Trigonometri - Perbandingan Sin, Cos, Tan, Identitas

Pemaparan lengkap mengenai trigonometri
Pada segitiga, hubungan antara sudut dan sisinya diatur oleh trigonometri.

Sebelum belajar mengenai trigonometri, kita selalu "menangani" baik itu garis dan sudut sebagai sesuatu yang terpisah.

Meskipun keduanya berhubungan (karena sudut dibentuk oleh garis), tapi secara perhitungan selalu dilakukan secara masing-masing.

Kali ini kita bakal lihat bagaimana keduanya saling berhubungan.

Daftar Isi

Dasar Trigonometri

Intinya, trigonometri itu mempelajari hubungan antara dua sisi dari segitiga dengan semua sudut pada sebuah segitiga.

Sebagai pembahasan awal, dibatasi dahulu pemaparannya untuk segitiga siku-siku saja.

Perhatikan segitiga siku-siku di bawah ini, mempunyai panjang b pada sisi alasnya, kemudian panjangnya a untuk sisi tingginya, dan panjang c untuk sisi miringnya.

Ketiga sisi segitiga tersebut memiliki julukannya tersendiri, yaitu:

  • Adjacent: Alas segitiga.
  • Opposite: Tinggi segitiga.
  • Hypotenuse: Sisi miring segitiga.
Sudut dan sisi segitiga siku-siku

Jadi, maksud hubungan antar dua sisi dan sudut tersebut yakni seperti ini.

Misalnya digunakan sisi a serta c, nah kedua sisi tersebut memiliki relasi terhadap sudut-sudut yang dibentuk oleh keduanya. Yaitu sudut α dan β.

Tak hanya pasangan kedua sisi itu saja, berlaku juga b dan a, serta b dan c. Dan tentunya dengan pasangan sudut berbeda pula.

Perbandingan Trigonometri

Terdapat istilahnya masing-masing untuk setiap relasi dua sisi dengan sudut α beserta β.

Apabila dua sisi mengapit suatu sudut di mana satu sisi membentuk sudut siku terhadap sisi lainnya, relasi tersebut dinamakan cosinus atau cos.

Selanjutnya, apabila dua sisi membentuk sudut di sebrang sisi yang membentuk siku terhadap sisi lainnya, relasi tersebut dinamakan sinus atau sin.

Biar gak bingung dengan kalimat di atas, langsung aja ke contohnya.

Dari definisi sebelumnya maka sangat jelas bahwa relasi antara sisi b dan c dengan sudut α merupakan cosinus.

Sedangkan sisi a dan c dengan sudut α merupakan sinus.

Coba kalian cari tahu apa relasi antara sisi b dan c dengan sudut β. Kemudian sisi a dan c dengan sudut β.

Ada juga relasi lainnya, yakni apabila dua sisi saling tegak lurus (yaitu membentuk siku) membentuk sudut, relasi tersebut dinamakan tangent atau tan.

Contohnya adalah sisi a dan b dengan sudut &alpha. Atau bisa juga dibalik, tetapi hubungan sudutnya dengan β. Keduanya bergantung susunan perbandingannya.

Relasi-relasi tersebut dalam matematika dituliskan sebagai berikut:

\cos\,\alpha = \frac{b}{c}
\sin\,\alpha = \frac{a}{c}
\tan\,\alpha = \frac{a}{b}

Secara umum, jika dinyatakan dalam perbandingan istilah sisinya, rumus trigonometri yaitu:

  • Sin x = tinggi/miring.
  • Cos x = alas/miring.
  • Tan x = tinggi/alas.
Perbandingan fungsi trigonometri

Dari teman-teman ada yang bisa mengartikan gak, maksud dari ketiga rumus trigonometri di atas?

Secara sederhana maknanya seperti ini, apabila ingin mengetahui panjang dua sisi, maka dapat diketahui sudut yang bersangkutan.

Begitu pun sebaliknya, apabila diketahui panjang salah satu sisi serta diketahui besar sudutnya, maka bisa dihitung juga panjang sisi lainnya.

Mengapa bisa berlaku seperti itu? Alasannya sederhana, coba salah satu persamaannya diubah menjadi seperti ini:

b = c\cdot \cos\,\alpha

Interval Nilai Trigonometri

Mungkin di antara tukang iseng ada yang bertanya mengenai pernyataan sebelumnya. Yaitu mengenai kenapa bisa ditentukan panjang suatu sisi berdasarkan informasi sudut.

Memangnya nilai fungsi trigonometri, seperti cosinus, sinus, serta lainnya selalu sama, alias tidak bergantung ukuran segitiganya?

Tentu nilainya selalu sama, dan dapat dijelaskan melalui ilustrasi berikut.

Kesebangunan dua segitiga

Perhatikan bahwa segitiga △ABO dan △CDO, meskipun memiliki panjang sisi yang berbeda namun besaran sudut yang dibentuk adalah sama.

Besar sudut α tersebut tidak bergantung panjang sisi segitiganya.

Nilainya Mulai Dari -1 Hingga 1

Hasil pemetaan sudut dari fungsi trigonometri untuk sin serta cos selalu berada di antara -1 hingga 1. Enggak lebih, juga gak kurang.

Kok bisa gitu? Jadi pada segitiga, dalam hal ini segitiga siku-siku. bagian miringnya selalu lebih panjang ketimbang lainnya.

Bayangin untuk fungsi sinus, saat sudutnya membentuk 90°, kondisi ini menyebabkan seolah-olah bagian depannya sejajar dengan bagian miringnya.

Namun untuk fungsi cosinusnya, bagian alasnya seakan-akan tidak mempunyai panjang, nilainya mendekati nol. Makanya sin 90° = 1, sedangkan cos 90° = 0.

Berbeda situasi untuk fungsi tangent, sebab rentang nilainya antara -∞ hingga -∞.

Mengapa demikian, dikarenakan ada peluang penyebutnya (sisi alasnya) sangat kecil sekali, sampai mendekati nol.

Selain Sudut Lancip dan Siku-Siku

Sampai sini saya harap kalian sudah paham manfaat mendasar dari trigonometri ini. Nah, selanjutnya yang perlu dipertimbangkan yaitu, bagaimana nasib sudut yang lebih besar dari 90°.

Mari amati kembali sistem koordinat kartesius di bawah ini.

Kuadran penentu tanda fungsi trigonometri

Kuadran Trigonometri

Untuk segitiga yang dibentuk oleh dua sisi bernilai positif (sisinya berada di sumbu positif) maka besar perputarannya < 90°, seperti berikut:

Pembentukkan sudut kurang dari 90 derajat

Berikutnya, untuk sudut yang lebih besar dari 90°:

Pembentukkan sudut lebih dari 90 derajat

Nampak bahwa, sudut dibentuk oleh dua sisi yang salah satunya terletak di sumbu negatif, satu laginya berada di sumbu positif.

Dari sini jelas bahwa, nilai cosinus menjadi negatif, sebab sisinya berada di sumbu negatif. Sedangkan nilai sinus tetap positif, apabila sudutnya lebih besar dari 90° (tapi kurang dari 180°).

Tanda positif dan negatif ini bervariasi pada keempat kuadran tersebut.

Maksudnya, walaupun sudutnya > 90°, nilai fungsi trigonometrinya belum tentu sama ketika sudutnya lebih dari 180°.

Kesimpulan yang bisa digali yaitu, meskipun sudutnya > 90° besaran-besaran trigonometri masih sama. Karena prinsipnya sama dengan ilustrasi segitiga pertama.

Hanya saja tandanya berbeda-beda, sebab ada satu sisi menduduki daerah negatif pada salah satu sumbu, dan ada juga yang positif.

Untuk sudut-sudut lainnya, penentuan kapan negatif dan positifnya bisa dilihat sedang di sumbu mana sisi segitiganya.

Catatan: Untuk sisi miring selalu bernilai positif, karena bentuk akar yang selalu positif.

\sqrt{a^2+b^2} > 0

Kuadran Sin Cos Tan

Secara menyeluruh, tanda dari nilai-nilai trigonometri terhadap letak kuadrannya disimpulkan sebagai berikut:

  • Sin: + (Kuadran I), + (Kuadran II), - (Kuadran III), - (Kuadran IV)
  • Cos: + (Kuadran I), - (Kuadran II), - (Kuadran III), + (Kuadran IV)
  • Tan: + (Kuadran I), - (Kuadran II), + (Kuadran III), - (Kuadran IV)

Relasi sin, cos, dan tan

Kalau diperhatikan kembali segitiga di awal, ada kesamaan antara sin α dengan cos β, yakni sama-sama a/c.

Begitu juga antara cos α dengan sin β yakni sama-sama b/c.

Apakah artinya ada relasi antara sin dan cos tersebut? Jawabannya ada, dan hubungan tersebut secara gampang bisa ditemukan wahai tukang iseng!

Langkah pertama, kita cuman butuh mencari hubungan sudut α dengan β.

Perlu diketahui bahwa, total semua sudut di dalam segitiga berjumlah 180°.

Berangkat dari informasi tersebut, demikian didapat persamaan α + β + 90° = 180°.

Ingat: Pada segitiga siku-siku, salah satu sudutnya adalah 90°. Sehingga hubungan antara kedua sudut tersebut yaitu:

\alpha = 90^{\circ}-\beta

Artinya, sin α = sin (90° - β) = cos β, begitu juga sebaliknya cos (90° - β) = sin β.

Buat yang bingung kenapa tiba-tiba gitu, oke kita pelan-pelan aja. Coba cermati perbandingan sisi antara sin α dengan cos β.

Keduanya sama-sama a/c, ya gak? Mengingat α = 90° - β, secara gak langsung telah ditunjukkan kalau sin (90° - β) = cos β.

Lalu untuk hubungan keduanya, yaitu dengan tan, diekspresikan melalui persamaan berikut:

\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

Apa benar seperti itu rumusnya? Oke, sekarang cek aja langsung, dengan mensubstitusikan dengan panjang sisinya, sehingga menjadi:

\tan\alpha = \frac{a/c}{b/c} = \frac{a}{b}

Rumus Fungsi Trigonometri Terhadap Fungsi Lainnya

Oleh karena itu, dapat diringkas relasi antar nilai trigonometri seperti berikut:

  • sin x = cos 90° - x
  • cos x = sin 90° - x
  • tan x = sin x/cos x
Relasi sin cos tan

Identitas Trigonometri

Bagaimana jika menemui segitiga sembarang? Itu mungkin pertanyaan dibenak kalian, karena rumus-rumus trigonometri sebelumnya diterapkan khusus pada segitiga siku-siku.

Tapi tenang aja teman-teman, ada beberapa sifat trigonometri yang bisa diterapkan untuk segitiga sembarang.

Segitiga sembarang dengan garis bantu

Aturan Sinus

Coba lihat pada segitiga sembarang pada gambar di atas. Akan ditambahkan suatu garis bantu yang tegak lurus terhadap salah satu sisi, supaya prinsip dasar trigonometrinya bisa dipakai.

Untuk garis bantu pertama yaitu t1, persamaan-persamaan trigonometrinya adalah:

\frac{t_1}{c} = \sin \alpha
\frac{t_1}{a} = \sin \gamma

Dari kedua persamaan tersebut, ada variabel yang sama yaitu t1. Dengan mensubstitusikannya, maka didapatkan hubungan antara sisi dan sudutnya sebagai berikut:

\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{c}{\sin \gamma}

Selanjutnya, gunakan garis bantu kedua yaitu t2, persamaan trigonometrinya yaitu:

\frac{t_2}{a} = \sin \beta
\frac{t_2}{b} = \sin \alpha

Dari dua persamaan ini, diperoleh hubungan antar sisi dan sudutnya sebagai berikut:

\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}

Nah, dari kedua persamaan apabila digabungkan maka akan menjadi rumus aturan sinus yaitu:

\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}

Aturan Cosinus

Kalau tadi mampu diketahui panjang sisi menggunakan dua informasi sudut dan satu sisi lainnya.

Atau mencari besar sudut berdasarkan dua informasi panjang sisi dan satu sudut lainnya.

Aturan cosinus ini agak berbeda sedikit, akan dicari besar suatu sudut menggunakan 3 informasi berupa panjang sisinya.

Di sini akan dibutuhkan dua garis bantu yaitu t1 beserta x. Sebagai contoh, kita bakal cari tahu sudut α, bakal dimanfaatkan dulu garis bantunya.

\cos\alpha = \frac{b-x}{c}
x = b-c\cos\alpha

Lanjut, gunakan teorema Pythagoras untuk mengetahui hubungan tiga sisi berikut:

t_1^2 + (b-x)^2 = c^2
t_1^2 = c^2 - (b-x)^2

Satu lagi, pakai teorema yang sama untuk tiga sisi yaitu a, t1, x.

t_1^2 + x^2 = a^2
t_1^2 + x^2 = a^2

Langkah selanjutnya, substitusikan nilai-nilai yang telah diketahui barusan. Demikian didapat rumus aturan cosinus:

c^2 - (b-x)^2 + x^2 = a^2
c^2 - b^2 + 2bx = a^2
c^2 - b^2 + 2b(b-c\cos\alpha) = a^2
\cos\alpha = \frac{c^2 + b^2 - a^2}{2bc}

Identitas Pythagoras

Kali ini kita balik lagi ke segitiga siku-siku yang pertama. Berdasarkan teorema Pythagoras, hubungan antara ketiga sisi tersebut secara matematis dituliskan sebagai-:

a^2 + b^2 = c^2

Sisi a serta b sendiri bisa dituliskan dalam bentuk trigonometri sebagai berikut.

a = c\sin\alpha
b = c\cos\alpha

Kemudian substitusikan persamaan di atas, maka akan didapat identitas pertama yaitu:

(c\sin\alpha)^2 + (c\cos\alpha)^2 = c^2
c^2\sin^2\alpha + c^2\cos^2\alpha = c^2
\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1

Untuk identitas lainnya, bisa dipakai kembali persamaan di atas. Identitas kedua coba kalikan 1/cos2 α pada kedua ruas, sehingga menjadi:

\tan^2\alpha + 1 = \sec^2\alpha

Identitas ketiga, silahkan untuk mengalikannya dengan 1/sin2 α.

\cot^2\alpha + 1 = \csc^2\alpha
Daftar identitas trigonometri
Label

Komentar

Search icon