Integral Tak Tentu - Sifat-Sifat, Substitusi, Parsial

Diperbarui: February 19th, 2021

Konsep dasar kalkulus tentang integral tak tentu.

Daftar Isi

Integral
Integral Tak Tentu
- Contoh Soal 1
- Perbedaan Dengan Anti-Turunan
Sifat-Sifat Integral Tak Tentu

Integral

Saat kita mempunyai informasi berupa pesat perubahan suatu fungsi (berasal dari turunan), bisakah kita dapat mengetahui wujud fungsi aslinya?

Mungkin itu yang ada di benak teman-teman, dan jawabannya bisa, dan solusi dari pertanyaan tersebut ialah integral. Selain itu, integral mempunyai makna lain sekedar mengetahui wujud fungsi aslinya jika diketahui pesat perubahannya.

Namun, sebelum kita berbicara tentang integral lebih dalam, coba kita bahas dikit dulu mengenai luas suatu bangun. Selama ini kita paham bahwa, luas suatu bangun selalu ditentukan oleh dua bagian yang saling tegak lurus.

Seperti halnya pada persegi, yaitu perkalian dua sisinya, pada segitiga, jajar genjang, dan trapesium, yaitu tinggi dan alasnya.

Bagaimana ketika kita ingin mengetahui suatu bangun yang salah satu sisinya merupakan bentuk kurva (bisa itu fungsi kuadrat atau yang lainnya)? Apakah kita akan menggunakan konsep dua bagian yang saling tegak lurus juga?

Lagi-lagi jawabannya iya, namun kita akan membagi-bagi bangun menjadi beberapa partisi, kemudian kita jumlahkan partisi tersebut.

Partisi-partisi tersebut dibuat sangat kecil sehingga panjang salah satu sisinya mendekati nol, misal $\Delta x\to0$ . Lalu partisi dengan tinggi yang beragam itu dijumlahkan.

Oke kita berhenti di sini, kita gak akan bahas lebih dalam lagi karena akan keluar dari konteks kita.

Jadi intinya integral itu adalah penjumlahan. Dan pada konteks pertanyaan yang di awal, apa yang kita jumlahkan yaitu, fungsi pesat perubahan tersebut.

Aproksimasi luas suatu daerah di bawah kurva

Buat yang bingung ngebayangin penjumlahan pesat perubahan, kita anggap aja kecepatan sebagai fungsi kecepatan. Kita tahu bahwa kecepatan adalah pesat perubahan posisi pada satu satuan waktu tertentu atau turunan dari fungsi posisi terhadap waktu.

Secara gak langsung kalau kita ingin tahu posisinya, maka kita dapat menjumlahkan kecepatan dikali interval waktu tertentu $\sum v(t)\times\Delta t$ , ya gak?

Karena $\Delta t\to0$ alias rentang waktunya kecil banget, hampir mendekati nol, tandanya berubah menjadi:

$\int v(t) dt$

Integral Tak Tentu

Coba kita langsung aja, misal kita punyai fungsi $f(x) = 5x^2 + 2x +7$ , kita tahu bahwa turunannya yaitu $f'(x) = 10x+2$ , dengan itu kita bisa katakan bahwa integral dari $f'(x) = 10x+2$ adalah $f(x) = 5x^2 + 2x +7$ .

Secara umum integral pada suatu fungsi disimbolkan seperi berikut:

$\int f(x) dx = F(x) + C$

Jika $f(x)$ merupakan fungsi polinomial, secara umum integralnya seperti berikut:

$\int a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dotsc\,dx = \frac{a_nx^{n+1}}{n+1} + \frac{a_{n-1}x^{(n-1)+1}}{(n-1)+1}+\dotsc + C$

Mungkin diantara kalian ada yang bertanya, kenapa ada $C$ ? Coba perhatikan, misal kita punya fungsi yang mirip seperti sebelumnya $f(x) = 5x^2 + 2x +1$ , dan turunan dari fungsi tersebut yaitu $f'(x) = 10x+2$ .

Gampangannya gini, saat melakukan turunan, maka konstanta alias koefisien dari variabel $x$ berpangkat nol akan hilang. Ketika ingin diintegralkan, ada informasi yang hilang, dan gak tahu itu.

Apabila kita menghilangkan $C$ , berarti sama saja kita mengasumsikan bahwa $C = 0$ . Padahal bisa saja $C$ tersebut adalah $1$ atau $7$ .

Cukup sederhana jika kita ingin mengetahui nilai $C$ sesungguhnya. Kita hanya perlu satu informasi berupa pasangan $x$ dan $f$ , atau dengan kata lain pemetaan pada $x$ tersebut, $f(x)$ .

Contoh Soal 1

Misal, kita punya sebuah fungsi $f(x) = 6x^5 + 3x^2 + x + 7$ , maka integral dari fungsi tersebut yaitu:

$\int 6x^5 + 3x^2 + x + 7\,dx$

$= \frac{6x^{5+1}}{5+1} + \frac{3x^{2+1}}{2+1} + \frac{x^{1+1}}{1+1} + \frac{7x^{0+1}}{0+1} + C$

$= \frac{6x^{6}}{6} + \frac{3x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + 7x + C$

Mungkin di antara kalian ada yang bertanya bagaimana jika $f(x) = \frac{1}{x}$ ? Apakah bentuknya menjadi tak terdefinisi? Akan kita jawab dengan sifat-sifat yang akan dipelajari berikut ini.

Perbedaan Dengan Anti-Turunan

Kira-kira ada yang menganggap bahwa anti-turunan dan integrak tak tentu merupakan hal yang sama gak?

Kalau ada, kalian harus tahu jika keduanya berbeda. Lihat lagi konstanta $C$ tadi, integral tak tentu itu lebih ke seluruh fungsi yang kalau diturunkan menghasilkan $f$ .

Sedangkan anti-turunan mengacu pada satu solusinya saja, bisa dikatakan sebagai anggota dari integral tak tentu. Sederhananya, jadi ketika terdapat nilai $C$ tertentu.

Sifat-Sifat Integral Tak Tentu

Supaya teman-teman bisa menghitung integral dengan mudah, ini terdapat beberapa sifat yang bisa kalian manfaatkan.

Perkalian Dengan Konstanta

Sifat yang pertama, yaitu ketika suatu fungsi dikalikan dengan sebuah konstanta. Maka integral dari fungsi dikalikan dengan konstanta tersebut sama seperti integral dari fungsi teresbut lalu dikalikan dengan konstanta.

$\int kf(x)\,dx = k\int f(x)\,dx = kF(x) + C$

Pertambahan Dua Fungsi

Yang kedua, integral dari dua buah fungsi yang dioperasikan oleh pertambahan/pengurangan, maka integralnya sama saja seperti pertambahan dari masing-masing integral fungsi tersebut.

$\int f(x)\pm g(x)\,dx = \int f(x)\,dx \pm\int g(x)\,dx = F(x) + C_1 + G(x) + C_2$

Asumsikan $C = C_1+C2$ , sehingga menjadi:

$\int f(x)\pm g(x)\,dx = F(x) + G(x) +C$

Metode Substitusi

Kemudian, jika pada turunan kita mengenal isitilah aturan rantai, pada integral kita menyebutnya sebagai metode substitusi, yakni seperti berikut.

$\frac{df(g(x))}{dx} = \frac{df(x)}{dg(x)}\frac{dg(x)}{dx}$

Apabila kita asumsikan $u = g(x)$ , kemudian kita integralkan kedua ruas:

$f(u) + C = \int f'(u)u'\,dx$

$f(u) + C = \int f'(u)\,du$

Mungkin kalian bakal lebih enak ngelihatnya kalau ditulis seperti ini:

$\int f(u)\,du = F(u) + C$

Contoh Soal 2

Maksud dari bentuk di atas yaitu, kita dapat mengasumsikan bahwa suatu fungsi $f(x)$ mempunyai input berupa fungsi lain yaitu $u=g(x)$ sehingga kita mengintegralkan terhadap $du$ bukan $dx$ , apa keuntungannya? Tentu jadi lebih mudah, misal kita punya fungsi $f(x) = (x+1)\sqrt{x^2+2x+3}$ .

Dengan mengasumsikan $u = x^2+2x+3$ , maka $u'=\frac{du}{dx} = 2x + 2$ , atau bisa kita tulis $du = 2(x+1)\,dx$ . Integral dari $f(x)$ tersebut yaitu:

$\int (x+1)\sqrt{x^2+2x+3}\,dx$

$\int \frac{2}{2}\cdot\sqrt{u}(x+1)\,dx$

$\frac{1}{2}\int \sqrt{u}\cdot{\color{Red}{2(x+1)\,dx}}$

Suku yang berwarna merah adalah $du$ .

Kita lanjut ke sini biar gak terlalu panjang.

$\frac{1}{2}\int \sqrt{u}\,du$

$\frac{1}{2}\frac{u^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + C$

$\frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

$\frac{u\sqrt{u}}{3} + C$

Kemudian kita substitusikan balik $u = x^2+2x+3$ , menjadi:

$\frac{(x^2+2x+3)\sqrt{x^2+2x+3}}{3} + C$

Teknik substitusi ini bakal ngebantu juga pada kondisi-kondisi yang lain, misal integral dari $(x+1)^{10}$ , $(x^3 + 3x + 1)^8(x^2+1)$ dan lainnya, karena sangat tidak baik untuk "kesehatan" untuk mengekspansi polinomial tersebut.

Integral Parsial

Lalu sifat yang keempat yaitu, jika pada turunan kita mengenal sifat untuk perkalian dua buah fungsi, pada integral hal tersebut dinamakan sebagai teknik parsial. Kita asumasikan $u=f(x)$ dan $v = g(x)$ , tekniknya seperti ini:

$\frac{d(f(x)g(x))}{dx} = \frac{d(uv)}{dx} = (uv)' = u'v + uv'$

Kemudian integralkan terhadap $x$ kedua ruas:

$uv = \int v\,u'dx + \int u\,v'dx$

$uv = \int v\,du + \int u\,dv$

$\int u\,dv = uv - \int v\,du$

Apa maksudnya dengan cara seperti ini? Jadi pada integral yang fungsinya rumit, kita dapat mempartisi fungsi menjadi beberapa bagian.

Contoh Soal 3

Contoh kita ingin melakukan integral fungsi $f(x) = \frac{2x+3}{(x+1)^5}$ .

$\int \frac{2x+3}{(x+1)^5}\,dx$

Misal bagiannya kita atur di mana $dv = \frac{1}{(x+1)^5}$ dan $u = 2x+3\,dx$

$\int (2x+3)\cdot\frac{1}{(x+1)^5}\,dx$

Maka $du = 2\,dx$ kemudian $v = -\frac{1}{4(x+1)^4}$ , maka integralnya yaitu:

$\int u\,dv = uv - \int v\,du$

$\int (2x+3)\cdot\frac{1}{(x+1)^5}\,dx = (2x+3)\cdot-\frac{1}{4(x+1)^4} + \int -\frac{1}{4(x+1)^4}\cdot2\,dx$

$= -\frac{2x+3}{4(x+1)^4} - 2\int \frac{1}{4(x+1)^4}\,dx$

$= -\frac{2x+3}{4(x+1)^4} - 2 \frac{1}{-12(x+1)^{3}} + C$

$= -\frac{2x+3}{4(x+1)^4} + \frac{1}{6(x+1)^{3}} + C$

Nah, itu beberapa sifat yang menurut Tim ISENG bakal sering kepakai banget. Dan mengenai integral dari $\frac{1}{x}$ yang kita bicarakan sebelumnya, bisa kita manfaatkan sifat yang udah ada yaitu substitusi. Mari asumsikan $x = e^u$ , maka integralnya:

$\int \frac{1}{x}\,dx$

$\int \frac{1}{e^u}\,dx$

Dengan $\frac{dx}{du} = e^u\rightarrow dx = e^u\,du$

$\int \frac{1}{e^u}\cdot e^u\,du$

$\int \,du = u + C$

Dengan $\ln$ -kan kedua ruas pada $x = e^u$ , seperti ini:

$\ln x = \ln e^u$

$\ln x = u \ln e = u$

Oleh karena itu hasil akhirnya:

$= \ln\lvert x\rvert + C$

Karena $x\neq 0$ artinya bisa positif dan bisa negatif, maka untuk menyesuaikan kondisi tersebut, variabel pada fungsi logaritma natural tersebut berbentuk nilai mutlak.