Turunan Fungsi Aljabar - Gradien, Limit, Nilai Stasioner

Pembahasan lengkap turunan fungsi aljabar
Bagaimana caranya mencari perubahan sebuah fungsi pada interval yang begitu kecil?

Konsep gradien itu sebenarnya sederhana, terutama fungsi yang sifatnya linear. Contohnya fungsi dari garis lurus, nilai gradiennya bisa dihitung menggunakan operasi pengurangan dan pembagian saja.

Namun ketika sifatnya non-linear, misalnya seperti fungsi kuadrat, maka kita perlu konsep lain yang bernama turunan.

Daftar Isi

Turunan

Kali ini kita akan membicarakan sifat dari suatu fungsi, lebih rincinya lagi fungsi aljabar. Yakni sifat mengenai perilaku perubahan fungsi tersebut.

Maksudnya, bagaimana sebuah fungsi aljabar mengalami perubahan seiring adanya perubahan nilai x-nya.

Relasinya Dengan Gradien

Saat berurusan dengan fungsi linear, seperti halnya persamaan garis lurus, semakin besar gradiennya (curam), maka perubahan sedikit saja pada nilai x menyebabkan perubahan yang besar pada nilai hasil pemetaannya.

Dan sebaliknya, jika gradiennya kecil (landai), perubahan besar pada nilai x, mungkin akan tidak begitu terasa perubahan pada hasil pemetaanya.

Untuk mengetahui gradiennya, untuk fungsi linear kita cukup memeriksa dua titik pada fungsi tersebut.

Kemudian ide selanjutnya adalah, melihat seberapa besar perubahan hasil pemetaan Δf(x) terhadap perubahan pada nilai inputnya Δx.

Intervalnya Dibuat Sekecil Mungkin

Untuk fungsi linear mungkin hal tersebut sudah cukup memadai guna menghitung gradiennya. Namun bagaimana untuk fungsi kuadrat?

Jika kita menguji dua titik pada fungsi ini tentu tidak bisa mewakili perubahan yang dialami.

Karena perubahan yang dialami juga berubah-ubah, seperti misalnya fungsi f(x) = x2. Di dekat titik stasioner, perubahannya landai, namun selain dari itu nilainya besar.

Pada fungsi non-linear, gradiennya berubah-ubah pada setiap titik yang dilaluinya.

Bagaimana strateginya nih? Coba kita persempit interval untuk mengetahui gradiennya.

Kalau masih belum cukup, kita persempit, dan persempit lagi sehingga Δx → 0.

Tunggu ..., nanti kalau dibagi nol akan menjadi tak terdefinisi, apakah kita akan menggunakan konsep limit?

Mencari gradien suatu fungsi yang non linear

Turunan Dengan Limit

Menindaklanjuti yang barusan, tentunya konsep limit akan menjadi pondasi kita untuk menyelesaikan permasalahan ini.

Dan idenya mirip sebelumnya, yakni melihat perubahan pada suatu fungsi ketika perbedaan antara inputnya (x-nya) sangat kecil sekali. Kurang lebih seperti itu konsep dari turunan.

Simbol Turunan

Secara simbol, turunan dapat ditulis sebagai:

\frac{df(x)}{dx}

Yang diartikan sebagai turunan fungsi f(x) terhadap x (perubahan f(x) terhadap x).

Atau boleh juga dengan simbol yang leibh singkat yaitu f'(x) (menggunakan tanda petik setelah simbol fungsinya).

Rumus Turunan Pakai Limit

Balik lagi ke ide mengenai turunan. Secara matematis, apabila ingin didekati untuk nilai mendekati nol, demikian dituliskan sebagai:

\frac{df(x)}{dx} = f'(x) = \lim\limits_{\Delta x\to0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{(x+\Delta x) - x}
= \lim\limits_{\Delta x\to0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}

Perhatikan bahwa, bentuknya mirip seperti kita mencari gradien pada persamaan garis lurus.

Turunan dalam limit

Contoh Soal 1

Langsung dicoba aja rumusnya, misal untuk f(x) = 2x2 - 4x + 10 (saya ngarang aja ini), alhasil turunannya yaitu:

\frac{df(x)}{dx} = \lim\limits_{\Delta x\to0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}
\frac{df(x)}{dx} = \lim\limits_{\Delta x\to0} \frac{2(x+\Delta x)^2 - 4(x+\Delta x) + 10 - (2x^2-4x+10)}{\Delta x}
\frac{df(x)}{dx} = \lim\limits_{\Delta x\to0} \frac{2x^2+4x\Delta x+2{\Delta x}^2 - 4x- 4\Delta x + 10 - 2x^2+4x-10}{\Delta x}

Suku-suku yang sama akan saling meniadakan, dan menyisakan suku-suku dengan variabel Δx:

\frac{df(x)}{dx} = \lim\limits_{\Delta x\to0} \frac{\cancel{2x^2}+4x\Delta x+2{\Delta x}^2 - \cancel{4x}- 4\Delta x + \cancel{10} - \cancel{2x^2}+\cancel{4x}-\cancel{10}}{\Delta x}
\frac{df(x)}{dx} = \lim\limits_{\Delta x\to0} \frac{4x\Delta x+2{\Delta x}^2 - 4\Delta x}{\Delta x}
\frac{df(x)}{dx} = \lim\limits_{\Delta x\to0} 4x+2\Delta x - 4 = 4x -4

Dari situ bisa dilihat kalau gradien atau turunan fungsi kuadrat merupakan sebuah fungsi lagi. Berbeda seperti halnya fungsi linear, di mana gradiennya merupakan sebuah konstanta.

Rumus Turunan Fungsi Aljabar

Wujud fungsi aljabar secara umum bisa dituliskan seperti ini:

f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1}+\dotsc+a_0

Turunan fungsi dari ekspresi tersebut adalah:

\frac{df(x)}{dx} = f'(x) = n a_n x^{n-1} + (n-1)a_{n-1} x^{n-2} + \dotsc + a_1

Konstanta sendiri setara dengan koefisien dengan variabel x pangkat nol. Makanya a0 hilang pada hasil turunannya.

Contoh Soal 2

Fungsi sebelumnya yaitu f(x) = 2x2 - 4x + 10, dengan menerapkan rumus tersebut juga akan menghasilkan turunan yang sama seperti sebelumnya.

Nah, sekarang kita coba pada fungsi yang lebih besar pangkatnya f(x) = 3x8 - 9x5 + 2x2 + 1.

Dengan menerapkan rumus barusan, dengan mudah bisa didapat turunannya yaitu:

f'(x) = 8\cdot3x^{8-1} - 5\cdot9x^{5-1} + 2\cdot2x^{2-1} + 0
f'(x) = 8\cdot3x^{7} - 5\cdot9x^{4} + 2\cdot2x

Sifat-Sifat Turunan

Sama halnya seperti limit yang mempunyai sifat-sifat tehradap operasi fungsinya, turunan pun begitu, tujuannya juga sama-sama untuk mempermudah perhitungan.

Daftar sifat-sifat turunan

Sifat Penjumlahan

Yang pertama, untuk operasi penjumlahan dua bentuk turunan:

\frac{d(f(x) + g(x))}{dx} = \frac{df(x)}{dx} + \frac{dg(x)}{dx}

Maksud dari persamaanya, dapat dilakukan turunan pada masing-masing fungsi ketimbang melakukan penurunan pada keseluruhan fungsi. Serta berlaku juga untuk operasi pengurangan.

Perkalian Dengan Skalar

Kemudian yang kedua, saat suatu fungsi dikalikan dengan sebuah konstanta, kf(x).

Turunannya sama saja seperti konstanta tersebut dikalikan dengan turunan dari f(x) itu sendiri, terus dikali konstantanya:

\frac{dkf(x)}{dx} = k\frac{f(x)}{dx}

Sifat Perkalian

Lalu untuk perkalian dua buah fungsi, ini akan sedikit berbeda seperti pada limit.

Jika pada limit, hasil limit dari perkalian dua fungsi setara dengan limit dari masing-masing fungsi kemudian dikalikan hasilnya.

Hal ini berbeda pada turunan. Karena ketika dua fungsi dikalikan, jadi fungsi tersebut akan menjadi satu kesatuan.

Untuk mengetahui sifatnya, kita gunakan konsep turunan dengan limit sebelumnya:

\frac{d(f(x)g(x))}{dx} = \lim\limits_{\Delta x\to0} \frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x) - f(x)g(x)}{\Delta x}

Kemudian kita manipulasi dengan menambahkah nol:

= \lim\limits_{\Delta x\to0} \frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x) - f(x)g(x) + 0}{\Delta x}
= \lim\limits_{\Delta x\to0} \frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x) - f(x)g(x) + (f(x+\Delta x)g(x) - f(x+\Delta x)g(x))}{\Delta x}

Kemudian kita susun ulang menjadi:

= \lim\limits_{\Delta x\to0} \frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x) - f(x+\Delta x)g(x)}{\Delta x} + \lim\limits_{\Delta x\to0} \frac{f(x+\Delta x)g(x) - f(x)g(x)}{\Delta x}
= \lim\limits_{\Delta x\to0} \frac{f(x+\Delta x)(g(x+\Delta x) - g(x))}{\Delta x} + \lim\limits_{\Delta x\to0} \frac{(f(x+\Delta x) - f(x))g(x)}{\Delta x}

Dengan memanfaatkan sifat-sifat limit maka kita dapatkan:

= \lim\limits_{\Delta x\to0} f(x+\Delta x)\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{g(x+\Delta x) - g(x)}{\Delta x} + \lim\limits_{\Delta x\to0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} \lim\limits_{\Delta x\to0}g(x)

Bentuk-bentuk tersebut tak lain adalah bentuk turunan biasa. Sedangkan untuk dua bentuk di bawah ini:

\lim\limits_{\Delta x\to0} f(x+\Delta x) = f(x)
\lim\limits_{\Delta x\to0}g(x) = g(x)

Tak lain merupakan f(x) dan g(x) itu sendiri.

Demikian, untuk operasi perkalian dua fungsi turunannya yaitu:

\frac{d(f(x)g(x))}{dx} = f'(x)g(x) + g'(x)f(x)

Sifat Pembagian

Apabila operasi yang dimaksud adalah pembagian, yakni dalam bentuk \frac{f(x)}{g(x)}, dengan ide yang sama seperti sebelumnya.

Yaitu dengan memanipulasi bentuknya, kalian akan temukan rumusnya, yaitu:

\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - g'(x)f(x)}{{(g(x))}^2}

Sifat Fungsi Komposisi atau Aturan Rantai

Untuk fungsi komposisi, yaitu dalam bentuk f(g(x)), artinya kita ingin mengetahui perubahan f(x) terhadap x.

Namun di sisi lain, g(x) lah yang merupakan input dari g(x). Untuk mengetahui turunannya, idenya adalah kita temukan terlebih dahulu perubahan f(x) terhadap g(x). Dilanjutkan dengan mencari perubahan g(x) terhadap x.

Bisa digunakan konsep limit sebelumnya, tapi mending kita langsung aja, hasil turunannya:

\frac{df(g(x))}{dx} = \frac{df(x)}{dg(x)}\frac{g(x)}{dx}

Rumus ini lebih dikenal sebagai aturan rantai.

Nilai Stasioner

Ketika suatu fungsi berada di titik balik, maka tidak ada perubahan saat itu.

Dengan ide ini, dapat diketahui nilai pada puncak/lembah suatu fungsi. Yaitu saat turunannya/gradiennya/perubahannya bernilai nol.

\frac{df(x)}{dx} = f'(x) = 0

Contoh Soal 3

Misal untuk fungsi f(x) = x3 + 6x2 + 9x + 7, turunannya yaitu:

f'(x) = 3x^2 + 12x + 9

Kemudian pada titik stasioner, turunan fungsi itu bernilai nol:

3x^2 + 12x + 9 = 0
x^2 + 4x + 3 = 0
(x+3)(x+1) = 0

Dari situ kita ketahui bahwa, fungsi f(x) = x3 + 6x2 + 9x + 7 mempunyai dua titik stasioner, yaitu ketika x = -3 dan x = -1.

Untuk mengetahui nilai stasionernya, kita substitusikan x tersebut pada fungsi awalnya:

x=-3, f(-3) = 7
x=-1, f(-1) = 6

Catatan: Nilai puncak/lembah bukan berarti nilainya optimum (bisa maksimal atau minimum). Yang dimaksud adalah nilai saat fungsi berada di titik balik.

Fungsi Naik dan Turun

Prinsipnya cukup sederhana, pada dasarnya kita men-sampling dua titik untuk diuji.

Suatu fungsi dikatakan naik ketika pada interval tertentu, misal pada [a,b], artinya nilai dari fungsi tersebut pada b lebih besar ketimbang di a.

f(b) > f(a)

Secara gak langsung ini mengartikan bahwa perubahannya positif. Nah, apa arti dari perubahan positif ini?

Berati gradienya juga positif, kalau gradiennya positif, artinya turunannya juga positif. Dan kondisi sebaliknya ketika fungsinya turun.

Oleh karena itu bisa kita simpulkan bahwa:

  • f'(x) > 0, maka fungsi naik.
  • f'(x) < 0, maka fungsi turun.
Menentukan kondisi naik dan turun suatu fungsi dengan turunan
Label

Komentar

Search icon