudah terlihat belum bagaimana inversnya bisa ditemukan? Kalau belum, coba diamati lagi persamaan Ax = b.

Persamaan tersebut sekarang berubah menjadi Ix = c, di mana c merupakan matriks solusinya.

Ingat lagi mengenai konsep invers yang dijelaskan di awal. Suatu matriks jika dikalikan inversnya maka hasilnya adalah matriks identitas. Berarti:

Dan secara gak langsung kita telah mengalikan persamaan tersebut dengan matriks invers dari A.

Tapi bagaimana kita tahu wujud inversnya? Dan bagaimana ketika kita hanya punya sebuah matriks persegi, namun tidak berbentuk sistem persamaan?

Caranya, kita anggap sebuah matriks, misal A merupakan matriks yang mewakili n buah sistem persamaan, dan konstantanya kita yang menentukan. Yakni konstantanya adalah seperti ini:

Masing-masing konstanta tersebut berhubungan dengan variabel-variabel pada beberapa matriks, sebut saja x₁, x₂, …, x₃.

Kemudian kita coba tuliskan secara keseluruhannya, sehingga menjadi:

Ditulis ulang dengan simbol yang baru menjadi:

Sangat jelas terlihat bahwa X adalah invers dari A, karena sesuai dengan persamaan nomor 1 di awal.

Dan kita bisa melakukan metode eliminasi Gauss sebelumnya, namun matriks augmented-nya menjadi bertambah ukurannya, seperti ini:

Sebagai contoh, kita gunakan matriks A yang sebelumnya digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan.

Kita yang sebelumnya udah berhasil menyelesaikan sistem persmaan untuk matriks tersebut, langkah-langkahnya sekarang bisa kita terapkan lagi di sini.

Langkah 1: Eliminasi elemen (2,1)

Langkah 2: Eliminasi elemen (3,1)

Langkah 3: Eliminasi elemen (3,2)

Langkah 4: Eliminasi elemen (2,3)

Langkah 5: Eliminasi elemen (1,3)

Langkah 6: Eliminasi elemen (1,2)

Supaya mendapatkan bentuk identitasnya, kita kalikan tiap baris dengan masing-masing invers dari elemen diagonal yang bersangkutan.

Dengan demikian diperoleh:

Artinya invers dari matriks A tersebut ialah:

Kalau dihitung menggunakan kalkulator mungkin beda-beda dikit, karena pas menghitung saya banyak melakukan pembulatan.

Di awal telah saya singgung sedikit, bagaimana jika pivotnya bernilai nol?

Jadi yang kita bisa lakukan jika menemui situasi ini yaitu menukar baris tersebut dengan baris yang lain sehingga pivotnya tidak nol.

Kemudian jika sudah, maka tinggal lakukan langkah-langkah eliminasi Gauss sebelumnya.

Setelah matriks augmented di sebelah kiri sudah berbentuk identitas, hasilnya tinggal kita tukar lagi, namun kali ini kolomnya, bukan barisnya.

Contohnya, kalau kita tukar baris 1 dengan 2, maka pada inversnya kita tukar kolom 1 dengan 2.

Kok bisa begitu? Oke jadi begini, proses pertukaran baris tersebut sejatinya dapat dieksekusi oleh suatu matriks, namanya matriks permutasi.

Lambang martiks tersebut yaitu P, dan hasil perubahan baris (maupun kolom) dilakukan dengan cara mengalikannya.

Asumsikan hasil pertukarannya adalah A_n, dengan demikian:

Guna mendapatkan A^-1 kita perlu mengalikannya dengan P lagi. Namun perkaliannya dari sebelah kanan (ingat AB ≠ BA), sehingga:

Itulah mengapa kalau kalian menukar baris sebelum melakukan invers menggunakan eliminasi Gauss, hasilnya perlu ditukar kembali.

Apa jadinya jika sudah dipindah-pindahkan barisnya tapi tetap saja pivotnya nol?

Apabila situasi itu kalian temui, sudah dipastikan matriksnya tidak mempunyai invers. Determinannya pun akan bernilai nol.