Induksi Matematika

Tujuan utama dari induksi matematika yaitu membuktikan kebenaran suatu preposisi
Tujuan utama dari induksi matematika yaitu membuktikan kebenaran suatu preposisi.

Pembuktian

Suatu pernyataan dalam matematika tentu perlu ada hal yang mendasarinya, apakah pernyataan tersebut benar atau salah. Salah satu cara untuk membuktikan suatu kebenaran pada suatu pernyataan yakni menggunakan induksi matematika.

Teknik ini merupakan salah satu cara dari sekian banyaknya metode untuk membuktikan suatu pernyataan matematika, seperti pembuktian langsung (direct proof), pembuktian secara kontradiksi (contradiction proof), dan lainnya.

Pada induksi matematika, suatu pernyataan diperiksa apakah kebenarannya berlaku untuk semua bilangan bulat positif.

Maksudnya adalah, jika suatu preposisi (pernyataan yang hanya bisa salah atau benar saja, tidak bisa keduanya) mengatakan bahwa jumlah semua n buah bilangan positif pertama, sebagai contoh ialah \frac{n\left(n+1\right)}{2} .

Maka, preposisi tersebut harus berlaku ketika n = 0,1,2,3\dots dan seterusnya. Artinya ketika n=5 jumlahnya harus sesuai dengan 0+1\dots+5, begitu juga ketika n=10 dan lainnya.

Sangat mustahil bagi kita untuk memeriksanya satu-satu, mengingat jumlah bilangan bulat positif sendiri begitu banyak.

Mungkin bisa menjadi motivasi tersendiri, mengapa muncul induksi matematika di dunia ini.

Induksi Matematika

Prinsip induksi matematika itu cukup sederhana, kita perlu membuktikan bahwa, jika pada suatu indeks ke k benar, maka akan menyebabkan indeks ke k+1 juga benar. Ini adalah bentuk implikasi, jika P maka Q atau P\rightarrow Q.

Karena kita telah membuat suatu implikasi yang sifatnya beranjak naik (dari indeks terkecil dan seterusnya). Maka kita perlu mencari kebenaran dari indeks terkecil alias pertama.

Masih belum ada bayangan bagaimana pembuktiannya bekerja? Coba bayangkan, misal untuk indeks pertama kita sudah membuktikan kebenarannya.

Karena kita telah membuktikan bahwa pada sembarang indeks, sebut saja k, dan terbukti kebenarannya, nah dengan adanya implikasi sebelumnya maka secara gak langsung kita juga udah membuktika selanjutnya juga benar.

Maka ilustrasinya sebagai berikut. Telah dibuktikan secara tersendiri P(1) benar maka P(2) benar, karena P(2) benar, maka P(3) benar, dan begitu seterusnya.

Oleh karena itu, teknik induksi iatematika ini sering diilustrasikan dengan apa yang disebut dominos effect, satu jatuh maka semua jatuh, kalau dalam bahasan kali ini, analoginya satu benar maka semuanya benar.

Efek domino mengibaratkan proses induksi matematika

Apabila dirangkum maka proses secara umumnya yakni sebagai berikut:
1. Buktikan bahwa untuk n yang pertama, preposisi terpenuhi.
2. Asumsikan indeks sembarang n pada k, P(k).
3. Jika P(k) benar maka indeks selanjutnya yaitu pada k+1, maka P(k+1) harus juga benar.

Contoh

Biar dapat gambaran lebih, sekarang coba kita selesaikan contoh berikut ini.

Kita akan coba membuktikan bahwa 5^{2n+1}+2^{2n+1} habis dibagi oleh 7 untuk n\geq0

Supaya sederhana kita langsung gunakan rangkuman sebelumnya aja, pertama periksa apakah untuk n pertama (yang mana dalam kasus ini adalah n=0) habis dibagi 7?.

Untuk n=0, 5^{2(0)+1}+2^{2(0)+1}=7 sangat terlihat jelas bahwa, 7 habis dibagi dengan 7, maka terbukti.

Untuk membuktikan implikasinya, asumsikan pada suatu indeks sebut saja n=k berlaku rumus sebelumnya, yakni 5^{2k+1}+2^{2k+1} harus habis dibagi 7.

Untuk itu, pada indeks berikutnya yakni pada n=k+1 harus habis dibagi 7 juga,

5^{2(k+1)+1}+2^{2(k+1)+1} = 5^{2k+2+1}+2^{2k+2+1}
\rightarrow = 5^{2k+1}5^{2}+2^{2k+1}2^{2} .

Kemudian kita urai, berarti ada 5^2 = 25 buah suku 5^{2k+1} dan terdapat 2^2=4 buah suku 2^{2k+1}, atau bisa kita tuliskan menjadi

\underbrace{5^{2k+1} + \dots + 5^{2k+1}}_\text{25} + \underbrace{2^{2k+1} + \dots + 2^{2k+1}}_\text{4} .

Lalu disusun ulang menjadi

4\left(5^{2k+1}+2^{2k+1}\right) + 21(5^{2k+1})

, perlu diperhatikan bahwa 4\left(5^{2k+1}+2^{2k+1}\right) jelas habis dibagi 7 karena memuat asumsi yang telah kita buat di awal, sedangkan 21(5^{2k+1}) karena ada konstanta 21 yang merupakan kelipatan 7, maka habis juga dibagi 7.

Dengan demikian karena kedua suku di atas habis dibagi 7, yang artinya membuat pada indeks n=k+1 otomatis habis dibagi 7, sehingga terbuktilah preposisi di atas.

Di akhir pembahasan, di sini terlihat jelas bahwa bentuk implikasi dan pembuktian untuk indeks paling awal saling berkaitan, artinya keduanya harus terpenuhi apabila ingin membuktikan kebenarannya, tidak boleh salah satunya saja.

Tidak ada batasan, mana yang ingin kalian buktikan terlebih dahulu. Implikasinya atau pada indeks awalnya terlebih dahulu, silahkan dipilih mana yang menurut kalian lebih masuk akal. Namun memang yang paling sederhana biasanya yaitu membuktikan indeks awalnya terlebih dahulu.

Label
< Materi SebelumnyaGeometri Ruang
Search icon