Lingkaran - Unsur-Unsur Penyusunnya

Pembahasan lengkap mengenai konsep lingkaran
Apa saja unsur-unsur yang ada pada lingkaran?

Sebagai pemanasan, coba jawab pertanyaan ini, lingkaran itu mempunyai berapa sisi dan sudut sih? Meskipun di antara teman-teman ada yang belum tahu, coba tebak berapa!

Daftar Isi

Lingkaran

Kalau kita membahas tentang lingkaran, mungkin bisa jadi perdebatan panjang nih. Mari diingat lagi materi tentang bangun datar.

Kita paham bahwa segitiga mempunyai 3 sisi dan 3 sudut, kemudian kita juga sepakat bahwa segiempat mempunyai 4 sisi dan 4 sudut.

Kemudian bagaimana kalau kita punya 5 sisi dan sudut? Terus bagaimana dengan 9 sisi serta sudut, dan seterusnya hingga n sisi dan sudut?

Apa jadinya ketika n tersebut mendekati tak berhingga atau ∞? Apakah ini mengartikan kalau lingkaran ialah bangun dengan jumlah sisi dan sudut yang tak berhingga?

Bangun segi 5, segi 9, dan segi n

Hanya Satu Sisi

Nah sekarang, coba kita potong suatu lingkaran ibaratnya seperi kue yang dipotong saat ulang tahun. Sehingga, wujud lingkarannya menjadi seperti di bawah ini.

Lalu kita anggap garis melengkung mulus yang membentuk lingkaran merupakan susunan dari jumlah sisi yang tak berhingga.

Lingkaran terpotong dan potongannya

Seharusnya, kalau asumsi sebelumnya berlaku, semuanya sepakat bahwa lingkaran terpotong sebelumnya mempunyai jumlah sisi ∞ + 1 + 1 = ∞.

Alias jumlahnya masih tak berhingga, namun nalar kita akan mengatakan bahwa jumlahnya ada tiga sisi, ya gak?

Nah, daripada kita bingung-bingung, mending sepakat aja kalau lingkaran cuman punya 1 sisi saja. Seperti yang sudah disepakati banyak orang.

Kapan Garis Dianggap Sebagai Sisi?

Sebenarnya, contoh di atas mempertegas kapan suatu garis dianggap sebagai sisi dari sebuah bangun.

Yaitu, jika garis yang dimaksud tidak membentuk suatu patahan.

Jadi, sekalipun kalian ngebayangin segitiga yang punya sisinya melengkung, selagi sisi tersebut tetap mulus, maka bangun tersebut masih mempunyai 3 sisi.

Tidak Mempunyai Sudut

Mungkin kalian ada yang bertanya, bagaimana dengan jumlah sudutnya?

Dengan asumsi lingkaran adalah bangun satu sisi, dan kita telah mempelajari tentang garis dan sudut. Tentu kita sepakat bahwa lingkaran tidak mempunyai sudut. Karena sudut perlu dibentuk oleh dua sisi.

Unsur-Unsur Lingkaran

Pada bangun ini, bakal ditemui beberapa istilah-istilah yang menjadi bekal kalian untuk berurusan dengan lingkaran, seperti pada gambar di bawah ini.

Unsur-unsur lingkaran berupa garis

Busur

Suatu "garis melengkung" atau yang kerap disebut sebagai kurva yang berhimpit dengan lingkaran disebut sebagai busur. Busur ini dikategorikan lagi berdasarkan besar sudut yang dibentuk.

Jika sudut yang dibentuk lebih besar dari 180° atau > 180°, busur tersebut dinamakan sebagai busur mayor.

Apabila kurang dari 180° atau < 180°, busur tersebut dinamakan sebagai busur minor.

Jari-Jari dan Diameter

Kemudian, ada pula suatu segmen garis yang menghubungkan sisi lingkaran dengan titik pusatnya (titik tengah). Hal tersebut dinamakan sebagai jari-jari.

Untuk segmen garis lurus yang menghubungkan antara titik pada sisi lingkaran dengan titik lainnya melalui titik pusatnya, hal tersebut dinamakan sebagai diameter.

Mungkin setelah mengetahui apa itu jari-jari dan apa itu diameter, kita paham kalau panjang diameter merupakan dua kali dari panjang jari-jari lingkaran.

Apabila jari-jari lingkaran adalah r, maka diameternya adalah d = 2r.

Tali Busur

Ada pula konsep yang lebih umum dari diameter, yaitu tali busur. Yang merupakan segmen garis lurus yang menghubungkan dua titik pada sisi lingkaran, namun tidak harus melalui titik pusatnya.

Mungkin dari konsep ini, kalian ada yang berpikir bahwa, tali busur bisa saja menjadi diameter, namun diameter belum tentu merupakan tali busur. Kalian benar!.

Apabila sebuah tali busur melalui titik pusat, maka tak lain itu adalah diameter lingkaran.

Apotema

Lanjut, untuk suatu segmen garis lurus yang menghubungkan titik pusat dengan tali busur secara tegak lurus, hal tersebut dinamakan sebagai apotema.

Juring dan Tembereng

Nah, kalau sejauh ini kita melihat unsur-unsur pada lingkaran berdasarkan suatu garis, unsur-unsur lainnya juga ada berdasarkan luasan.

Suatu luasan yang dibatasi oleh dua jari-jari dan satu busur lingkaran disebut sebagai juring.

Sedangkan luasan yang dibatasi oleh satu tali busur dan satu busur lingkaran disebut sebagai tembereng.

Unsur-unsur lingkaran berupa luasan

Sudut Keliling dan Sudut Pusat

Mengingat kita setuju bahwa lingkaran tidak memiliki sudut, karena hanya ada satu sisi. Maka kita butuh bantuan dua garis lain guna membentuk suatu sudut.

Oleh karena itu akan digunakan dua tali busur, atapun dua segmen garis yang membentuk jari-jari.

Sudut yang dibentuk oleh dua tali busur yang terhubung di salah satu titik pada sisi lingkaran disebut sebagai sudut keliling.

Sedangkan sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari disebut sebagai sudut pusat.

Sudut keliling dan sudut pusat

Hubungan Keduanya

Pertanyaannya adakah hubungan antara kedua sudut tersebut? Coba perhatikan lingkaran nomor dua pada gambar sebelumnya.

Segitiga △AOB merupakan segitiga sama kaki yang panjang sisinya sebesar jari-jari lingkaran, setuju ya? Begitu juga untuk segitiga △BOC.

Kita juga sudah tahu bahwa, ada dua sudut yang bernilai sama pada segitiga sama kaki. Untuk segitiga △AOB kita wakili dengan variabel α, dan untuk segitiga △BOC kita sebut sebagai β.

Ingat pula, jumlah ketiga sudut pada suatu segitiga mempunyai besar 180°.

Artinya, untuk segitiga △AOB:

\alpha+\alpha+\angle AOB = 180^{\circ}
2\alpha+\angle AOB = 180^{\circ}
\angle AOB = 180^{\circ} - 2\alpha

Sedangkan untuk segitiga △BOC:

\beta+\beta+\angle BOC = 180^{\circ}
2\beta+\angle BOC = 180^{\circ}
\angle BOC = 180^{\circ} - 2\beta

Dengan garis bantuan berupa garis \overline{DO}, maka kita punya sudut lain, yaitu sudut ∠AOD dan ∠COD.

Dengan mengandalkan sifat-sifat sudut pada pembahasan garis dan sudut, didapat besar ∠AOD:

\angle AOD = 180^{\circ} - \angle AOB
\angle AOD = 180^{\circ} - (180^{\circ} - 2\alpha) = 2\alpha

Begitu pula untuk ∠COD:

\angle COD = 180^{\circ} - \angle BOC
\angle COD = 180^{\circ} - (180^{\circ} - 2\beta) = 2\beta

Nah, dari sini kita melihat bahwa sudut pusat atau ∠AOC memiliki besar (2α + 2β). Sedangkan sudut keliling atau ∠ABC memiliki besar (α + β), artinya:

\text{S. Pusat} = 2\alpha+2\beta
\text{S. Pusat} = 2(\alpha+\beta)
\text{S. Pusat} = 2\cdot\text{S. Keliling}
Besar sudut pusat adalah dua kali lipat dari besar sudut keliling.
Rumus sudut pusat dan keliling

Luas dan Keliling Lingkaran

Bagi yang sudah belajar materi mengenai geometri dasar pada pembahasan segitiga dan segiempat, seharusnya teman-teman paham akan satu hal.

Yakni mayoritas besar luas dari bangun tersebut ditentukan oleh dua konsep sederhana.

Yaitu konsep mengenai dua sisi yaitu panjang dan lebar yang saling tegak lurus. Bisa itu dua sisi pada persegi, alas dan tinggi pada segitiga dan jajar genjang. Trapesium juga sejatinya dari konsep mengenai panjang dan lebar juga.

Rumus Keliling Lingkaran

Nah, sekarang bagaimana dengan lingkaran, bisakah kita gunakan konsep itu juga?

Tentu lingkaran juga bisa didekati dengan konsep ini. Kita gak bakal bahas ini lebih lanjut, karena bakal ribet. Tapi yang jelas, untuk keliling suatu lingkaran adalah:

K = 2\pi r

Catatan: r adalah jari-jari dari lingkaran.

Rumus Luas Lingkaran

Untuk luas lingkaran, seperti yang tadi disebutkan, yaitu menggunakan konsep panjang dan lebar.

Di mana lebarnya adalah r alias jari-jari si lingkaran, sedangkan panjangnya adalah setengah dari keliling lingkaran. Sehingga luas lingkaran adalah:

A = \frac{K}{2}\times r
A = \frac{2\pi r}{2}r
A = \pi r^2

Intinya, lingkaran ini diilustrasikan merupakan susunan dari segitiga yang disusun secara mengeliling.

Tapi lebar alas segitiganya dibuat sampe kecil banget, sampai bentuk segitiganya tipis, hampir menyerupai batang lidi.

Rumus keliling dan luas lingkaran

Konstanta Pi

Berdasarkan dua rumus tadi, kalian melihat sebuah konstanta yang disebut pi (π). Besar konstanta pi adalah 3.141592653..., konstanta ini tidak mempunyai ujungnya.

Konstanta pi merupakan bilangan transenden. Maksudnya begini, kalian kalau pernah belajar persamaan kuadrat pasti tahu dong istilah akar sebuah persamaan.

Nah bilangan transenden itu gak mungkin menjadi akar dari persamaan dengan pangkat berapapun (polinomial).

Konstanta π nilainya setara dengan keliling lingkaran dibagi diameternya.

\frac{K}{d} = \frac{2\pi r}{2 r} = \pi
Label

Komentar

Search icon