Bangun Ruang Sisi Datar

Konsep dasar geometri tentang bangun ruang sisi datar
Konsep dasar geometri tentang bangun ruang sisi datar.

Ruang

Kita ini hidup di mana, kita bisa bergerak maju, mundur, kesamping, menyerong, dan ada satu lagi, ada yang tau apa? Ya kita bisa bergerak ke atas dan ke bawah seperti meloncat, jongkok, dan lainnya yang merupakan kombinasi dari gerakan maju-mundur, kanan-kiri, dan atas bawah.

Artinya kita ini hidup tidak terbatas pada suatu bidang saja, seperti halnya bidang kartesius di mana kita hanya bisa membuat suatu bangun datar. Untuk mendeskripsikan "atas-bawah" tersebut, kita perlu satu dimensi lagi, pada sistem koordinat kartesius, kita perlu menambahkan satu sumbu lagi yang saling tegak lurus terhadap dua sumbu lainnya.

Tidak akan dibahas mengapa kita perlu satu sumbu yang saling tegak lurus lagi, tapi ini bakal diluar bahasan kita, mungkin bagi yang kepo kalian bisa cari-cari tentang aljabar linear, tapi untuk saat ini saya sarankan jangan, oke lupakan saja.

Mungkin kalian sudah bisa nebak, kalau suatu bangun datar mengisi suatu bidang (2 dimens), nah kita mau bahas tentang suatu bangun yang mengisi ruang (3 dimensi), yaitu bangun ruang. Untuk kalimat sisi datar maksudnya, bangun ruang tersebut disusun sedemikian rupa oleh bangun-bangun datar, bisa itu persegi, persegi panjang, segitiga, atau gabungan dari bangun-bangun datar tersebut.

Luas Permukaan Kubus dan Balok

Tadi dijelaskan bahwa, bangun ruang tersusun oleh suatu bangun datar, kalau bangun datar mengisi suatu bidang, kita juga tertarik buat nyari tahu seberapa luas suatu bangun ruang mengisi bidang datar. Kalau agak bingung maksud dari luas permukaan ini, bisa kalian anggap aja suatu lapisan.

Nah, lapisan yang ingin kita cari tahu luasnya. Lanjut..., jika persegi atau segiempat merupakan salah satu bangun datar yang mendasar (artinya banyak bangun datar lainnya yang dapat dibentuk oleh bangun tersebut), nah, bangun ruang yang tersusun oleh persegi ini juga sama.

Bangun ruang tersebut dinamakan kubus, apabila bangun datar yang membentuk tidak hanya persegi, ada pula persegi panjang yang menyusunnya, bangun ruang tersebut dinamakan balok.

Kubus dan balok

Untuk mengetahui luas permukaannya mungkin akan lebih mudah kalau kita bongkar kubus atau balok tersebut sehingga menjadi seperti di bawah ini. Mungkin kalian familiar dengan barang-barang seperti itu, tentu karena tak lain barang-barang tersebut adalah sebuah kardus yang tidak tersusun.

Permukaan kubus dan balok

Mungkin dengan mengamati ilustrasi sebelumnya, kita bisa melihat bahwa, jika masing-masing bangun datar yang menjadi lapisan bangun ruang tersebut mengisi bidang datar, artinya untuk mengetahui luas permukaan bangun ruang tersebut kita tinggal menjumlahkan masing-masing luas dari bidang datar tersebut.

Sehingga, baik kubus ataupun balok luas permukaannya, yaitu

L = L_1 + L_2 + L_3 + L_4 + L_5 + L_6

Yang membedakannya hanyalah besar kontribusi luas dari masing-masing bidangnya, untuk kubus yang memiliki panjang rusuk l, luasnya yaitu

L = l\cdot l + l\cdot l + l\cdot l + l\cdot l + l\cdot l + l\cdot l
\rightarrow L = l^2 + l^2 + l^2 + l^2 + l^2 + l^2
\rightarrow L = 6l^2\,\text{SL}

Sedangkan pada balok yang mempunyai spesifikasi panjang p, lebar l, dan tinggi t, maka luasnya

L = p\cdot l + l\cdot t + p\cdot l + p\cdot t + l\cdot t + p\cdot t
\rightarrow L = 2pl + 2lt + 2pt\,\text{SL}

, perhatika bahwa, satuannya tetep luasnya, bisa itu \text{m}^2, \text{cm}^2, dan lainnya.

Luas Permukaan Prisma

Di awal sudah dijelaskan, kalau suatu bangun itu bisa gabungan dari segiempat dan juga segitiga, atau bahkwa gabungan dengan segi-n lainnya. Untuk suatu bangun yang mempunyai dua bidang yang saling berhadapan, dan bidang tersebut bisa segitiga, segiempat, segilima, hingga segi-n, bangun ruang tersebut dinamakan prisma.

Macam-macam prisma

Untuk prisma segitiga, maka dua bangun datar yang berhadapannya adalah segitiga, untuk prisma segiempat, maka dua bangun datar yang berhadapannya adalah segiempat, tunggu...., apa bedanya sama balok dan kubus? Kalau prisma segiempat, tidak terbatas pada persegi dan persegi panjang, bisa aja bidang yang berhadapannya adalah jajar genjang dan trapesium.

Untuk mengetahui luas permukaannya, konsepnya sama seperti sebelumnya, kita perlu mengetahui luas yang disumbang oleh masing-masing bidang datar. Pada suatu prisma, mungkin tidak ada formula khusus untuk mencari luas permukaannya, karena bergantung pada dua bidang datar yang berhadapan tersebut.

Misal untuk prisma segitiga, kalau kita buat jaring-jaringnya, maka akan terdapat tiga buah persegi panjang dan dua segitiga, jika spesifikasi prisma segitiganya seperti berikut, panjang sisi segitiganya adalah a, b, c, dan tinggi segitiga adalah e, dan tinggi prisma adalah d

Prisma segitiga dan jaring-jaringnya

, maka luas permukaannya adalah

L = L_{\text{segitiga}} + L_{\text{segitiga}} + L_{\text{segiempat1}} + L_{\text{segiempat2}} + L_{\text{segiempat3}}
L = \frac{1}{2}ec + \frac{1}{2}ec + ad + bd + cd

Sengaja dibuat segitiga sembarang, sehingga untuk segitiga yang lebih sederhana, misal segitiga siku-siku (gak perlu e), segitiga sama kaki (a dan b sama), kalian bisa dapat gambarannya lebih mudah.

Bagiamana dengan prisma segiempat, segilima, dan seterusnya? Kalian bisa gunakan konsep yang sama (ingat, konsep bukan cara), yaitu

L = L_{\text{berhadapan}} + L_{\text{berhadapan}} + L_{\text{selimut1}} + L_{\text{selimut2}} + \dotsc + L_{\text{selimut}-n}

, di mana n adalah banyaknya segi pada bidang yang berhadapan.

Luas Permukaan Limas

Apabila pada suatu prisma salah satu bidang/sisi yang berhadapan kita hilangkan satu, kemudian selimut-selimutnya bertemu pada satu titik sehingga berbentuk segitiga, maka bangun ruang tersebut dinamakan sebagai limas.

Macam-macam limas

Selaras seperti prisma juga, ada limas segitiga, artinya alasnya berupa segitiga, limas segiempat, alasnya berupa segiempat, dan seterusnya. Secara umum luas permukaan limas ini dapat dimodelkan seperti berikut

L = L_{\text{alas}} + L_{\text{segitiga1}} + L_{\text{segitiga2}} + \dotsc + L_{\text{segitiga}-n}

, di mana n merupakan banyak segi pada bidang yang menjadi alasnya.

Misal pada limas segiempat, dengan spesifikasi seperti berikut, segitiganya memiliki tinggi t, dan alasnya yang segiempat berupa persegi panjang mempunyai panjang p dan lebar l.

Limas segiempat dan jaring-jaringnya

, maka luas permukaannya

L = L_{\text{alas}} + L_{\text{segitiga1}} + L_{\text{segitiga2}} +  L_{\text{segitiga2}} + L_{\text{segitiga4}}
\rightarrow L = p\cdot l +  \frac{1}{2}p\cdot t + \frac{1}{2}l\cdot t +  \frac{1}{2}p\cdot t + \frac{1}{2}l\cdot t
\rightarrow L = p\cdot l +  p\cdot t + l\cdot t

Volume

Kalau konsep luas merupakan suatu "angka" yang merepresentasikan seberapa banyak daerah yang diisi oleh suatu bangun datar, pada suatu bangun ruang ada juga suatu "angka" yang merepresentasikan seberapa banyak ruang yang diisi oleh suatu bangun tersebut. Angka tersebut disebut sebagai volume.

Analoginya memang sangat mirip, kalau pada persegi, luasannya dapat ditentukan dengan menghitung total luasan satuan yang mengisi bangun datar tersebut. Pada konsep volume juga begitu, bayangin aja ada suatu volume satuan yang mengisi bangun ruang.

Pada suatu kubus yang mempunyai panjang rusuk l, maka banyaknya volume satuan tersebut ada l\cdot l\cdot l = l^3, artinya volume kubus mempunya besar

V = l^3\,\text{SV}

, karena kita tidak menentukan satuannya, maka kita sebut saja \text{SV} atau satuan volume.

Lagi-lagi kita mengacu pada pembahasan tentang bangun datar, jika bangun-bangun lain yang kompleks luasnya dapat diketahui dengan memanipulasi suatu persegi atau persegi panjang, pada volume juga berlaku hal tersebut.

Bentuk limas dan prisma juga dapat ditentukan dengan memanipulasi suatu kubus ataupun balok, namun hanya dibatasi untuk limas segiempat dan prisma segitiga saja, dan segiempatnya pun dibatasi untuk persegi dan persegi aja, begitu juga segitiganya dibatasi untuk segitiga siku-siku aja.

Sekarang coba kalian bayangin suatu persegi panjang kita belah menjadi dua secara diagonal, ini gampang banget gak perlu digambar, tinggal bayangin aja, tentu kalian bakal ngebayangin suatu prisma segitiga siku-siku ya gak?

Volume prisma segitiga siku-siku

Dengan demikian kalau kita punya spesifikasi prisma segitiga siku-siku, di mana segitiganya punya tinggi t dan alas a, kemudian tinggi prisma tersebut adalah l, anggap aja kita lagi menghitung volume balok, kemudian kita belah, sehingga persamaannya
V = \frac{1}{2}V_{\text{balok}}
V = \frac{1}{2}\cdot l\cdot a\cdot t\,\text{SV}

Kalau limas emang agak ribet nih, misal ada limas segiempat (dalam hal ini persegi), kurang lebih limas tersebut dapat disusun sedemikian rupa sehingga membentuk suatu balok, seperti ini

Volume limas segiempat

, kira-kira berapa jumlah limasnya?

Tentu jumlahnya sebanyak 6 buah limas, sehingga volume limas dapat kita tentukan berdasarkan volume balok, yaitu
V = \frac{1}{6}V_{balok}
, ada yang perlu diperhatikan di sini, jika tinggi limas adalah t, maka tinggi kubusnya adalah 2t.

Oleh karena itu, kalau kita punya spesifikasi limas segiempat (dalam hal ini persegi), di mana tingginya adalah t dan alasnya yang berupa persegi mempunyai panjang l, maka volumenya
V = \frac{1}{6}\cdot l\cdot l\cdot 2t
V = \frac{1}{3}\cdot l\cdot l\cdot t
V = \frac{1}{3}tl^2 .

Label
< Materi SebelumnyaAritmetika Sosial
Search icon