Transformasi

Perubahan unsur geometri suatu objek
Perubahan unsur geometri suatu objek.

Transformasi

Kalau kita bicara transformasi, tentu yang dibenak kita pasti mengenai suatu perubahan. Dalam hal ini, perubahan yang dimaksud berupa suatu posisi, orientasi, dan juga ukuran objek (dalam hal ini suatu bangun) pada suatu sistem koordinat kartesius. Ada banyak macam cara dapat kita lakukan untuk merubah nilai-nilai tersebut.

Pertanyaanya, apakah dari beberapa transformasi yang ada akan merubah bentuk suatu bangun? Apakah transformasi akan merubah jenis bangun tersebut, seperti misal, dari segitiga siku-siku menjadi segitiga lancip? Sejatinya ada, namun untuk saat ini kita akan membatasi permasalahan kita, sehingga bangun teresbut mempertahankan bentuk dan jenisnya.

Tidak perlu membayangkan perubahan yang sulit-sulit, pergeseran suatu bangun juga sejatinya sudah bisa dikatakan sebagai transformasi, kemudian suatu bangun yang berputar juga merupakan buah hasil dari transformasi. Dan sekarang, kita akan bahas mengenai pergeseran yang tadi disebutkan terlebih dahulu.

Translasi

Kita menyebutnya suatu pergeseran suatu bangun sebagai translasi, dan translasi ini tidak terbatas pada pergeseran ke kiri atau ke kanan, bisa juga ke atas atah ke bawah. Memang menggeser suatu benda itu pada mulanya terlihat sepele, karena kita sudah sering melakukannya setiap-hari.

Baik itu sengaja ataupun tidak sengaja. Namun, perlu disadari lagi bahwa, saat ini kita mencoba menerjemahkan kegiatan atau aksi tersebut kedalam "bahasa" matematikanya. Tanpa adanya matematika mungkin, kita hanya dapat mengatakan, "pokoknya bergesernya segitu deh" dan sebagainya.

Oke kita langsung aja, untuk mengidentifikasi perubahan akibat translasi, kita hanya perlu mengetahui apakah posisi bangun tersebut berpindah, dengan mempertahankan orientasinya. Misal kita punya suatu segitiga yang didefinisikan oleh tiga titik yaitu A(2,3), B(4,6), dan C(5,5).

Suatu segitiga mengalami translasi

Pada gambar tersebut kita melihat bahwa, segitiga \triangle ABC tersebut yang semulanya berada di sumbu x dan y positif, berpindah ke daerah di mana sumbu x negatif dan sumbu y positif. Bangun tersebut tetap mempertahankan orientasinya, jika titik barunya adalah A'(-4,4), B(-2,7), dan C'(-1,6).

Kira-kira bagaimana nih kita memodelkan transformasi ini? Jadi, perpindahan tersebut dapat terlihat bahwa, ketiga titik yang mendefinisikan segitiga tersebut mengalami pergeseran sejauh 6 satuan ke kiri, kemudian mengalami pergeseran sejauh 1 satuan ke atas.

Proses perpindahan atau translasi tersebut dapat dituliskan sebagai \begin{pmatrix}-6\\1\end{pmatrix}. Secara umum, apabila kita punya suatu titik (x,y) dan kita melakukan translasi pada titik tersebut dengan \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}, maka titik barunya adalah (x',y'), di mana
x' = x+a
dan
y' = y+b.

Pencerminan (Refleksi)

Ketika kita melihat bayangan kita pada suatu cermin, kita melihat bahwa seolah-olah terdapat diri kita sendiri, di mana jarak bayangan terhadap cermin, mirip dengan jarak sesungguhnya antara diri kita dengan cermin tersebut. Ketika kita bergerak mendekati cermin, bayang tersebut juga ikut mendekat.

Begitu juga ketika kita menjauh, bayang pun akan ikut menjauh dari cermin. Yang membedakkan di sini adalah, orientasi tubuh kitanya, misal, kalau kita putar sedikit ke arah jam 1, nampaknya kalau kita memposisikan diri sebagai bayangan tersebut, kita terlihat menghadap ke arah jam 11.

Meskipun ada perbedaan orientasi tersebut, namun pemodelannya cukup sederhana, kita hanya perlu memegang prinsip atau ide bahwa, jarak bayangan terhadap cermin itu sama seperti jarak kita sesungguhnya terhadap cermin. Misal nih, kita cerminkan segitiga \triangle ABC sebelumnya terhadap sumbu x.

Artinya di sini sumbu x kita anggap sebagai cerminnya, maka segitiga tersebut didefinisikan oleh titik A'(2,-3), B'(4,-6), dan C(5,-5), perhatikan bahwa jarak titik yang baru terhadap cermin tersebut masih sama, seperti halnya jarak titik terhadap cermin sebelum ditransformasikan.

Suatu segitiga dicerminkan terhadap sumbu x

Secara umum, apabila kita punya titik (x,y) kemudian kita refleksikan terhadap sumbu x, maka titik hasil refleksinya adalah (x',y'), di mana
x' = x
dan
y' = -y.

Apabila segitiga \triangle ABC tersebut dicerminkan terhadap sumbu y, maka dengan menggunakan ide atau konsep yang sama yaitu jaraknya sama maka, segitiga yang baru akan didefinisikan oleh titik yang baru yaitu A'(-2,3), B'(-4,6), dan C'(-5,5).

Suatu segitiga dicerminkan terhadap sumbu y

Secara umum, apabila kita mempunyai titik (x,y) kemudian direfleksikan terhadap sumbu y, maka titik hasil refleksinya adalah (x',y'), di mana
x' = -x
dan
y'=y.

Bagaimana jika kita cerminkan terhadap suatu garis y = x? Secara umum, apabila kita punya titik (x,y) kemudian kita cerminkan terhadap garis y=-x, maka titik hasil transformasinya (x',y') di mana
x' = y
dan y' = x
, ada yang tau kenapa, jadi saling tukar?

Rotasi

Sejatinya, untuk menerapkan konsep rotasi ini paling enak kalau kita mengenal apa yang namanya trigonometri, nah, karena kita belum menyinggung tentang itu sama sekali, mungkin perlu kita batasi perputaran pada sudut-sudut tertentu saja.

Seperti halnya pada refleksi sebelumnya, rotasi dapat dilakukan terhadap macam-macam titik acuannya. Misal terhadap titik asal O, terhadap titik yang mendefinisikan suatu bangun, atau bisa juga titik sembarang. Nah, untuk melakukan rotasi ini, akan lebih mudah dibayangkan kalau kita tarik suatu garis terhadap titik acuan menuju titik yang ingin dirotasikan.

Kita gunakan segitiga yang sama lagi, \triangle ABC, jika kita rotasikan terhadap titik asal O, misal kita rotasikan sejauh 90^{\circ}, maka kalau kita punya suatu garis bantu sebut saja \overline{OA} dan \overline{OA'}, maka kedua garis tersebut akan membentuk 90^{\circ}.

Suatu segitiga dirotasikan terhadap titik asal

Jika dirotasikan sejauh 60^{\circ}, maka akan membentuk sudut sebesar itu juga. Untuk hasil rotasinya, mungkin kali ini kita batasi untuk perputaran terhadap titik asal saja. Pada rotasi suatu titik (x,y) terhadap titik asal sebesar 90^{\circ}, hasil rotasinya yaitu (x',y'), di mana
x' = -y
dan
y' = x

Apabila dirotasikan sejauh 60^{\circ}, hasilnya adalah (x',y'), di mana
x' = \frac{1}{2}x - \frac{\sqrt{3}}{2}y
y' = \frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2}y

Untuk rotasi sejauh 45^{\circ}
x' = \frac{\sqrt{2}}{2}x - \frac{\sqrt{2}}{2}y
y' = \frac{\sqrt{2}}{2}x + \frac{\sqrt{2}}{2}y

Untuk rotasi sejauh 30^{\circ}
x' = \frac{\sqrt{3}}{2}x - \frac{1}{2}y
y' = \frac{1}{2}x + \frac{\sqrt{3}}{2}y

Dilatasi

Seperti yang telah disebutkan di awal, tidak hanya posisi bangun saja yang berubah, ukuran suatu bangun yang berubah juga dapat dimodelkan perubahannya, bisa itu menjadi lebih kecil atau menjadi lebih besar. Dan hal tersebut dapat dicapai dengan konsep dilatasi,

Dilatasi juga sama memiliki acuan untuk mentransformasikannya, dan kita batasi saat ini terhadap titik asal O aja. Dan lagi-lagi, kita gunakan contoh segitiga \triangle ABC, misal segitiga tersebut kita dilatasikan sebesar 3 kali lipat, maka titik-titik yang mendefinisikan segitiga tersebut akan menjadi A'(6,9), B'(12,18), dan C'(15,15).

Suatu segitiga didilatasikan terhadap titik asal

Secara umum, apabila terdapat suatu titik (x,y) kemudian didilatasikan oleh faktor skala sebesar k, maka hasil dilatasinya yaitu (x',y'), di mana
x'=kx
dan
y'=ky.

Label
< Materi SebelumnyaTeorema Pythagoras
Search icon