Nilai Mutlak - Persamaan, Pertidaksamaan, Solusi

Mutlak secara bahasa dapat diartikan sebagai hal yang "sifatnya" (property) selalu sama dilihat dari sudut pandang manapun.

Berbeda dengan makna relatif di mana pada sudut pandang tertentu bisa saja sifatnya tidak bisa dipertahankan.

Contoh hal yang mutlak adalah kecepatan cahaya. Mengapa? Karena kecepatan cahaya merupakan hal yang paling cepat di antara hal lainnya di dunia.

Mau dilihat dari manapun tidak akan merubah "sifat" cepat itu, kecuali kita melaju setara kecepatan cahaya. Tapi apakah mungkin? Nah apakah kalian dapat menemukan contoh lainnya?

Lalu apa hubungannya dengan matematika? Jadi, dalam matematika "sifat" yang dimaksud itu adalah tanda dari suatu bilangan.

Tanda suatu bilanganlah yang akan terus dijaga supaya berada pada sisi yang sama.

Mengingat suatu bilangan bisa bernilai negatif, misal karena adanya operasi. Sebagai contoh perkalian dengan -1, atau bisa juga akibat adanya pengurangan yang melebihi suatu angka.

Demikian dengan adanya isitilah nilai mutlak, maka tanda suatu bilangan akan selalu dipertahankan. Dalam hal ini tandanya akan selalu bernilai positif.

Simbol yang digunakan dalam matematika untuk nilai mutlak yaitu sebagai berikut:

Apabila kalian asing dengan simbol di atas, begini maksudnya.

Artinya, ketika x bernilai negatif (kurang dari 0) maka nilainya dikalikan dengan -1. Jika positif (lebih besar atau sama dengan 0), maka tidak diapa-apakan.

Prinsipnya sangat masuk akal, mengingat apabila bilangan negatif dikalikan bilangan negatif juga, maka akan bernilai positif.

Dan karena bilangan negatif yang dimaksud adalah -1, maka besarnya dipertahankan.

Kali ini kita bakal ngebahas tentang suatu persamaan yang memuat nilai mutlak. Tapi sebelumnya kita harus sepakat dulu mengenai pemahaman tentang persamaan.

Karena cukup sepele, tapi juga cukup krusial untuk memaknai apa itu persamaan.

Dalam matematika, apabila terdapat dua ekspresi atau pernyataan yang hubungan keduanya diwakili oleh tanda seperti ini =. Artinya ada kesamaan antara nilai ruas kiri dengan ruas kanan.

Maksud ruas kiri dan kanannya apa tuh? Jadi, ekspresi atau pernyataan yang ada di sebelah kiri disebut sebagai ruas kiri, dan sebaliknya untuk ruas sebelah kanan.

Contoh dari persamaan x = 9 (x berada di ruas kiri, dan 9 di kanan), contoh lainnya x + 1 = 7 (7 di ruas kanan, dan x + 1 di kiri).

Masih banyak lagi, dan kalian bisa menemukannya sendiri. Sederhana bukan, maksud dari persamaan matematika?

Intinya jangan ngebayangin yang rumit-rumit kalau udah ada kata persamaan.

Nah sekarang, apabila dilibatkan nilai mutlak, maka suatu persamaan akan mengandung ekspresi atau bentuk mutlak didalamnya. Contoh sederhananya:

Solusi dari persamaan ini adalah:

Tunggu..., kok bisa dua solusinya? Ingat kembali definisi dari nilai mutlak di atas. Di situ dinyatakan bahwa terdapat dua kemungkinan untuk mendapatkan nilai 5.

Yaitu ketika x = 5, dan satu laginya saat x = -5.

Masih gak percaya, atau masih belum dapet maksudnya kenapa dua solusinya?

Kalau gitu, teman-teman bisa coba substitusikan nilai 5 dan -5 tersebut ke dalam persamaan sebelumnya. Lalu coba ikuti definisi mutlak. Tentunya hasilnya akan terpenuhi bukan?

Sekarang coba kita beralih ke contoh yang lumayan rumitnya, |x + 5| = 8. Pertanyaannya, bagaimana cara menyelesaikannya?

Sederhana! Cari tahu kapan x + 5 akan bernilai positif dan negatif. Ekspresi di dalam simbol mutlak tersebut akan bernilai negatif yakni ketika:

Lalu bernilai positif ketika:

Dan kedua kondisi tersebut terjadi, di mana x + 5 akan bernilai positif apabila x ≥ -5, dan negatif saat x< -5.

Setelah itu, kita buat dua kemungkinan solusinya. Untuk interval nilai x kurang dari -5, maka ekspresi di dalam mutlaknya kita kalikan dengan -1.

Maksudnya apa? Karena interval bilangan tersebut membuat ekspresi di dalamnya menjadi negatif, sehingga agar tetap positif harus dikalikan -1.

Dengan demikian, untuk interval x < -5, nilai x yang memenuhinya adalah:

Sedangkan untuk interval x > 5, kita tidak perlu mengalikan lagi dengan bilangan negatif, sebab nilai yang dihasilkan ekspresi tersebut sudah bernilai positif.

Dengan demikian solusi untuk persamaan |x + 5| = 8 adalah x < -5, x = -13 dan x ≥ 5, x = 3.

Jadi, secara garis besar bisa kita rangkum langkah untuk mengetahui solusi dari persamaan yang mengandung nilai mutlak, yaitu:

1. Ketahui kapan ekspresi di dalam tanda mutlak bernilai negatif dan positif.
2. Cari interval keduanya.
3. Selesaikan persamaannya, mengikuti definisi mutlak untuk masing-masing interval.

Nah, kalau pada persamaan berarti ada kesamaan nilai antara kedua ruas, untuk pertidaksamaan tukang iseng bisa tahu kan artinya?

Ya, jadi artinya nilainya tidak sama namun ada kondisi bisa juga kedua ruas bernilai sama. Gimana tuh maksudnya? Hint: ingat tanda ≥ dan ≤.

Seperti yang kita ketahui, hubungan dua nilai dalam matematika bisa mempunyai kondisi kurang dari sesuatu bisa juga sama nilainya.

Misalnya terdapat pertidaksamaan seperti |x - 5| ≤ 10. Yang menjadi pertanyaaan, apakah pengerjaannya berbeda dengan sebelumnya?

Nah kalian harus bersyukur, karena cara pengerjaannya serupa dengan sebelumnya wahai tukang iseng!

Tapi ada yang perlu diperhatikan pada kondisi ini, yaitu simbol ketaksamaannya.

Jika pada persamaan maka akan ada dua kemungkinan solusi, pada pertidaksamaan akan ada banyak solusinya. Dan saking banyaknya, solusi tersebut disajikan ke dalam sebuah interval.

Pertama-tama, prosesnya mirip seperti sebelumnya, kita cari dahulu dua kemungkinan solusinya.

Yaitu ketika ekspresi di dalam mutlaknya (yaitu x - 5) negatif dan positif. Dengan demikian ada dua kondisi, yaitu ketika x < 5 dan x ≥ 5.

Untuk interval ketika x < 5, interval solusinya adalah:

Catatan: Perhatikan tanda ketidaksamaanya.

Interval solusi kedua yaitu ketika x ≥ 5, yang merupakan:

Jika digabungkan dengan mencari irisannya, interval solusi dari pertidaksamaan sebelumnya, adalah:

Nah, dari sini terlihat bahwa penyelesaiannya benar-benar serupa.

Yang membedakan adalah bagaimana suatu tanda ketaksamaan pada setiap solusi akan menunjukkan daerah atau interval solusi, bukan solusi tunggal.