Transformasi - Translasi, Refleksi, Rotasi, Dilatasi

Kalau sedang berbicara tentang transformasi, biasanya yang dibenak kita pasti mengenai suatu perubahan.

Dalam hal ini, perubahan dimaksud dapat berupa suatu posisi, orientasi, dan juga ukuran objek (dalam hal ini suatu bangun) pada suatu sistem koordinat kartesius.

Ada banyak macam cara dapat kita lakukan untuk merubah nilai-nilai tersebut.

Pertanyaanya, apakah dari beberapa transformasi yang ada akan merubah bentuk suatu bangun?

Juga, apakah transformasi akan merubah jenis bangun tersebut, seperti misal dari segitiga siku-siku menjadi segitiga lancip?

Meskipun sejatinya ada, namun untuk saat ini akan dibatasi permasalahannya. Sehingga, bangun yang ditransformasikan mempertahankan bentuk dan jenisnya.

Istilahnya lebih dikenal sebagai transformasi affine.

Kasarannya, transformasi affine tidak merubah bentuk suatu bangun saat ditransformasikan.

Tidak perlu membayangkan perubahan yang sulit-sulit, pergeseran suatu bangun juga sejatinya sudah bisa dikatakan sebagai transformasi.

Lalu suatu bangun yang berputar juga merupakan buah hasil dari transformasi.

Dan sekarang, akan dimulai pembahasannya mengenai pergeseran yang tadi disebutkan terlebih dahulu.

Dalam transformasi pergeseran suatu bangun disebut sebagai translasi.

Transformasi berupa translasi ini tidak terbatas pada pergeseran ke kiri atau ke kanan, bisa juga ke atas atah ke bawah.

Memang menggeser suatu benda itu pada mulanya terlihat sepele, karena kita sudah sering melakukannya setiap-hari. Baik itu sengaja ataupun tidak sengaja.

Namun, perlu disadari lagi bahwa, saat ini kita mencoba menerjemahkan kegiatan atau aksi tersebut kedalam wujud matematisnya.

Tanpa adanya matematika mungkin kita hanya dapat mengatakannya "Pokoknya bergesernya segitu deh", dan sejenisnya.

Oke kita langsung aja. Untuk mengidentifikasi perubahan akibat translasi, hanya diperlukan informasi apakah posisi suatu bangun berpindah atau tetap.

Dengan catatan bahwa orientasinya harus tetap sama.

Misal kita punya suatu segitiga yang didefinisikan oleh tiga titik yaitu A(2, 3), B(4, 6), dan C(5, 5).

Pada gambar tersebut kita melihat bahwa, segitiga △ABC tersebut yang semulanya berada di sumbu x dan y positif.

Kemudian berpindah ke daerah di mana sumbu x negatif dan sumbu y positif.

Bangun tersebut tetap mempertahankan orientasinya. Dan titik barunya adalah A'(-4, 4), B'(-2, 7), dan C'(-1, 6).

Kira-kira bagaimana nih kita memodelkan transformasi ini?

Jadi, berdasarkan perpindahan tersebut dapat terlihat bahwa bangun mengalami dua kali pergeseran.

Ketiga titik yang mendefinisikan segitiga tersebut mengalami pergeseran sejauh 6 satuan ke kiri. Dilanjutkan dengan pergeseran sejauh 1 satuan ke atas.

Proses perpindahan atau translasi tersebut dapat dituliskan sebagai:

Secara umum, apabila kita punya suatu titik (x, y) dan kita melakukan translasi pada titik tersebut dengan:

Dengan itu, titik barunya adalah (x', y'), di mana:

Ketika sedang melihat bayangan sendiri pada suatu cermin, dapat dilihat bahwa seolah-olah terdapat diri kita sendiri.

Di mana jarak bayangan terhadap cermin, mirip dengan jarak sesungguhnya antara diri kita dengan cermin tersebut.

Saat mencoba bergerak mendekati cermin, bayang tersebut juga ikut mendekat.

Begitu juga ketika kita menjauh, bayang pun akan ikut menjauh dari cermin.

Yang membedakkan di sini adalah, orientasi tubuh kitanya. Sebagai contoh, coba putar badan sedikit ke arah jam 1.

Nampaknya kalau kita memposisikan diri sebagai bayangan tersebut, seolah-olah terlihat menghadap ke arah jam 11.

Meskipun ada perbedaan orientasi tersebut, namun pemodelannya cukup sederhana.

Kita hanya perlu memegang prinsip atau ide bahwa, jarak bayangan terhadap cermin itu sama seperti jarak kita sesungguhnya terhadap cermin.

Misal nih, mau dicerminkan segitiga △ABC sebelumnya terhadap sumbu x.

Artinya di sini sumbu x dianggap sebagai cerminnya, maka segitiga tersebut didefinisikan oleh titik A'(2, -3), B'(4, -6), dan C'(5, -5).

Cermati bahwa jarak titik yang baru terhadap cermin tersebut masih sama. Seperti halnya jarak titik terhadap cermin sebelum ditransformasikan.

Secara umum, apabila kita punya titik (x, y) kemudian kita refleksikan terhadap sumbu x. Maka titik hasil refleksinya adalah (x', y'), di mana:

Sekarang segitiga △ABC tersebut akan dicerminkan terhadap sumbu y.

Dengan menggunakan cara yang serupa yaitu yaitu menganggap jaraknya sama, maka segitiga yang baru akan didefinisikan oleh titik yang baru yaitu A'(-2, 3), B(-4, 6), dan C'(-5, 5).

Secara umum, apabila terdapat titik (x, y) kemudian direfleksikan terhadap sumbu y, maka titik hasil refleksinya adalah (x', y'), di mana nilainya:

Transformasi pencerminan tak hanya dilakukan terhadap sumbu koordinat, bisa juga dilakukan terhadap persamaan garis.

Pertama-tama akan dilakukan pencerminan terhadap garis y = x. Secara umum, apabila terdapat sebuah titik (x, y) kemudian dicerminkan terhadap garis y = x, maka titik hasil transformasinya (x', y') yaitu:

Ada yang tau kenapa, jadi saling tukar? Jadi gini, persamaan garis y = x yang menjadi cermin bisa dianggap pemetaan terhadap nilai barunya.

Sehingga jika disubstitusikan x yang lama ke dalam persamaan didapat y' = x.

Begitu pula jika mensubstitusikan y yang lama, menjadi x' = y.

Dengan mengikuti cara yang sama bisa juga ditentukan untuk pencerminan terhadap y = -x.

Letak titik y yang barunya adalah y' = -x. Untuk titik x setelah transformasinya yaitu y = -x', atau x' = -y.

Secara umum, pencerminan terhadap garis y = -x, titik barunya adalah:

Penceriminan terhadap persamaan garis y = k bisa diasumsikan sebagai refleksi terhadap sumbu x. Hanya saja kali ini "sumbu"-nya bisa bergeser ke atas atau bawah.

Hasil transformasinya:

Ini juga sama, bisa diibaratkan sebagai pencerminan terhadap sumbu y.

Titik setelah transformasinya:

Rumus barusan didapat dengan mengasumsikan bahwa garis tersebut merupakan acuan baru dalam menentukan titik.

Titik x yang lama relatif terhadap garis ini berjarak (x - k).

Garis x = k yang terletak di k pada sistem koordinat, kemudian ingin ditentukan posisi yang berlawannya dengan jarak (x - k).

Oleh karena itu, titik yang dimaksud adalah:

Ide ini bisa dipakai juga guna mendapatkan rumus pencerminan untuk garis y = k.

Sejatinya, untuk menerapkan konsep rotasi ini paling enak kalau kita mengenal apa yang namanya trigonometri.

Sayangnya, pada jenjang ini belum menyinggung tentang itu sama sekali. Mungkin perlu kita batasi perputaran pada sudut-sudut tertentu saja.

Seperti halnya pada refleksi sebelumnya, rotasi dapat dilakukan terhadap macam-macam titik acuannya.

Misal terhadap titik asal O, terhadap titik yang mendefinisikan suatu bangun, atau bisa juga titik sembarang.

Nah untuk melakukan rotasi ini, akan lebih mudah dibayangkan kalau buat suatu garis terhadap titik acuan menuju titik yang ingin dirotasikan.

Kita gunakan segitiga yang sama lagi, △ABC, anggap ingin merotasikan terhadap titik asal O.

Misal kita rotasikan sejauh 90^°, maka kalau kita punya suatu garis bantu sebut saja dan .

Demikian kedua garis tersebut akan membentuk 90^°.

Jika dirotasikan sejauh 60^°, maka akan membentuk sudut sebesar itu juga.

Untuk hasil rotasinya, kali ini dibatasi untuk perputaran terhadap titik asal saja.

Pada rotasi suatu titik (x, y) terhadap titik asal sebesar 90^°, hasil rotasinya (x', y') yaitu:

Apabila dirotasikan sejauh 60^°, hasilnya transformasinya adalah:

Untuk rotasi sejauh 45^°:

Untuk rotasi sejauh 30^°:

Seperti yang telah dipaparkan di awal, tidak hanya posisi bangun saja yang berubah, ukuran suatu bangun yang berubah juga dapat dimodelkan perubahannya.

Bisa itu menjadi lebih kecil atau menjadi lebih besar. Dan hal tersebut dapat dicapai dengan konsep dilatasi.

Dilatasi juga sama memiliki acuan untuk mentransformasikannya. Dengan sama, akan dibatasi juga hanya terhadap titik asal O saja.

Dan lagi-lagi, akan digunakan contoh segitiga △ABC. Misal segitiga tersebut bakal dilatasikan sebesar 3 kali lipat.

Hasilnya, titik-titik yang mendefinisikan segitiga tersebut akan menjadi A'(6, 9), B'(12, 18), dan C'(15, 15).

Secara umum, apabila terdapat suatu titik (x, y) kemudian didilatasikan oleh faktor skala sebesar k, hasil dari dilatasinya yaitu (x', y'), di mana: