Persamaan Kuadrat

Berapa nilai x yang memenuhi suatu persamaan kuadrat?
Berapa nilai x yang memenuhi suatu persamaan kuadrat?.

Persamaan Kuadrat

Bentuk kuadrat memang sudah disinggung jauh-jauh hari sebelum kita sampai pada pembahasan kali ini, seperti pada pembahasan tentang bentuk aljabar kemudian pembahasan tentang fungsi dan relasi. Dan, sejauh ini kita hanya berurusan dengan bentuk persamaan yang sifatnya linear.

Sekarang, kita akan membahas salah satu persaamaan yang sifatnya tidak linear alias nonlinear, yaitu persamaan kuadrat, apa bedanya? Tentu penyelesaiannya, nah, selaras dengan persamaan linear, misal diketahui ax+b = 0, kita juga tertarik buat nyari tahu x apa yang memenuhi persamaan tersebut.

Ibaratnya seperti suatu bilangan, misal 9 kemudian difaktorkan menjadi 3\times3, pada persamaan kuadrat, kita juga tertarik buat mencari faktor dari suatu persamaan tersebut. Jika pada bilangan, misal angka 20 atau 2^2\times5 dapat difaktor dengan bilangan dengan pangkat yang lebih rendah yaitu dua buah angka 2 dan satu buah angka 5.

Sama seperti itu, pada persamaan kuadrat juga kalau difaktorkan akan disusun oleh persamaan yang pangkatnya lebih rendah, tunggu..., ada yang tahu persamaan yang pangkatnya lebih rendah dari persamaan kuadrat? Tak lain persamaan tersebut merupakan persamaan linear. Sehingga, suatu persamaan kuadrat dapat difaktorkan mejadi persamaan linear.

Pemfaktoran

Jika bentuk umum dari suatu persamaan kuadrat, ax^2+bx+c=0, dan bentuk umum dari persamaan linear, dx+f=0, di sini kita tertarik untuk mengetahui faktor dari persamaan kuadrat tersebut sehingga

ax^2+bx+c=0
\rightarrow (dx+f)(gx+h)=0

, kurang lebih seperti itu tujuan utama dari proses pemfaktoran ini.

Lantas bagaimana caranya? Sekarang coba kita bergerak mundur alias anggap aja kita udah punya faktornya seperti sebelumnya yaitu dx+f dan gx+h, kemudian coba kita kalikan keduanya

Perkalian dua faktor dari persamaan kuadrat
(dx+f)(gx+h)=0
\rightarrow dgx^2+dhx+fgx +fh = 0
\rightarrow dgx^2+(dh+fg)x +fh = 0

, nah sekarang coba kita cocokan dengan bentuk umum persamaan kuadrat.

Apabila kita cocokan maka, a = dg karena sama-sama koefisien dari variabel x^2 intinya berada di suku yang sama, kemudian b = dh+fg karena sama-sama merupakan koefisien dari x, dan yang terakhir c = fh karena sama-sama merupakan suatu konstanta.

Memang terlihat sulit, hubungannya, namun pembahasan kita akan dibatasi secara khusus sehingga d=g=1, dan hubungan-hubungan sebelumnya menjadi a=1, b = f+h, dan c=fh. Nah, dari sini kita bisa mengartikannya lebih mudah untuk menentukan faktornya.

Jadi, kalau diartikan secara bahasa, kita perlu menentukan suatu bilangan yaitu f dan h apabila ditambahkan nilainya setara dengan koefisien b, dan apabila dikalikan nilainya setara dengan konstanta c. Kita langsung coba aja, misal kita punya persamaan kuadrat (ingat a=1)

x^2+5x+6=0 .

Mengingat 5 dapat disusun oleh pertambahan dua bilangan yaitu 2 dan 3, 2+3 = 5, dan disamping itu, konstanta 6 juga dapat disusun oleh perkalian dua bilangan tersebut, 2\times3=6. Dengan terpenuhinya kondisi ini, maka kita dapatkan f dan h sebelumnya, sehingga faktornya adalah

(x+2)(x+3)=0

, untuk buktinya, silahkan dikalikan kedua persamaan linear tersebut oleh kalian.

Mungkin ada yang berpikir bahwa, padahal koefisien 5 bisa aja disusun tidak hanya oleh dua bilangan positif, bisa juga seperti 10 + (-5) = 5, 8 + (-3) = 5, -2+7 = 5 dan lainnya. Memang mencari faktor dengan cara seperti ini, benar-benar memerlukan penalaran, dan kalian tentu bisa dengan melakukan banyak latihan, tapi apakah kita menyerah begitu aja?

Perhatikan, kita coba contoh lagi, misal kita punya x^2+2x-15=0, sekarnag kita perhatikan konstantanya, suatu bilangan negatif pada operasi perkalian selalu disusun oleh dua bilangan yang satu positif dan yang satu lagi negatif, ya gak? Tidak mungkin keduanya negatif ataupun positif.

Berangkat dari ide tersebut, maka kita bisa menghilangkan kebingungan kita akan koefisien dari variabel x, ketika konstantanya negatif maka kemungkinan koefisien yang dimaksud disusun oleh dua bilangan positif atau bisa juga dua bilangan negatif.

Pada persamaan tersebut, -15, bisa difaktorkan secara perkalian menjadi -3\times5, 3\times(-5) -1\times15, atau 1\times(-15), kemudian kita periksa satu-satu (atau kalau mau cepat gunakan nalar aja), ternyata pasangan -3 dan 5 sama dengan koefisiennya -3+5 = 2.

Sehingga faktornya adalah

(x-3)(x+5)=0

Akar Persamaan Kuadrat

Pada persamaan ini, kita menyebut solusi x yang memenuhi persamaan ax^2+bx+c=0 sebagai akar persamaan kuadrat. Misal kita punya x^2+x-2=0, coba kita substitusikan untuk x=1

1^2+1-2 = 0
\rightarrow 0 = 0

, terpenuhi, coba untuk x=-2

(-2)^2+-2-2 = 0
\rightarrow 0 = 0

, terpenuhi juga.

Bagiaman caranya untuk menentukan solusi tersebut? Pemfaktoran sebelumnya merupakan salah satu caranya, sekarang coba kita gunakan contoh pemfaktoran yang terakhir, x^2+2x-15=0 menjadi (x-3)(x+5)=0, perhatikan faktornya. Suatu bilangan apabila dikalikan nol berapapun itu pasti akan menghasilkan nol, ya gak?

Begitu juga pada bentuk faktor tersebut (x-3)(x+5)=0, supaya kedua ruasnya nol, maka untuk ruas kirinya, kita bisa pilih salah satu apakah x-3-nya yang nol atau x+5-nya yang nol. Supaya x-3 bernilai nol, maka x-3=0 \rightarrow x=3 adalah salah satu solusinya, buktinya

(3-3)(3+5) = 0
0\cdot8 = 0
0 = 0

, terbukti, sekarang coba kalian tentukan untuk solusi lainnya!

Rumus Kuadratik atau ABC

Ada cara yang lebih pasti tanpa perlu menggunakan nalar kita untuk menentukkan solusinya, yang mana dilakukan ketika kita melakukan pemfaktoran. Dan dengan cara ini kita tidak dibatasi untuk a=1, bisa berapapun bahkan bilangan real, begitu juga untuk b dan c, tidak harus bilangan bulat.

Perhatikan lagi bentuk umum persamaan kuadrat ax^2+bx+c=0

ax^2+bx+c=0\,\,\left(\times\frac{1}{a}\right)
x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0\,\,\,\left(-\frac{c}{a}\right)
x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}\,\,\,\left(+\frac{b^2}{4a^2}\right), manipulasi persamaan
x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}=-\frac{c}{a} +\frac{b^2}{4a^2}

Manipulasi persamaan tersebut dilakukan sehingga, kita punya faktor yang sama, sehingga dapat dibentuk menjadi kuadrat sempurna, kita lanjut di sini aja, biar gak terlalu padet

{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}
x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}}\,\,\,\left(-\frac{b}{a}\right)
x=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}}
x=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{-\frac{c}{a}\cdot\frac{4a}{4a}+\frac{b^2}{4a^2}}
x=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{-\frac{4ac}{4a^2}+\frac{b^2}{4a^2}}

Kita sederhanakan lagi

x=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{\frac{-4ac+b^2}{4a^2}}
x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Mungkin diantara kalian ada yang bertanya kok ada tanda plus minusnya? Gini aja sederhananya, misal kita punya x^2=1, berapa x yang memenuhi persamaan tersebut? Tentu x=1 dan x=-1, atau kalau dari persamaan tersebut

\sqrt{x^2} = \pm\sqrt{1}
x = \pm1 .

Contoh kita gunakan lagi persamaan kuadrat x^2+2x-15=0, di sini a=1, b=2, dan c=-15, kita substitusikan aja variabel-variabel tersebut pada rumus kuadratik ini

x=-\frac{b}{a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\rightarrow x=-\frac{2}{2(1)}\pm\frac{\sqrt{2^2-4(1)(-15)}}{2(1)}
\rightarrow x=-1\pm\frac{\sqrt{64}}{2}
\rightarrow x=-1\pm\frac{8}{2}
\rightarrow x=-1\pm4

, maka akan ada dua kemungkinan yaitu x = -1 -4 = -5 dan yang satu lagi x = -1 +4 = 3, maka solusinya adalah x=-5\cap x=3.

Label
< Materi SebelumnyaPersamaan Garis Lurus
Search icon