Trigonometri - Konsep Dasar dan Identitas

Pada sebuah segitiga, adakah hubungan antara sisi dengan sudutnya?
Pada sebuah segitiga, adakah hubungan antara sisi dengan sudutnya?.
Daftar Isi

Dasar Trigonometri

Intinya, trigonometri itu mempelajari hubungan antara dua sisi dari segitiga dengan sudut yang terdapat pada segitiga tersebut. Sebagai pembahasan awal, kita hanya akan berurusan dengan segitiga siku-siku.

Perhatikan segitiga siku-siku di bawah ini yang mempunyai panjang b pada sisi alasnya (adjacent), kemudian a untuk sisi tingginya (opposite), dan panjang c untuk sisi miringnya (hypotenuse).

Segitiga siku-siku

Jadi, maksud hubungan antar dua sisi dan sudut yang dimaksud seperti ini. Misal kita gunakan sisi a dan c, nah kedua sisi tersebut memiliki relasi dengan sudut sudut yang dibentuk oleh keduanya, yaitu \alpha dan \beta. Tak hanya pasangan kedua sisi itu saja, berlaku juga b dan a, serta b dan c, dan tentunya dengan pasangan sudut yang berbeda pula.

Ada istilahnya masing-masing untuk setiap relasi dua sisi dengan sudut \alpha dan \beta.

Perbandingan Trigonometri

Apabila dua sisi mengapit suatu sudut di mana satu sisi membentuk sudut siku dengan sisi lainnya, relasi tersebut dinamakan \text{cosinus} atau \cos.

Kemudian apabila dua sisi membentuk sudut yang berada disebrang sisi yang membentuk siku dengan sisi lainnya, relasi tersebut dinamakan \text{sinus} atau \sin (bingung gak tuh).

Dari definisi sebelumnya maka sangat jelas bahwa relasi antara sisi b dan c dengan sudut \alpha merupakan \text{cosinus}, sedangkan sisi a dan c dengan sudut \alpha merupakan \text{sinus}.

Coba kalian cari tahu apa relasi antara sisi b dan c dengan sudut \beta, kemudian sisi a dan c dengan sudut \beta.

Ada juga relasi lainnya, yaitu apabila dua sisi yang saling tegak lurus (yang membentuk siku) membentuk sudut maka relasi tersebut dinamakan \text{tangent} atau \tan.

Contohnya adalah sisi a dan b dengan sudut \alpha bisa juga \beta, tergantung susunan perbandingannya.

Relasi-relasi tersebut dalam matematika dituliskan sebagai berikut.

\cos\,\alpha = \frac{b}{c}
\sin\,\alpha = \frac{a}{c}
\tan\,\alpha = \frac{a}{b}

Dari teman-teman ada yang bisa mengartikan gak, maksud dari ketiga rumus di atas?

Secara sederhana maknanya seperti ini, apabila kita mengetahui panjang dua sisi, maka kita dapat mengetahui sudut yang bersangkutan.

Begitu juga sebaliknya, apabila kita mengetahui panjang salah satu sisi dan mengetahui besar sudut yang dibentuk, maka kita akan tahu panjang sisi yang lainnya. Mengapa bisa berlaku juga seperti itu? Alasannya sederhana, coba salah satu persamaannya kita ubah menjadi seperti ini.

b = c\cdot \cos\,\alpha

Nilainya Tidak Bergantung Pada Panjang Sisi

Mungkin di antara tukang iseng ada yang bertanya mengenai pernyataan sebelumnya, yaitu kita dapat menentukan panjang suatu sisi dengan informasi sudut. Memangnya nilai \text{cosinus} dan yang lainnya itu selalu sama, yakni tidak bergantung ukuran segitiganya?

Tentu nilainya selalu sama, dan dapat dijelaskan melalui ilustrasi berikut.

Kesebangunan dua segitiga

Perhatikan bahwa segitiga \triangle ABO dan \triangle CDO, meskipun memiliki panjang sisi yang berbeda namun besaran sudut yang dibentuk adalah sama, besar sudut \alpha tersebut tidak bergantung dengan panjang sisi segitiganya.

Selain Ludut Lancip dan Siku-Siku

Dari sini saya harap kalian sudah dapat manfaat yang mendasar dari trigonometri ini. Nah, selanjutnya yang perlu dipertimbangkan yaitu, bagaimana dengan nasib sudut yang lebih besar dari 90^{\circ}.

Mari kita lihat lagi sistem koordinat kartesius di bawah ini.

Kuadran sebagai acuan penentuan tanda dari fungsi trigonometri

Untuk segitiga yang dibentuk oleh dua sisi yang sedang bernilai positif (sisinya berada di sumbu positif) maka besar perputarannya  < 90^{\circ}, seperti berikut.

Pembentukkan sudut kurang dari 90 derajat

Kemudian, untuk sudut yang lebih besar dari 90^{\circ}.

Pembentukkan sudut lebih dari 90 derajat

Nampak bahwa, sudut dibentuk oleh dua sisi yang salah satunya berada di sumbu negatif, dan satu lagi berada di sumbu positif.

Dari sini jelas bahwa, nilai \text{cosinus} menjadi negatif, sebab sisinya berada di sumbu negatif, sedangkan nilai \text{sinus} tetap positif, untuk sudut yang lebih besar dari 90^{\circ}.

Tanda positif dan negatif ini akan beragam pada keempat kuadran yang ada. Maksudnya, meskipun sudutbya > 90^{\circ}, nilai fungsi trigonometrinya belum tentu sama ketika sudutnya lebih dari 180^{\circ}.

Jadi informasi yang bisa kita gali yaitu, meskipun sudutnya > 90^{\circ} besaran-besaran trigonometri masih sama, karena prinsipnya sama dengan ilustrasi segitiga pertama.

Hanya saja tandanya yang berbeda-beda, sebab ada satu sisi yang menduduki daerah negatif pada salah satu sumbu, dan ada juga yang positif.

Untuk sudut-sudut lainnya, penentuan kapan negatif dan positifnya bisa dilihat, sedang di sumbu mana sisi segitiganya. Catatan: Untuk sisi miring selalu bernilai positif, karena bentuk akar yang selalu positif.

\sqrt{a^2+b^2} > 0

Secara menyeluruh, tanda dari nilai-nilai trigonometri ini bisa disimpulkan sebagai berikut.

  • Sin: + (Kuadran I), + (Kuadran II), - (Kuadran III), - (Kuadran IV)
  • Cos: + (Kuadran I), - (Kuadran II), - (Kuadran III), + (Kuadran IV)
  • Tan: + (Kuadran I), - (Kuadran II), + (Kuadran III), - (Kuadran IV)

Relasi sin, cos, dan tan

Kalau kita lihat kembali segitiga yang di awal, ada kesamaan antara \sin\,\alpha dengan \cos\,\beta, yakni sama-sama \frac{a}{c}. Begitu juga antara \cos\,\alpha dengan \sin\,\beta yang sama-sama \frac{b}{c}.

Apakah artinya ada relasi antara \sin dan \cos tersebut? Jawabannya ada, dan hubungan tersebut dengan gampang bisa kita temukan wahai tukang iseng!

Langkah pertama, kita hanya perlu mencari hubungan sudut \alpha dengan \beta. Perlu diketahui bahwa, total semua sudut yang ada di dalam segitiga berjumlah = 180^{\circ}.

Berangkat dari informasi tersebut, maka \alpha+\beta+90^{\circ}=180^{\circ} (Ingat! Pada segitiga siku-siku, salah satu sudutnya adalah 90^{\circ}). Sehingga hubungan antara kedua sudut tersebut yaitu.

\alpha = 90^{\circ}-\beta

Artinya, \sin\,\alpha = \sin\left(90^{\circ}-\beta\right) = \cos\,\beta, begitu juga sebaliknya \cos\left(90^{\circ}-\beta\right) = \sin\,\beta . Buat yang bingung kenapa tiba-tiba gitu, oke kita pelan-pelan aja, coba perhatikan perbandingan sisi antara \sin\,\alpha dengan \cos\,\beta.

Keduanya sama-sama \frac{a}{c}, ya gak? Mengingat \alpha = 90^{\circ}-\beta, secara gak langsung telah ditunjukkan bahwa \sin\left(90^{\circ}-\beta\right) = \cos\,\beta.

Lalu, untuk hubungan keduanya dengan \tan, diekspresikan melalui persamaan berikut.

\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

Apa benar seperti itu rumusnya? Oke, sekarang kita cek aja langsung, dengan mensubstitusikan dengan panjang sisinya, sehingga menjadi.

\tan\alpha = \frac{a/c}{b/c} = \frac{a}{b}

Dengan begitu, dapat kita ringkas relasi antar nilai trigonometri seperti berikut.

  • \sin x = \cos 90 - x
  • \cos x = \sin 90 - x
  • \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}

Identitas Trigonometri

Bagaimana jika kita menemui segitiga sembarang? Itu mungkin pertanyaan yang muncul, karena rumus-rumus sebelumnya diterapkan khusus pada segitiga siku-siku.

Tapi tenang aja teman-teman, ada beberapa sifat trigonometri yang bisa diterapkan untuk segitiga sembarang.

Segitiga sembarang dengan garis bantu

Aturan Sinus

Coba lihat pada segitiga sembarang pada gambar di atas. Kita akan menambahkan suatu garis bantu yang tegak lurus terhadap salah satu sisi, supaya prinsip dasar trigonometrinya bisa dipakai.

Untuk garis bantu yang pertama yaitu t_1, persamaan-persamaan trigonometrinya adalah.

\frac{t_1}{c} = \sin \alpha
\frac{t_1}{a} = \sin \gamma

Dari kedua persamaan tersebut, ada variabel yang sama yaitu t_1. Dengan mensubstitusikannya, maka kita dapatkan hubungan antara sisi dan sudutnya sebagai berikut.

\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{c}{\sin \gamma}

Selanjutnya, gunakan garis bantu yang kedua yaitu t_2, persamaan trigonometrinya yaitu.

\frac{t_2}{a} = \sin \beta
\frac{t_2}{b} = \sin \alpha

Dari dua persamaan ini, didapat hubungan antar sisi dan sudutnya sebagai berikut.

\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}

Nah, dari kedua persamaan di atas apabila digabungkan, maka akan menjadi.

\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}

Aturan Cosinus

Kalau sebelumnya kita bisa mengetahui panjang sisi menggunakan dua informasi sudut dan satu sisi lainnya. Atau mencari besar sudut dengan dua informasi panjang sisi dan satu sudut lainnya.

Yang satu ini, kita akan mencari besar suatu sudut menggunakan 3 informasi panjang sisinya.

Di sini akan digunakan dua garis bantu yaitu t_1 dan x. Sebagai contoh, kita bakal cari tahu sudut \alpha, kita gunakan dulu garis bantunya.

\cos\alpha = \frac{b-x}{c}
x = b-c\cos\alpha

Lanjut, gunakan teorema Pythagoras untuk mengetahui hubungan tiga sisi berikut.

t_1^2 + (b-x)^2 = c^2
t_1^2 = c^2 - (b-x)^2

Satu lagi, pakai teorema yang sama untuk tiga sisi yaitu a,t_1,x.

t_1^2 + x^2 = a^2
t_1^2 + x^2 = a^2

Langkah selanjutnya, substitusikan nilai-nilai yang telah diketahui sebelumnya.

c^2 - (b-x)^2 + x^2 = a^2
c^2 - b^2 + 2bx = a^2
c^2 - b^2 + 2b(b-c\cos\alpha) = a^2
\cos\alpha = \frac{c^2 + b^2 - a^2}{2bc}

Identitas Pythagoras

Kali ini kita balik lagi ke segitiga siku-siku yang pertama. Berdasarkan teorema Pythagoras, hubungan antara ketiga sisi tersebut secara matematis dituliskan dengan.

a^2 + b^2 = c^2

Sisi a dan b sendiri bisa dituliskan dalam bentuk trigonometri sebagai berikut.

a = c\sin\alpha
b = c\cos\alpha

Kemudian substitusikan persamaan di atas, maka akan didapat identitas yang pertama yaitu.

(c\sin\alpha)^2 + (c\cos\alpha)^2 = c^2
c^2\sin^2\alpha + c^2\cos^2\alpha = c^2
\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1

Untuk identitas lainnya, kita bisa gunakan persamaan di atas. Yang pertama coba kalikan 1/\cos^2\alpha pada kedua ruas, sehingga menjadi.

\tan^2\alpha + 1 = \sec^2\alpha

Satu lagi, silahkan untuk mengalikan dengan 1/\sin^2\alpha.

\cot^2\alpha + 1 = \csc^2\alpha
Label
Search icon