Bentuk Aljabar

Mengenal konsep dasar bentuk aljabar
Mengenal konsep dasar bentuk aljabar

Aljabar

Satu hal yang perlu dipahami terlebih dahulu yaitu arti dari persamaan dalam Matematika, mungkin diantara tukang iseng ada yang berpikir aneh-aneh atau macem-macem kalau udah bicara tentang persamaan.

Sejatinya, ketika kita menuliskan ekspresi atau bentuk Matematika yang paling sederhana saja, 1=1, itu sudah termasuk atau tergolong sebagai persamaan, contoh lainya, 1+9 = 8+2, 9\times2 = 10 + 8, dan lainnya.

Dari ketiga contoh di atas seharusnya kita paham ya, kalau arti dari suatu persamaan itu ada kesamaan antara nilai/bilangan/besar pada ruas kiri dan ruas kanan. Nah, maksud dari ruas kiri tersebut merupakan sesuatu ekspresi Matematika yang ada di sebelah kiri tanda sama dengan =, dan sebaliknya untuk ruas kanan.

Nah, kalau udah paham tentang persamaan bakal enak nih ngejelasin tentang aljabarnya. Jadi gini, misal kita ditantang oleh teman atau mungkin guru kita untuk menyelesaikan teka-teki, "coba carilah bilangan yang kalau ditambah 9 hasilnya adalah 11", atau bisa juga "bro, kamu tau gak, bilangan yang kalau dikali 5 hasilnya 35".

Permasalahan tersebut bisa kita tuangkan ke dalam bentuk Matematika, jadi gak di buat kata-kata. Kalau misal bilangan yang tidak diketahui tersebut kita simbolkan dengan suatu huruf x, maka untuk permasalahan yang pertama bisa diekspresikan sebagai berikut
x+9 = 11

Sedangkan untuk permasalahan yang kedua bisa kita ekspresikan seperti berikut x\times5=35, biasanya untuk perkalian kita mengabaikan tanda operasi perkalian tersebut, alias bisa kita tulis 5x=35. Dan kedua bentuk ini merupakan dua contoh ekspresi dari aljabar.

Kalau kita menyelesaikan permasalahan tersebut menggunakan nalar, akan cukup sulit, misal pada permasalahan yang kedua, kita harus mencari angka yang kalau dikali 5 akan menghasilkan 35, terus kita coba satu-satu, mulai dari angka 1, 2, dan seterusnya.

Permasalahan akan semakin ribet dan sulit, ketika ternyata angka yang dimaksud merupakan bilangan pecahan, bisa juga bilangan real.

Untuk menyelesaikannya, ada satu hal yang harus kalian pahami, sejatinya x merupakan pengganti/perwakilan dari suatu bilangan yang belum diketahui, pada aljabar hal tersebut dinamakan variabel.

Jadi intinya variabel merupakan reprentasi bilangan sehingga kita dapat pula melakukan operasi seperti halnya bilangan, namun tidak bisa dioperasikan dengan yang wujudnya sudah bilangan, kalimatnya agak ribet ya? Coba perhatikan bagian berikutnya.

Operasi Aljabar

Misal kita punya persamaan 2x + 2 = x + 4, tentu kalau diselesaikan secara bahasa akan ngebingungin, "carilah suatu bilangan yang kalau dikali 2 terus ditambah 4 nilainya sama seperti bilangan itu sendiri ditambah 4".

Sebelum lanjut, coba perhatikan sebentar, misal ada persamaan 9 = 3+6, operasi pada suatu persamaan selalu dilakukan pada kedua ruasnya, kenapa? Karena jika tidak kita akan merusak relasi antara kedua ruas. Seperti, 9 = 3 + 6 + {\color{Red}{2}}, ketika kita tambahkan angka 2 pada ruas kanan saja maka relasi kesamaan nilai antara keduanya jadi gak sesuai.

Sehingga dinyatakan sebagai 9\neq3+6+{\color{Red}{2}} alias tidak sama dengan ... . Apabila kita operasikan pada kedua ruas, maka tanda kesamaan tetap terjaga, 9+{\color{Red}{2}} = 3+ 6 + {\color{Red}{2}} .

Balik lagi ke 2x + 2 = x + 4, nah sekarang kita coba operasi pada variabel, kita kurangi masing-masing ruas dengan x, maka
2x + 2 - {\color{Red}{x}} = x + 4 - {\color{Red}{x}}
operasi pada aljabar juga berlaku sifat-sifat seperti asosiatif, komutatif, distributif dan sebagainya
x + 2 = 4

Selanjutnya kita tinggalkan x sebatang kara di ruas kiri, dengan mengurangi dengan angka 2 disetiap ruas
x + 2 - {\color{Red}{2}} = 4 - {\color{Red}{2}}
\rightarrow x = 2
, ketika kita sudah mencapai ekspresi atau bentuk di mana variabel x tinggal sendiri di salah satu ruas, dan tidak ada pengalinya (contoh 2x, 9x dsb) maka bisa diartikan bahwa x adalah 2.

Dan itu adalah solusi kita, mau bukti coba kita ganti/substitusi variabel x pada persamaan 2x + 2 = x + 4, sehingga
2(2) + 2 = (2) + 4
6 = 6
, terbukti bukan?

Begitu juga pada perkalian dan pembagian, misal \frac{1}{2}x+1=3, untuk mengetahui x kita kalikan saja dengan 2 persamaan tersebut, sehingga
\left(\frac{1}{2}x+1\right)\times{\color{Red}{2}}=3\times{\color{Red}{2}}
x+2=6
, dengan proses yang sama seperti sebelumnya, kita bakal tahu bahwa x adalah 4. Untuk pembagian coba tukang iseng coba sendiri, 3x+6=9, cari berapa x yang dimaksud!

Variabel, Koefisien, Konstanta, dan Suku.

Tunggu..., rasanya tidak lengkap kalau kita gak kenal istilah-istilah yang muncul pada suatu ekspresi atau bentuk aljabar. Sebelumnya kita udah kenal variabel, mungkin kita buat kalimatnya aja secara eksplisit, jadi variabel itu intinya pengganti suatu bilangan yang belum kita ketahui dan mungkin ingin kita cari nilainya.

Kalau sebelumnya kita selalu punya variabel x yang selalu berpangkat satu, bentuk aljabar sebenernya tidak sebatas itu, bentuk x^2 + 2x + 1= 0, x^2 -1 = 0, x^3+5x^2+2x+9=0 dan masih banyak lagi juga merupakan bagian dari bentuk aljabar. Bahkan pangkat n (bisa berapun artinya) juga bisa.

Perhatikan persamaan berikut, bilangan yang merupakan pengali suatu variabel disebut sebagai koefisien, sedangkan gabungan antara koefisien dan variabel disebut sebagai suku, bilangan yang berada di atas variabel merupakan pangkat(menentukan berapa kali variabel tersebut dikalikan dengan dirinya sendiri).

Istilah-istilah pada bentuk aljabar seperti, konstanta, variabel, suku, dan pangkat

Sebentar..., x^2 variabelnya x^2 kah? Betul bro, mungkin diantara kalian ada yang bertanya, kok bisa, padahal kan x^2 = (x)(x) alias sama-sama x? Sederhana aja, ketika kita substitusikan, misal aja x=2, apakah x dan x^2 akan menghasilkan nilai yang sama?

Sebelumnya kita tahu kalau pangkatnya tidak terbatas pada berpangkat satu, jumlah variabel pun sama, tidak terbatas pada satu variabel saja, misal x aja, bisa juga ada variabel lainnya, misal y, z, dan lainnya.

Seperti x+2y = 9, 2x-z = 5, x+2y+3z = 11, dan masih banyak lagi. Kalau variabelnya bisa berpangkat berapapun, dan jumlah variabelnya bisa ada beberapa macam, berarti bisa juga dong digabungin keduanya? Jawabannya bisa, seperti x^2-y^2 = 5, x^2-2z = 10, dan lainnya.

Penyederhanaan

Persamaan seperti 5x+y+7 = 2x - 3y - 3 merupakan persamaan yang cukup membingungkan, karena ada dua variabel x dan y masing-masing berada di kedua ruas persamaan, padahal kita dapat me"nyederhanakan"nya sehingga variabel yang sama direpresentasikan menjadi satu suku yang sama.

Dengan menggunakan prinsip operasi aljabar pada pembahasan sebelum-sebelumnya akan ditemukan persamaan dalam bentuk sederhananya
3x+4y+10=0 .

Contoh lainnya misal,

9xz - yz + 7xy + 11 = 6xy + 2xz -2yz + 9

, kelihatannya emang asing, nampak kita memiliki enam variabel di sini x,y,z,xy,xz,yz, namun pada persamaan tersebut kita perhatikan hanya ada tiga saja xy,xz,yz. Pertama-tama kurangi kedua ruas dengan 6x

9xz - yz + 7xy + 11 - {\color{Red}{6xy}} = 6xy + 2xz -2yz + 9 - {\color{Red}{6xy}}, kemudian dengan 2xz
9xz - yz + xy + 11 - {\color{Red}{2xz}} = 2xz -2yz + 9 - {\color{Red}{2xz}}

, begitu juga untuk yz, dan konstanta, sehingga persamaan dalam bentuk sederhananya
7xz + yz + xy + 2  = 0 .

Ingat lagi, variabel dapat dioperasikan seperti halnya bilangan (ya memang karena dia mewakili bilangan). Dalam bentuk pecahan \frac{9xyz}{3x}, maka kita dapat perlakukan variabel seolah-olah bilangan juga, dengan demikian
\frac{9\cancel{x}yz}{3\cancel{x}}
\rightarrow 3yz
, perhatikan juga bahwa \frac{9}{3} = 3.

Label
< Materi SebelumnyaBangun Ruang Sisi Lengkung
Search icon