Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar

Diperbarui: August 14th, 2021

Mungkin sejauh ini kita udah banyak banget menyinggung sedikit tentang pangkat dalam matematika.

Jadi pangkat dalam matematika tak lain merupakan suatu perulangan perkalian sebanyak besar pangkat itu sendiri. Kami dari Tim ISENG tidak melihat makna lain dari konsep ini.

Daftar Isi

Bilangan Berpangkat
Perkalian Pangkat
- Rumus Perkalian Bilangan Berpangkat
- Rumus Pangkat Dari Bilangan Berpangkat
Pembagian Pangkat
- Sudut Pandang Konsep
Bentuk Akar
- Contoh Perkalian Bentuk Akar
- Contoh Pembagian Bentuk Akar

Bilangan Berpangkat

Supaya mempermudah perulangan perkalian yang sama tersebut, digunakan suatu notasi atau simbol yakni xⁿ.

Artinya simbol sebelumnya yaitu ada perkalian x × x × … × x sebanyak n kali.

Contoh, misal ada notasi 2⁵ artinya ada perkalian 2 sebanyak 5 kali atau 2 × 2 × 2 × 2 × 2.

Deskripsi Perilaku Alam

Bagusnya konsep pangkat ini yaitu, kita bisa memodelkan beberapa kejadian di alam ini, misalnya perilaku suatu bakteri.

Memang sudah sifat bawaan dari bakteri untuk dapat membelah diri dalam rentang waktu tertentu (contohnya 20 menit). Kemampuan tersebut idealnya mampu dimodelkan dengan konsep pangkat ini.

Abaikan dulu aja interval atau rentang waktu yang diperlukan untuk proses pembelahan dirinya, sekarang fokus ke pembelahannya dulu.

Misal kita seorang peneliti dan sedang mengamati 1 bakteri. Pada rentang waktu pertama, bakteri tersebut melakukan pembelahan diri, artinya saat itu diamati terdapat 2 bakteri.

Bagaimana untuk rentang waktu berikutnya? Begini, sekarang ada 2 bakteri, lalu masing-masing bakteri tersebut juga melakukan proses pembelahan diri.

Artinya jumlah bakteri rentang selanjutnya berjumlah 4, ya gak? Kemudian begitu juga seterusnya.

Jika masing-masing dari 4 bakteri tersebut membelah diri, artinya akan ada 8 bakteri, dan seterusnya.

Pertambahan jumlah bakteri secara eksponensial

Kita tidak bisa memodelkannya dengan ekspresi matematika seperti biasanya, misal menggunakan 2n (model perkalian).

Di mana n maksudnya adalah interval ke-n. Atau menggunakan bentuk n + 2 (model pertambahan).

Jika dilihat kembali, jumlah bakteri akan selalu dua kali lipat dari jumlah sebelumnya.

Pada interval ke-0 atau n = 0 ada 1 bakteri, kemudian pada interval selanjutnya atau n = 1, jumlahnya dua kali lipat dari sebelumnya 1 → 2.

Lanjut lagi pada interval selanjutnya alias pada n = 2, jumlahnya dua kali lipat juga dari sebelumnya 2 → 4, begitu seterusnya.

Apabila diperhatikan secara keseluruhan, pola jumlahnya adalah 1, 2, 4, 8, … atau dapat ditulis menjadi:

$2^0,2^1,2^2,2^3,\dotsc$

Bentuk tersebut tak lain merupakan ekspersi pangkat. Dengan demikian bisa dimodelkan jumlah bakteri tersebut dengan ekspresi berikut:

$2^n$

Di mana n maksudnya adalah interval ke-n. Dan sebagai catatan juga, pangkat nol dari bilangan selain nol adalah 1. Karena untuk 0⁰ sendiri nilainya tidak terdefinisi dalam matematika.

Pangkat Dari Bilangan Negatif

Konsep pangkat tidak terbatas pada bilangan bulat positif saja. Bilangan negatif dan bilangan pecahan pun bisa dioperasikan dengan konsep ini.

Misal terdapat bentuk (-3)³, artinya ada perkalian -3 × -3 × -3 sebanyak 3 kali, yang hasilnya adalah -27.

Ada hal menarik untuk pangkat bilangan negatif, coba diperhatikan ketika pangkatnya adalah bilangan genap.

Bilangan negatif dioperasikan dengan bilangan negatif lagi akan menghasilkan bilangan positif.

Kemudian apabila bilangan positif dikalikan dengan bilangan negatif maka akan menghasilkan bilangan negatif.

Artinya, kalau terdapat pangkat suatu bilangan negatif, jika pangkat tersebut merupakan ganjil, maka hasilnya akan negatif juga. Dan sebaliknya, saat pangkatnya genap, hasilnya berupa bilangan positif.

Pangkat Dari Bilangan Desimal

Kemudian untuk bilangan seperti 0.02, -0.15, dan lainnya, mungkin akan terasa sulit ketika kita langsung menerapkan konsep pangkat ini.

Terutama jika wujudnya masih seperti itu, akan lebih baik kalau diubah dahulu bentuk tersebut menjadi pecahan seperti $\frac{a}{b}$ .

Caranya gimana? Jika terdapat dua angka di belakang koma, maka kalikan dengan 100, kemudian dibagi dengan 100.

Bila terdapat tiga angka, maka kalikan 1000, lalu dibagi 1000. Apabila ada satu angka, kalikan 10 terus dibagi 10, ada yang tau kenapa?

Hal tersebut dilakukan untuk mengubahnya menjadi bentuk pecahan. Jika terdapat sebuah bilangan desimal seperti 1.79, nilainya setara dengan:

$\begin{align*}&\frac{1.79}{100}\times100\\&\frac{179}{100}\end{align*}$

Setelah bentuk tersebut didapat, maka proses pemangkatannya menjadi seperti bilangan bulat pada umumnya.

$\begin{align*}&\left(\frac{179}{100}\right)^n\\&\frac{179^n}{100^n}\end{align*}$

Perkalian Pangkat

Apabila terdapat bilangan yang sama sedang dipangkatkan, kemudian keduanya dikalikan, bisa didapatkan bentuk lebih sederhananya dalam kondisi ini.

Misalkan kita punya dua bilangan berpangkat 3² dan 3⁵, kemudian kalikan keduanya.

$\begin{align*}&3^2 \times 3^5\\&3\times3 \times 3\times 3\times 3 \times 3\times 3\end{align*}$

Perhatikan bahwa, sekarang kita mempunyai 7 buah angka 3, artinya mampu disederhanakan bentuknya menjadi:

$3^7$

Bisa kah kalian temukan bentuk sederhana dari 2³ dan 2²? Tentu dengan mudah kalian akan temukan 2⁵ sebagai bentuk sederhananya.

Namun bagaimana jika ingin diketahui bentuk sederhana terhadap perkalian 100¹⁰¹ dengan 100¹⁹⁹? Apakah perlu mengurainya satu-satu? Tentu tidak.

Rumus Perkalian Bilangan Berpangkat

Caranya sederhana, cukup dibayangkan saja, 100¹⁰¹ artinya terdapat perkalian 100 sebanyak 101 kali.

Kemudian 100¹⁹⁹ terdapat perkalian 100 sebanyak 199 kali. Dengan demikian apabila keduanya dikalikan pangkatnya akan bernilai 101 + 199 = 300, ya gak?

Oleh karena itu, secara umum bisa dinotasikan perkalian bilangan berpangkat menjadi:

$a^n\times a^m = a^{n+m}$

Perkalian bilangan sama yang dipangkatkan hasilnya adalah bilangan tersebut dengan pangkatnya adalah penjumlahan dari masing-masing pangkat.

Dari bentuk umum tersebut dapat dilihat bahwa kita harus mempunyai dua bilangan yang sama.

Nah, bagaimana jadinya jika kita ingin menyederhanakan -3⁷ × 3⁹? Keduanya merupakan bilangan berbeda yaitu -3 dan 3.

Pada kondisi ini, bisa diterapkan konsep bilangan berpangkat untuk kasus bilangan negatif.

Bentuk pangkat -3⁷, kalau sedang bicara besarannya maka setara dengan 3⁷, hanya saja berbeda tanda (ingat yang di awal).

Artinya -3⁷ bisa kita tuliskan sebagai -1 × 3⁷, dengan demikian penyederahaan sebelumnya menjadi:

$\begin{align*}-3^7&\times 3^9\\-1\times3^7&\times3^9\\-1&\times3^{7+9}\\-1&\times3^{16}\end{align*}$

Rumus Pangkat Dari Bilangan Berpangkat

Sekarang, bagaimana kalau kita ingin memangkatkan bilangan berpangkat? Waduh, gimana nih? Seperti contoh (3²)⁹.

Artinya kita memiliki perkalian 3² sebanyak 9 kali. Dengan konsep sebelumnya maka bisa kita tuliskan menjadi:

$\begin{align*}&3^{2+2+2+2+2+2+2+2+2}\\&3^{2\times9}\\&3^{18}\end{align*}$

Jika ingin tentukan bentuk umumnya maka (aⁿ)^m sama saja dengan:

$\begin{align*}&a^{\overbrace{n+n+\cdots+n}^{\text{sebanyak}\,m}}\\&a^{m\times n}\end{align*}$

Pembagian Pangkat

Keterbalikan dengan perkalian pangkat, pada pembagian pangkat operasi pada pangkatnya adalah pengurangan..

Apabila dua bilangan yang sama dipangkatkan, kemudian dilakukan operasi pembagian pada keduanya, seperti contoh $\frac{a^n}{a^m}$ , maka bentuk tersebut kalau diurai menjadi:

$\frac{\overbrace{a\times a\times \cdots \times a}_{\text{sebanyak}\,n}}{\overbrace{a\times a\times \cdots \times a}_{\text{sebanyak}\,m}}$

Bilangan-bilangan yang sama tersebut akan saling meniadakan hingga tercapai satu kondisi bilangan-bilangan tersebut tidak bisa disederhanakan lagi.

Asumsikan pada pembilang awalnya terdapat n buah perkalian. Demikian dengan adanya m buah perkalian a pada penyebut, maka banyak perkalian a-nya terdapat sebanyak n - m.