Konsep Trigonometri

Pada sebuah segitiga, adakah hubungan antara sisi dengan sudutnya?
Pada sebuah segitiga, adakah hubungan antara sisi dengan sudutnya?.

Dasar Trigonometri

Intinya trigonometri itu mempelajari hubungan antara dua sisi dari segitiga dengan sudut yang terdapat pada segitiga tersebut. Sebagai pembahasan awal kita hanya akan berurusan dengan segitiga siku-siku.

Perhatikan segitiga siku-siku di bawah ini yang mempunyai panjang b pada sisi alasnya (adjacent), kemudian a untuk sisi tingginya (opposite), dan panjang c untuk sisi miringnya (hypotenuse).

Segitiga siku-siku

Jadi, maksud kalimat yang pertama yaitu, misal kita manfaatkan sisi a dan c, nah kedua sisi tersebut memiliki relasinya dengan sudut sudut yang dibentuk, yaitu \alpha dan \beta. Begitu juga b dan a, serta b dan c.

Ada istilahnya masing-masing untuk setiap relasi dua sisi dengan sudut \alpha dan \beta.

Apabila dua sisi mengapit suatu sudut di mana satu sisi membentuk sudut siku dengan sisi lainnya, relasi tersebut dinamakan \text{cosinus} atau \cos.

Kemudian apabila dua sisi membentuk sudut yang berada disebrang sisi yang membentuk siku dengan sisi lainnya, relasi tersebut dinamakan \text{sinus} atau \sin (bingung gak tuh).

Dari definisi sebelumnya maka sangat jelas bahwa relasi antara sisi b dan c dengan sudut \alpha merupakan \text{cosinus}, sedangkan sisi a dan c dengan sudut \alpha merupakan \text{sinus}.

Coba kalian cari tahu apa relasi antara sisi b dan c dengan sudut \beta, kemudian sisi a dan c dengan sudut \beta.

Relasi lainnya adalah apabila dua sisi yang saling tegak lurus (yang membentuk siku) membentuk sudut maka relasi tersebut dinamakan \text{tangent} atau \tan.

Contohnya adalah sisi a dan b dengan sudut \alpha bisa juga \beta, tergantung susunan perbandingannya

Relasi-relasi tersebut dalam matematika dituliskan sebagai berikut.

\cos\,\alpha = \frac{b}{c}
\sin\,\alpha = \frac{a}{c}
\tan\,\alpha = \frac{a}{b}.

Secara sederhana maknanya seperti ini, apabila kita mengetahui panjang dua sisi, maka kita dapat mengetahui sudut yang bersangkutan.

Begitu juga sebaliknya, apabila kita mengetahui panjang salah satu sisi dan mengetahui besar sudut yang dibentuk, maka kita akan tahu panjang sisi yang lainnya. Mengapa bisa? Alasannya sederhana, coba lihat b = c\cdot \cos\,\alpha .

Mungkin di antara tukang iseng ada yang bertanya mengenai pernyataan sebelumnya, yaitu kita dapat menentukan panjang suatu sisi. Apakah nilai \text{cosinus} dan yang lainnya itu selalu sama, yakni tidak bergantung segitiganya?

Tentu, dan dapat dijelaskan melalui ilustrasi berikut.

Kesebangunan dua segitiga

Perhatikan bahwa segitiga \triangle ABO dan \triangle CDO, meskipun memiliki panjang sisi yang berbeda namun besaran sudut yang dibentuk adalah sama, besar sudut \alpha tersebut tidak bergantung dengan panjang sisi segitiganya..

Dari sini saya harap kalian sudah dapat manfaat yang mendasar dari trigonometri ini. Nah, selanjutnya yang perlu dipertimbangkan yaitu bagaimana dengan nasib sudut yang lebih besar dari 90^{\circ}.

Mari kita lihat lagi sistem koordinat kartesius.

Kuadran sebagai acuan penentuan tanda dari fungsi trigonometri

Untuk segitiga yang dibentuk oleh dua sisi yang sedang bernilai positif maka besar perputarannya  < 90^{\circ}, seperti berikut.

Pembentukkan sudut kurang dari 90 derajat

Kemudian untuk sudut yang lebih besar dari 90^{\circ}

Pembentukkan sudut lebih dari 90 derajat

, nampak bahwa sudut dibentuk oleh dua sisi yang salah satunya berada di sumbu negatif, dan satu lagi berada di sumbu positif.

Dari sini jelas bahwa nilai \text{cosinus} menjadi negatif, sebab sisinya berada di sumbu negatif, sedangkan nilai \text{sinus} tetap positif, untuk sudut yang lebih besar dari 90^{\circ}.

Dengan demikian artinya untuk sudut > 90^{\circ} besaran-besaran trigonometri masih sama, karena prinsipnya sama dengan ilustrasi segitiga pertama.

Hanya saja tandanya yang berbeda-beda, sebab ada satu sisi yang menduduki daerah negatif pada salah satu sumbu, dan ada juga yang positif.

Kalau kita lihat kembali segitiga yang di awal, ada kesamaan antara \sin\,\alpha dengan \cos\,\beta, yakni sama-sama \frac{a}{c}, begitu juga antara \cos\,\alpha dengan \sin\,\beta.

Bagaimana relasi antara \sin dan \cos tersebut? Gampang saja wahai tukang iseng!.

Kita hanya perlu mencari hubungan sudut \alpha dengan \beta. Perlu diketahui bahwa total semua sudut yang ada di dalam segitiga berjumlah = 180^{\circ}.

Berangkat dari informasi tersebut, maka \alpha+\beta+90^{\circ}=180^{\circ} (ingat pada segitiga siku-siku salah satu sudutnya adalah 90^{\circ}). Sehingga \alpha = 90^{\circ}-\beta.

Artinya, \sin\,\alpha = \sin\left(90^{\circ}-\beta\right) = \cos\,\beta, begitu juga sebaliknya \cos\left(90^{\circ}-\beta\right) = \sin\,\beta . Buat yang bingung kenapa tiba-tiba gitu, oke kita pelan-pelan aja, coba perhatikan perbandingan sisi antara \sin\,\alpha dengan \cos\,\beta.

Keduanya sama-sama \frac{a}{c}, ya gak? Mengingat \alpha = 90^{\circ}-\beta, secara gak langsung telah ditunjukkan bahwa \sin\left(90^{\circ}-\beta\right) = \cos\,\beta.

Label
< Materi SebelumnyaStatistika Data Berkelompok
Search icon