Irisan Kerucut - Lingkaran, Elips, Parabola, Hiperbola

Dipublikasi: October 25th, 2021

Materi irisan kerucut lengkap — Mengenal kurva-kurva pada irisan kerucut.

Sesuai namanya, irisan kerucut, di sini kalian bakal mempelajari bentuk-bentuk kurva hasil dari potongan pada bangun kerucut.

Kurva-kurvanya merupakan bentuk selimut kerucut (dilihat dari atas) yang dipotong oleh bidang datar.

Bisa dibayangkan seperti kalian sedang memotong buah secara lurus tanpa berbelok sedikit pun.

Daftar Isi

Irisan Kerucut

Berdasarkan arah potongnya, menyebabkan munculnya 4 macam kurva yang berbeda-beda. Keempat kurva tersebut ialah:

Lingkaran
Elips
Parabola
Hiperbola

Hasil dari variasi arah bidang irisan sebelumnya, kurva-kurvanya dapat dibedakan melalui tiga parameter, yaitu titik fokus, direktris, serta eksentrisitas.

Jadi, kurva-kurva tadi sejatinya diparametrisasi oleh hal yang sama, hanya saja nilainya berbeda-beda.

Fokus

Kalau dijelaskan definisi langsung apa maksud dari fokus dan direktris, nampaknya bakal sedikit merepotkan.

Untuk fokus sendiri masih bisa dijelaskan secara sederhana. Yakni titik di mana jika kurva tersebut diibaratkan sebuah cermin, maka pantulan cahayanya berkumpul menuju titik tersebut.

Direktris

Lalu untuk memahami direktris, kita memerlukan bantuan konsep bernama bola Dandelin untuk mengartikan titiknya.

Bola Dandelin itu intinya bola terbesar yang berada di dalam kerucut dan dibatasi oleh bidang potong sebelumnya.

Letak direktris sendiri berada di titik potong antara bidang di mana bola menyentuh kerucut dengan bidang irisannya.

Titik fokus bisa juga dijelaskan melalui bola ini, yaitu letak di mana bidang potong bertemu dengan bolanya.

Persamaan Umum Kurva

Nah dari fakta tersebut, sangat masuk akal bukan kalau keempat kurva tadi mampu diwakilkan oleh suatu persamaan umum.

Yakni sebuah persamaan yang mampu merepresentasikan keempatnya.

Sehubung ini semua merupakan kurva, artinya persamaannya maksimal mempunyai suku yang memuat variabel dengan pangkat dua.

Persamaan umum dari irisan kerucut merupakan:

$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$

Sehingga berikutnya, keempat kurvanya bakal dipresentasikan oleh variasi suku-suku persamaan umum ini.

Eksentrisitas

Di samping perbedaan pada parameter fokus, direktris, dan eksentrisitasnya, keempat kurva tersebut juga mempunyai kesamaan.

Yakni titik-titik yang dilalui kurva, jaraknya terhadap fokus dibanding jaraknya terhadap direktris nilainya sama dengan eksentrisitasnya.

Eksentrisitas merupakan rasio antara jarak titik pada kurva terhadap fokus dan direktrisnya.

Klasifikasi kurva berdasarkan eksentrisitasnya:

Eksentrisitas (e)	Kurva
0	Lingkaran
> 0 ∩ < 1	Elips
1	Parabola
> 1	Hiperbola

Catatan: Eksentrisitas tidak pernah bernilai negatif, mengingat jarak merupakan besaran non-negatif.

Lingkaran

Lingkaran merupakan kurva yang persamaannya relatif mudah di antara lainnya.

Bentuknya dicapai dengan memotong kerucut oleh bidang yang tegak lurus terhadap sumbu yang sejajar terhadap "tinggi" kurva.

Apabila berbicara tiga parameter kurva di awal, letak titik direktris pada lingkaran berada di titik nan jauh di sana (tak hingga). Menyebabkan besar eksentrisitasnya bernilai nol.

Sedangkan letak fokusnya berhimpit dengan titik pusatnya.

Persamaan Lingkaran

Secara umum, persamaan lingkaran yaitu:

$\boxed{(x-x_p)^2+(y-y_p)^2=r^2}$

Keterangan variabelnya:

(x_p, y_p) merupakan titik pusat lingkaran.
r adalah panjang jari-jari.

Kerap kali, wujud persamaannya dalam bentuk hasil pemfaktorannya, seperti berikut:

$x^2+y^2+Ax+By+C=0$

Guna mendapatkan titik pusat serta jari-jarinya, kita tidak perlu repot-repot memfaktorkannya. Cukup hitung hasil persamaan lingkaran di awal, kemudian cocokkan dengan persamaan sebelumnya.

$\begin{align*}(x-x_p)^2+(y-y_p)^2=r^2\\x^2+y^2-2x_px-2y_py+x_p^2+y_p^2-r^2=0\end{align*}$

Dari situ, apabila dicocokkan A = -2x_p, B = -2y_p, dan C = x_p² + y_p² - r², maka titik pusat beserta jari-jarinya adalah:

$\begin{align*}(x_p,y_p)=(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B)\\r=\sqrt{\frac{1}{4}A^2+\frac{1}{4}B^2-C}\end{align*}$

Menentukan Posisi Titik Terhadap Lingkaran

Praktisnya, sebuah lingkaran itu setiap titiknya berjarak sebesar panjang jari-jarinya. Sehingga persamaannya menyerupai perhitungan jarak menggunakan teorema Pythagoras.

Apa jadinya ketika tanda persamaannya tidak terpenuhi? Bisa dipastikan kalau titik tersebut tidak terletak di lingkaran.

Akan ada dua kondisi, yaitu:

(x - x_p)² + (y - y_p)² > r², titik berada di luar lingkaran.
(x - x_p)² + (y - y_p)² < r², titik terletak di dalam lingkaran.

Garis Singgung Lingkaran

Garis singgung dari sebuah lingkaran bisa diketahui berdasarkan fakta bahwa gradiennya tegak lurus terhadap arah radial pada suatu titik.

Misalnya diketauhi titik (x₁, y₁) dan m₁ · m₂ = -1. Gradien pada lokasi tersebut ialah:

$m=-\frac{1}{(y_1-y_p)/(x_1-x_p)}=-\frac{x_1-x_p}{y_1-y_p}$

Demikian garis singgungnya adalah:

$\begin{align*}y-y_1&=m(x-x_1)\\y-y_1&=-\frac{x_1-x_p}{y_1-y_p}(x-x_1)\\ (x-x_1)(x_1-x_p)+(y-y_1)(y_1-y_p)&=0\end{align*}$

Atau kalau mau melibatkan jari-jarinya bisa dimanipulasi menjadi:

$\boxed{(x-x_p)(x_1-x_p)+(y-y_p)(y_1-y_p)=r^2}$

Bagaimana jika yang diketahui berupa gradiennya, m?

Perhatikan bahwa gradien disetiap titik pada lingkaran yakni m = (y - y_p)/(x - x_p).

Substitusikan persamaan tersebut sehingga titik pada lingkaran dengan gradien m berada di:

$\begin{align*}(x-x_p)^2+(y-y_p)^2=r^2&\rightarrow x=a\pm\frac{mr}{\sqrt{1+m^2}}\\&\rightarrow y=b\pm\frac{r}{\sqrt{1+m^2}}\end{align*}$

Anggap letak titik pada lingkaran adalah (x₁, y₁), substitusikan ke dalam persamaan garis secara umum:

$y-\left(b\pm\frac{r}{\sqrt{1+m^2}}\right)=m\left(x-\left(a\pm\frac{mr}{\sqrt{1+m^2}}\right)\right)$

Operasikan kedua ruas, lalu kalikan dengan akar sekawan penyebut akarnya, didapat rumusnya:

$\boxed{(y-y_p)=m(x-x_p)\pm\sqrt{1+m^2}}$

Mengapa muncul tanda plus-minus? Alasan utamanya adalah karena bentuk lingkaran yang simetris terhadap titik pusatnya.

Sehingga ada dua garis singgung yang mempunyai gradien tersebut.

Elips

Elips dicapai bentuknya dengan cara memotong kerucut pada arah tertentu sehingga bidang potongnya tidak menyentuh alasnya. Hanya bagian selimutnya saja.

Persamaan Elips

Sekarang, coba bayangin ada elips dengan titik fokus berada di (ae, 0) dan letak direktrisnya di x = a/e.

Memanfaatkan definisi fokus dan direktrisnya, maka perbandingan jarak titik pada elips terhadap fokus dan direktrisnya haruslah kurang dari 1.

Dengan kata lain eksentrisitasnya selalu kurang dari 1, tapi lebih besar dari 0 (0 < e < 1).

Demikian:

$\begin{align*}\frac{\sqrt{(x-ae)^2+(y-0)^2}}{x-a/e}&=e\\x^2+2aex+(ae)^2+y^2&=e^2(x^2+2(a/e)x+(a/e)^2\end{align*}$

Setelah dilakukan operasi pada tiap ruasnya dan menganggap bahwa b² = a²(1 - e²) (karena ruas kanan selalu positif), diperoleh:

$\boxed{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}$

Apabila titik pusatnya sembarang, maka perlu dilakukan translasi:

$\boxed{\frac{(x-x_p)^2}{a^2}+\frac{(y-y_p)^2}{b^2}=1}$

Mirip Lingkaran

Sekilas persamaannya mirip dengan lingkaran, karena sejatinya elips bisa dianggap sebagai lingkaran terdistorsi.

Ibaratnya seperti ada sebuah faktor atau skala pada salah satu ataupun kedua koordinatnya.

Maksudnya gini, coba perhatikan saat a = b ≠ 0, amati bahwa tak lain persamaannya berubah menjadi persamaan lingkaran.

Elips Horisontal dan Vertikal

Perbedaan antara nilai a dan b menentukan jenis elipsnya. Jika a > b kurvanya disebut sebagai elips horisontal (lonjong ke samping).

Kemudian sebaliknya kalau a < b, bentuknya seperti lonjong ke arah atas-bawah, kurvanya dinamakan elips vertikal.

Sumbu Mayor dan Minor

Sumbu yang mewakili bagian terpanjang elips dinamakan sumbu mayor, sedangkan yang pendek diberi nama sumbu minor.

Panjang sumbu mayor dapat dihitung pada titik terjauhnya. Apabila a > b, titik terjauhnya berada saat y = 0, sehingga x = a.

Oleh karena itu, panjang sumbu mayornya adalah 2a.

Dengan konsep serupa, dapat juga ditemukan panjang sumbu minornya, yaitu 2b (jika a > b).

Fokus, Direktris, dan Eksentrisitas Elips

Selanjutnya, akan dicari letak titik fokusnya. Konsep eksentrisitas masih digunakan untuk menemukan letaknya.

Paling sederhana digunakan titik yang simetris terhadap jarak kedua fokus, yakni di b. Anggap fokusnya berada di c:

$\begin{align*}&e=\frac{\sqrt{b^2+c^2}}{d}=\frac{\sqrt{b^2+c^2}}{a/e}\\&\boxed{c=\sqrt{a^2-b^2}}\end{align*}$

Karena elips mempunyai dua fokus, satu laginya berada di -c.

Dari sini, maka dua parameter lainnya mampu dicari dengan mudah. Direktrisnya berada di (-a²/c, 0) dan (a²/c, 0), lalu eksentrisitasnya e = c/a.

Satu istilah lagi yaitu latus rectum, yakni merupakan segmen garis yang sejajar terhadap direktris serta melalui titik fokus.

Jika panjang latus rectum adalah l, besarnya adalah:

$\begin{align*}e=\frac{\overline{PF}}{\overline{PD}}&=\frac{l/2}{a^2/c-c}\\&\boxed{l=\frac{2b^2}{a}}\end{align*}$

Garis Singgung Elips

Pada elips, gradiennya gak selalu sama disetiap kurvanya, maka dari itu perlu dihitung oleh turunan.

$\begin{align*}\frac{d}{dx}\left(\frac{(x-x_p)^2}{a^2}\right)+\frac{d}{dx}\left(\frac{(y-y_p)^2}{b^2}\right)&=\frac{d(1)}{dx}\\\frac{dy}{dx}&=-\frac{b^2(x_1-x_p)}{a^2(y_1-y_p)}\end{align*}$

Masukkan gradien tersebut ke dalam persamaan garis linear y - y₁ = m(x - x₁):

$\begin{align*}&\frac{(x_1-x_p)(x-x_1)}{a^2}+\frac{(y-y_1)(y_1-y_p)}{b^2}=0\\&\text{atau}\\&\frac{(x-x_p)(x_1-x_p)}{a^2}+\frac{(y-y_p)(y_1-y_p)}{b^2}=1\end{align*}$

Biasanya orang lebih familiar dengan bentuk kedua (bawah).

Bila sudah ditentukan nilai gradiennya, m, tentukan titik mana yang mempunyai gradien tersebut:

$\begin{align*}x_1&=x_p\pm\frac{(ma)^2}{\sqrt{(ma)^2+b^2}}\\y_1&=y_p\pm\frac{b^2}{\sqrt{(ma)^2+b^2}}\end{align*}$

Catatan: Titik tersebut didapat dengan mensubstitusikan hubungan antara x, y, dan m yang diperoleh sebelumnya.

Maka dari itu persamaan garisnya adalah:

$y-\left(y_p\pm\frac{b^2}{\sqrt{(ma)^2+b^2}}\right)=m\left(x-\left(x_p\pm\frac{(ma)^2}{\sqrt{(ma)^2+b^2}}\right)\right)$

Sederhanakan bentuknya sehingga menjadi:

$\boxed{(y-y_p)=m(x-x_p)\pm\sqrt{(ma)^2+b^2}}$

Parabola

Wujud parabola dicapai saat bidang yang memotong kerucut melalui selimut hingga menyentuh alasnya.

Berikutnya untuk kurva parabola, bakal digunakan juga definisi fokus dan direktrisnya.

Pada parabola, perbandingan antara titik pada kurvanya terhadap fokus dan direktrisnya tepat bernilai 1, e = 1.

Persamaan Parabola

Misalkan titik sembarang pada kurvanya adalah (x, y), letak fokusnya di (0, a), serta direktrisnya berada di y = -a.

Artinya:

$\begin{align*}\frac{\sqrt{(x-0)^2+(y-a)^2}}{y-(-a)}&=1\\x^2+(y-a)^2&=(y+a)^2\end{align*}$

Lakukan operasi pada kedua ruas sehingga menyisakan y di salah satu sisi didapat:

$\boxed{y=\frac{x^2}{4a}}$

Kalau letak pusatnya tidak berada di titik awal (origin), tinggal dilakukan translasi menuju pusat barunya, misal (x_p, y_p):

$\boxed{y-y_p=\frac{(x-x_p)^2}{4a}}$

Persamaan sebelumnya mewakili parabola vertikal, maksudnya cekungannya mengarah ke atas (bisa juga bawah).

Ada pula parabola horisontal di mana cekungannya mengarah ke samping, berikut persamaannya:

$\boxed{x-x_p=\frac{(y-y_p)^2}{4a}}$

Fokus, Direktris, dan Eksentrisitas Parabola

Karena fokus beserta direktrisnya saat di awal diatur di (0, a) dan x = -a secara berturut-turut, demikian bisa langsung ditemtukan letaknya dari persamaan parabola.

Garis Singgung Parabola

Seperti biasa, cari gradien pada salah satu titik sembarang pada parabola:

$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\left(\frac{(x-x_p)^2}{4a}+y_p\right)=\frac{x-x_p}{2a}$

Garis singgung pada parabola adalah:

$\begin{align*}y-y_1&=\frac{x_1-x_p}{2a}(x-x_1)\\y&=\frac{(x_1-x_p)(x-x_1)}{2a}+y_1\end{align*}$

Umumnya orang lebih mengenalnya dengan bentuk (sama aja sebenarnya):

$\boxed{2a(y+y_1-2y_p)=(x_1-x_p)(x-x_p)}$

Kalau diketahui gradien m-nya, cari dulu letaknya di mana.

$\begin{align*}&\frac{dy}{dx}=m=\frac{x-x_p}{2a}\\&\rightarrow x_1-x_p=2ma\\&\rightarrow y_1-y_p=\frac{(x_1-x_p)^2}{4a}=m^2a\end{align*}$

Sehingga persamaan garis singgungnya terhadap parabola ialah:

$\begin{align*}y-y_1=m(x-x_1)\\\boxed{y-y_p=m(x-x_p)-m^2a}\end{align*}$

Hiperbola

Bentuk hiperbola bisa diperoleh dengan memotong kerucut dengan arah sejajar dengan tingginya.

Dari hasil irisannya muncul dua buah kurva yang identik namun saling berlawanan arah.

Untuk hiperbola, rasio jarak pada salah satu titiknya dengan fokus dan direktris selalu lebih dari 1, e > 1.

Persamaan Hiperbola

Mirip dengan elips, asumsikan fokusnya (ae, 0) dan direktrisnya x = ae, oleh karena itu:

$\begin{align*}\frac{\sqrt{(x-ae)^2+(y-0)^2}}{x-a/e}&=e\\ (x+ae)^2+y^2&=e^2(x+a/e)^2\end{align*}$

Karena eksentrisitasnya lebih dari 1, maka akan diasumsikan b² = -a²(1 - e²), sehingga kedua ruas terpenuhi (sama-sama positif). Demikian persamaan hiperbola adalah:

$\boxed{\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1}$

Seandainya titik pusatnya bukan berada di O(0, 0):

$\boxed{\frac{(x-x_p)^2}{a^2}-\frac{(y-y_p)^2}{b^2}=1}$

Serupa dengan parabola, hiperbola juga ada yang horisontal dan vertikal.

Persamaan sebelumnya mewakili hiperbola horisontal, apabila a > b. Jika sebaliknya, a < b, maka persamaannya merepresentasikan hiperbola vertikal.

Fokus, Direktris, dan Eksentrisitas Hiperbola

Mengacu pada persamaan hiperbola dengan pusat (0, 0), misalkan fokusnya di c. Kemudian dipilih titik pada hiperbola saat x = c, sehingga diperoleh hubungan:

$\begin{align*}e&=\frac{b\sqrt{(c/a)^-1}}{c-(a/e)}\\ (ce)-a&=b\sqrt{(c/a)^2-1}\end{align*}$

Karena c = ae, substitusikan e lalu dilanjutkan dengan mengoperasikan kedua ruas.

Demikian untuk hiperbola parameter-parameternya adalah:

Fokusnya adalah c = a² + b², satu laginya berada di -c (sebab terdapat dua hiperbola).
Direktrisnya x = a²/c.
Eksentrisitasnya sebesar e = c/a.
Latus rektumnya memiliki panjang l = 2b²/a

Kebetulan telah dihitung nilai y saat x = c, sehingga panjang latus rektum sekalian dihitung, yang merupakan dua kalinya.

Garis Singgung Hiperbola

Coba perhatikan bentuk persamaan hiperbola, wujudnya bener-bener mirip dengan elips.

Perbedaannya hanya pada tanda pada salah satu sukunya, yakni ada yang negatif.

Jadi secara keseluruhan cara menentukan persamaan garis singgungnya serupa seperti pada elips.

Garis singgung jika diketahui (x₁, y₁):

$\frac{(x-x_p)(x_1-x_p)}{a^2}-\frac{(y-y_p)(y_1-y_p)}{b^2}=1$

Garis singgung bila diketahui gradien m:

$(y-y_p)=m(x-x_p)\pm\sqrt{(ma)^2-b^2}$

Asimtot

Pada dasarnya, asimtot ini bisa dibilang sebuah garis yang digunakan sebagai aproksimasi dari hiperbola.

Mengapa bisa begitu, karena karakteristik hiperbola semakin "jauh" nilai x-nya semakin mirip seperti garis.

Coba persamaan hiperbolanya dirubah menjadi bentuk ekspilisit seperti ini:

$y=\pm b\sqrt{\frac{x^2}{a^2}-1}=\pm\frac{bx}{a}\sqrt{1-\frac{a^2}{x^2}}$

Kemudian saat x menjauh dari pusatnya, x → ∞, bentuk di dalam akar bakal mendekati satu nilainya, sehingga menjadi:

$\boxed{y=\pm\frac{b}{a}}$