Limit Fungsi Aljabar

Konsep dasar kalkulus mengenai limit fungsi aljabar
Konsep dasar kalkulus mengenai limit fungsi aljabar.

Dasar Kalkulus

Tidak semua fungsi (dalam hal ini fungsi alajbar) mempunyai nilai atau terdefinisi pada input tertentu, seperti misal kita punya sebuah fungsi berupa f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}, Fungsi tersebut tidak terdefinisi untuk x=1, karena \frac{0}{0}. Tapi bagaimana dengan x=1.01 dan bisa juga dengan x=0.9?

Bagaimana dengan yang lebih dekat x=1.001 dan x=0.999 ? Atau yang lebih dekat lagi x=1.00001 dan x=0.999999, dan seterusnya? Tentu kita perlu menggunakan konsep yang lebih konkrit dalam penyelesaian masalah ini, karena sedekat apapun x yang kita pilih , pasti ada lagi suatu x yang lebih dekat.

Padahal kalau kita lihat grafiknya, fungsi aljabar \frac{x^2-1}{x-1} seolah-olah berada di suatu nilai di dekat 2. Tenang... jangan khawatir, ada konsep yang namanya limit yang akan membantu kita untuk mengetahui pendekatan ini, dan konsep ini akan menjadi dasar kita belajar kalkulus kedepannya.

Grafik suatu fungsi aljabar akan didekati oleh limit

Limit

Secara umum ekspresi dari limit yaitu \lim\limits_{x\to a} f(x), yang diartikan sebagai, limit dari fungsi f ketika nilai x mendekati a. Sebagai contoh, kita gunakan fungsi aljabar yang pertama, dan kita ingin mencari pendekatannya untuk x\to 1, ekspresinya yaitu
\lim\limits_{x\to 1} f(x)
\rightarrow\lim\limits_{x\to 1} \frac{x^2}{x-1} .

Untuk penyelesaiannya, kita dapat memfaktorisasi bentuk aljabar tersebut, mengingat x^2-1 tak lain adalah (x+1)(x-1), dengan demikian

\lim\limits_{x\to 1} \frac{x^2}{x-1}
\rightarrow \lim\limits_{x\to 1} \frac{(x+1)(x-1)}{x-1}
\rightarrow \lim\limits_{x\to 1} (x+1) = 2

, artinya untuk x dekat dengan 1, maka limit dari f(x) tersebut adalah 2, coba kalian perhatikan lagi pada grafik sebelumnya.

Mungkin bagi kalian yang "iseng" berpikir, kalau memang fungsi tersebut dapat difaktorkan penyebutnya, mengapa kita perlu konsep limit dalam penyelesaiannya? Kalau Tim ISENG punya pandangan bahwa, kalau kita bicara tentang limit, maka kita bicara tentang nilai yang didekati, artinya tanpa perlu memperhatikan bagaimana sifat/karakteristik dari fungsi tersebut, .

Maksudnya, mau fungsinya berkelok-kelok grafiknya, mau lurus-lurus aja, yang jelas, kita hanya peduli pada nilai pendekatannya saja. Jadi, kalau di luar konsep limit, kalau kita faktorisasi, artinya kita merubah sifat/karakteristik dari fungsi tersebut untuk memetakkan suatu nilai, karena saat itu kita menganggap fungsi sebagai sesuatu yang "mengatur" pemetaan.

Ada lagi yang menjadi pertanyaan, apakah dengan konsep fungsi harus selalu dilakukan faktorisasi? Tentu tidak, apalagi jika suatu fungsi terdefinisi pada suatu nilai x.

Sifat-Sifat Limit

Mungkin jika kita menghitung suatu fungsi yang ribet akan begitu menyusahkan dan membutuhkan waktu yang banyak dalam penyelesaiannya, dengan demikian, kita dapat memanfaatkan sifat-sifat limit guna mempermudah perhitungan kita, sifat yang pertama yaitu

\lim\limits_{x\to a} kf(x) = k\lim\limits_{x\to a} f(x)

, maksudnya yaitu, apabila terdapat suatu konstanta sebagai pengali pada suatu fungsi, limitnya sama saja dengan mencari limit pada fungsi tersebut tanpa dikalikan konstanta yang dimaksud.

Yang kedua yaitu perihal sifat limit pada operasi pertambahan dua fungsi

\lim\limits_{x\to a} (f(x) + g(x)) = \lim\limits_{x\to a} f(x) + \lim\limits_{x\to a} g(x)

, artinya, limit dari dua fungsi yang ditambahkan sama seperti limit dari masing-masing fungsi kemudian ditambahkan, dan ini berlaku juga untuk pengurangan.

Selanjutnya mengenai dua fungsi yang dikalikan

\lim\limits_{x\to a} f(x) \cdot g(x) = \lim\limits_{x\to a} f(x) \cdot \lim\limits_{x\to a} g(x)

, maksudnya, jika terdapat fungsi yang merupakan hasil perkalian dari dua fungsi, maka limitnya sama saja seperti mencari limit dari masing-masing fungsi tersebut kemudian dikalikan (mirip sebelumnya).

Begitu juga untuk pembagian

\lim\limits_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim\limits_{x\to a} f(x)}{\lim\limits_{x\to a} g(x)}

, dengan penjelasan yang serupa namun tentunya \lim\limits_{x\to a} g(x) \neq 0.

Kemudian dua sifat ini menurut Tim ISENG sangat membantu, coba perhatikan dulu

\lim\limits_{x\to a} (f(x))^n = \left(\lim\limits_{x\to a} f(x)\right)^n

dan

\lim\limits_{x\to a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim\limits_{x\to a} f(x)}

, nah, dengan sifat ini, kita berurusan dengan limit fungsi f(x) bukan f(x)^n atau \sqrt[n]{f(x)}.

Akar Sekawan

Ada kondisi tertentu di mana suatu fungsi tidak terdefinisi pada x tertentu, namun tidak dapat difaktorisasi atau bisa difaktorisasi namun tidak menyelesaikan masalah. Seperti contoh

\lim\limits_{x\to3} \frac{x-3}{\sqrt{x+6} - \sqrt{2x+3}}

Tentu pada x=3 fungsi tersebut tidak terdefinisi karena \frac{0}{0}. Untuk itu kita dapat menyelesaikannya dengan cara mengalikannya akar sekawan.

\lim\limits_{x\to3} \frac{x-3}{\sqrt{x+6} - \sqrt{2x+3}}\cdot\frac{\sqrt{x+6} + \sqrt{2x+3}}{\sqrt{x+6} + \sqrt{2x+3}}

, tunggu..., kok bisa gitu? Ingat bahwa, sesuatu dikalikan dengan angka 1, maka hasilnya adalah sesuatu itu sendiri.

Dalam hal ini, sesuatu yang dimaksud tersebut ialah limit fungsi, perhatikan lagi sifat limit sebelumnya. Kemudian, mengingat \frac{\sqrt{x+6} + \sqrt{2x+3}}{\sqrt{x+6} + \sqrt{2x+3}}=1, maka kita tidak akan merubah limit fungsi tersebut.

Oke kita lanjut lagi

\lim\limits_{x\to3} \frac{(x-3)(\sqrt{x+6} + \sqrt{2x+3})}{(\sqrt{x+6})^2 - (\sqrt{2x+3})^2}
\rightarrow\lim\limits_{x\to3} \frac{\cancel{(x-3)}(\sqrt{x+6} + \sqrt{2x+3})}{-\cancel{(x-3)}}
\rightarrow\lim\limits_{x\to3} -(\sqrt{x+6} + \sqrt{2x+3})
\rightarrow -(3 + 3) = -6 .

Ketika x Mendekati Tak Hingga

Apa menariknya ketika x nilainya mendekati tak hingga? Artinya kita ingin tahu nilai suatu fungsi di ujung sekali, maksudnya? Jadi, ingat lagi bahwa, pada sistem koordinat kartesius, semakin ke kanan maka nilai x-nya semakin besar, dan kita saat ini tertarik buat nyari tahu ketika x mendekati tak hingga.

Misal kita ingin mencari limit seperti di bawah ini

\lim\limits_{x\to\infty} \frac{x^8+3x^5+2x+9}{3x^8+x^6+5x^4+9x^2+7}

, pada x = \infty tentu hasil pemetaan dari fungsi tersebut tidak terdefinisi.

Untuk menyelesaikannya, kita gunakan ide yang sama seperti sebelumnya, yaitu dengan mengalikannya dengan 1, dalam hal ini yaitu variabel dengan pangkat tertinggi, yaitu x^8, sehingga limit sebelumnya menjadi

\lim\limits_{x\to\infty} \frac{x^8+3x^5+2x+9}{3x^8+x^6+5x^4+9x^2+7}\cdot\frac{\frac{1}{x^8}}{\frac{1}{x^8}}
\lim\limits_{x\to\infty} \frac{\frac{x^8}{x^8}+\frac{3x^5}{x^8}+\frac{2x}{x^8}+\frac{9}{x^8}}{\frac{3x^8}{x^8}+\frac{x^6}{x^8}+\frac{5x^4}{x^8}+\frac{9x^2}{x^8}+\frac{7}{x^8}}

Selanjutnya, kita gunakan sifat-sifat limit, yakni berupa sifat pada operasi pertambahan dan pembagian, mungkin gak akan kita tulis semua, kita amati salah satunya aja, misal

\lim\limits_{x\to\infty} \frac{2x}{x^8}
\rightarrow \lim\limits_{x\to\infty} \frac{2}{x^7} = 0

, dan ini berlaku untuk semua suku yang ada.

Sehingga limitnya menjadi

\lim\limits_{x\to\infty} \frac{1+0+0+0}{3+0+0+0+0} = \frac{1}{3}

Definisi Limit \epsilon-\delta

Intinya \epsilon-\delta merupakan definisi suatu limit, mungkin sebelum kita artikan kita lihat dulu pernyataannya dalam bentuk matematis, yakni

\lim\limits_{x\to a} f(x) = L \iff (\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x \in \mathbb{R},
0<\lvert x-a \rvert < \delta \implies \lvert f(x) - L \rvert < \epsilon).

Kalau kita artikan kurang lebih seperti ini, L adalah limit dari f(x) ketika x mendekati a, jika dan hanya jika (\iff), untuk semua \forall \epsilon lebih besar dari nol, terdapat suatu bilangan positif (\delta > 0), di mana x merupakan bilangan real (x\in\mathbb{R}).

Jika 0<\lvert x-a \rvert < \delta maka (\implies) akan menyebabkan \lvert f(x) - L \rvert < \epsilon. Jadi makna aslinya yaitu, jika x berada pada interval tertentu alias terbatasi oleh \delta, yakni disekitar a, maka nilai dari fungsi yang dimaksud untuk x juga akan terbatasi oleh \epsilon, yakni disekitar L.

Definisi limit epsilon-delta

Coba kita langsung terapin aja, misal kita ingin menyelesaikan limit berikut

\lim\limits_{x\to 3} \frac{x^2-3}{x-3} = 6

Kita mulai dari

\lvert f(x) - L \rvert < \epsilon
\lvert \frac{x^2-3}{x-3} - 6\rvert < \epsilon

, kita hilangkan faktor yang sama

\lvert x+3 - 6\rvert < \epsilon
\lvert x-3\rvert < \epsilon

Kita lihat bahwa, dari hasil manipulasi pertidaksamaan tersebut ternyata kita mendapatkan bentuk

0<\lvert x-a \rvert < \delta

, di mana dalam hal ini, a = 3 dan \delta = \epsilon.

Label
< Materi SebelumnyaKaidah Pencacahan
Search icon