Geometri Ruang

Konsep dasar geometri pada ruang 3 dimensi
Konsep dasar geometri pada ruang 3 dimensi.

Geometri

Kalau kita bicara tentang geometri maka kita bicara tentang suatu bangun dan ruang seperti, bagaimana kita dapat mengetahui posisi suatu objek, berbicara ukuran suatu objek, bentuk objek, hingga posisi relatif suatu objek terhadap objek yang lainnya.

Objeknya bisa apa aja, misal titik, garis, bidang, dan lainnya. Selama ini kita selalu berhubungan dengan jarak titik dengan titik asal atau dengan titik lainnya pada suatu bidang. Padahal kita ini hidup di dunia, di mana kita bisa bergerak ke atas, ke bawah, menyerong ke atas dan sebagainya.

Artinya kita ini hidup di dalam suatu ruang (3 dimensi), dengan demikian kita perlu mengetahui lanjutan dari konsep jarak yang telah kita pelajari pada bidang, yang mana saat itu kita memanfaatkan teorema Pythagoras. Pertanyaannya, apakah kita akan menggunakan teorema tersebut lagi, atau ada cara yang lain?

Jarak Antar Titik

Misal kita punya sistem koordinat kartesius di mana sumbu x positif itu mengarah ke kanan, kemudian sumbu y positif ke depan, dan sumbu z positif ke atas. Kemudian kita punya titik, sebut saja A(x_A, y_A, z_A). Nah dari yang sederhana dulu, berapa jarak titik tersebut terhadap titik asal?

Posisi titik A sejatinya bisa kita ilustrasikan sebagai titik sudut pada suatu balok, dengan panjang sisi balok tersebut yaitu jauh titik asal terhadap titik A untuk masing-masing komponennya, dalam hal ini maka, panjangnya adalah x_A, lebarnya y_A, dan tingginya z_A.

Jarak suatu titik dengan titik asal pada ruang

Kita anggap titik sudut pada kubus tersebut yang berada tepat di bawah A sebagai A'. Dari sini jelas bahwa kita bisa menggunakan teorema Pythagoras untuk mengetahui jarak OA, dalam hal ini yaitu \sqrt{{OA'}^2+{AA'}^2}. Kemudian untuk jarak OA' sendiri adalah \sqrt{x^2+y^2}.

Kita substitusikan panjang OA' tersebut, dan jarak antara A dengan A', nah dengan demikian jarak suatu titik dari titik asalnya pada ruang yaitu

OA = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} .

Sebenarnya ada banyak macam cara untuk mengetahui jarak tersebut, bisa saja A' yang dimaksud yaitu berada di (x_A,0,0), (0,y_A,0), dan lainnya. Nah, sekarang bagaimana untuk jarak antar titik? Misal kita punya dua titik A dan B yang relatif terhadap titik asal berada di (x_A,y_A,z_A) dan x_B, y_B, z_B.

Apakah kita bisa menggunakan ilustrasi kubus sebelumnya? Tentu bisa, namun kali ini panjang sisinya berbeda, karena kali ini kita menganggap bahwa A relatif terhadap B (bisa juga sebaliknya), dalam hal ini panjang balok tersebut yaitu x_A-x_B, lebarnya y_A-y_B, dan tingginya z_A-z_B.

Jarak suatu titik dengan titik lainnya pada ruang

Dengan konsep yang serupa, yaitu dengan bantuan titik A' seperti sebelumnya, maka kita akan mendapatkan bahwa jarak antar titik pada ruang yaitu

AB = \sqrt{{(x_A-x_B)}^2+{(y_A-y_B)}^2+{(z_A-z_B)}^2} .

Jarak Titik ke Garis

Ada satu prinsip yang bisa kita pegang untuk mengetahui jarak titik dengan suatu garis, kita anggap garis merupakan sebuah kumpulan titik (tentunya sangat banyak). Kemudian, satu hal yang perlu diketahui, kita bisa saja menarik suatu garis bantu dari sebuah titik menuju suatu garis.

Kemudian kita ukur panjang garis bantu tersebut, apakah itu menunjukkan jarak titik ke garis? Belum tentu, karena dengan ide tersebut kita akan mempunyai banyak kemungkinan kalau gitu. Nah, tadi disebutkan bahwa kita belum tentu, artinya ada kemungkinan kita mengukur jaraknya.

Kondisi yang menyebabkan panjang garis bantu tersebut merupakan jarak yaitu, ketika panjang garis bantunya merupakan yang terpendek diantara semua kemungkinan yang ada. Garis bantu tersebut akan mempunyai panjang terpendek ketika keduanya (garis yang ingin dicari jaraknya dan garis bantu) saling tegak lurus.

Jarak suatu titik dengan garis pada ruang

Misal suatu garis pada suatu ruang, melalui B(x_B, y_B, z_B) dan C(x_C, y_C, z_C) kemudian kita ingin mencari jaraknya terhadap titik A(x_A,y_A,z_A). Paling enak kalau kita menggunakan konsep vektor di sini, untuk titik B dan C kita buat vektornya yaitu b dan c , di mana

b = \left[\begin{matrix}x_B\\y_B\\z_B\end{matrix}\right]

dan

c = \left[\begin{matrix}x_C\\y_C\\z_C\end{matrix}\right] .

Misal garisnya kita sebut l, maka posisi pada garis tersebut bisa kita parametrisasi dengan suatu konstanta tambahan, sebut saja \lambda. Maka persamaan garisnya

l = b + \lambda(b-c)

, maksud dari persamaan tersebut yaitu, posisi titik pada garis l yang melalui b dengan arah b-c dan posisi titiknya diparametrisasi oleh \lambda.

Misal vektor p merepresentasikan titik P pada garis l yang mempunyai jarak terpendek dengan titik A dengan vektor a, karena garis tersebut saling tegak lurus dengan l, maka perkalian dotnya akan menghasilkan nol. Sehingga

(l-a)\cdot(b-c)=0
(b+\lambda(b-c)-a)\cdot(b-c)=0
b\cdot(b-c)+\lambda(b-c)\cdot(b-c)-a\cdot(b-c)=0
b\cdot(b-c)+\lambda\|b-c\|^2-a\cdot(b-c)=0
\lambda\|b-c\|^2 + (b-a)\cdot(b-c)=0

Sehingga titik yang dimaksud berada di

\lambda = \frac{(b-a)\cdot(b-c)}{|b-c\|^2}
l(\lambda) = b + \frac{(b-a)\cdot(b-c)}{|b-c\|^2}(b-c)

, di mana

(b-a)\cdot(b-c) = (x_B-x_A)(x_B-x_C) + (y_B-y_A)(y_B-y_C)+ (z_B-z_A)(z_B-z_C)

dan \|b-c\|^2 jarak dari B ke C kemudian dikuadratkan.

Setelah itu kita tinggal cari jarak dari l(\lambda) menuju a dengan konsep jarak antar titik sebelumnya.

Jarak Titik ke Bidang

Pada bidang pun konsepnya serupa, yaitu kita cari panjang terpendek dari garis bantu yang akan kita cari, garis bantu tersebut juga akan saling tegak lurus dengan bidang. Kita juga akan lebih mudah apabila menggunakan konsep vektor seperti sebelumnya.

Mungkin untuk yang satu ini Tim ISENG bakal ngasih clue aja, kalian bisa mencari vektor normal (vektor yang tegak lurus terhadap bidang), kemudian kalian cari perkalian dot secara mutlak antara vektor normal n tersebut dengan vektor relatif antara vektor a dengan vektor normal.

Jarak suatu titik dengan bidang pada ruang

Proses ini artinya kurang lebih, mencari panjang vektor hasil proyeksi dari vektor a-n terhadap n.

Jika bidang diwakili oleh persamaan ax+by+cz=d, kemudian titiknya adalah A(x_A,y_A,z_A), jarak antara keduanya yaitu

d = \frac{\lvert ax_A+by_A+cz_A+D\rvert}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} .
Label
< Materi SebelumnyaKonsep Fungsi
Search icon