Geometri Ruang

Diperbarui: February 20th, 2021

Konsep dasar geometri pada ruang 3 dimensi.

Daftar Isi

Geometri
Jarak Antar Titik
- Terhadap Titik Asal
- Relatif Terhadap Titik Lainnya
Jarak Titik ke Garis
Jarak Titik ke Bidang

Geometri

Kalau kita bicara tentang geometri, maka kita sedang berbicara tentang suatu bangun dan ruang seperti halnya menghitung posisi suatu objek dalam sebuah koordinat, berbicara ukuran suatu objek, hingga bentuk objeknya. Selain itu, ada juga mengetahui posisi relatif suatu objek terhadap objek yang lainnya.

Objeknya bisa apa aja, misal titik, garis, bidang, dan lainnya. Selama ini, kita selalu berhubungan dengan jarak titik terhadap titik asal, atau biasanya juga terhadap titik lainnya pada suatu bidang. Padahal, kita ini hidup di dunia di mana kita bisa bergerak ke atas, ke bawah, menyerong ke atas, dan sebagainya.

Artinya kita ini hidup di dalam suatu ruang (3 dimensi). Dengan demikian, kita perlu mengetahui lanjutan dari konsep jarak yang telah kita pelajari pada bidang, yang mana saat itu kita memanfaatkan teorema Pythagoras. Pertanyaannya, apakah kita akan menggunakan teorema yang sama, atau ada cara yang lain?

Jarak Antar Titik

Asumsikan kita punya sistem koordinat kartesius di mana sumbu $x$ positifnya mengarah ke kanan, kemudian sumbu $y$ positifnya ke depan, dan sumbu $z$ positif mengarah ke atas. Kemudian kita punya titik, sebut saja $A(x_A, y_A, z_A)$ . Nah dari yang sederhana dulu, berapa jarak titik tersebut terhadap titik asal?

Terhadap Titik Asal

Posisi titik $A$ sejatinya bisa kita ilustrasikan sebagai titik sudut pada sebuah balok. Dengan masing-masing panjang sisi balok tersebut adalah jauh titik $A$ terhadap titik asal. Untuk masing-masing komponennya, dalam hal ini maka, panjangnya adalah $x_A$ , lebarnya $y_A$ , dan tingginya $z_A$ .

Jarak suatu titik dengan titik asal pada ruang

Kita anggap titik sudut pada kubus tersebut yang berada tepat di bawah $A$ sebagai $A'$ . Dari sini jelas bahwa kita bisa menggunakan teorema Pythagoras untuk mengetahui jarak $OA$ . Yang mana dalam hal ini jaraknya adalah $\sqrt{{OA'}^2+{AA'}^2}$ . Kemudian untuk jarak $OA'$ sendiri adalah $\sqrt{x^2+y^2}$ .

Kita substitusikan panjang $OA'$ tersebut, dan jarak antara $A$ dengan $A'$ . Nah dengan demikian, jarak suatu titik dari titik asalnya pada ruang yaitu.

$OA = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

Sebenarnya ada banyak macam cara untuk mengetahui jarak tersebut, bisa saja $A'$ yang dimaksud yaitu berada di $(x_A,0,0)$ , $(0,y_A,0)$ , dan lainnya, tidak ada bedanya, silahkan dipilih yang menurut kalian nyaman.

Relatif Terhadap Titik Lainnya

Nah, sekarang bagaimana untuk jarak antar titik? Misal kita punya dua titik $A$ dan $B$ yang relatif terhadap titik asal berada di $(x_A,y_A,z_A)$ dan $x_B, y_B, z_B$ .

Apakah kita bisa menggunakan ilustrasi kubus sebelumnya? Tentu bisa, namun kali ini panjang sisinya berbeda. Karena kali ini, kita menganggap bahwa $A$ relatif terhadap $B$ (bisa juga sebaliknya), dalam masalah ini panjang balok tersebut yaitu $x_A-x_B$ , lebarnya $y_A-y_B$ , dan tingginya $z_A-z_B$ .

Jarak suatu titik dengan titik lainnya pada ruang

Dengan konsep yang serupa, yaitu dengan bantuan titik $A'$ seperti sebelumnya, maka kita akan mendapatkan bahwa jarak antar titik pada ruang yaitu

$AB = \sqrt{{(x_A-x_B)}^2+{(y_A-y_B)}^2+{(z_A-z_B)}^2}$

Khusus untuk menghitung jarak, tidak masalah jika ingin mengukurnya berdasarkan titik $B$ terhadap $A$ ( $B$ relatif terhadap $A$ ). Mengingat bentuknya dalam akar kuadrat sehingga nilainya akan selalu positif.

Jarak Titik ke Garis

Ada satu prinsip yang bisa kita pegang untuk mengetahui jarak titik dengan suatu garis. Kita anggap garis merupakan sebuah kumpulan titik (tentunya sangat banyak). Kemudian, satu hal yang perlu diketahui, kita bisa saja menarik suatu garis bantu dari sebuah titik menuju suatu garis.

Kemudian kita ukur panjang garis bantu tersebut, apakah itu menunjukkan jarak titik ke garis? Ternyata belum tentu. Karena dengan ide tersebut kita akan mempunyai banyak kemungkinan dengan demikian. Nah tapi, tadi disebutkan bahwa kita belum tentu, artinya masih ada kemungkinan kita mengukur jaraknya.

Jadi, kondisi yang menyebabkan panjang garis bantu tersebut merupakan jarak sebenarnya adalah, ketika panjang garis bantunya merupakan yang terpendek di antara semua kemungkinan yang ada. Garis bantu tersebut akan mempunyai panjang terpendek ketika keduanya, yaitu garis yang ingin dicari jaraknya dan garis bantu saling tegak lurus.

Jarak suatu titik dengan garis pada ruang

Misal suatu garis pada suatu ruang, melalui $B(x_B, y_B, z_B)$ dan $C(x_C, y_C, z_C)$ kemudian kita ingin mencari jaraknya terhadap titik $A(x_A,y_A,z_A)$ . Paling gampang kalau kita gunakan konsep vektor guna menghitung jaraknya. Untuk titik $B$ dan $C$ kita buat vektornya yaitu $b$ dan $c$ , dengan wujudnya seperti berikut:

$b = \begin{bmatrix}x_B\\y_B\\z_B\end{bmatrix}$

Dan satunya lagi:

$c = \begin{bmatrix}x_C\\y_C\\z_C\end{bmatrix}$

Misal garisnya kita sebut $l$ , maka posisi pada garis tersebut bisa kita parametrisasi dengan suatu konstanta tambahan, sebut saja $\lambda$ . Maka persamaan garisnya adalah.

$l = b + \lambda(b-c)$

Maksud dari persamaan tersebut yaitu, posisi titik pada garis $l$ yang melalui $b$ dengan arah $b-c$ letak titiknya diparametrisasi oleh konstanta $\lambda$ .

Misal vektor $p$ merepresentasikan titik $P$ pada garis $l$ yang mempunyai jarak terpendek dengan titik $A$ dengan vektor $a$ . Karena garis tersebut saling tegak lurus dengan $l$ , maka perkalian dotnya akan menghasilkan nol. Sehingga:

$(l-a)\cdot(b-c)=0$

$(b+\lambda(b-c)-a)\cdot(b-c)=0$

$b\cdot(b-c)+\lambda(b-c)\cdot(b-c)-a\cdot(b-c)=0$

$b\cdot(b-c)+\lambda\|b-c\|^2-a\cdot(b-c)=0$

$\lambda\|b-c\|^2 + (b-a)\cdot(b-c)=0$

Tips: Perkalian dot antara dua buah vektor yang saling tegak lurus hasil operasinya adalah nol. Ingat kembali $a\cdot b = \|a\|\|b\|\cos\theta$ , perhatikan ketika $\theta = 90^{\circ}$ .

Sehingga titik yang dimaksud berada di:

$\lambda = \frac{(b-a)\cdot(b-c)}{\|b-c\|^2}$

$l(\lambda) = b + \frac{(b-a)\cdot(b-c)}{\|b-c\|^2}(b-c)$

Di mana:

$(b-a)\cdot(b-c) = (x_B-x_A)(x_B-x_C) + (y_B-y_A)(y_B-y_C)+ (z_B-z_A)(z_B-z_C)$

Dan $\|b-c\|^2$ jarak dari $B$ ke $C$ kemudian dikuadratkan.

Mengingat $l(\lambda)$ dalam bentuk vektor, elemen-elemennya merupakan letak atau koordinat titik. Oleh karena itu, kita perlu mencari jarak dari $l(\lambda)$ menuju $a$ dengan konsep jarak antar titik sebelumnya.

Anggap aja $l(\lambda)$ adalah sebagai berikut:

$l(\lambda) = \begin{bmatrix}x_l\\y_l\\z_l\end{bmatrix}$

Sehingga, jarak titik $A$ dengan garisnya dapat dihitung seperti halnya menghitung jarak antar titik, seperti ini:

$\sqrt{{(x_A-x_l)}^2+{(y_A-y_l)}^2+{(z_A-z_l)}^2}$

Jarak Titik ke Bidang

Pada bidang pun konsepnya serupa, yaitu kita cari panjang terpendek dari garis bantu yang akan kita cari, garis bantu tersebut juga akan saling tegak lurus dengan bidang. Kita juga akan lebih mudah apabila menggunakan konsep vektor seperti sebelumnya.

Mungkin untuk yang satu ini Tim ISENG bakal ngasih clue aja, kalian bisa mencari vektor normal (vektor yang tegak lurus terhadap bidang), kemudian kalian cari perkalian dot secara mutlak antara vektor normal $n$ tersebut dengan vektor relatif antara vektor $a$ dengan vektor normal.