Persamaan Kuadrat - Faktor, Akar Kuadrat, Rumus ABC

Penulis: Lintang Erlangga

Diperbarui: February 10th, 2021

Memfaktorkan persamaan kuadrat — Berapa nilai x yang memenuhi suatu persamaan kuadrat?

Inti dari topik pembahasan kali ini yaitu bagaimana mencari solusi x dari persamaan kuadrat.

Persamaan kuadrat sendiri merupakan sebuah persamaan yang salah satu variabel di sukunya tepat berpangkat 2.

Daftar Isi

Persamaan Kuadrat
- Memfaktorkan Persamaan Kuadrat
- Faktornya Adalah Persamaan Linear
Cara Memfaktorkan
- Contoh Soal 1
- Tips Memfaktorkan
Akar Persamaan Kuadrat
Rumus ABC atau Kuadratik
- Penurunan Rumus
  - Kenapa Ada Dua Solusi?
- Contoh Soal 2

Persamaan Kuadrat

Bentuk kuadrat memang sudah disinggung pada materi-materi lainnya sebelum sampai pada pembahasan kali ini.

Seperti pada pembahasan tentang bentuk aljabar, kemudian pembahasan tentang fungsi dan relasi.

Sejauh ini, kita hanya berurusan dengan bentuk persamaan yang sifatnya linear. Yang kalau dibuat grafiknya berbentuk garis lurus.

Sekarang, akan dijelaskan salah satu persamaan yang sifatnya tidak linear, atau biasa disebut nonlinear.

Yaitu persamaan kuadrat, lantas apa perbedaannya? Salah satunya ialah penyelesaiannya.

Nah sejalan dengan persamaan linear, misal diketahui ax + b = 0, kita juga tertarik buat nyari tahu nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat.

Memfaktorkan Persamaan Kuadrat

Konsep penyelesaiannya bisa diibaratkan seperti suatu bilangan, misal angka 9 kemudian difaktorkan menjadi 3 × 3.

Pada persamaan kuadrat, pengen dicari tahu dari suatu persamaan tersebut.

Jika pada bilangan, misal angka 20 dapat difaktor oleh bilangan dengan pangkat yang lebih rendah menjadi 2²×5. Yaitu dua buah angka 2 dan satu buah angka 5.

Faktornya Adalah Persamaan Linear

Sama seperti tadi, pada persamaan kuadrat juga kalau difaktorkan akan disusun oleh persamaan yang pangkatnya lebih rendah.

Tunggu..., ada yang tahu persamaan yang pangkatnya lebih rendah dari persamaan kuadrat?

Tak lain persamaan tersebut merupakan persamaan linear. Jadi, suatu persamaan kuadrat dapat difaktorkan menjadi persamaan linear.

Cara Memfaktorkan

Jika bentuk umum dari suatu persamaan kuadrat adalah:

$ax^2+bx+c=0$

Dan bentuk umum dari persamaan linear merupakan:

$dx+f=0$

Di sini ingin dicari tahu faktor dari persamaan kuadrat tersebut sehingga menjadi perkalian dua persamaan linear:

$\begin{align*}ax^2+bx+c&=0\\ (dx+f)(gx+h)&=0\end{align*}$

Kurang lebih seperti itu tujuan utama dari proses pemfaktoran ini.

Lantas bagaimana caranya? Sekarang coba kita bergerak mundur, alias anggap aja udah punya faktornya tapi belum tahu bentuk kuadratnya:

$\begin{align*}dx+f\\gx+h\end{align*}$

Kemudian coba kalikan keduanya, menggunakan metode seperti berikut:

Perhatikan langkah pada gambar di atas. Setiap suku pada persamaan di sebelah kiri dikalikan dengan setiap suku pada persamaan di kanan.

$\begin{align*}(dx+f)(gx+h)&=0\\dgx^2+dhx+fgx+fh&=0\end{align*}$

Lalu sederhanakan keseluruhan sukunya dengan menyatukan variabel yang sama.

$\rightarrow dgx^2+(dh+fg)x +fh = 0$

Nah sekarang coba dicocokan dengan bentuk umum persamaan kuadrat di atas.

Apabila dicocokkan maka, nilai a = dg karena sama-sama koefisien dari variabel x². Intinya karena berada di suku yang sama.

Kemudian b = dh + fg karena sama-sama merupakan koefisien variabel x. Lalu yang terakhir c = fh karena sama-sama mewakili suku konstanta.

Memang terlihat sulit hubungannya, namun pembahasan sekarang akan dibatasi secara khusus sehingga d = g = 1.

Dan hubungan-hubungan sebelumnya menjadi lebih sederhana, a = 1, b = f + h, dan c = fh.

Nah, dari sini kita bisa mengartikannya lebih mudah untuk menentukan faktornya.

Jadi kalau diartikan secara bahasa, kita perlu menentukan suatu bilangan yaitu f dan h apabila ditambahkan nilainya setara dengan koefisien b.

Kemudian apabila dikalikan, nilainya setara dengan konstanta c.

Contoh Soal 1

Mari langsung dicoba aja biar lebih paham. Misal kita punya persamaan kuadrat (ingat a = 1):

$x^2+5x+6=0$

Ketahui bahwa 5 dapat disusun oleh pertambahan dua bilangan yaitu 2 dan 3, karena 2 + 3 = 5.

Di samping itu, konstanta 6 juga dapat disusun oleh perkalian dua bilangan tersebut, 2 × 3 = 6.

Dengan terpenuhinya kondisi ini, maka kita dapatkan f dan h sebelumnya, sehingga faktornya adalah:

$(x+2)(x+3)=0$

Untuk buktinya, silahkan dikalikan kedua persamaan linear tersebut oleh kalian.

Mungkin ada yang berpikir bahwa, padahal koefisien 5 bisa aja disusun tidak hanya oleh dua bilangan positif.

Bisa juga seperti 10 + (-5) = 5), 8 + (-3) = 5, -2 + 7 = 5, dan lainnya.

Sejatinya mencari faktor dengan cara seperti ini benar-benar memerlukan penalaran.

Untuk itu, jika kalian mau lancar harus melakukan banyak latihan. Tetap semangat aja pokoknya jangan pantang menyerah! (kalimat paling ngebosenin).

Tips Memfaktorkan

Perhatikan, sekarang akan dicoba contoh lainnya, misal persamaan kuadratnya adalah:

$x^2+2x-15=0$

Lalu coba amati konstantanya. Suatu bilangan negatif pada operasi perkalian selalu disusun oleh dua bilangan yang satu positif dan satu laginya negatif, ya gak?

Tidak mungkin keduanya negatif ataupun positif.

Berangkat dari ide tersebut, maka kita bisa menghilangkan kebingungan akan koefisien dari variabel x.

Saat konstantanya positif maka kemungkinan koefisien yang dimaksud disusun oleh dua bilangan positif, atau bisa juga dua bilangan negatif.

Pada persamaan tersebut, -15 bisa difaktorkan secara perkalian menjadi -3 × 5, 3 × (-5), -1 × 15, atau 1 × (-15).

Kemudian periksa satu-satu (atau kalau mau cepat gunakan nalar aja). Ternyata pasangan -3 dan 5 apabila dijumlahkan bernilai sama dengan koefisiennya, -3 + 5 = 2.

Sehingga faktornya adalah:

$(x-3)(x+5)=0$

Dari fakta sederhana mengenai perkalian yang menghasilkan bilangan negatif dapat meminimalisir waktu pengerjaan.

Karena dapat disingkirkan kemungkinan solusi yang melibatkan bilangan dengan tanda sama.

Akar Persamaan Kuadrat

Pada persamaan ini, kita menyebut solusi x yang memenuhi persamaan ax² + bx + c = 0 sebagai akar persamaan kuadrat.

Misal kita punya persamaan berupa x² + x -2 = 0, coba disubstitusikan untuk x = 1.

$1^2+1-2 = 0$

$\rightarrow 0 = 0$

Ternyata kesamaan kedua ruas terpenuhi, coba substitusikan juga untuk x = -2.

$(-2)^2+-2-2 = 0$

$\rightarrow 0 = 0$

Dan hasilnya terpenuhi juga.

Bagaimana caranya untuk menentukan solusi tersebut? Pemfaktoran sebelumnya merupakan salah satu caranya.

Sekarang coba kita gunakan contoh pemfaktoran yang terakhir, x² + 2x - 15 = 0 menjadi (x - 3)(x + 5) = 0, amati faktornya.

Suatu bilangan apabila dikalikan nol berapapun itu pasti akan menghasilkan nol, betul kan?

Begitu juga pada bentuk faktor tersebut (x - 3)(x + 5) = 0. Agar kedua ruasnya nol, maka untuk ruas kirinya, bisa dpilih salah satu kondisi.

Apakah ekspresi (x - 3)-nya yang nol atau (x + 5)-nya yang bernilai nol.

Supaya faktor (x - 3) bernilai nol, maka haruslah (x - 3) = 0. Menyebabkan x = 3, dan ini adalah salah satu solusinya, buktinya:

$\begin{align*}(3-3)(3+5)&=0\\0\cdot8&=0\\0&=0\end{align*}$

Terbukti sudah, nah sekarang coba kalian tentukan untuk solusi lainnya!

Rumus ABC atau Kuadratik

Ada cara yang lebih pasti tanpa perlu menggunakan nalar kita untuk menentukkan solusinya. Tidak seperti yang dilakukan ketika melakukan pemfaktoran tadi.

Menggunakan cara ini kesulitannya tidak dibatasi, sebab koefisien a ≠ 1, alias bisa berapapun bahkan bilangan real.

Begitu juga untuk koefisien b beserta c, tidak harus bilangan bulat.

Penurunan Rumus

Perhatikan lagi bentuk umum persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0. Coba kalikan kedua ruas dengan skalar 1/a:

$\begin{align*}ax^2+bx+c&=0\,\,\left(\times\frac{1}{a}\right)\\x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}&=0\,\,\,\left(-\frac{c}{a}\right)\end{align*}$

$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}\,\,\,\left(+\frac{b^2}{4a^2}\right)$

Lakukan sedikit manipulasi persamaan:

$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}=-\frac{c}{a} +\frac{b^2}{4a^2}$

Manipulasi persamaan tersebut dilakukan sehingga mempunyai faktor yang sama, alhasil dapat dibentuk menjadi kuadrat sempurna.

Kita lanjut di sini aja, biar gak terlalu padet.

$\begin{align*}{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2&=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}\\x+\frac{b}{2a}&=\pm\sqrt{-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}}\,\,\,\left(-\frac{b}{a}\right)\end{align*}$

$\begin{align*}x&=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}}\\x&=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{-\frac{c}{a}\cdot\frac{4a}{4a}+\frac{b^2}{4a^2}}\end{align*}$