Fungsi Kuadrat

Konsep dasar fungsi kuadrat
Konsep dasar fungsi kuadrat.

Fungsi Kuadrat

Jika pada pembahasan tentang persamaan kuadrat kita menganggap bentuk kuadrat tersebut sebagai suatu persamaan, dan kita tertarik untuk mengetahui solusi ketika bentuk kuadrat tersebut bernilai nol. Pada pembahasan kali ini pun serupa, kita tertarik mencari solusi persamaan.

Namun, yang membedakkan kali ini yaitu, bentuk kuadrat tersebut tidak terbatas pada kesamaannya terhadap nilai nol, alias bisa berapa aja, kita anggap bentuk kuadrat ini sebagai "pengatur" yang memetakan suatu nilai, alias sebagai fungsi. Sebenarnya kita telah menyinggung sedikit tentang fungsi ini pada pembahasan tentang fungsi dan relasi.

Pada pembahasan tersebut, kita telah melihat dan mengetahuinya bahwa bentuk grafik dari persamaan kuadrat ini berbentuk seperti "mangkok", bisa itu mengarah ke atas atau bisa juga mengarah ke bawah. Dengan melihat fakta ini, kita berpikir bahwa untuk fungsi kuadrat yang mengarah ke bawah, kita melihat bahwa ada nilai maksimumnya.

Begitu juga sebaliknya, untuk fungsi kuadrat yang mengarah ke atas, kita melihat bahwa ada nilai minimalnya, nah apakah kita tertarik untuk mencari nilai minimum juga pada fungsi kuadrat yang mengarah ke bawah? Tentu tidak, karena kita gak tahu batasnya di mana.

Mungkin bakal lebih pas kalau kita bahas grafik dari fungsi kuadrat ini lagi, terutama bagaimana kita dapat menggambarkannya pada sistem koordinat kartesius.

Grafik Fungsi Kuadrat

Berbeda seperti fungsi linear, yang mana kita bisa gambarkan grafiknya hanya dengan bantuan dua titik saja, kemudian bisa kita temukan fungsi sebenarnya, pada fungsi kuadrat, minimal kita memerlukan tiga buah titik untuk menaksinya, ingat ya menaksirnya, bukan menggambar grafik sebenarnya (kecuali kalau kita emang handal dalam menggambar).

Akan lebih akurat ketika kita gunakan titik yang lebih banyak, nah sekarang mending kita coba aja, misal kita punya fungsi berupa f(x)=x^2+2x+1, kemudian kita ingin mengetahui titik-titik hasil pemetaannya terhadap x=-3, x=-2, x=-1, x=0, x=1, x=2, dan x=3.

Dengan mensubstitusikan nilai x tersebut, kita dapatkan hasil pemetaannya,
f(-3) = (-3)^2+2(-3)+1 = 4
, f(-2) = 1, f(-1) = 0, f(0) = 1, f(1) = 4, f(2) = 9, f(3)=16, berdasarkan hasil pemetaaan tersebut coba kita letakkan pasangan x terhadap hasil pemetaanya di bidang kartesius.

Titik-titik hasil pemetaan nilai dari fungsi kuadrat

Apabila ditaksir, maka grafiknya akan berbentuk seperti pada gambar berikut. Sebenarnya kita bisa saja mengeceknya di posisi x yang lain, misal dari x=1 sampai x=6, atau bisa juga dari x=-5 hingga x=0 dan lainnya, tidak terbatas pada contoh ini saja.

Grafik fungsi kuadrat

Mungkin yang jadi pertanyaan sekarang adalah bagaimana kita mengetahui titik balik dari fungsi ini, ya gak? Nah, pada contoh ini kita melihat bahwa pada interval x = -3 hingga x=3, hasil pemeetaan dari fungsi f(x) ini mempunyai dua nilai yang sama, yaitu f(-3) = f(1) dan f(-2) = f(0).

Dengan melihat kesamaan nilai tersebut, kita melihat bahwa, seharusnya grafik tersebut melakukan "putar balik" pada suatu titik diantara interval x = -3 hingga x=3. Sekarang, kita lebih rinci lagi, fungsi kuadrat itu simetris, apa artinya?

Maksudnya, hasil pemetaan dari nilai x yang berjarak sama dari titik baliknya, maka hasil pemetaanya akan bernilai sama. Dengan ide tersebut maka bisa kita pastikan bahwa titik balik fungsi f(x)=x^2+2x+1 ini, berada di tengah-tengah antara x=-3 dan x=1, atau bisa juga diantara x=-2 dan x=0.

Kita hanya perlu menggunakan salah satu saja, misal x=-3 dan x=1, maka titik baliknya berada di x = \frac{-3+1}{2} = -1. Dan ternyata, titik baliknya berada di rentang nilai yang telah kita tentukan sebelumnya.

Kondisi ini akan semakin sulit ketika titik baliknya, berada di posisi yang jauh dari titik pusat O(0,0), apakah ada cara lain, selain menerka interval seperti ini? Tentu ada, langkahnya dibalik, kita cari tahu dulu titik baliknya, baru kita tentukan intervalnya.

Nilai Optimal

Titik balik yang kita tentukan sebelumnya merupakan nilai optimal, bisa itu minimum atau maksimum. Artinya kondisinya setara, kalau kita mencari titik optimal maka sama saja seperti kita menentukan titik balik atau simetrisnya, begitu juga sebaliknya.

Sekarang, misal kita punya fungsi f(x) = x^2, ini adalah bentuk fungsi kuadrat paling sederhana, di mana titik baliknya berada di titik pusat bidang kartesius alias di O(0,0), Nah, sekarang bagaimana jadinya apabila, fungsinya menjadi (x-1)^2? Maka fungsi f(x) = x^2 tersebut akan bergeser ke kanan sejauh satu satuan.

Bagiamana jika menjadi (x+5)^2? Maka fungsi f(x) = x^2 akan bergeser ke kiri sejauh lima satuan, sekarang kita simpan dulu ide tersebut. Coba sekarang (x-1)^2 kita tambahkan 1 menjadi (x-1)^2 + 1, maka f(x) = x^2 akan bergeser ke atas satu satuan dan ke kanan satu satuan.

Sekali lagi, bagaimana dengan (x+5)^2 - 7? Maka fungsi f(x) = x^2 akan bergeser ke bawah sebanyak tujuh satuan dan bergeser ke kiri sebanyak lima satuan.

Misal kita punya suatu fungsi kuadrat berupa f(x)=x^2+2x-35, jika kita dapat memanipulasi fungsi tersebut sehingga berbentuk seperti f(x) = (x+k)^2 + l, maka kita dengan mudah dapat mengetahui titik baliknya. Namun, fungsi f(x)=x^2+2x-35 tidak bisa dibentuk seperti secara langsung

Perhatikan bentuk x^2+2x, bentuk tersebut akan menjadi kuadrat sempurna ketika dalam bentuk x^2+2x+1, karena koefisien 2 pada variabel x tersebut dapat disusun oleh operasi pertambahan dua angka yang sama yaitu 1+1=2, sehingga konstantanya adalah 1\cdot1=1.

Untuk mempertahakan wujud aslinya maka f(x)=x^2+2x-35 kita tambahkan angka nol, benar kan? Namun bukan nol seutuhnya melainkan

f(x)=x^2+2x-35 + (0)
\rightarrow =x^2+2x-35 + (1-1)
\rightarrow =x^2+2x + 1-35-1)
\rightarrow =(x^2+2x +1)-(35+1))
\rightarrow =(x+1)^2-36) .

Dengan mendapatkan bentuk tersebut, maka kita mengetahuinya bahwa titik balik fungsi f(x)=x^2+2x-35 berada di (-1,-36). Bahkan dengan memanipulasi menjadi bentuk seperti itu kita dapat langsung mengetahui nilai optimalnya, dalam hal ini yaitu -36.

Ada yang kesulitan untuk memanipulasinya? Tenang saja, kita cari alternatif lainnya yang lebih mudah. Kita mulai dari bentuk umum fungsi kuadrat yang ingin kita tentukan sebelumnya f(x) = (kx+l)^2+m, kita urai persamaan tersebut

f(x) = (kx+l)^2+m
\rightarrow = (kx+l)(kx+l)+m
\rightarrow = k^2x^2+2klx+l^2+m .

Apabila kita cocokan dengan bentuk f(x) = ax^2 + bx +c, maka a = k^2, b = 2kl dan c = l^2+m, dari sini kita melihat bahwa, nilai maksimumnya adalah m, dan bisa tuliskan m = c-l^2, sekarang kita substitusikan informasi yang kita punya

m = c-l^2
\rightarrow = c- {\left(\frac{b}{2k}\right)}^2
\rightarrow = c- \frac{b^2}{4k^2}
\rightarrow = c- \frac{b^2}{4a}

Berada di x mana nilai optimal tersebut? Tentu fungsi akan optimal ketika ekspresi (kx+l)^2 = 0, dan hal tersebut akan dipenuhi

(kx+l)^2 = 0
(kx+l)(kx+l) = 0

, ketika x = \frac{-l}{k}, sehingga

x = \frac{-b/2k}{k}
x = \frac{-b}{2k^2}
x = \frac{-b}{2a} .
Label
< Materi SebelumnyaBilangan Bulat dan Pecahan
Search icon