Bidang Kartesius

Konsep yang menentukan posisi suatu objek
Konsep yang menentukan posisi suatu objek.

Bidang Kartesius

Ketika kita lagi di jalan, tiba-tiba ada orang yang minta tanya jalan menuju tempat fotokopi, umumnya ketika kita lupa mengenai patokan tempat tertentu, dan terdapat banyak persimpangan, kita memperkirakannya jarak, seperti "Dari sini lurus aja ke depan sekitar 100\,\text{m} kemudian belok ke kanan, kemudian lurus lagi sekitar 50\,\text{m}, nanti cari aja yang banyak tanamannya."

Ketika kita berbicara seperti itu, secara gak langsung kita mengaggap posisi kita saat ini merupakan acuan untuk orang tersebut, kasus tersebut dapat dimodelkan menggunakan sistem koordinat kartesius. Balik ke contoh lagi, ktia juga sepakat bahwa, setiap tempat memiliki jarak dan arahnya masing-masing.

Jadi, sekalipun orang tersebut bertanya letak kantor jasa pengiriman, yang mana letaknya berada di belakang kita sejauh 50\,\text{m}, dalam hal ini beliau harus bergerak kebelakang, gak peduli bagaimana orang yang bertanya menuju tempat itu, intinya dari posisi kita ini, beliau harus ke belakang.

Pada sistem koordinat kartesius, perbedaan antara tempat yang berada di depan kita dengan yang di belakang disederhanakan dengan membedakkan tandanya, positif atau negatif. Begitu juga untuk tempat yang berada di kanan dan kiri kita (kanan positif umumnya).

Kalau orang tersebut mau ke tempat fotokopi, artinya beliau harus bergerak sejauh +100\,\text{m}, lurus terhadap arah kita berjalan, kemudian bergerak sejauh +50\,\text{m} (ke arah samping). Apabila ingin menuju kantor jasa pengiriman, artinya beliau harus bergerak sejauh -50\,\text{m}. Pada bidang kartesius, diilustrasikan seperti berikut

Rute perjalanan menuju suatu tempat

Posisi pada Sumbu-x dan Sumbu-y

Dengan menggunakan koordinat tersebut kita dapat melihat bahwa, suatu tempat dideskripsikan oleh dua komponen yaitu secara vertikal dan horisontal, atau pada sistem ini lebih dikenal sebagai arah sumbu-\text{x} dan sumbu-\text{y}.

Berdasarkan sistem koordinat ini, kita bisa mengatakan posisi tempat fotokopi berada pada x = 100\,\text{m} dan y = 50\,\text{m} sedangkan untuk kantor jasa pengiriman berada pada x = -50\,\text{m} dan y = 0\,\text{m}. Tunggu..., kenapa y = 0\,\text{m}? Alasannya, karena tidak ada perpindahan yang terjadi pada arah horisontal alias kesamping (kiri dan kanan).

Sekarang kita gunakan contoh yang lebih sederhana aja, kita batasi jarak perpindahan terjauh pada setiap sumbu sebesar 6 satuan saja. Ada cara lain untuk menuliskan posisi dari suatu titik pada bidang ini, misal pada titik A pada gambar berikut, posisinya bisa kita tuliskan menggunakan tanda dalam kurung seperti A(5,3), di mana x=5 dan y=3.

Empat titik berada di sistem koordinat kartesius

Begitu juga untuk titik-titik yang lainnya B(-2,3), C(-4,-4), dan D(-6,2). Disamping itu, secara bahasa titik A dapat diartikan sebagai 5 ke kanan dan 3 satuan ke atas, untuk titik B diartikan sebagai 2 satuan ke kiri (karena negatif) dan 3 satuan ke atas, untuk titik C, 4 satuan ke kiri dan 4 satuan ke bawah, dan untuk titik D, coba tukang iseng tentukan sendiri!

Dari keempat titik tersebut kita perhatikan bahwa, pada bidang (2 dimensi) kartesius, kita memiliki maksimal 4 buah kombinasi tanda (positif atau negatif), empat kombinasi tersebut ialah (+,+) (positif, positif), (-,+) (negatif, positif) , (-,-) (negatif, negatif), dan (+,-) (positif, negatif).

Empat kuadran pada bidang kartesius

Masing-masing kobmbinasi tanda tersebut memiliki istilah dan menduduki daerah tertentu, untuk kombinasi (+,+) (positif, positif) pasangan tersebut berada di daerah yang dinamakan kuadran I/1/pertama, sedangkan kombinasi (-,+) (negatif, positif) berada di kuadran II/2/kedua, untuk kombinasi (-,-) (negatif, negatif) berada di kuadra III/3/tiga, dan yang terakhir (+,-) (positif, negatif) berada di kuadran IV/4/keempat.

Urutan kuadran 1, 2, 3, dan 4 dimulai dari daerah untuk pasangan (+,+) (positif, positif), kemudian diurutkan berlawanan dengan arah jarum jam.

Balik lagi pada empat titik sebelumnya, artinya titik A berada di kuadran pertama, sedangkan titik B di kuadran kedua, titik C di kuadran ketiga, dan titik D, silahkan tentukan sendiri!

Posisi Titik Terhadap Titik Lainnya

Coba kita balik dulu ke contoh yang paling awal banget, keitka orang yang menanyakan tempat fotokopi tersebut tidak bertanya ke kita, misal nanyanya ke orang lain yang berada di depan kita, arahan yang diberikan oleh orang lain itu tentu akan berbeda, kalau kita jawab 100\,\text{m} ke depan untuk rute awalnya.

Orang tersebut bisa jadi menjawabnya 90,\text{m}, bisa juga ngejawab 70,\text{m}, karena orang tersebut jauh di depan kita. Mungkin jadi pertanyaan, kenapa bisa beda? Emangnya tempat fotokopinya pindah? Tempatnya diam, yang bergerak adalah pengamatnya.

Pertanyaan lagi, siapa yang benar? Dua-duanya benar, alasannya karena posisi suatu tempat, titik, dan lainnya bergantung oleh pengamatnya. Balik ke empat titik sebelumnya, titik A terhadap titik O memang berada di (5,3), bagaimana terhadap titik B?

Karena titik A dan titik B sama-sama dideskripsikan dengan acuan yang sama yaitu tiitk O, maka posisi titik A terhadap B
A_B = (x_A - x_B, y_A - y_B)
\rightarrow A_B = (5 - (-2), 3-3)
\rightarrow A_B = (7,0)
, ini artinya posisi A menurut B berada di x = 7 dan y = 0 alias 7 langkah ke kanan, dan tidak ada langkah pada arah vertikal.

Kemudian, bagaimana posisi B terhadap A, apakah sama? Jawabannya beda, mari kita lihat
B_A = (x_B - x_A, y_B - y_A)
\rightarrow B_A = (-2 - 5, 3-3)
\rightarrow B_A = (-7,0)
, jadi menurut A, posisi B berada di x = -7 dan y = 0 alias 7 langkah ke kiri, dan tidak ada langkah pada sumbu-y. Sekarang, coba tukang iseng cari, posisi A terhadap C, posisi B terhadap D, dan kombinasi lainnya!

Posisi Terhadap Sumbu-x dan Sumbu-y

Kalau garis adalah sekumpulan titik pada suatu bidang, mengingat titik bisa kita representasikan di sistem koordinat kartesius, garis juga bisa! Tapi bagaimana cara mendeskripsikan posisinya, kan titiknya banyak? Bisa yaitu menggunakan sistem persamaan linear dua variabel, tapi kita gak bakal bahas sekarang.

Yang dimaksud posisi di sini adalah, bagaimana suatu garis memotong, sejajar, dan tegak lurus terhadap sumbu-sumbu pada bidang kartesius, seperti ini.

Tiga garis berada di bidang kartesius

Ingat lagi pada pembahasan tentang garis dan sudut, garis k dianggap memotong sumbu-\text{x} secara tegak lurus dan sejajar dengan sumbu-\text{y}.

Garis l dianggap memotong sumbu-\text{y} secara tegak lurus dan sejajar terhadap sumbu-\text{x}, dan yang terakhir garis m dianggap memotong kedua sumbu yaitu sumbu-\text{x}dan sumbu y.

Label
< Materi SebelumnyaBentuk Aljabar
Search icon