Mari Berkenalan Dengan Aljabar Linear

Lintang Erlangga - April 9th, 2021

Pengenalan aljabar linear.
Pengenalan aljabar linear

Selama ini matriks dan vektor yang kita ketahui kita anggap sebagai sebuah susunan angka dalam bentuk baris dan kolom, namun sebenarnya "mereka" itu menyimpan informasi lainnya. Jadi, kali ini saya ingin mengajak kalian untuk melihat kedua objek tersebut dari sisi yang lain.

Setelah kalian mempelajari mengenai dua konsep baik vektor maupun matriks, kalian semua paham bahwa baik matriks dan vektor dapat dioperasikan layaknya suatu skalar, seperti pertambahan, hingga perkalian, namun dalam implementasinya mempunyai mekanisme yang berbeda dengan skalar.

Kombinasi Linear

Sebagai permulaan, coba perhatikan pertambahan dua vektor a dan b , dimana

a = \begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}

dan

b = \begin{bmatrix}3\\6\\9\end{bmatrix}

, selanjutnya kita operasikan pertambahan antara kedua vektor tersebut, dimana hasilnya yaitu

a+b = \begin{bmatrix}4\\8\\12\end{bmatrix}

, apakah kalian melihat sesuatu yang menarik disini? Coba diperhatikan kembali pada hasil pertambahan tersebut, dapat dilihat bahwa hasilnya merupakan kelipatan dari vektor a dengan pengali 4, sedangkan terhadap vektor b dengan pengali \frac{4}{3}.

Nah sekarang coba kita buat bentuk kombinasi kedua vektor tersebut secara umum, yaitu dengan adanya konstanta k dan l sebagai pengali pada masing-masing vektor tersebut,

ka + lb = k\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix} + l\begin{bmatrix}3\\6\\9\end{bmatrix}

Karena vektor b merupakan kelipatan dari vektor a, yakni dengan pengali 3, dengan demikian bentuk di atas dapat kita tuliskan sebagai

ka + l(3a) = (k+3l)\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}

Jika kita ilustrasikan pada bidang kartesius, tentunya kombinasi tersebut akan merepresentasikan suatu garis lurus, seperti berikut.

Hasil pertambahan vektor masih sejaja

Sekarang, bagaimana kalau kita ganti vektor b sebelumnya menjadi sebagai berikut

b = \begin{bmatrix}5\\3\\7\end{bmatrix}

, lalu kombinasi secara umumnya dengan a yaitu

ka + lb = k\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix} + l\begin{bmatrix}5\\3\\7\end{bmatrix}

Jika dengan vektor sebelumnya kita melihat bahwa hasil dari operasi pertambahan keduanya selalu dapat dibentuk/disusun oleh satu vektor saja (antara a dan b).

Pada kasus yang baru ini, vektor hasil pertambahannya tidak bisa disusun oleh satu vektor saja, harus disusun oleh keduanya.

Apabila kita ilustrasikan hasil pertambahannya, misal yang sederhana untuk k=1 dan l=1, vektor tersebut nampaknya tidak sejajar dengan a dan b.

Hasil pertambahan vektor masih sejaja

Nah coba kalian bayangkan ketika kita mengubah-ubah nilai k dan l tersebut, nampak bahwa kombinasi antara dua vektor tersebut akan "mengisi" suatu bidang.

Jika pada kasus yang pertama, kombinasinya mengisi garis alias satu dimensi, kali ini kombinasinya mengisi suatu bidang alias dua dimensi.

Sebelum lanjut, saya pengen ngasih tahu beberapa hal terlebih dahulu, jadi bentuk kombinasi tersebut dinamakan sebagai kombinasi linear, dan konsep ini merupakan jantung dari salah satu cabang matematika yang dinamakan sebagai aljabar linear.

Secara garis besar, aljabar linear dapat dipandang sebagai ilmu yang berkutat dengan suatu pemetaan menggunakan persamaan linear, dan representasi yang digunakan biasanya menggunakan vektor dan matriks, nanti kalian bakal ngelihat gimana cara kerja dari aljabar linear.

Oke kita lanjutin lagi, yang menjadi pertanyaan, apa perbedaan antara vektor b yang pertama dengan yang kedua? Jawabannya sederhana, vektor b yang kedua tidak dapat dibentuk/disusun berdasarkan vektor a hanya dengan mengalikan dengan suatu konstanta.

Berbeda dengan yang pertama dimana dengan mengalikan vektor a dengan pengali 3, maka kita dapatkan vektor tersebut.

Ada suatu istilah di dalam aljabar linear pada kedua vektor tersebut, vektor b yang pertama disebut sebagai vektor yang dependent sedangkan yang kedua, seharusnya kalian tahu, yaitu independent. Bagaimana konsepnya? Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya.

Untuk hubungannya dengan bagaimana suatu kombinasi linear mengisi suatu ruang yaitu pada dua vektor yang dikombinasikan.

Untuk kombinasi linear dua vektor (3 dimensi), jika keduanya saling dependent maka akan mengisi "ruang "satu dimensi, jika keduanya saling independent akan mengisi "ruang" dua dimensi.

Secara gak langsung kita dapat mendefinisikan garis alias "ruang" satu dimensi dengan vektor, bidang juga bisa, ruang tiga dimensi, hingga n-dimensi juga bisa!

Inilah kelibihan dari aljabar linear, bahkan sulit bagi kita untuk membayangkan bagaimana ruang 4 dimensi, namun kita bisa berinteraksi di dalam ruang tersebut dengan bantuan "alat" ini.

Menyelsaikan Sistem Persamaan Linear

Tadi dijelaskan kalau aljabar linear itu berurusan dengan pemetaan dengan persamaan linear, emang kaya gimana sih?

Untuk contoh ini, kita gunakan vektor a dan b yang baru yaitu

a = \begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}

dan

b = \begin{bmatrix}5\\3\end{bmatrix}

(sebenarnya cuman mangkas elemen yang ketiga)

Coba kita pilih salah satu vektor yang berada pada bidang yang diisi oleh kombinasi antara kedua vektor tersebut, sebut saja c, yaitu

c = \begin{bmatrix}-3\\1\end{bmatrix}

Kali ini kita tertarik untuk mengetahui kombinasi k dan l seperti apa sehingga hasil kombinasi linear antara a dan b dapat menghasilkan c.

Tapi sekarang saya mau ganti aja konstantanya jadi x dan y, coba kita tuliskan terlebih dauhlu kombinasi linearnya

xa+yb = c
x\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix} + y\begin{bmatrix}5\\3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-3\\1\end{bmatrix}

Coba kita gunakan sifat vektor terhadap perkalian sekalar, beserta kita lakukan operasi pertambahan sehingga menjadi

\begin{bmatrix}x+5y\\2x+3y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-3\\1\end{bmatrix}

Bentuk di atas tidak lain adalah persamaan linear, dan kita bisa gunakan metode substitusi, ataupun eleminasi, intinya dikerjakan seperti halnya sistem persamaann linear dua variabel.

Tapi rasanya tidak ada yang spesial disini, kita hanya mempersulit diri sendiri, oke kalau gitu coba kita manipulasikan persamaannya menjadi seperti ini

\begin{bmatrix}1&&5\\2&&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-3\\1\end{bmatrix}

kita beri simbol untuk menjadi

Mp= c

, bisa kalian tebak sendiri ya, yang mana matriks M, dan seterusnya.

Sampai saat ini sudah kelihatan belum hal menariknya? Kalau belum coba persamaan tersebut kita kalikan dengan M^{-1} atau invers dari matriks M dari kiri (ingat AB\neq BA), persamaan tersebut menjadi

Mp= c
M^{-1}Mp= M^{-1}c

mengingat M^{-1}M = I,

p= M^{-1}c
\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1&&5\\2&&4\end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix}-3\\1\end{bmatrix}

Dan sampailah disini, kita dapat menentukan solusi suatu sistem persamaan linear dua variabel hanya dengan menghitung invers dari suatu matriks.

Cukup menarik bukan? Nah, bagaimana untuk sistem persamaan linear tiga variabel? Kita juga dapat menyelesaikannya dengan mencari invers dengan menghitung invers dari matriks berukuran 3\times3.

Memang tidak semua matriks dapat dihitung inversnya, terutama ketika determinannya adalah nol, tapi ternyata ini menjadi keuntungan tersendiri untuk kita, mengapa bisa?

Sebagai contoh kita punya sistem persamaan linear, yaitu

y = 2x + 3

dan

2y = 4x + 7

coba kalian temukan solusi atau titik potong kedua garis tersebut.

Setelah kalian mencoba mencarinya, kalian akan tahu bahwa kedua garis tersebut nampaknya tidak saling berpotongan.

Dengan konsep aljabar linear, kita dapat mengetahuinya terlebih dahulu tanpa perlu menghitungnya. Kita ubah bentuknya menjadi Mp=c, seperti sebelumnya yaitu

\begin{bmatrix}-2&&1\\-4&&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3\\7\end{bmatrix}

Jadi gini, matriks itu bisa kita lihat tidak hanya sebagai kumpulan bilangan-bilangan yang disusun sedemikian rupa, dan sebagainya, tapi bisa juga kita lihat sebagai sekumpulan vektor kolom (jumlah kolomnya selalu satu).

Untuk matriks M yang sebelumnya ini, vektor kolom tersebut yaitu

\begin{bmatrix}-2\\1\end{bmatrix}

dan

\begin{bmatrix}-4\\2\end{bmatrix}

Langsung ke intinya, jadi apabila vektor yang menyusun matriks M tersebut saling dependent, maka dapat dipastikan bahwa sistem persamaan linear tersebut tidak mempunyai solusi atau bisa juga banyak.

Gimana kasusnya untuk sistem persamaan linear dengan variabel yang lebih banyak, konsepnya sama!

Kalau salah satunya dependent, maka sistem tersebut antara tidak mempunyai solusi atau banyak solusinya.

Tunggu…, maksud dari solusinya banyak bagaimana? Oke masih banyak hal yang perlu dijelaskan untuk menjawab pertanyaan tersebut, mulai dari mengenal konsep eleminasi Gauss hingga bentuk terekduksi (reduced form), aslinya konsepnya cukup sederhana, hanya saja ada beberapa konsep yang perlu kita lalui terlebih dahulu.

Mungkin cukup sekian dari saya, jika ada yang ingin didiskusikan, boleh langsung di kolom komentar aja, terima kasih.

Labelsainsteknikaljabar linearmatriksvektorsistem persamaan linear
Lintang Erlangga
Lintang Erlangga

Lintang Erlangga merupakan alumni Teknik Elektro UGM 2016, dan juga mantan anggota Gadjah Mada Robotics Team sebagai perwakilan kampus pada kompetisi robot tingkat regional hingga nasional.