Lingkaran

Apa aja sih unsur-unsur yang ada pada lingkaran?
Apa aja sih unsur-unsur yang ada pada lingkaran?.

Lingkaran

Kalau kita membahas tentang lingkaran, mungkin bisa jadi perdebatan panjang nih, coba kita ingat lagi tentang bangun-bangun datar. Kita paham bahwa segitiga mempunyai 3 sisi dan 3 sudut, kemudian kita juga sepakat bahwa segiempat mempunyai 4 sisi dan 4 sudut.

Kemudian bagaimana kalau kita punya 5 sisi dan sudut, terus bagaimana dengan 9 sisi dan sudut, dan seterusnya hingga n sisi dan sudut. Apa jadinya ketika n tersebut mendekati tak berhingga atau \infty? Apakah ini mengartikan bahwa lingkaran merupakan bangun dengan jumlah sisi dan sudut yang tak berhingga?

Bangun segi 5, segi 9, dan segi n

Nah sekarang, coba kita potong suatu lingkaran ibarat suatu kue yang kita potong saat ulang tahun sehingga wujud lingkarannya menjadi seperti di bawah ini. Kalau kita, menganggap garis melengkung mulus yang membentuk lingkaran merupakan susunan dari jumlah sisi yang tak berhingga.

Lingkaran terpotong dan potongannya

Seharusnya kita sepakat bahwa lingkaran terpotong sebelumnya mempunyai jumlah sisi \infty+1+1 = \infty, alias jumlahnya masih tak berhingga, namun nalar kita akan mengatakan bahwa jumlahnya ada tiga sisi, ya gak? Nah, daripada kita bingung-bingung kita sepakat aja kalau lingkaran mempunyai 1 sisi saja, seperti yang sudah disepakati banyak orang.

Mungkin kalian ada yang bertanya, bagaimana dengan jumlah sudutnya? Dengan asumsi lingkaran adalah bangun satu sisi, dan kita telah mempelajari tentang garis dan sudut, tentu kita sepakat bahwa lingkaran tidak mempunyai sudut, karena sudut perlu dibentuk oleh dua sisi.

Unsur-Unsur Lingkaran

Pada bangun ini kita bakal menemui beberapa istilah-istilah yang menjadi bekal kita untuk berurusan dengan lingkaran, seperti pada gambar di bawah ini. Suatu "garis melengkung" atau yang kerap disebut sebagai kurva yang berhimpit dengan lingkaran disebut sebagai busur, busur ini dikategorikan lagi berdasarkan besar sudut yang dibentuk.

Unsur-unsur lingkaran berupa garis

Jika sudut yang dibentuk lebih besar dari 180^{\circ} atau >180^{\circ}, busur tersebut dinamakna sebagai busur mayor. Apabila kurang dari 180^{\circ} atau < 180^{\circ}, busur tersebut dinamakan sebagai busur minor.

Kemudian ada pula suatu segmen garis yang menghubungkan sisi lingkaran dengan titik pusatnya (titik tengah), hal tersebut dinamakan sebagai jari-jari. Untuk segmen garis lurus yang mehubungkan antara titik pada sisi lingkaran dengan titik lainnya melalui titik pusatnya, hal tersebut dinamakan sebagai diameter.

Mungkin dengan mengetahui apa itu jari-jari dan apa itu diameter, kita paham bahwa, jika panjang diameter merupakan dua kali dari panjang jari-jari lingkaran, apabila jari-jari lingkaran adalah r, maka diameternya adalah d = 2r.

Ada pula konsep yang lebih umum dari diameter, yaitu tali busur, yang merupakan segmen garis lurus yang menghubungkan dua titik pada sisi lingkaran, namun tidak harus melalui titik pusatnya. Mungkin dari konsep ini, kalian berpikir bahwa, tali busur bisa saja menjadi diameter, namun diameter belum tentu merupakan tali busur. Kalian benar!.

Lanjut..., untuk suatu segmen garis lurus yang menghubungkan titik pusat dengan tali busur secara tegak lurus, hal tersebut dinamakan sebagai apotema. Nah, kalau sejauh ini kita melihat unsur-unsur pada lingkaran berdasarkan suatu garis, unsur-unsur lainnya juga ada berdasarkan luasan.

Suatu luasan yang dibatasi oleh dua jari-jari dan satu busur lingkaran disebut sebagai juring, sedangkan luasan yang dibatasi oleh satu tali busur dan satu busur lingkaran disebut sebagai tembereng.

Unsur-unsur lingkaran berupa luasan

Sudut Keliling dan Sudut Pusat

Mengingat kita sepakat bahwa lingkaran tidak memiliki sudut, maka kita perlu bantuan dua garis lain untuk membentuk suatu sudut. Dan kita akan menggunakan dua tali busur, atapun dua segmen garis yang membentuk jari-jari.

Sudut yang dibentuk oleh dua tali busur yang berhubungan di salah satu titik pada sisi lingkaran kita sebut sebagai sudut keliling, sedangkan sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari kita sebut sebagai sudut pusat.

Sudut keliling dan sudut pusat

Pertanyaanya bagaiaman hubungan antara keduanya? Perhatikan nomor dua pada gambar sebelumnya, segitiga \triangle AOB merupakan segitiga sama kaki yang panjang sisinya sebesar jari-jari lingkaran, setuju ya? Begitu juga untuk segitiga \triangle BOC.

Kita juga suda tahu bahwa, ada dua sudut yang bernilai sama pada segitiga sama kaki, untuk segitiga \triangle AOB kita sebut \alpha, dan untuk segitiga \triangle BOC kita sebut sebagai \beta. Ingat, jumlah sudut pada suatu segitiga yakni sebesar 180^{\circ}.

Artinya, untuk segitiga \triangle AOB

\alpha+\alpha+\angle AOB = 180^{\circ}
2\alpha+\angle AOB = 180^{\circ}
\angle AOB = 180^{\circ} - 2\alpha .

Sedangkan untuk segitiga \triangle BOC

\beta+\beta+\angle BOC = 180^{\circ}
2\beta+\angle BOC = 180^{\circ}
\angle BOC = 180^{\circ} - 2\beta .

Dengan garis bantuan berupa garis \overline{DO}, maka kita punya sudut lain, yaitu sudut \angle AOD dan \angle COD. Dengan mengandalkan sifat-sifat sudut pada pembahasan garis dan sudut, maka untuk \angle AOD

\angle AOD = 180^{\circ} - \angle AOB
\angle AOD = 180^{\circ} - (180^{\circ} - 2\alpha) = 2\alpha

, begitu juga untuk \angle COD

\angle COD = 180^{\circ} - \angle BOC
\angle COD = 180^{\circ} - (180^{\circ} - 2\beta) = 2\beta

Nah, dari sini kita melihat bahwa sudut pusat atau \angle AOC memiliki besar 2\alpha + 2\beta, sedangkan sudut keliling atau \angle ABC memiliki besar \alpha+\beta, artinya

\text{S. Pusat} = 2\alpha+2\beta
\text{S. Pusat} = 2(\alpha+\beta)
\text{S. Pusat} = 2\cdot\text{S. Keliling} .

Luas dan Keliling Lingkaran

Pada pembahasan tentang bangun segitiga dan segiempat, kita melihat bahwa, mayoritas besar luas dari bangun-bangun tersebut ditentukan oleh dua konsep sederhana mengenai dua sisi yaitu panjang dan lebar, bisa itu dua sisi pada persegi, alas dan tinggi pada segitiga dan jajar genjang.

Trapesium juga sejatinya dari konsep mengenai panjang dan lebar juga. Nah, sekarang bagaimana dengan lingkaran, bisakah kita gunakan konsep itu juga? Tentu lingkaran juga bisa didekati dengan konsep ini. Kita gak bakal bahas ini lebih lanjut, karena bakal ribet, tapi yang jelas keliling suatu lingkaran adalah K = 2\pi r.

Dan luas lingkaran seperti yang tadi disebutkan, yaitu menggunakan konsep panjang dan lebar, di mana lebarnya adalah r alias jari-jari si lingkaran, sedangkan panjangnya adalah setengah dari keliling lingkaran, sehingga luas lingkaran
A = \frac{K}{2}\times r
\rightarrow A = \frac{2\pi r}{2}r
\rightarrow A = \pi r^2
mungkin saya gak akan terlalu rinci di sini, mengingat sudah umum sekali pembahasan mengenai luas lingkaran ini, banyak juga orang-orang yang menyediakan animasi bagaimana luas ini dihitung.

Label
< Materi SebelumnyaKesebangunan dan Kekongruenan
Search icon