Sistem Pertidaksamaan Dua Variabel (SPtDV)

Disini kita akan tertarik mengetauhi daerah solusi, artinya tidak tunggal solusinya
Disini kita akan tertarik mengetauhi daerah solusi, artinya tidak tunggal solusinya.

Materi kali ini akan mengulas bagaimana kita mencari solusi dari sistem pertidaksamaan dua variabel. Solusi yang dimaksud kali ini akan berupa interval atau rentang bilangan.

Daftar Isi

Sistem Pertidaksamaan

Jika pada materi-materi sebelumnya kita sering menemui sebuah sistem persamaan, yang terdapat tanda = yang menghubungkan relasi antara nilai ekspresi pada ruas kiri dan kanan.

Dengan judul yang sudah tertera, maka sangat mudah untuk ditebak bahwa kali ini kita akan berurusan dengan simbol matematis yang tandanya seperti < (kurang dari) dan \leq (kurang dari atau sama dengan).

Terdapat Banyak Solusinya

Apabila kita perhatikan simbol tersebut dan kita pikirkan kembali, bisa kita dapatkan maksudnya, yang artinya kurang lebih terdapat kelompok nilai tertentu yang mana jika disubstitusikan hasilnya selalu kurang/atau sama dengan dari angka tertentu. Artinya kita punya "sekelompok bilangan" bukan bilangan tunggal supaya suatu pertidaksamaan terpenuhi.

Bila dituangkan ke dalam grafik, maka solusi dari sistem pertidaksamaan yaitu berupa daerah yang dibatasi oleh dua persamaan linear. Berbeda dengan sistem persamaan di mana solusinya merupakan titik potong dari kedua garis.

SPtDV

Sesuai dengan topik kali ini kita bakal membahas sistem pertidaksamaan yang terdiri dari dua variabel. Ekspresinya dalam matematika secara umum yaitu sebagai berikut.

{\color{Red}{a}}x+{\color{Red}{b}}y\leq{\color{Red}{c}}
{\color{Green}{d}}x+{\color{Green}{e}}y\geq{\color{Green}{f}}

Maksud dari kedua pertidaksamaan tersebut kurang lebih seperti ini, terdapat dua nilai x dan y tertentu yang menyebabkan kedua pertidaksamaan di atas selalu terpenuhi. Lebih rinci lagi maksudnya, nilai ruas kiri kurang/sama dengan nilai ruas kanan, dan harus berlaku keduanya.

Kombinasi antara nilai x dan y pada sistem pertidaksamaan dua variabel wajib memenuhi kedua pertidaksamaan. Tidak boleh salah satu saja.

Mungkin di antara tukang iseng bertanya-tanya, bagaimana dengan kondisi simbol ketaksamaan lainnya seperti > dan \geq atau < dan \leq?

Sejatinya konsepnya sama saja, tidak ada perbedaan langkah dalam proses penyelesaiannya.

Contoh Penyelesaian

Oke, sekarang coba kita lihat contoh berikut, kita punya dua buah pertidaksamaan linear.

x-y < 2 (1)
2x-y\geq -2 (2)

Apabila dalam bentuk persamaan kita memiliki pasangan x dan y yang berada tepat di garis. Kali ini kita punya suatu daerah, di mana kombinasi x dan y pada daerah tersebut memenuhi pertidaksamaan di atas.

Berikut adalah daerah yang memenuhi pertidaksamaan pertama.

Daerah penyelesaian untuk pertidaksamaan pertama

Semua kombinasi x dan y pada daerah yang diberi warna merah tersebut jika disubstitusikan nilainya akan selalu kurang dari 2.

Kemudian daerah solusi untuk pertidaksamaan kedua.

Daerah penyelesaian untuk pertidaksamaan kedua

Sampai saat ini mungkin di antara tukang iseng ada yang bertanya, bagaimana cara menentukan daerah tersebut?

Tanpa perlu menghitung sejatinya kita bisa menentukan daerah tersebut, sebagai contoh, coba kita pakai pertidaksamaan (1).

Kita tulis ulang sehingga menjadi y > x-2. Coba perhatikan, jika pada suatu persamaan, nilai y sama dengan x-2, maka apabila kita naik sedikit saja secara vertikal lurus di atas garis y= x-2, sebut saja kelompok nilai tersebut diwakili y_t.

Sudah pasti y_t akan lebih besar dari x-2, dan ini berlaku juga apabila simbol ketaksamaannya < (yang membedakkan yaitu kita membayangkan untuk nilai-nilai yang berada tepat di bawah garisnya secara vertikal) dan ketaksamaan lainnya.

Sampai sini sudah kebayang belum? Kalau belum, coba perhatiin lagi, sekarang kita anggap pertidaksamaan tersebut menjadi sebuah persamaan, dan kita gambar garisnya.

Jika pada nilai x tertentu memberikan hasil kepada y, maka di sini nilai yang berada tepat di atas garis (yang tak lain merupakan y) tersebut, tentunya akan lebih besar.

Lanjut lagi, jika kita sudah selesai mencari daerah masing-masing pertidaksamaan, lantas bagaimana menentukan solusi akhirnya?

Nah, solusinya yaitu daerah yang dicakup oleh pertidaksamaan (1) begitu juga pertidaksamaan (2) secara bersamaan, tentu secara logika adalah irisan dari keduanya.

Untuk mencari irisannya, tukang iseng dapat menyelesaikannya seolah-olah pertidaksamaan (1) dan (2) merupakan dua buah persamaan. Lalu dapat gunakan metode eliminasi, substitusi, atau apapun itu, silahkan senyamannya kalian.

Dan untuk contoh ini, jika keduanya dianggap persamaan solusinya adalah x=-4 dan y=-6. Yang jadi pertanyaan lagi, memang untuk apa sih nyari titik potong ini? Jadi, walaupun secara grafik atau visual aslinya kita sudah melihat daerah mana yang menjadi solusinya, namun kita juga perlu tahu setidaknya satu titik yang menjadi batasan daerah ini.

Daerah irisan untuk kedua pertidaksamaan tersebut yakni seperti pada gambar di bawah ini (perhatikan bahwa daerah ini dicakup oleh keduanya).

Daerah penyelesaian secara keseluruhan

Adakah Cara Selain Menggunakan Grafik?

Bagaimana jika tidak sempat menggambar grafik? Mungkin kalau disebut menyelesaikan dengan cara lain, sejauh ini belum ada cara lain. Namun jika dibilang menotasikan dengan teknik lain, maka kita merepresentasikannya dengan notasi himpunan. Yakni dengan menggunakan notasi irisan, \cap.

Tips Menentukan Daerah Solusi

Di akhir pembahasan kali ini ada tips apabila tukang iseng bingung mengenai penjelasan sebelumnya, lebih tepatnya mengenai penentuan daerah solusi dari suatu pertidaksamaan.

Apabila tukang iseng sudah berhasil menggambarkan suatu garis yang ingin dicari daerahnya. Selanjutnya adalah melakukan sampling atau cuplikan, bahasa sederhananya memeriksa pada salah satu daerah.

Berhubung ini dua variabel, maka grafiknya akan berupa garis, yang jika digambar akan membagi menjadi tepat dua daerah saja. Untuk itu kita hanya perlu mencoba salah satu titik, kemudian substitusikan pada pertidaksamaan yang dimaksud.

Apabila ketaksamaannya terpenuhi maka bisa kita katakan bahwa daerah di mana titik itu berada merupakan daerah solusinya.

Jika tidak, maka daerah disebrangnya lah yang menjadi solusinya. Oke cukup sudah pemaparannya sampai di sini, saya harap secara konseptual kalian sudah mulai memahami maksud dari sistem pertidaksamaan ini, yang mana intinya adalah mencari daerah yang menjadi solusi kedua pertidaksamaan ini.

Materi pada pembahasan kali ini akan menjadi bekal kalian untuk mempelajari konsep yang lebih lanjut, yaitu mencari pasangan pada daerah ini di mana pasangan variabel tersebut akan menghasilkan nilai optimal.

Label

Komentar

Search icon