Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar

Konsep matematika bilangan berpangkat dan bentuk akar
Konsep matematika bilangan berpangkat dan bentuk akar.

Bilangan Berpangkat

Mungkin sejauh ini kita udah banyak banget menyinggung sedikit tentang pangkat dalam matematika, jadi pangkat dalam matematika tak lain merupakan suatu perulangan perkalian sebanyak besar pangkat itu sendiri, kami dari Tim ISENG tidak melihat makna lain dari konsep ini.

Untuk mempermudah perulangan perkalian yang sama tersebut digunakan suatu notasi atau simbol, seperti x^n, artinya ada perkalian x\times x\times \cdots \times x sebanyak n kali, contoh deh, misal ada notasi 2^5 artinya ada perkalian 2 sebanyak 5 kali atau 2\times2\times2\times2\times2.

Bagusnya konsep pangkat ini yaitu, kita bisa memodelkan beberapa kejadian di alam ini, seperti misal suatu bakteri. Memang sudah sifat bawaan dari bakteri untuk dapat membelah diri dalam rentang waktu tertentu (contohnya 20 menit), kemampuan ini akan kita modelkan dengan konsep pangkat ini.

Kita abaikan dulu aja interval atau rentang waktu pembelahan dirinya, kita fokus ke pembelahannya dulu. Misal kita seorang peneliti dan kita sedang mengamati 1 bakteri, pada rentang waktu pertama, bakteri tersebut melakukan pembelahan diri, artinya di sini kita mengamati ada 2.

Bagaimana untuk rentang waktu berikutnya? Sekarang kita punya 2 bakteri, jika masing-masing bakteri tersebut juga melakukan proses pembelahan diri, artinya jumlah bakteri saat ini berjumlah 4, ya gak? Kemudian begitu juga seterusnya, jika masing-masing dari 4 bakteri tersebut membelah diri, artinya akan ada 8 bakteri, dan seterusnya.

Jumlah bakteri secara eksponensial bertambah karena pembelahan diri secara periodis

Kita tidak bisa memodelkannya dengan ekspresi matematika seperti biasanya, misal dengan 2n, di mana n maksudnya adalah interval ke-n. Jika kita lihat, jumlah bakteri akan selalu dua kali lipat dari jumlah sebelumnya, pada interval ke-0 atau n=0 ada 1 bakteri, kemudian pada interval selanjutnya atau n=1, jumlahnya dua kali lipat dari sebelumnya 1\rightarrow 2.

Lanjut lagi pada interval selanjutnya alias pada n=2, jumlahnya dua kali lipat juga dari sebelumnya 2\rightarrow4, dan seterunsya. Jika kita lihat, pola jumlahnya adalah 1,2,4,8,\dotsc atau bisa kita tulis
2^0,2^1,2^2,2^3,\dotsc
, bentuk tersebut tak lain merupakan ekspersi pangkat, dengan demikian kita bisa memodelkan jumlah bakteri tersebut dengan ekspresi berikut
2^n
, di mana n maksudnya adalah interval ke-n.

Konsep pangkat tidak terbatas pada bilangan bulat positif saja, bilangan negatif dan bilangan pecahan pun bisa dioperasikan dengan konsep ini, misal terdapat bentuk (-3)^3, artinya ada perkalian -3\times-3\times-3 sebanyak 3 kali, yang hasilnya adalah -27. Ada yang menarik untuk pangkat bilangan negatif, perhatikan ketika pangkatnya adalah bilangan genap.

Bilangan negatif dioperasikan dengan bilangan negatif lagi akan menghasilkan bilangan positif, kemudian apabila bilangan positif dikalikan dengan bilangan negatif maka akan menghasilkan bilangan negatif. Ketika pangkat suatu bilangan negatif artinya ketika pangkat tersebut merupakan ganjil, maka hasilnya akan negatif juga, dan sebaliknya, ketika pangkatnya genap, hasilnya berupa bilangan positif.

Kemudian untuk bilangan seperti 0.02, -0.15, dan lainnya, mungkin akan terasa sulit ketika kita langsung menerapkan konsep pangkat ini, apabila wujudnya masih seperti itu. Akan lebih baik kalau kita ubah bentuk tersebut menjadi \frac{a}{b}, terlebih dahulu.

Caranya gimana? Jika terdapat dua angka di belakang koma, maka kita kalikan dengan 100, jika terdapat tiga angka, maka kita kalikan 1000, apabila ada satu angka, kita kalikan 10, ada yang tau kenapa?

Perkalian Pangkat

Apabila terdapat bilangan yang sama sedang dipangkatkan, kemudian keduanya dikalikan kita bisa dapatkan bentuk yang lebih sederhana dalam kondisi ini. Misal kita punya 3^2 dan 3^5, kemudian kita kalikan keduanya

3^2 \times 3^5
\rightarrow 3\times3 \times 3\times 3\times 3 \times 3\times3

, perhatikan bahwa sekarang, kita memiliki 7 buah angka 3, artinya dapat kita sederhanakan menjadi

\rightarrow 3^7

Bisa kah kalian temukan bentuk sederhana dari 2^3 dan 2^2? Tentu dengan mudah kalian akan temukan 2^5 sebagai bentuk sederhananya, namun bagaimana jika kita ingin mengetahui bentuk sederhana untuk perkalian 100^{101} dengan 100^{199}? Apakah kita perlu mengurainya satu-satu? Tentu tidak.

Kita cukup membayangkannya saja, 100^{101} artinya terdapat perkalian 100 sebanyak 101 kali, kemudian 100^{199} terdapat perkalian 100 sebanyak 199 kali. Dengan demikian apabila kita kalikan keduanya akan terdapat 101 + 199 = 300, ya gak? Dengan demikian, secara umum kita bisa notasikan perkalian pangkat menjadi
a^n\times a^m = a^{n+m} .

Dari bentuk umum tersebut kita melihat bahwa kita harus mempunyai dua bilangan yang sama, bagaimana jadinya jika kita ingin menyederhanakan -3^7\times 3^9? Keduanya merupakan bilangan berbeda yaitu -3 dan 3, namun kita bisa menerapkan konsep bilangan berpangkat untuk kasus bilangan negatif.

Bentuk pangkat -3^7, kalau kita bicara besaran setara dengan 3^7 hanya saja berbeda tanda (ingat yang di awal), artinya -3^7 bisa kita tuliskan sebagai -1\times 3^7, dengan demikian penyederahaan sebelumnya menjadi
-3^7\times 3^9
\rightarrow -1\times3^7\times3^9
\rightarrow -1\times3^{7+9}
\rightarrow -1\times3^{16}

Sekarang, bagaimana kalau kita ingin memangkatkan bilangan berpangkat? Waduh, gimana nih? Seperti contoh {\left(3^2\right)}^9, artinya kita memiliki perkalian 3^2 sebanyak 9 kali. Dengan konsep sebelumnya maka bisa kita tuliskan menjadi

3^{2+2+2+2+2+2+2+2+2}
\rightarrow 3^{2\times9}
\rightarrow 3^{18}

Jika kita tentukan bentuk umumnya maka, {\left(a^n\right)}^m

a^{\overbrace{n+n+\cdots+n}^{\text{sebanyak}\,m}}
a^{m\times n}

Pembagian Pangkat

Keterbalikan dengan perkalian pangkat, pada pembagian pangkat apabila dua bilangan yang sama dipangkatkan kemudian kita melakukan operasi pembagian pada keduanya, seperti contoh \frac{a^n}{a^m}, maka bentuk tersebut kalau kita urai

\frac{\overbrace{a\times a\times \cdots \times a}_{\text{sebanyak}\,n}}{\overbrace{a\times a\times \cdots \times a}_{\text{sebanyak}\,m}}

Bilangan-bilangan yang sama tersebut akan saling meniadakan hingga tercapai satu kondisi bilangan-bilangan tersebut tidak bisa disederhanakan lagi, jika pada pembilangan awalnya terdapat n buah perkalian, maka dengan adanya m buah perkalian a pada penyebut, maka banyak perkalian a-nya terdapat sebanyak n-m.

Ketika n\geq m maka n-m\geq0, ya gak? Maka a^{n-m} seperti biasanya, nah, untuk n<m artinya n-m<0 alias pangkatnya negatif, apa menariknya? Ketika m atau pangkat penyebut lebih besar, maka bentuk sederhananya akan berbentuk pecahan alias \frac{1}{a^{n-m}}, karena n-m negatif, artinya suatu pangkat negatif seperti a^{-n} merupakan bentuk lain dari \frac{1}{a}.

Bentuk Akar

Bentuk akar merupakan kondisi di mana pangkat dari suatu bilangan merupakan bentuk pecahan, seperti contoh \sqrt{2}, dalam bentuk pangkat bisa kita tuliskan sebagai 2^{\frac{1}{2}}. Secara umum bentuk akar yakni seperti berikut \sqrt[n]{a} dan sama maksudnya dengan a^{\frac{1}{n}}, untuk n=2 kita umumnya tidak menuliskan angka tersebut.

Pertanyaanya, apakah berlaku konsep-konsep sebelumnya, seperti perkalian dan lainnya? Tentu berlaku, seperti contoh \sqrt[3]{7}\times\sqrt[3]{7}\times\sqrt[3]{7} maksudnya sama dengan 7^{\frac{1}{3}}\times7^{\frac{1}{3}}\times7^{\frac{1}{3}} alias 7^{\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}} = 7.

Begitu juga untuk pembagian, misal kita punya \frac{\sqrt{11}}{\sqrt[5]{11}} bentuk tersebut sama seperti \frac{11^{\frac{1}{2}}}{11^{\frac{1}{5}}} alias 11^{\frac{1}{2} - \frac{1}{5}} = 11^{\frac{3}{10}}.

Label
< Materi SebelumnyaBidang Kartesius
Search icon