Invers Matriks Menggunakan Eliminasi Gauss

Invers matriks ukuran sembarang
Invers matriks ukuran sembarang.
Daftar Isi

Invers Matriks

Menghitung invers matriks itu bukan sekedar menjadikan semua elemennya menjadi ke dalam bentuk inversnya. Kita perlu mengetahui suatu matriks di mana kalau kita kalikan dengan matriks yang bersangkutan maka menghasilkan matriks identitas.

Misal kita mempunyai sebuah matriks, sebut saja A, jika invers dari matriks tersebut adalah B, maka perkalian antara keduanya harus memenuhi kondisi berikut.

AB = BA = I

Invers dari matriks A sendiri dituliskan sebagai A^{-1}.

AA^{-1} = A^{-1}A = I

Pada kasus matriks diagonal kita dapat dengan mudah mencari inversnya, yaitu dengan mencari invers dari masing-masing elemen (skalar) yang berada di diagonal matriks tersebut. Sebagai contoh kita punya matriks seperti di bawah ini.

\begin{bmatrix}a_{11}&&0&&\cdots&&0\\0&&a_{22}&&\cdots&&\vdots\\\vdots&&\vdots&&\ddots&&\vdots\\0&&\cdots&&\cdots&&a_{nn}\end{bmatrix}

Matriks invers dari matriks di atas dapat dengan mudah kita tentukan yaitu

\begin{bmatrix}\frac{1}{a_{11}}&&0&&\cdots&&0\\0&&\frac{1}{a_{22}}&&\cdots&&\vdots\\\vdots&&\vdots&&\ddots&&\vdots\\0&&\cdots&&\cdots&&\frac{1}{a_{nn}}\end{bmatrix}

Kalau kalian penasaran, emang bener kayak gitu untuk matriks diagonal? Silahkan untuk teman-teman bayangkan perkalian antara matriks tersebut dengan matriks yang diasumsikan di awal, lalu perhatikan hasilnya.

Cukup mudah bukan? Tentunya, namun itu hanyalah kondisi khusus. Tidak semua matriks berlaku kondisi seperti itu.

Eliminasi Gauss

Nah, untuk mencari invers suatu matriks sembarang baik dari elemen hingga ukurannya (tapi harus persegi), kali ini saya akan menggunakan metode eliminasi Gauss. Sebenarnya metode ini digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear yang dimodelkan dengan matriks, tapi bakal kita utak-atik sedikit supaya bisa menghitung invers.

Kita kenalan dulu sedikit kali ya sama metode ini. Jadi intinya, metode ini kurang lebih sama seperti metode eliminasi yang biasa kita lakukan dalam penyelesaian sistem persamaan linear. Yang bikin beda itu hanya di wujudnya aja, kalau eliminasi Gauss ini kita eksekusi dalam bentuk matriks.

Sekarang, kita coba eksekusi metode eliminasi Gauss ini, dimulai dengan ukuran 3x3 dulu. Misal kita punya sistem persamaan linear tiga variabel sebagai berikut.

2x+y+z=4
x-2y+3z=7
-3x+2y-2z=-10

Lalu transformasikan masalah tersebut ke dalam bentuk matriks, yaitu Ax = b.

Di mana matriks A sendiri akan mewakili koefisien variabel ketiga persamaan tersebut, lalu x merepresentasikan variabelnya, dan b konstantanya.

Jika ditransformasikan maka bentuknya akan menjadi seperti berikut

\begin{bmatrix}2&&1&&1\\1&&-2&&3\\-3&&2&&-2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\\7\\-10\end{bmatrix}

Kemudian kita susun matriks augmented, yaitu matriks A dengan tambahan kolom di samping paling kanannya berupa matriks b, seperti ini.

\begin{bmatrix}2&&1&&1&&4\\1&&-2&&3&&7\\-3&&2&&-2&&-10\end{bmatrix}

Langkah pertama yang akan kita lakukan yaitu membuat matriks augmented ini menjadi suatu matriks segitiga atas, yaitu matriks yang elemen di bawah diagonalnya adalah nol.

Pertama, kita kurangi baris 2 dari matriks tersebut dengan 1/2 dari baris 1.

R_2 \leftarrow R_2 - \frac{1}{2}R_1
\begin{bmatrix}2&&1&&1&&4\\1-\frac{1}{2}\cdot2&&-2-\frac{1}{2}\cdot1&&3-\frac{1}{2}\cdot1&&7-\frac{1}{2}\cdot4\\-3&&2&&-2&&-10\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}2&&1&&1&&4\\0&&-2.5&&2.5&&5\\-3&&2&&-2&&-10\end{bmatrix}

Faktor pengali 1/2 tersebut ditentukan sedemikian rupa sehingga elemen pada posisi tersebut besarnya menjadi nol. Umumnya orang menggunakan rumus

k = -\frac{a_{ij}}{a_{ii}}

Elemen yang menjadi pembagi pada rumus sebelumnya dikenal sebagai pivot. Nanti akan dibahas bagaimana jika pivotnya bernilai nol.

Selanjutnya, untuk memberikan nilai nol pada elemen ke-3,1 kita akan ditambahkan elemen pada baris ketiga dengan 3/2 baris pertama.

R_3 \leftarrow R_3 + \frac{3}{2}R_1
\begin{bmatrix}2&&1&&1&&4\\0&&-2.5&&2.5&&5\\-3+\frac{3}{2}\cdot2&&2+\frac{3}{2}\cdot1&&-2+\frac{3}{2}\cdot1&&-10+\frac{3}{2}\cdot4\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}2&&1&&1&&4\\0&&-2.5&&2.5&&5\\0&&3.5&&-0.5&&-4\end{bmatrix}

Ada satu lagi yang perlu dibuat nol supaya matriks A (bukan yang augmeneted ya) menjadi matriks segitiga atas, yaitu elemen ke 3,2. Maka akan kita kalikan baris ketiga dengan 7/5 baris kedua.

R_3 \leftarrow R_3 + \frac{7}{5}R_2
\begin{bmatrix}2&&1&&1&&4\\0&&-2.5&&2.5&&5\\0+\frac{7}{5}\cdot0&&3.5+\frac{7}{5}\cdot(-2.5)&&-0.5+\frac{7}{5}\cdot2.5&&-4+\frac{7}{5}\cdot5\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}2&&1&&1&&4\\0&&-2.5&&2.5&&5\\0&&0&&3&&3\end{bmatrix}

Kita ubah lagi matriks augmented tersebut ke dalam bentuk Ax=b.

\begin{bmatrix}2&&1&&1\\0&&-2.5&&2.5\\0&&0&&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\\5\\3\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}2x+y+z\\-2.5y+2.5z\\3z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\\5\\3\end{bmatrix}

Dari situ kita mendapatkan bahwa nilai z adalah 1, kemudian substitusikan balik ke persamaan di atasnya, didapat bahwa y=-1, dan terakhir x=2.

Terlihat juga sebenarnya proses eliminasi Gauss ini sama saja bukan seperti yang biasa kita lakukan? Hanya wujudnya saja kali ini dalam bentuk matriks.

Invers Dengan Eliminasi

Mungkin sampe sini belum kelihatan bagaimana metode ini bisa digunakan sebagai cara untuk mencari invers. Untuk itu mari kita lanjut lagi.

Jadi gini, proses substitusi sebelumnya sebenarnya bisa kita lakukan juga dengan cara eliminasi sehingga tiga kolom pertama pada matriks augmented sebelumnya merupakan matriks identitas.

Oke kalau gitu, kita lanjut eliminasi lagi. Kita kurangi baris kedua dengan 6/5 dari baris ketiga untuk menjadi elemen ke-2,3 nol (yang bernilai nol tidak akan ditulis lagi operasinya).

R_2 \leftarrow R_2 - \frac{6}{5}R_3
\begin{bmatrix}2&&1&&1&&4\\0&&-2.5&&2.5-\frac{5}{6}\cdot3&&5-\frac{5}{6}\cdot3\\0&&0&&3&&3\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}2&&1&&1&&4\\0&&-2.5&&0&&2.5\\0&&0&&3&&3\end{bmatrix}

Dilanjutkan dengan menjadikan elemen ke-1,3 nol, dengan mengurangi baris 1 dengan 1/3 baris ketiga.

R_1 \leftarrow R_1 - \frac{1}{3}R_3
\begin{bmatrix}2&&1&&1-\frac{1}{3}\cdot3&&4-\frac{1}{3}\cdot3\\0&&-2.5&&0&&2.5\\0&&0&&3&&3\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}2&&1&&0&&3\\0&&-2.5&&0&&2.5\\0&&0&&3&&3\end{bmatrix}

Satu lagi, kita buat elemen ke1,2 menjadi nol, dengan cara menambahkan baris pertama dengan 2/5 baris kedua.

R_1 \leftarrow R_1 + \frac{2}{5}R_2
\begin{bmatrix}2&&1+\frac{2}{5}(-2.5)&&0&&3+\frac{2}{5}(2.5)\\0&&-2.5&&0&&2.5\\0&&0&&3&&3\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}2&&0&&0&&4\\0&&-2.5&&0&&2.5\\0&&0&&3&&3\end{bmatrix}

Dilanjutkan dengan membagi masing-masing baris dengan nilai elemen pada masing-masing pivot.

R_1 \leftarrow \frac{1}{2}\times R_1
R_2 \leftarrow -\frac{1}{2.5}\times R_2
R_3 \leftarrow \frac{1}{3}\times R_3
\begin{bmatrix}1&&0&&0\\0&&1&&0\\0&&0&&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\1\\1\end{bmatrix}

Gambaran Umum Metodenya

Sampai sini kira-kira sudah terlihat belum bagaimana inversnya bisa ditemukan? Kalau belum, coba kita perhatikan lagi persamaan Ax=b.

Persamaan tersebut sekarang berubah menjadi Ix=c, di mana c kita anggap sebagai matriks solusinya.

Ingat lagi mengenai konsep invers yang dijelaskan di awal, suatu matriks jika dikalikan inversnya maka hasilnya adalah matriks identitas. Artinya

Ax = b
A^{-1}Ax = A^{-1}b
Ix = c

, dan secara gak langsung kita telah mengalikan persamaan tersebut dengan matriks invers dari A.

Tapi bagaimana kita tahu wujud inversnya? Dan bagaimana ketika kita hanya punya sebuah matriks persegi, namun tidak berbentuk sistem persamaan?

Caranya, kita anggap sebuah matriks, misal A merupakan matriks yang mewakili n buah sistem persamaan, dan konstantanya kita yang menentukan. Yaitu konstantanya adalah sebagai berikut.

\begin{bmatrix}1\\0\\\vdots\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\1\\\vdots\\0\end{bmatrix},\cdots \begin{bmatrix}0\\0\\\vdots\\1\end{bmatrix}

Masing-masing konstanta tersebut berhubungan dengan variabel-variabel pada beberapa matriks, sebut saja x_1,x_2,\cdots,x_3.

Kemudian kita coba tuliskan secara keseluruhannya, sehingga menjadi.

A\begin{bmatrix} && && \\x_1&&x_2&&\cdots&&x_n\\ && && \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1&&0&&\cdots&&0\\0&&1&&\cdots&&0\\\vdots&&\cdots&&\ddots&&\vdots\\0&&0&&\cdots&&1\end{bmatrix} .

Ditulis ulang dengan simbol yang baru menjadi.

AX = I

Sangat jelas terlihat bahwa X adalah invers dari A. Dan kita bisa melakukan metode eliminasi Gauss sebelumnya, namun matriks augmented-nya menjadi bertambah ukurannya, seperti ini.

\begin{bmatrix}A&&|&&I\end{bmatrix}

Contoh Invers

Sebagai contohnya, kita gunakan matriks A yang sebelumnya kita gunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan.

\begin{bmatrix}2&&1&&1&&1&&0&&0\\1&&-2&&3&&0&&1&&0\\-3&&2&&-2&&0&&0&&1\end{bmatrix}

Kita yang sebelumnya udah berhasil menyelesaikan sistem persmaan untuk matriks tersebut, langkah-langkahnya sekarang bisa kita terapkan lagi di sini.

R_2 \leftarrow R_2 - \frac{1}{2}R_1
\begin{bmatrix}2&&1&&1&&1&&0&&0
 \\1-\frac{1}{2}\cdot2&&-2-\frac{1}{2}\cdot1&&3-\frac{1}{2}\cdot1&&0-\frac{1}{2}\cdot1&&1-\frac{1}{2}\cdot0&&0-\frac{1}{2}\cdot0
 \\-3&&2&&-2&&0&&0&&1\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}2&&1&&1&&1&&0&&0\\0&&-2.5&&2.5&&-0.5&&1&&0\\-3&&2&&-2&&0&&0&&1\end{bmatrix}
R_3 \leftarrow R_3 + \frac{3}{2}R_1
\begin{bmatrix}2&&1&&1&&1&&0&&0
 \\0&&-2.5&&2.5&&-0.5&&1&&0
 \\-3-\frac{3}{2}\cdot2&&2-\frac{3}{2}\cdot1&&-2-\frac{3}{2}\cdot1&&0-\frac{3}{2}\cdot1&&0&&1\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}2&&1&&1&&1&&0&&0\\0&&-2.5&&2.5&&-0.5&&1&&0\\0&&3.5&&-0.5&&-1.5&&0&&1\end{bmatrix}
R_3 \leftarrow R_3 + \frac{7}{5}R_2
\begin{bmatrix}2&&1&&1&&1&&0&&0
 \\0&&-2.5&&2.5&&-0.5&&1&&0
 \\0&&3.5+\frac{7}{5}\cdot(-2.5)&&-0.5+\frac{7}{5}\cdot(2.5)&&-1.5+\frac{7}{5}\cdot(-0.5)&&0+\frac{7}{5}\cdot1&&1\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}2&&1&&1&&1&&0&&0\\0&&-2.5&&2.5&&-0.5&&1&&0\\0&&0&&3&&0.8&&1.4&&1\end{bmatrix}
R_2 \leftarrow R_2 -\frac{5}{6}R_3
\begin{bmatrix}2&&1&&1&&1&&0&&0
 \\0&&-2.5&&2.5-\frac{5}{6}\cdot3&&-0.5-\frac{5}{6}\cdot(0.8)&&1-\frac{5}{6}\cdot1.4&&0-\frac{5}{6}\cdot1
 \\0&&0&&3&&0.8&&1.4&&1\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}2&&1&&1&&1&&0&&0
 \\0&&-2.5&&0&&-1.1667&&-0.1667&&-0.8333
 \\0&&0&&3&&0.8&&1.4&&1\end{bmatrix}
R_1 \leftarrow R_1 -\frac{1}{3}R_3
\begin{bmatrix}2&&1&&1-\frac{1}{3}\cdot3&&1-\frac{1}{3}\cdot0.8&&0-\frac{1}{3}\cdot1.4&&0-\frac{1}{3}\cdot1
 \\0&&-2.5&&0&&1.3333&&-0.1667&&-0.8333
 \\0&&0&&3&&0.8&&1.4&&1\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}2&&1&&0&&0.7333&&-0.4667&&-0.3333
 \\0&&-2.5&&0&&-1.1667&&-0.1667&&-0.8333
 \\0&&0&&3&&0.8&&1.4&&1\end{bmatrix}
R_1 \leftarrow R_1 + \frac{2}{5}R_2
\begin{bmatrix}2&&1+\frac{2}{5}\cdot(-2.5)&&0&&0.7333+\frac{2}{5}\cdot(-1.1667)&&-0.4667+\frac{2}{5}\cdot(-0.1667)&&-0.3333+\frac{2}{5}\cdot(-0.8333)
 \\0&&-2.5&&0&&-1.1667&&-0.1667&&-0.8333
 \\0&&0&&3&&-2.2&&1.4&&1\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 2 && 0 && 0 && 0.2667 && -0.5334 && -0.6667
 \\0&&-2.5&&0&&-1.1667&&-0.1667&&-0.8333
 \\0&&0&&3&&0.8&&1.4&&1\end{bmatrix}

Supaya mendapatkan bentuk identitasnya, kita kalikan tiap baris dengan masing-masing invers dari elemen diagonal yang bersangkutan.

R_1 \leftarrow \frac{1}{2}\times R_1
R_2 \leftarrow -\frac{1}{2.5}\times R_2
R_3 \leftarrow \frac{1}{3}\times R_3

Dengan demikian didapat.

\begin{bmatrix}1&&0&&0&&1.3333&&-0.2667&&-0.3333
 \\0&&1&&0&&0.4667&&0.06668&&0.3333
 \\0&&0&&1&&0.2667&&0.4667&&0.3333\end{bmatrix}

Artinya invers dari matriks A tersebut ialah.

A^{-1} = \begin{bmatrix}1.3333&&-0.2667&&-0.3333\\0.4667&&0.06668&&0.3333\\0.2667&&0.4667&&0.3333\end{bmatrix}

Kalau dipersikan di kalkulator mungkin beda-beda dikit, karena pas menghitung saya banyak melakukan pembulatan.

Ketika Pivot Bernilai Nol

Di awal telah saya singgung sedikit, bagaimana jika pivotnya bernilai nol? Jadi yang kita bisa lakukan jika menemui situasi ini yaitu menukar baris tersebut dengan baris yang lain sehingga pivotnya tidak nol.

Menukar baris matriks

Kemudian jika sudah, maka tinggal lakukan langkah-langkah seperti sebelumnya. Setelah matriks augmented di sebelah kiri sudah berbentuk identitas, hasilnya tinggal kita tukar lagi, namun kali ini kolomnya, bukan barisnya.

Contohnya, kalau kita tukar baris 1 dengan 2, maka pada inversnya kita tukar kolom 1 dengan 2. Kok begitu? Oke kita bahas, jadi proses pertukaran baris itu bisa dilakukan oleh suatu matriks, yang dinamakan matriks permutasi. Lambang martiks tersebut yaitu P, dan hasil perubahan baris (maupun kolom) dilakukan dengan cara mengalikannya.

Asumsikan hasil pertukarannya adalah A_n, dengan demikian.

A_nX = I
(PA)X = I
X = (PA)^{-1}
X = A^{-1}P^{-1}

Guna mendapatkan A^{-1} kita perlu mengalikannya dengan P lagi, namun perkaliannya dari sebelah kanan (ingat AB\neq BA), sehingga.

A^{-1} = XP

Bagi teman-teman yang ingin mempelajari mengenai konsep-konsep dasar tentang matriks, kalian bisa baca-baca materi pada tautan yang dilampirkan tersebut.

Label
Search icon