Relasi dan Fungsi

Konsep dasar relasi dan fungsi
Konsep dasar relasi dan fungsi.

Relasi

Saat mata pelajaran olahraga selesai dan ada sisa waktu untuk bermain, biasanya murid laki-laki suka memanfaatkan waktu tersebut untuk bermain seperti futsal, basket, dan voli. Namun dengan jumlah murid yang terbatas tentu kita harus memilih satu permainan saja, tidak bisa semuanya dibagi rata.

Belum lagi ada beberapa yang merasa lelah setelah olahraga sehingga tidak bisa ikut bermain. Misal, total murid yang bersedia untuk bermain terdapat 6 orang, sebut saja inisialnya, \text{I}, \text{J}, \text{K}, \text{L}, \text{M}, dan \text{N}. Supaya mudah, futsal kita sebut saja \text{F}, basket \text{B}, dan voli \text{V}.

Tentu, setiap murid mempunyai minatnya masing-masing pada permainan olahraga tersebut, seperti \text{I} yang memiliki minat pada futsal dan voli, \text{J} futsal saja, \text{K} futsal dan basket, \text{L} futsal saja, \text{M} basket dan voli, dan \text{N} menyukai voli saja.

Kita paham bahwa, kumpulan/kelompok/intinya sesuatu yang lebih dari satu, bisa kita anggap sebagai himpunan. Sekumpulan murid tersebut bisa kita anggap sebagai himpunan S, kemudian daftar permainan tersebut kita sebut himpunan P

S = \{\text{I},\text{J},\text{K},\text{L},\text{M},\text{N}\}
P = \{\text{F},\text{B},\text{V}\}

Ketertarikan murid terhadap permainan tertentu memberikan informasi bahwa ada hubungan atau relasi antara elemen-elemen himpunan S dengan elemen-elemen himpunan P. Dan relasi bisa banyak macam, bahkan silsilah keluarga pun bisa dibuat relasinya.

Diagram Panah

Salah satu cara untuk melukiskan atau memvisualisasikan relasi antara dua himpunan yaitu menggunakan diagram panah, seperi berikut. Informasi relasi antara elemen pada satu himpunan dengan himpunan lainnya divisualisasikan menggunakan tanda panah.

Diagram panah yang memberikan gambaran relasi antara dua himpunan

Pada contoh sebelumnya, karena \text{I} menyukai futsal dan voli, adanya dua permainan yang disukai mengartikan elemen \text{I} akan memiliki dua panah, yang masing-masing panah tersebut akan terhubung sesuai dengan apa yang si \text{I}, dalam hal ini yaitu F dan V, begitu juga untuk murid yang lainnya.

Diagram Kartesius

Sebelumnya kita udah mempelajari tentang bidang kartesius untuk menentukan posisi suatu titik, selain itu, kita juga bisa memanfaatkannya sebagai diagram kartesius untuk memvisualisasikan relasi.

Sebenarnya, sumbu-x dan sumbu-y yang merupakan patokan yang diberi nilai tertentu merupakan bentuk spesifik dari sistem koordinat kartesius, karena sumbu tersebut bisa diganti dengan, misal dalam kasus kita ini adalah nama murid dan nama permainan. Jika sumbu-x kita anggap sebagai himpunan nama murid, dan sumbu-y sebagai himpunan nama permainan, maka visualisasinya seperi berikut.

Diagram kartesius yang memberikan gambaran relasi antara dua himpunan

Himpunan Pasangan Berurutan

Jika suatu titik, posisinya dapat direpresentasikan sebagai (x,y), dengan melihat representasi diagram kartesius sebelumnya, relasi antara suatu elemen pada satu himpunan dengan himpunan lainnya juga bisa. Contoh si \text{I} karena suka futsal dan voli, maka bisa dituliskan sebagai \{(\text{I}, F), (\text{I}, V)\}, itu baru untuk I saja.

Untuk keseluruhan relasi antara semua elemen himpunan S dengan P, yaitu seperti berikut (perhatikan urutannya)
\{(\text{I}, F), (\text{I}, V), (\text{J}, F),
(\text{K}, F), (\text{K}, B), (\text{L}, F)
(\text{M}, B), (\text{M}, V), (\text{N},V)\} .

Fungsi

Hal yang mengatur relasi antara dua himpunan, tidak terbatas seperti, minat permainan olahraga, makanan favorit, warna kesukaan, dan lainnya namun ada cara lain yang mengatur relasi tersebut. Pada pembahasan tentang bentuk aljabar, kita tahu bahwa, suatu persamaan bisa saja melibatkan dua variabel.

Seperti contoh, y = 2x+1, jika nilai-nilai dari x kita batasi, sehingga nilainya berupa elemen-elemen pada bilangan bulat dari 1 sampai 5, kita buat himpunan untuk bilangan-bilangan tersebut, sebut saja himpunan X/

Sekarang, coba kita substitusikan pada persamaan tersebut, untuk x=1, maka nilai y nya adalah 2(1)+1 = 3, kemudian untuk x = 2, y = 5, untuk x = 3, y = 7, lanjut untuk x = 4, y = 9, dan yang terakhir coba tukang iseng hitung sendiri!

Kita lihat setiap bilangan x yang berasal dari himpunan X menghasilkan suatu bilangannya tersendiri, proses ini ibaratnya sebuah mesin yang mengolah suatu bahan mentah kemudian diproses menjadi bahan setengah jadi, kalau kali ini terdapat suatu persamaan, kemudian diberikan suatu bilangan, lalu diproses dan menghasilkan bilangan yang lain.

Bilangan-bilangan baru tersebut bisa kita buat juga sebagai himpunan, nah, relasi yang menghubungkan dari suatu himpunan menuju himpunan yang lain (sabut saja Y) ini diatur oleh suatu hal yang dinamakan fungsi. Persamaan y=2x+1 sebelumnya merupakan sebuah fungsi dan bisa dituliskan sebagai
y = f(x) = 2x+1
, di mana f(x) maksudnya adalah fungsi dari x. Dalam bahasan fungsi, himpunan X (anggap sebuah input) dinamakan sebagai domain, sedangkan Y (anggap sebuah output) dinamakan kodomain.

Macam-Macam Fungsi

Fungsi f(x) = 2x+1 sebelumnya merupakan salah satu jensi fungsi yang akan kita pelajari, secara umum fungsi tersebut memiliki bentuk
f(x) = ax+b
, di mana a\neq0, a\in\mathbb{R}, dan b\in\mathbb{R}. Fungsi ini dinamakan sebagai fungsi linear. Sesuai namanya, apabila kita buat grafinya maka akan menyerupai suatu garis lurus, seperti ini.

Grafik fungsi linear

Ada pula fungsi yang seiring bertambahnya nilai x atau bisa juga berkurang, nilai hasil pemetaan oleh fungsi ini tidak akan mengalami perubahan alias konstan, kondisi tersebut dicapai oleh fungsi konstan. Seper contoh y = 9, y = 7, dan lainnya. Bentuk umumnya tentu cukup mudah, yaitu y = c, di mana c\in\mathbb{R}.

Grafik fungsi konstan

Pada pembahasan mengenai bentuk aljabar, pernah disinggung juga bahwa, suatu variabel pada sebuah persamaan bisa juga memiliki pangkat/eksponen. Fungsi yang memiliki variabel pangkat dua (khusus dua ya, tidak kurang dan tidak lebih) dinamakan sebagai fungsi kuadrat, seperti

f(x) = x^2 + 2x - 7
f(x) = 2x^2 - 3x + 9 .

Secara umum bentuknya seperti berikut

f(x) = ax^2 + bx + c, a\neq0

, apabila dibuat grafiknya pada bidang kartesius, bentuknya akan menyerupai sebuah parabola atau mangkok, bisa mengarah ke atas bisa juga ke bawah, seperti berikut.

Grafik fungsi kuadrat

Mungkin diantara tukang iseng ada yang bertanya, caranya gimana bisa bikin grafik suatu fungsi? Untuk fungsi linear mungkin terbilang mudah, namun fungsi kuadrat kita cuman bisa melakukan pendekatan saja, karena untuk grafik aslinya akan sangat sulit untuk mendapatkan tingkat keakuratan (alias bener-bener sama) yang tinggi.

Untuk fungsi linear, kita bisa uji untuk dua nilai x, misal x_1 dan x_2, dan ini bener-bener bebas, boleh angka 1, 5 bahkan 0 juga boleh, kemudian kita cari hasil pemetaannya, misal hasilnya adalah y_1 dan y_2. Dari situ, kita mempunyai dua titik, yaitu titik (x_1,y_1) dan titik (x_2,y_2).

Dengan membuat suatu garis lurus yang melalui dua titik tersebut, maka garis tersebutlah yang merepresentasikan fungsi f(x) linear tersebut.

Label
< Materi SebelumnyaPola Bilangan
Search icon