Logaritma - Dasar, Sifat-SIfat, Bentuk Deret

Dipublikasi: September 26th, 2021

Logaritma dasar meliputi sifat-sifatnya — Menghitung pangkat berdasarkan hasil pemangkatannya.

Kalian yang sudah belajar fungsi, semestinya pernah melihat bahwa pemetaan bisa dibalik. Yakni sudah diketahui y, lalu ingin dihitung x-nya.

Konsep satu ini juga mirip seperti itu, hanya saja fungsi yang dimaksud merupakan fungsi berpangkat (eksponen). Invers dari fungsi berpangkat tersebut adalah logaritma.

Daftar Isi

Logaritma
- Cara Lain Membayangkan Logaritma
Sifat-Sifat Logaritma
Menghitung Logaritma Tanpa Kalkulator

Logaritma

Biasanya kita ingin mengetahui perhitungan berupa hasil dari suatu pangkat, misalnya x = aⁿ.

Pada logaritma sebaliknya, pengen dicari berapa pangkat yang dibutuhkan (n) terhadap a guna menghasilkan x.

Sederhananya, logaritma merupakan invers dari operasi pangkat.

Secara simbol, logaritma dituliskan sebagai berikut:

$n = ^a\log x$

Penjelasan variabelnya:

x merupakan hasil pemangkatan dari a.
a disebut sebagai basis, yakni angka yang dipangkatkan.
n adalah pangkat yang ingin dicari.

Contohnya, diketahui pangkat 3 dari 5 (5 pangkat 3) adalah 5³ = 5 × 5 × 5 = 125.

Jika dalam logaritma, maka penulisannya adalah ⁵log 125 = 3.

Contoh lainnya, misal ingin dihitung hasil dari ²log 64.

Nah secara bahasa sederhananya, logaritma bisa diartikan sebagai: Dua pangkat berapa sehingga hasilnya adalah 64.

Atau lebih umumnya lagi, basis dipangkatkan berapa sehingga menghasilkan angka di dalam fungsi logaritma tersebut.

Cara Lain Membayangkan Logaritma

Kalau pangkat merupakan perkalian berulang, di sini logaritma dapat dianggap sebagai pembagian berulang.

Caranya cukup sederhana, misalnya digunakan kembali contoh pertama, ⁵log 125 = 3.

Jadi dapat dibayangkan, kita sedang mencari berapa banyak angka 5 diperlukan untuk membagi 125 sehingga hasilnya adalah 1. Seperti berikut penulisan matematisnya:

$\frac{125}{5\times5\times5} = 1$

Tapi secara keseluruhan sama saja intinya, cuman berbeda cara nyebayangin masalahnya aja.

Sifat-Sifat Logaritma

Operasi pada logaritma dapat dilakukan secara tidak langsung. Maksudnya jika dua fungsi logaritma dijumlahkan, hasilnya bisa dilakukan menggunakan alternatifnya.

Harapannya, mampu dipilih cara yang lebih gampang guna menghitung logaritmanya.

Sifat Penjumlahan

Coba amati bentuk pangkat di bawah ini, di situ dimanfaatkan sifat pertambahan pada pangkat:

$a^{ ^a\log x + ^a\log y} = a^{ ^a\log x}\cdot a^{ ^a\log y}$

Kemudian, anggap ^alog x adalah n, berarti aⁿ adalah x. Demikian bisa dituliskan:

$a^{ ^a\log x + ^a\log y} = x\cdot y$

Manipulasi kembali ruas kanan menjadi:

$a^{ ^a\log x + ^a\log y} = a^{ ^a\log x\cdot y}$

Gunakan lagi sifat pangkat di mana a^x = a^y, maka x = y. Demikian diperoleh:

$\boxed{^a\log x + ^a\log y = ^a\log x\cdot y}$

Artinya, penjumlahan dua logaritma dapat dihitung menjadi sekali saja. Di sisi lain juga mempermudah perhitungan, misalnya kayak begini:

$^3\log 13.5 + ^3\log 2 = ^3\log 13.5\cdot 2 = ^3\log 27 = 3$

Bila dihitung tanpa menggunakan sifat tentunya bakal ribet banget. Tapi apabila digunakan bentuk alternatifnya, bentuknya jauh lebih sederhana, sebab 3³ = 27.

Sifat Pangkat

Apabila argumennya (input fungsi logaritma) merupakan dalam bentuk pangkat, bisa digunakan sifat berikut:

$^a\log x^n = ^a\log \underbrace{x\cdot x\cdot\,\ldots\,\cdot x}_{n}$

Dengan memanfaatkan sifat penjumahan sebelumnya, bentuk di atas bisa dituliskan menjadi:

$^a\log x + ^a\log x + \cdots + ^a\log x = n ^a\log x$

Keuntungan yang diperoleh dari sifat ini yaitu, operasi pangkat cukup diselesaikan hanya dengan operasi perkalian.

Tentu ini akan sangat membantu, terutama jika pangkatnya misal ratusan hingga ribuan. Contohnya ³log 27³, penyelesaiannya:

$^3\log 27^3 = ^3\log (3^3)^3 = ^3\log 3^9 = 9\cdot ^3\log 3 = 9$

Sifat Pengurangan

Untuk sifat pengurangan, sebenarnya mampu kalian temukan melalui cara yang serupa seperti pada sifat penjumlahan.

Tapi, biar gak mubazir karena dua sifat udah ditemukan, mending coba kita gunakan aja kedua sifat sebelumnya.

Kalian semua tentunya sudah pada tahu kalau pangkat negatif dapat dijadikan operasi pembagian, a^-n = 1/aⁿ.

Maka dari itu, bentuk logaritma di bawah ini bisa dituliskan sebagai:

$^a\log \frac{x}{y} = ^a\log x\cdot y^{-1} = ^a\log x + ^a\log y^{-1} = ^a\log x - ^a\log y$

Jadi, operasi pengurangan dua bentuk logaritma bisa dihitung melalui satu perhitungan logaritma di mana argumennya merupakan pembagian antara dua argumen awalnya.

Logaritma yang negatif argumennya menjadi penyebut pada argumen bentuk logaritma barunya.

Sifat Kesamaan

Apabila ditemui dua buah fungsi logaritma dengan basis yang sama, lalu hubungan keduanya seperti:

$^a\log b = ^a\log c$

Berarti terdapat kesamaan nilai antara kedua argumennya, b = c.

Contohnya ^alog x + 3 = ^alog 2x + 9, artinya x + 3 = 2x + 9.

Catatan: Perlu diperhatikan juga, kalau keseluruhan sifat-sifat sebelumnya berlaku ketika basisnya sama.

Sifat Lainnya

Di beberapa masalah, biasanya ditulis sebuah fungsi log tanpa ada basisnya, logaritma tersebut umumnya menadakan basis 10.

Jadi, misalnya ditemui log a, maka yang dimaksud adalah logartima dengan basisnya 10, ¹⁰log a.

Kemudian, berikut beberapa sifat lainnya:

^alog a = 1, bilangan dipangkatkan 1 pasti bilangan itu sendiri.
^alog 1 = 0, selagi a > 0, berapapun bilangannya jika dipangkatkan nol nilainya 1.
^alog 0 = tak terdefinisi, selagi tidak ada kondisi/aturan tambahan. Di beberapa situasi bisa saja ^alog 0 = -∞.

Merubah Basis

Ada cara sederhana menghitung logaritma saat basis dengan hasil pangkatnya bukanlah hasil dari pemangkatan bilangan bulat. Yakni dengan merubah basisnya.

Asumsikan terdapat ^alog b = x atau a^x = b, terus misalkan baik a dan b dibentuk oleh suatu pangkat bilangan yang sama, sebut saja c.

Wujudnya seperti ini keduanya, c^y = a dan c^z = b, demikian persamaan sebelumnya menjadi:

$\begin{align*}a^x &= b\\c^{yx} &= c^z\\ \rightarrow yx&=z\\ x&=\frac{z}{y}\end{align*}$

Karena y = ^clog a dan z = ^clog b, sehingga:

$\boxed{^a\log b =\frac{^c\log b}{^c\log a}}$

Didasari sifat sebelumnya bisa diperoleh sifat lainnya, yakni dengan menanggap c = b.

$\boxed{^a\log b =\frac{^b\log b}{^b\log a} = \frac{1}{^b\log a}}$

Di sini bisa kalian lihat antara basis dengan hasil pemangkatannya bisa ditukar.

Logaritma Natural

Sebelumnya, kalian harus tahu dulu mengenai suatu konstanta matematika, dengan lambang e.

Konstanta ini sama seperti π pada lingkaran, yakni sama-sama merupakan bilangan transenden.

Gampangannya kedua bilangan tersebut tidak mempunyai ujungnya, serta gak tahu nilai eksaknya (pastinya) berapa.

Saat e menjadi basis sebuah logaritma, ada penamaan khusus terhadapnya, yakni dinamakan logaritma natural. Seperti berikut simbolnya:

$\boxed{^e\log x = \ln x$

Besar dari konstanta e ini adalah 2.71828...., kalau dilanjuti gak ada ujungnya.

Logaritma natural juga berlaku terhadap sifat-sifat sebelumnya, seperti sifat penjumlahan, pengurangan, serta pangkat.

Menghitung Logaritma Tanpa Kalkulator

Permasalahannya muncul saat pangkatnya bukanlah bilangan bulat. Jangankan menghitung logaritma, mencari pangkat selain bilangan bulat aja udah repot.

Cara paling sederhananya, bisa kalian gunakan deret Taylor untuk menghitung logaritma. Tapi basisnya perlu dirubah dulu sehingga menjadi logaritma natural.

Deret Taylor untuk logaritma natural sendiri seperti ini rumusnya:

$\begin{align*}\ln x&=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}(x-1)^n}{n}\\&=(x-1)-\frac{(x-1)^2}{2}+\frac{(x-1)^3}{3}-\cdots\end{align*}$

Nah tapi sebagai aproksimasi (pendekatan) kalian dapat menghitungnya beberapa suku aja. Misalnya 5 hingga 6 suku pertama.

Cuman, muncul masalah nih kalau rumus sebelumnya, coba kalian perhatikan saat x - 1 > 1 atau x > 2.

Nampak kalau deretnya gak bakal menuju nilai tertentu dengan kata lain divergen.

Guna menghitung x-nya sembarang, caranya cukup sederhana, dapat kita manfaatkan sifat-sifat sebelumnya.

Misalnya akan dihitung pendekatan dari ²log 3, ubah dulu basisnya menjadi e sehingga:

$^2\log 3 = \frac{\ln 3}{\ln 2} = \frac{-\ln 3}{-\ln 2} = \frac{\ln \frac{1}{3}}{\ln \frac{1}{2}}$

Logaritmanya dimanipulasi sedemikian rupa sehingga argumennya menjadi pecahan dan berlaku kondisi x-nya gak boleh lebih dari 2. Triknya berada di pengali -1/-1.

Sebagai contoh, coba kita lanjutin perhitungannya tapi bakal dibatasi untuk 5 suku pertama aja.

$\ln \frac{1}{3}\approx(\frac{1}{3}-1)-\frac{(\frac{1}{3}-1)^2}{2}+\frac{(\frac{1}{3}-1)^3}{3}-\frac{(\frac{1}{3}-1)^4}{4}+\frac{(\frac{1}{3}-1)^5}{5}=-1.063374486$

$\ln \frac{1}{2}\approx(\frac{1}{2}-1)-\frac{(\frac{1}{2}-1)^2}{2}+\frac{(\frac{1}{2}-1)^3}{3}-\frac{(\frac{1}{2}-1)^4}{4}+\frac{(\frac{1}{2}-1)^5}{5}=-0.688541667$

Untuk beberapa digit pertamanya, seharusnya ln 1/3 = -1.096..., sedangkan ln 1/2 = 0.6931... .

Akibatnya, nilai dari ²log 3 pun akan dipengaruhi keakuratan nilainya. Jika didasari perhitungan tadi sekitar 1.544386545, sedangkan semestinya 1.584962501.

Nampak 5 suku pertama dari deret tersebut belum cukup akurat, sebab 2 digit pertama setelah koma saja belum sama nilainya.

Tapi, memang ini salah satu kekurangan menggunakan deret ini, terutama untuk x ≈ 0. Butuh suku begitu banyak agar hasilnya lebih mirip, atau cepat konvergen.