Relasi dan Fungsi - Diagram, Rumus, Grafik

Konsep dasar relasi dan fungsi
Konsep dasar relasi dan fungsi.

Dua buah himpunan, bisa saling berkaitan satu sama lain. Ada aturan yang membatasi hubungan tersebut. Dan akan dibahas pada materi kali ini, yaitu relasi dan fungsi.

Daftar Isi

Relasi

Saat mata pelajaran olahraga selesai dan ada sisa waktu untuk bermain, biasanya murid laki-laki suka memanfaatkan waktu tersebut untuk bermain. Contohnya futsal, basket, dan voli.

Namun dengan jumlah murid yang terbatas tentu kita harus memilih satu permainan saja, tidak bisa semuanya dibagi rata. Karena permainannya dilakukan secara beregu.

Belum lagi ada beberapa yang merasa lelah setelah olahraga sehingga tidak bisa ikut bermain.

Anggap total murid yang bersedia untuk bermain terdapat 6 orang. Sebut saja inisialnya, I, J, K, L, M, dan N.

Supaya mudah juga, futsal kita sebut saja F, basket B, dan voli V.

Tentunya, setiap murid mempunyai minatnya masing-masing pada permainan olahraga tersebut.

Seperti I yang memiliki minat hanya pada futsal dan voli.

Lalu J futsal saja, K futsal dan basket, K futsal saja, M basket serta voli, dan N menyukai voli saja.

Hubungan Antar Himpunan

Kita paham bahwa, kumpulan/kelompok intinya sesuatu yang lebih dari satu, dan bisa dinyatakan sebagai himpunan.

Sekumpulan murid tersebut bisa kita anggap sebagai himpunan S. Kemudian daftar permainan tersebut kita sebut himpunan P.

S = \{\text{I},\text{J},\text{K},\text{L},\text{M},\text{N}\}
P = \{\text{F},\text{B},\text{V}\}

Ketertarikan murid terhadap permainan tertentu memberikan informasi tersendiri.

Yaitu ada hubungan atau relasi antara elemen himpunan S dengan anggota himpunan P.

Relasi sendiri bisa banyak macam, bahkan silsilah keluarga pun bisa dibuat relasinya.

Diagram Panah

Salah satu cara untuk melukiskan atau memvisualisasikan relasi antara dua himpunan yaitu menggunakan diagram panah. Contohnya seperti gambar di bawah.

Informasi relasi antara elemen pada satu himpunan dengan himpunan lainnya divisualisasikan dengan tanda panah.

Diagram panah yang memberikan gambaran relasi antara dua himpunan

Pada contoh sebelumnya, disebutkan I menyukai futsal dan voli. Adanya dua permainan yang disukai mengartikan elemen I akan memiliki dua panah.

Yang masing-masing panah tersebut akan terhubung sesuai dengan apa yang murid berinisial I gemari.

Dalam hal ini yaitu F dan V, begitu juga untuk murid yang lainnya.

Diagram Kartesius

Pada pembahasan mengenai materi bidang kartesius, kita melihat bagaimana sistem koordinat dipakai menentukan posisi suatu titik.

Selain itu, kita juga bisa memanfaatkannya sebagai diagram kartesius untuk memvisualisasikan relasi.

Sebenarnya, sumbu-x dan sumbu-y yang merupakan patokan jarak sebuah titik tertentu merupakan bentuk spesifik dari sistem koordinat kartesius.

Sejatinya sumbu tersebut bisa diganti dengan apa pun.

Dalam kasus ini, ada dua komponen berupa nama murid dan nama permainan.

Jika sumbu-x kita anggap sebagai himpunan nama murid. Lalu sumbu-y sebagai himpunan nama permainan. Maka visualisasinya seperi berikut:

Diagram kartesius yang memberikan gambaran relasi antara dua himpunan

Perbedaannya dengan diagram panah hanya pada bentuknya saja. Tidak ada informasi yang berbeda antara dua diagram tadi.

Keuntungan dengan penyajian dalam bentuk diagram yaitu, dapat dihitung dengan mudah berapa dan siapa saja yang gemar olahraga tetentu.

Cara Membuatnya

Langkah pembuatan diagram kartesius mirip banget seperti bikin sistem koordinat kartesius, berikut caranya:

  1. Bikin dua garis saling tegak lurus. Dan tandai titik temunya.
  2. Tentukan peran masing-masing sumbu untuk mewakili himpunan yang mana.
  3. Sepanjang garis sumbunya diisi oleh anggotanya.
  4. Terakhir, letak pasangannya diposisikan sesuai dengan isinya.

Himpunan Pasangan Berurutan

Sebelumnya saya akan menunjukkan analoginya dulu, suatu titik posisinya dapat direpresentasikan sebagai (x,y).

Dengan melihat representasi diagram kartesius sebelumnya, relasi antara suatu elemen pada satu himpunan dengan himpunan lainnya juga bisa.

Contoh si I, karena suka futsal dan voli maka bisa dituliskan sebagai {(I, F), (I, V)}. Itu baru untuk I saja.

Untuk yang lainnya, saya pilih si K, dapat ditulis sebagai {(K, F), (F, B)}.

Untuk keseluruhan relasi antara semua elemen himpunan S dengan P, yaitu seperti berikut (perhatikan urutannya):

\{(\text{I}, F), (\text{I}, V), (\text{J}, F),
 (\text{K}, F), (\text{K}, B), (\text{L}, F),
 (\text{M}, B), (\text{M}, V), (\text{N},V)

Pada dasarnya, himpunan pasangan berurutan itu sebuah himpunan yang anggotanya merupakan pasangan atas dua himpunan yang saling berhubungan.

Perlu diperhatikan juga urutannya, tidak boleh tertukar. Untuk masalah ini dicontohkan (inisial siswa, nama permainan). Maka tidak bisa ditukar menjadi (nama permainan, inisial siswa)

Fungsi

Hal yang mengatur relasi antara dua himpunan, tidak terbatas pada minat permainan olahraga, makanan favorit, dan warna kesukaan.

Antar himpunan bilangan juga bisa. Dan ada cara lain juga yang mengatur relasi tersebut.

Pada pembahasan tentang bentuk aljabar, kita mengetahui jika suatu persamaan bisa saja melibatkan dua variabel.

Seperti contoh, persamaan y = 2x + 1. Kemudian nilai-nilai dari x dibatasi.

Nilainya dibatasi haya berupa elemen-elemen pada bilangan bulat dari 1 sampai 5.

Lalu asumsikan sebuah himpunan untuk bilangan-bilangan tersebut, sebut saja himpunan X.

Pemetaan Nilai

Sekarang, coba kita substitusikan pada persamaan tersebut.

Untuk x = 1, maka nilai y nya adalah 2(1) + 1 = 3. Kemudian untuk x = 2, hasilnya y = 5, untuk x = 3, y = 7, lanjut untuk x = 4, y = 9. Dan yang terakhir coba tukang iseng hitung sendiri!

Coba amati setiap bilangan x yang berasal dari himpunan X menghasilkan suatu bilangannya tersendiri.

Proses ini ibaratnya sebuah mesin yang mengolah suatu bahan mentah kemudian diproses menjadi bahan setengah jadi.

Selaras dengan itu, kali ini terdapat suatu persamaan, kemudian diberikan suatu bilangan lalu diproses, dan menghasilkan bilangan yang lain.

Bilangan-bilangan baru tersebut bisa kita kelompokkan juga sebagai himpunan.

Nah, relasi yang menghubungkan dari suatu himpunan menuju himpunan yang lain (sebut saja Y')?>, diatur oleh suatu hal bernama fungsi.

Persamaan y = 2x + 1 sebelumnya merupakan sebuah fungsi dan bisa dituliskan sebagai:

y = f(x) = 2x+1

Di mana f(x) maksudnya adalah fungsi f dari x.

Dalam materi fungsi, himpunan X (anggap sebuah input) dinamakan sebagai domain. Sedangkan Y (anggap sebuah output) disebut kodomain.

Macam-Macam Fungsi

Fungsi f(x) = 2x + 1 sebelumnya, merupakan salah satu jenis fungsi yang akan dipelajari berikut ini.

Rumus dan Grafik Fungsi Linear

Secara umum, fungsi tersebut memiliki bentuk:

f(x) = ax+b

Dengan syarat:

a,b\in\mathbb{R}

Artinya variabel a dan b adalah bilangan real.

Fungsi ini dinamakan sebagai fungsi linear. Sesuai namanya, apabila dibuat grafinya maka akan menyerupai suatu garis lurus, seperti ini:

Grafik fungsi linear

Rumus dan Grafik Fungsi Konstan

Ada pula fungsi yang seiring bertambahnya nilai x atau bisa juga berkurang, nilai hasil pemetaan oleh fungsi ini tidak akan mengalami perubahan alias konstan.

Kondisinya bisa dicapai oleh fungsi konstan. Seper contoh y = 9, y = 7, dan lainnya. Bentuk umumnya tentu cukup mudah, yaitu:

y = c

Dengan syarat nilai c-nya merupakan bilangan real, c\in\mathbb{R}.

Grafik fungsi konstan

Amati kembali, fungsi konstan merupakan kondisi khusus dari fungsi linear ketika nilai a-nya adalah nol.

Rumus dan Grafik Fungsi Kuadrat

Pada pembahasan mengenai bentuk aljabar, pernah disinggung juga bahwa, suatu variabel pada sebuah persamaan bisa juga memiliki pangkat/eksponen.

Fungsi yang memiliki variabel pangkat dua (khusus dua ya, tidak kurang dan tidak lebih) dinamakan sebagai fungsi kuadrat, seperti:

f(x) = x^2 + 2x - 7
f(x) = 2x^2 - 3x + 9

Secara umum, rumusnya seperti berikut:

f(x) = ax^2 + bx + c

Dengan nilai a-nya tidak boleh nol, a\neq0. Kuis cepat: Apa jadinya ketika a-nya nol?

Apabila dibuat grafiknya pada bidang kartesius, bentuknya akan menyerupai sebuah parabola atau mangkok.

Bisa mengarah ke atas bisa juga ke bawah, seperti berikut:

Grafik fungsi kuadrat

Cara Menggambar Grafik

Mungkin di antara tukang iseng ada yang bertanya, caranya gimana bisa bikin grafik suatu fungsi?

Untuk fungsi linear mungkin terbilang mudah, namun fungsi kuadrat kita cuman bisa melakukan pendekatan saja.

Karena untuk grafik aslinya akan sangat sulit untuk mendapatkan tingkat keakuratan yang tinggi (alias bener-bener sama).

Untuk fungsi linear, kita bisa uji untuk dua nilai x. Misal x1 dan x2, dan ini bener-bener bebas.

Boleh angka 1, 5 bahkan 0 juga boleh. Kemudian kita cari hasil pemetaannya, misal hasilnya adalah y1 dan y2.

Dari situ kita mempunyai dua titik, yaitu titik (x1, y1) dan titik (x2, y2).

Dengan membuat suatu garis lurus yang melalui dua titik tersebut. Demikian garis tersebutlah yang merepresentasikan fungsi f(x) linear tersebut.

Label

Komentar

Search icon