Limit Fungsi Aljabar - Sifat-Sifat & Definisi Epsilon-Delta

Diperbarui: February 17th, 2021

Materi dasar limit fungsi aljabar — Konsep dasar kalkulus mengenai limit fungsi aljabar.

Materi limit merupakan bagian dari konsep mengenai kalkulus. Intinya, kalkulus itu berurusan dengan suatu hal yang sangat kecil banget atau bahkan besar banget nilainya.

Saking kecilnya, angka yang dimaksud bisa mendekati nol nilainya. Begitu pula yang "sangat besar", saking besarnya nilainya mendekati tak hingga.

Untuk itu, mari kita cari tahu bagaimana cara menyelesaikannya.

Daftar Isi

Dasar Kalkulus
- Nilai Pendekatan
Limit
- Contoh Soal 1
- Alasan Perlu Limit
Sifat-Sifat Limit
Akar Sekawan
- Contoh Soal 2
Ketika x Mendekati Tak Hingga
- Contoh Soal 3
Definisi Limit epsilon-delta
- Maksud Definisinya
- Contoh Soal 4

Dasar Kalkulus

Tidak semua fungsi (dalam hal ini fungsi alajbar) mempunyai nilai, atau dengan kata lain terdefinisi pada input tertentu.

Seperti misal, kita punya sebuah fungsi berupa:

$f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$

Fungsi tersebut tidak terdefinisi untuk x = 1, karena menghasilkan bentuk ⁰/₀.

Tapi bagaimana dengan x = 1.01 atau bisa juga untuk x = 0.9?

Nilai Pendekatan

Bagaimana untuk nilai x-nya lebih dekat lagi, seperti x = 1.001 dan x = 0.999? Atau lebih dekat lagi x = 1.00001 dan x = 0.999999, dan seterusnya?

Tentu kita perlu menggunakan konsep yang lebih konkrit dalam penyelesaian masalah ini. Karena sedekat apapun nilai x-nya, pasti ada lagi suatu nilai x lainnya yang lebih dekat.

Padahal kalau dilihat dibuat grafiknya, fungsi $\frac{x^2-1}{x-1}$ seolah-olah berada di suatu nilai di dekat 2.

Anehnya, jika diberi nilai 1 bentuknya malah menghasilkan sesuatu yang tak terdefinisi.

Tapi tenang jangan khawatir, ada konsep bernama limit yang akan membantu menghitung pendekatan ini.

Materi limit ini sangat penting, sebab akan menjadi fondasi untuk belajar kalkulus kedepannya, salah satunya mengenai turunan.

Limit

Secara umum, penulisan secara matematis dari limit yaitu:

$\lim\limits_{x\to a} f(x)$

Kalau diartikan menggunakan bahasa sederhana sebagai: Limit dari fungsi f ketika nilai x mendekati a.

Sebagai contoh, bakal digunakan fungsi aljabar pertama, dan sekarang ingin dicari pendekatannya untuk x → 1, ekspresinya bisa dituliskan menjadi:

$\begin{align*}\lim\limits_{x\to 1}& f(x)\\\lim\limits_{x\to 1}& \frac{x^2}{x-1}\end{align*}$

Contoh Soal 1

Untuk penyelesaiannya, dapat difaktorisasi terhadap bentuk aljabar tadi. Mengingat x² - 1 apabila difaktorkan menjadi (x + 1)(x - 1), dengan demikian:

$\lim\limits_{x\to 1} \frac{x^2}{x-1}$

$\lim\limits_{x\to 1} \frac{(x+1)(x-1)}{x-1}$

$\lim\limits_{x\to 1} (x+1) = 2$

Artinya untuk x dekat dengan 1, maka limit dari f(x) tersebut adalah 2.

Coba kalian perhatikan lagi pada grafik sebelumnya, perhatikan bahwa fungsi f(x) juga di sekitar 2.

Alasan Perlu Limit

Mungkin bagi kalian yang "iseng", sempat berpikir satu hal.

Kalau memang fungsi tersebut dapat difaktorkan penyebutnya, mengapa dibutuhkan konsep limit dalam penyelesaiannya?

Dari Tim ISENG sendiri punya pandangan bahwa, kalau lagi bicara tentang limit, maka kita bicara tentang nilai yang didekati. Bukan nilai hasil pemetaan sesungguhnya.

Dan ada satu lagi, di sini gak diperdulkan bagaimana sifat/karakteristik dari fungsi tersebut guna mencari nilai pendekatannya.

Maksudnya, mau fungsinya berkelok-kelok grafiknya, mau lurus-lurus aja, yang jelas, kita hanya peduli pada nilai pendekatannya saja.

Jadi, kalau di luar simbol limit, jika ekspresinya difaktorkan, artinya kita merubah sifat/karakteristik dari fungsi tersebut dalam memetakkan suatu nilai.

Karena saat itu, fungsi tersebut dianggap sebagai sesuatu yang "mengatur" pemetaan. Bukan mencari nilai yang didekati.

Ada satu lagi pertanyaan, apakah dengan konsep fungsi sifatnya wajib dilakukan faktorisasi?

Tentu tidak, apalagi jika fungsi sudah terdefinisi pada suatu nilai x.

Misalnya fungsi f(x) = x² + 1, tentunya untuk semua nilai x hasil pemetaannya selalu terdefinisi.

Sifat-Sifat Limit

Mungkin untuk menghitung suatu fungsi yang kompleks, akan begitu menyusahkan dan membutuhkan waktu banyak dalam pengerjaannya.

Dengan demikian, dapat dimanfaatkan sifat-sifat limit guna mempermudah perhitungan kita.

Sifat Perkalian Dengan Skalar

Sifat pertama berhubungan dengan perkalian skalar. Berikut sifatnya:

$\lim\limits_{x\to a} kf(x) = k\lim\limits_{x\to a} f(x)$

Maksudnya yaitu, apabila terdapat suatu konstanta sebagai pengali pada suatu fungsi, limitnya adalah nilai pendekatan fungsi itu sendiri.

Sama halnya dengan mencari limit pada fungsi tersebut tanpa dikalikan konstanta pengalinya. Barulah setelahnya dikalikan konstanta.

Hal ini bisa dilakukan sebab konstanta tidak mengandung variabel yang mampu bikin fungsinya tak terdefinisi.

Sifat Pertambahan

Kedua, yaitu perihal sifat limit pada operasi pertambahan dua fungsi.

$\lim\limits_{x\to a} (f(x) + g(x)) = \lim\limits_{x\to a} f(x) + \lim\limits_{x\to a} g(x)$

Artinya, limit dari dua fungsi yang ditambahkan sama seperti limit dari masing-masing fungsi kemudian ditambahkan.

Catatan: Berlaku juga sifat yang sama untuk operasi pengurangan.

Sifat Perkalian

Selanjutnya mengenai sifat terhadap operasi perkalian dua fungsi.

$\lim\limits_{x\to a} f(x) \cdot g(x) = \lim\limits_{x\to a} f(x) \cdot \lim\limits_{x\to a} g(x)$

Coba bayangin terdapat fungsi yang merupakan hasil perkalian dari dua fungsi.

Maka limitnya sama saja seperti mencari limit dari masing-masing fungsi tersebut kemudian dikalikan (mirip pada sifat pertambahan).

Contohnya, kalau menemui masalah berupa limit dari dua fungsi kuadrat yang dikalikan.

Pastinya kalau berdasarkan sifat ini, kita tidak perlu repot-repot mengalikannya terlebih dahulu.

Sifat Pembagian

Begitu juga untuk sifat pembagian, mirip seperti sifat perkalian.

$\lim\limits_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim\limits_{x\to a} f(x)}{\lim\limits_{x\to a} g(x)}$

Penjelasannya pun serupa, namun tentunya ada syarat bahwa limit penyebutnya tidak boleh nol.

$\lim\limits_{x\to a} g(x) \neq 0$

Sifat Pangkat dan Akar

Kemudian, untuk dua sifat selanjutnya menurut Tim ISENG sangat membantu. Coba perhatikan dulu sifatnya:

$\lim\limits_{x\to a} (f(x))^n = \left(\lim\limits_{x\to a} f(x)\right)^n$

Sifat keduanya:

$\lim\limits_{x\to a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim\limits_{x\to a} f(x)}$

Nah dengan sifat ini, kita berurusan dengan limit fungsi f(x) bukan f(x)ⁿ atau $\sqrt[n]{f(x)}$ .

Jadi, gak perlu repot-repot mempangkatkan fungsinya yang mungkin bentuknya rumit. Hanya diperlukan mempangkatkan hasil limitnya.

Karena hasil dari limit berupa skalar, maka setelah itu hanya dilaukan pemangkatan seperti pada bilangan umumnya.

Akar Sekawan

Ada suatu kondisi di mana sebuah fungsi tidak terdefinisi pada x tertentu.

Namun tidak dapat difaktorisasi, atau bisa difaktorisasi tetapi tidak menyelesaikan masalah.

Contoh Soal 2

Seperti contoh:

$\lim\limits_{x\to3} \frac{x-3}{\sqrt{x+6} - \sqrt{2x+3}}$

Tentu pada x = 3 fungsi tersebut tidak terdefinisi karena menghasilkan ⁰/₀.

Untuk itu, masalhnya dapat diselesaikan dengan cara mengalikannya oleh akar sekawan.

$\lim\limits_{x\to3} \frac{x-3}{\sqrt{x+6} - \sqrt{2x+3}}\cdot\frac{\sqrt{x+6} + \sqrt{2x+3}}{\sqrt{x+6} + \sqrt{2x+3}}$

Wait..., kok bisa gitu? Ingat bahwa, "sesuatu" dikalikan dengan angka 1, maka hasilnya adalah "sesuatu" itu sendiri.

Dalam hal ini, "sesuatu" yang dimaksud ialah limit fungsi, perhatikan lagi sifat limit sebelumnya.

Kemudian, mengingat bentuk ini nilainya satu:

$\frac{\sqrt{x+6} + \sqrt{2x+3}}{\sqrt{x+6} + \sqrt{2x+3}}=1$

Maka kita tidak akan merubah hasil limit fungsi tersebut.

Oke lanjut lagi perhitungannya:

$\lim\limits_{x\to3} \frac{(x-3)(\sqrt{x+6} + \sqrt{2x+3})}{(\sqrt{x+6})^2 - (\sqrt{2x+3})^2}$

$\begin{align*}\lim\limits_{x\to3}&\frac{\cancel{(x-3)}(\sqrt{x+6} + \sqrt{2x+3})}{-\cancel{(x-3)}}\\\lim\limits_{x\to3}&-(\sqrt{x+6} + \sqrt{2x+3})\end{align*}$

$\rightarrow -(3 + 3) = -6$

Ketika x Mendekati Tak Hingga

Apa menariknya ketika x nilainya mendekati tak berhingga?

Artinya, ingin dihitung nilai suatu fungsi di ujung sekali, maksudnya gimana?

Jadi ingat lagi bahwa, pada sistem koordinat kartesius, semakin ke kanan maka nilai x-nya semakin besar.

Dan saat ini kita tertarik buat nyari tahu, apa jadinya saat x mendekati tak hingga.

Contoh Soal 3

Misal kita ingin mencari limit seperti di bawah ini:

$\lim\limits_{x\to\infty} \frac{x^8+3x^5+2x+9}{3x^8+x^6+5x^4+9x^2+7}$

Pada x = ∞, tentu hasil pemetaan dari fungsi tersebut tidak terdefinisi.

Untuk menyelesaikannya, kita gunakan ide yang sama seperti sebelumnya.

Yaitu dengan mengalikannya dengan bilangan 1 yang dimanipulasi. Dalam hal ini, karena variabel dengan pangkat tertingginya x⁸, sehingga limit sebelumnya menjadi:

$\lim\limits_{x\to\infty} \frac{x^8+3x^5+2x+9}{3x^8+x^6+5x^4+9x^2+7}\cdot\frac{\frac{1}{x^8}}{\frac{1}{x^8}}$

$\lim\limits_{x\to\infty} \frac{\frac{x^8}{x^8}+\frac{3x^5}{x^8}+\color{Red}{\frac{2x}{x^8}}+\frac{9}{x^8}}{\frac{3x^8}{x^8}+\frac{x^6}{x^8}+\frac{5x^4}{x^8}+\frac{9x^2}{x^8}+\frac{7}{x^8}}$

Selanjutnya, kita gunakan sifat-sifat limit, yakni berupa sifat pada operasi pertambahan dan pembagian.

Mungkin gak akan kita tulis semua, kita amati suku yang berwarna merah aja:

$\lim\limits_{x\to\infty} \frac{2x}{x^8}\rightarrow \lim\limits_{x\to\infty} \frac{2}{x^7} = 0$

Cara ini berlaku untuk semua suku yang ada.

Secara keseluruhan, limitnya menjadi:

$\lim\limits_{x\to\infty} \frac{1+0+0+0}{3+0+0+0+0} = \frac{1}{3}$

Definisi Limit epsilon-delta

Intinya, ε-δ merupakan definisi suatu limit. Mungkin sebelum mencari tahu maksudnya, kita lihat dulu pernyataannya dalam bentuk matematis, yakni:

$\lim\limits_{x\to a} f(x) = L \iff (\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x \in \mathbb{R},$

$0 < \lvert x-a \rvert < \delta \implies \lvert f(x) - L \rvert < \epsilon)$

Maksud Definisinya

Kalau diartikan kurang lebih seperti ini maksudnya. L adalah limit dari f(x) ketika x mendekati a, jika dan hanya jika ( $\iff$ ), untuk semua ( $\forall$ ) ε lebih besar dari nol, terdapat suatu bilangan positif (δ > 0), di mana x merupakan bilangan real ( $x\in\mathbb{R}$ ).