Turunan Fungsi Aljabar

Apa jadinya ketika kita mencari perubahan suatu fungsi pada interval yang begitu kecil?
Apa jadinya ketika kita mencari perubahan suatu fungsi pada interval yang begitu kecil?

Turunan

Kali ini kita akan membicarakan sifat dari suatu fungsi (dalam hal ini fungsi aljabar), yakni sifat mengenai perilaku perubahan fungsi tersebut. Maksudnya, bagaimana suatu fungsi aljabar mengalami perubahan seiring adanya perubahan nilai x-nya.

Pada fungsi linear, seperti persamaan garis lurus, semakin besar gradiennya (curam), maka perubahan sedikit saja pada nilai x akan menyebabkan perubahan yang besar pada nilai hasil pemetaannya. Dan sebaliknya, jika gradiennya kecil (landai), perubahan besar pada nilai x, mungkin akan tidak begitu terasa perubahan pada hasil pemetaanya.

Untuk mengetahui gradiennya, pada fungsi linear kita cukup memeriksa dua titik pada fungsi tersebut, kemudian idenya adalah, melihat seberapa besar perubahan hasil pemetaan \Delta f(x) terhadap perubahan pada nilai inputnya \Delta x.

Untuk fungsi linear mungkin hal tersebut sudah memadai, namun bagaimana untuk fungsi kuadrat? Jika kita menguji dua titik pada fungsi ini tentu tidak bisa mewakili perubahan yang dialami, karena perubahan yang dialami juga berubah-ubah, seperti misal pada f(x)=x^2, di dekat titik stasioner, perubahannya landai, namun setelah itu jadi besar.

Bagaimana strateginya nih? Coba kita persempit interval untuk mengetahui gradiennya, kalau masih belum cukup, kita persempit, dan persempit lagi sehingga \Delta x \to 0. Tunggu ..., nanti kalau dibagi nol akan menjadi tak terdefinisi, apakah kita akan menggunakan konsep limit?

Mencari gradien suatu fungsi yang non linear

Turunan Dengan Limit

Tentu, konsep limit akan menjadi pondasi kita untuk menyelesaikan permasalahan ini, dan idenya seperti sebelumnya, yaitu melihat perubahan pada suatu fungsi ketika perbedaan antara inputnya (x-nya) sangat kecil sekali. Dan kurang lebih seperti ini konsep dari turunan.

Secara simbol, turunan dapat kita tulis sebagai \frac{df(x)}{dx}, yang artinya turunan fungsi f(x) terhadap x (perubahan f(x) terhadap x), atau bisa juga dengan simbol yang leibh singkat yaitu f'(x).

Balik lagi ke ide mengenai turunan, secara matematis kita tuliskan sebagai

\frac{df(x)}{dx} = f'(x) = \lim\limits_{\Delta x\to0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{(x+\Delta x) - x}
\frac{df(x)}{dx} = f'(x) = \lim\limits_{\Delta x\to0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}

, perhatikan bahwa bentuknya mirip seperti kita mencari gradien pada persamaan garis lurus.

Langsung kita coba aja, misal untuk f(x)=2x^2-4x+10 (saya ngasal aja), maka turunannya yaitu

\frac{df(x)}{dx} = \lim\limits_{\Delta x\to0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}
\frac{df(x)}{dx} = \lim\limits_{\Delta x\to0} \frac{2(x+\Delta x)^2 - 4(x+\Delta x) + 10 - (2x^2-4x+10)}{\Delta x}
\frac{df(x)}{dx} = \lim\limits_{\Delta x\to0} \frac{2x^2+4x\Delta x+2{\Delta x}^2 - 4x- 4\Delta x + 10 - 2x^2+4x-10}{\Delta x}

Suku-suku yang sama akan saling meniadakan, dan menyisakan suku-suku dengan variabel \Delta x

\frac{df(x)}{dx} = \lim\limits_{\Delta x\to0} \frac{\cancel{2x^2}+4x\Delta x+2{\Delta x}^2 - \cancel{4x}- 4\Delta x + \cancel{10} - \cancel{2x^2}+\cancel{4x}-\cancel{10}}{\Delta x}
\frac{df(x)}{dx} = \lim\limits_{\Delta x\to0} \frac{4x\Delta x+2{\Delta x}^2 - 4\Delta x}{\Delta x}
\frac{df(x)}{dx} = \lim\limits_{\Delta x\to0} 4x+2\Delta x - 4 = 4x -4

Dari situ kita melihat bahwa, gradien dari fungsi kuadrat merupakan sebuah fungsi lagi, berbeda seperti halnya fungsi linear, di mana gradiennya merupakan sebuah konstanta.

Untuk fungsi aljabar, secara umum, yakni dalam bentuk f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1}+\dotsc+a_0, bentuk turunannya yaitu

\frac{df(x)}{dx} = f'(x) = n a_n x^{n-1} + (n-1)a_{n-1} x^{n-2} + \dotsc + a_1

, konstanta sendiri setara dengan koefisien dengan variabel x pangkat nol.

Fungsi yang sebelumnya yaitu f(x)=2x^2-4x+10, dengan menerapkan rumus tersebut juga akan menghasilkan turunan yang sama seperti sebelumnya. Nah, sekarang kita coba pada fungsi yang lebih besar pangkatnya f(x) = 3x^8 - 9x^5 + 2x^2 + 1, turunannya yaitu

f'(x) = 8\cdot3x^{8-1} - 5\cdot9x^{5-1} + 2\cdot2x^{2-1} + 0

Sifat-Sifat Turunan

Sama halnya seperti limit yang mempunyai sifat-sifat pada suatu operasi, turunan juga ada, untuk mempermudah perhitungan. Yang pertama, untuk operasi pertambahan

\frac{d(f(x) + g(x))}{dx} = \frac{df(x)}{dx} + \frac{dg(x)}{dx}

, artinya kita dapat melakukan turunan pada masing-masing fungsi ketimbang melakukan penurunan pada keseluruhan fungsi, dan berlaku juga untuk pengurangan.

Kemudian, apabila suatu fungsi dikalikan dengan sebuah konstanta, kf(x), maka turunannya sama saja seperti konstanta tersebut dikalikan dengan turunan dari f(x) itu sendiri
\frac{dkf(x)}{dx} = k\frac{f(x)}{dx} .

Lalu untuk perkalian dua buah fungsi, ini akan sedikit berbeda seperti pada limit. Jika pada limit, limit dari perkalian dua fungsi setara dengan limit dari masing-masing fungsi kemudian dikalikan hasilnya, hal ini berbeda pada turunan. Karena ketika dua fungsi dikalikan, maka fungsi tersebut akan menjadi satu kesatuan.

Untuk mengetahui sifatnya, kita gunakan konsep turunan dengan limit sebelumnya

\frac{d(f(x)g(x))}{dx} = \lim\limits_{\Delta x\to0} \frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x) - f(x)g(x)}{\Delta x}

, kemudian kita manipulasi dengan menambahkah nol

\rightarrow = \lim\limits_{\Delta x\to0} \frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x) - f(x)g(x) + 0}{\Delta x}
\rightarrow = \lim\limits_{\Delta x\to0} \frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x) - f(x)g(x) + (f(x+\Delta x)g(x) - f(x+\Delta x)g(x))}{\Delta x}

Kemudian kita susun ulang menjadi

\rightarrow = \lim\limits_{\Delta x\to0} \frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x) - f(x+\Delta x)g(x)}{\Delta x} + \lim\limits_{\Delta x\to0} \frac{f(x+\Delta x)g(x) - f(x)g(x)}{\Delta x}
\rightarrow = \lim\limits_{\Delta x\to0} \frac{f(x+\Delta x)(g(x+\Delta x) - g(x))}{\Delta x} + \lim\limits_{\Delta x\to0} \frac{(f(x+\Delta x) - f(x))g(x)}{\Delta x} .

Dengan memanfaatkan sifat-sifat limit maka kita dapatkan

\rightarrow = \lim\limits_{\Delta x\to0} f(x+\Delta x)\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{g(x+\Delta x) - g(x)}{\Delta x} + \lim\limits_{\Delta x\to0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} \lim\limits_{\Delta x\to0}g(x) .

Bentuk-bentuk tersebut tak lain adalah bentuk turunan biasa, dan untuk \lim\limits_{\Delta x\to0} f(x+\Delta x) merupakan f(x) itu sendiri, sehingga untuk operasi perkalian dua fungsi, turunannya yaitu

\frac{d(f(x)g(x))}{dx} = f'(x)g(x) + g'(x)f(x) .

Apabila operasi yang dimaksud adalah pembagian, yakni dalam bentuk \frac{f(x)}{g(x)}, dengan ide yang sama seperti sebelumnya, yaitu dengan memanipulasi bentuknya, kalian akan temukan rumusnya, yaitu

\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - g'(x)f(x)}{{(g(x))}^2} .

Untuk fungsi komposisi, yaitu dalam bentuk f(g(x)), artinya kita ingin mengetahui perubahan f(x) terhadap x, namun di sisi lain, g(x) lah yang merupakan input dari g(x). Untuk mengetahui turunannya, idenya yaitu, kita temukan terlebih dahulu perubahan f(x) terhadap g(x), kemudian kita cari perubahan g(x) terhadap x.

Bisa kita gunakan konsep limit sebelumnya, tapi mending kita langsung aja

\frac{df(g(x))}{dx} = \frac{df(x)}{dg(x)}\frac{g(x)}{dx} .

Nilai Stasioner

Ketika suatu fungsi berada di titik balik, maka tidak ada perubahan saat itu. Dengan ide ini, maka kita dapat mengetahui nilai pada suatu puncak/lembah pada suatu fungsi, yaitu ketika turunannya/gradiennya/perubahannya bernilai nol

\frac{df(x)}{dx} = f'(x) = 0 .

Misal untuk fungsi f(x) = x^3 + 6x^2 + 9x + 7, turunannya yaitu

f'(x) = 3x^2 + 12x + 9

, kemudian pada titik stasioner turunannya nol

3x^2 + 12x + 9 = 0
x^2 + 4x + 3 = 0
(x+3)(x+1) = 0

Dari situ kita ketahui bahwa, fungsi f(x) = x^3 + 6x^2 + 9x + 7 mempunyai dua titik stasioner, yaitu ketika x=-3 dan x=-1. Untuk mengetahui nilai stasionernya, kita substitusikan x tersebut pada fungsi awal

x=-3, f(-3) = 7
x=-1, f(-1) = 6

Fungsi Naik dan Turun

Prinsipnya sederhana, suatu fungsi dikatakan naik ketika pada interval tertentu, misal pada [a,b], maka nilai dari fungsi tersebut pada b lebih besar ketimbang di a, f(b) > f(a), secara gak langsung ini mengartikan bahwa perubahannya positif. Nah, apa artinya perubahan positif? Berati gradienya juga positif, kalau gradiennya positif, artinya turunannya juga positif.

Dan sebaliknya ketika fungsinya turun, dengan demikian bisa kita simpulkan bahwa

f'(x) > 0, maka fungsi naik
f'(x) < 0, maka fungsi turun
Menentukan kondisi naik dan turun suatu fungsi dengan turunan
Label
< Materi SebelumnyaKonsep Trigonometri
Search icon