Fungsi Kuadrat - Grafik, Titik Stasioner, Nilai Optimal

Konsep dasar fungsi kuadrat
Konsep dasar fungsi kuadrat.

Kalau udah belajar persamaan kuadrat, ngapain lagi belajar materi fungsi kuadrat?

Tenang bro/sis kedua materi ini emang mirip tapi secara bahasannya beda. Ada objektif lain yang ingin dicari tahu di sini, yaitu titik stasioner.

Daftar Isi

Fungsi Kuadrat

Jika pada pembahasan tentang persamaan kuadrat kita menganggap bentuk kuadrat sebagai suatu persamaan.

Setelah itu kita tertarik untuk mengetahui solusi ketika bentuk kuadrat tersebut bernilai nol.

Pada pembahasan kali ini pun serupa, fokusnya juga untuk mencari solusi dari bentuk kuadrat.

Namun yang membedakkan kali ini yaitu, bentuk kuadrat tersebut tidak terbatas pada kesamaannya terhadap nilai nol.

Bisa bernilai berapa aja. Juga ada asumsi lainnya yang menganggap bentuk kuadrat ini sebagai "pengatur" yang memetakan suatu nilai, alias sebagai fungsi.

Titik Stasioner

Di kesempatan lain telah disinggung sedikit tentang konsep fungsi kuadrat pada pembahasan fungsi dan relasi.

Pada materi tersebut, telah ditunjukkan bahwa bentuk grafik dari persamaan kuadrat berbentuk seperti "mangkok".

Bisa itu mengarah ke atas atau bisa juga mengarah ke bawah.

Dengan melihat fakta tadi, kita berpikir bahwa untuk fungsi kuadrat yang mengarah ke bawah, dapat diketahui bahwa ada nilai maksimumnya.

Begitu juga sebaliknya, untuk fungsi kuadrat yang mengarah ke atas, kita melihat bahwa ada nilai minimalnya.

Nah apakah kita tertarik untuk mencari nilai minimum juga pada fungsi kuadrat yang mengarah ke bawah?

Tentu tidak, karena kita gak tahu batasnya di mana. Begitu pula untuk mengarah ke atas, tidak begitu penting untuk mencari nilai maksimumnya.

Mungkin bakal lebih pas kalau kita menyertakan pembahasan grafik dari fungsi kuadrat ini.

Terutama bagaimana kita dapat menggambarkannya pada sistem koordinat kartesius.

Grafik Fungsi Kuadrat

Berbeda seperti fungsi linear, yang mana kita bisa gambarkan grafiknya hanya dengan bantuan dua titik saja. Kemudian bisa kita temukan fungsi sebenarnya.

Pada fungsi kuadrat, minimal kita memerlukan tiga buah titik untuk menaksinya. Ingat ya menaksirnya, bukan menggambar grafik sebenarnya (kecuali kalau kita emang handal dalam menggambar).

Kenapa tiga titik? Karena ada satu informasi yang harus diketahui, yaitu lekukan grafiknya.

Jika hanya dua, maka akan sangat ambigu karena ketidaktahuan letak titik beloknya. Dan akan lebih akurat ketika kita gunakan titik yang lebih banyak.

Menggunakan Sembarang Titik

Nah sekarang mending kita coba aja, misal kita punya fungsi berupa:

f(x)=x^2+2x+1.

Kemudian kita ingin mengetahui titik-titik hasil pemetaannya terhadap x = -3, x = -2, x = -1, x = 0, x = 1, x = 2, dan x = 3.

Dengan mensubstitusikan nilai x tersebut, kita dapatkan hasil pemetaannya:

f(x)f
-34
-21
-10
01
14
29
316

Berdasarkan hasil pemetaaan tersebut coba kita letakkan pasangan x terhadap hasil pemetaanya di bidang kartesius.

Titik-titik hasil pemetaan nilai dari fungsi kuadrat

Apabila ditaksir, maka grafiknya akan berbentuk seperti pada gambar di bawah.

Sebenarnya kita bisa saja mengeceknya di posisi x yang lain.

Misal dari x = 1 sampai x = 6, atau bisa juga dari x = -5 hingga x = 0 dan lainnya. Tidak terbatas pada contoh tadi saja.

Grafik fungsi kuadrat

Menerka Titik Stasioner

Mungkin yang jadi pertanyaan sekarang adalah bagaimana untuk mengetahui titik balik dari fungsi ini, ya gak?

Nah, pada contoh ini coba amati nilai f(x) pada interval x = -3 hingga x = 3.

Hasil pemetaan dari fungsi f(x) ini mempunyai dua nilai yang sama, yaitu f(-3) = f(1) dan f(-2) = f(0).

Dengan melihat kesamaan nilai tersebut, dapat ditarik satu informasi.

Seharusnya grafik tersebut melakukan "putar balik" pada suatu titik di antara interval x = -3 hingga x = 3.

Kesimetrisan

Sekarang akan lebih rinci lagi, fungsi kuadrat itu mempunyai sifat simetris. Apa tuh artinya?

Maksudnya, hasil pemetaan dari nilai x yang berjarak sama dari titik baliknya, maka hasil pemetaanya akan bernilai sama.

Dengan ide tersebut maka bisa kita pastikan bahwa titik balik fungsi f(x) = x2 + 2x + 1, berada di tengah-tengah antara x = -3 dan x = 1.

Atau bisa juga di antara x = -2 dan x = 0. Karena kedua pasangan itu menghasilkan nilai yang sama.

Kita hanya perlu menggunakan salah satu pasangan saja, misal x = -3 dan x = 1.

Maka titik baliknya berada di:

x = \frac{-3+1}{2} = -1

Dan ternyata, kebetulan titik baliknya berada di rentang nilai yang telah kita tentukan sebelumnya.

Kondisi ini akan semakin sulit ketika titik baliknya berada di posisi yang jauh dari titik pusat O(0, 0).

Apakah ada cara lain, selain menerka interval seperti ini? Tentu ada.

Tapi setidaknya harus tahu dulu besar nilai optimal yang bisa dihasilkan oleh fungsinya. Barulah dicari x mana yang menghasilkan nilai itu.

Ngomong-ngomong, nilai optimal kayak gimana sih konsepnya? Kalau penasaran kita lanjut aja yuk.

Nilai Optimal

Titik balik yang kita tentukan sebelumnya merupakan nilai optimal, bisa itu minimum atau maksimum.

Artinya kondisinya setara, kalau kita mencari nilai optimal maka sama saja seperti kita menentukan titik balik atau simetrisnya, begitu juga sebaliknya.

Sekarang, misal kita punya fungsi f(x) = x2, ini adalah bentuk fungsi kuadrat paling sederhana.

Titik baliknya berada di titik pusat bidang kartesius alias di O(0, 0).

Nah, sekarang bagaimana jadinya apabila fungsinya menjadi (x - 1)2?

Sejatinya hal itu setara dengan fungsi f(x) = x2 namun bergeser ke kanan sejauh satu satuan.

Bagiamana jika menjadi (x + 5)2? Maka fungsi f(x) = x2 akan bergeser ke kiri sejauh lima satuan.

Sekarang kita simpan dulu ide tersebut. Coba sekarang (x - 1)2 tambahkan angka 1 sehingga menjadi (x - 1)2 + 1.

Akibatnya f(x) = x2 akan bergeser ke atas satu satuan, dan ke kanan satu satuan.

Sekali lagi, bagaimana dengan (x+5)2 - 7?

Bentuk itu sama saja dengan fungsi f(x) = x2 bergeser ke bawah tujuh satuan, dan bergeser ke kiri sebanyak lima satuan.

Misal kita punya suatu fungsi kuadrat berupa:

f(x)=x^2+2x-35

Jika fungsi tersebut dapat dimanipulasi sehingga berbentuk seperti f(x) = (x+k)2 + l, maka dengan mudah didapat mengetahui titik baliknya.

Namun, fungsi f(x) = x2 + 2x - 35 tidak bisa dibentuk seperti secara langsung.

Perhatikan bentuk x2 + 2x, ekspresi ini bukanlah bentuk kuadrat sempurna.

Tapi bisa dimanipulasi. Bentuk tersebut akan menjadi kuadrat sempurna ketika dalam bentuk x2 + 2x + 1.

Karena koefisien 2 pada variabel x tersebut dapat disusun oleh operasi pertambahan dua angka yang sama yaitu 1 + 1 = 2. Sehingga konstantanya adalah 1×1 = 1.

Untuk mempertahakan wujud aslinya, maka f(x)=x2 + 2x - 35 kita tambahkan angka nol. Namun bukan nol seutuhnya melainkan:

f(x)=x^2+2x-35 + (0)
\rightarrow =x^2+2x-35 + (1-1)
\rightarrow =x^2+2x + 1-35-1)
\rightarrow =(x^2+2x +1)-(35+1))
\rightarrow =(x+1)^2-36)

Ingat: Sesuatu yang ditambahkan nol tidak merubah apapun, sama halnya seperti perkalian dengan angka 1.

Dengan mendapatkan bentuk tersebut, maka kita mengetahuinya bahwa titik balik fungsi f(x)=x2 + 2x - 35 berada di (-1, -36).

Bahkan dengan memanipulasi menjadi bentuk seperti itu kita dapat langsung mengetahui nilai optimalnya, dalam hal ini yaitu -36.

Rumus Nilai Optimal

Ada yang kesulitan untuk memanipulasinya? Tenang saja, kita cari alternatif lainnya yang lebih mudah.

Dimulai dari bentuk umum fungsi kuadrat yang ingin ditentukan letak optimalnya f(x) = (kx + l)2 + m, lalu urai persamaan tersebut menjadi:

f(x) = (kx+l)^2+m
\rightarrow = (kx+l)(kx+l)+m
\rightarrow = k^2x^2+2klx+l^2+m

Apabila kita cocokan dengan bentuk f(x) = ax2 + bx + c, maka a = k2, b = 2kl, dan c = l2 + m.

Dari sini dapat diketahui bahwa, nilai maksimumnya adalah m, dan bisa tuliskan m = c-l^2. Sekarang saatnya substitusikan informasi yang telah didapat:

m = c-l^2
\rightarrow = c- {\left(\frac{b}{2k}\right)}^2
\rightarrow = c- \frac{b^2}{4k^2}
\rightarrow = c- \frac{b^2}{4a}

Rumus Letak Titik Stasioner

Berada di x mana nilai optimal tersebut? Tentu fungsi akan optimal ketika ekspresi (kx + l)2 = 0.

Hal tersebut akan dipenuhi jika nilai x-nya adalah:

(kx+l)^2 = 0
(kx+l)(kx+l) = 0

Yakni ketika x = -l/k, kemudian ganti variabelnya dengan koefisien bentuk kuadratnya, menjadi:

x = \frac{-b/2k}{k}
x = \frac{-b}{2k^2}
x = \frac{-b}{2a}
Label

Komentar

Search icon