Bentuk Aljabar - Variabel, Koefisien, Suku

Mengenal konsep dasar bentuk aljabar
Mengenal konsep dasar bentuk aljabar

Kalau Tim ISENG beranggapan bahwa, materi mengenai bentuk aljabar merupakan pintu kita untuk belajar matematika lebih dalam.

Dengan konsep ini, sangat mungkin melakukan penyelesaian masalah sehari-hari hingga yang sulit menggunakan matematika.

Daftar Isi

Aljabar

Satu hal yang perlu dipahami terlebih dahulu yaitu arti dari persamaan dan kesamaan dalam matematika.

Persamaan Matematika

Bisa saja di antara tukang iseng ada yang berpikir aneh-aneh kalau udah bicara tentang persamaan dan kesamaan. Atau sudah membayangkan hal-hal yang kompleks.

Sejatinya, ketika kita menuliskan ekspresi atau bentuk matematis yang paling sederhana saja, seperti 1 = 1 .

Itu sudah termasuk atau tergolong sebagai kesamaan, contoh lainya, 1 + 9 = 8 + 2, 9 × 2 = 10 + 8, dan lainnya.

Dari ketiga contoh di atas seharusnya kita pahami mengenai satu hal.

Kalau arti dari suatu persamaan dan kesamaan itu ada hal sama antara nilai/bilangan/besar pada ruas kiri dan ruas kanan.

Nah, maksud dari ruas kiri tersebut merupakan sebuah ekspresi matematis yang ada di sebelah kiri tanda sama dengan =. Dan sebaliknya untuk ruas kanan.

Nah, kalau udah paham tentang kesamaan bakal enak nih ngejelasin tentang aljabarnya.

Jadi gini, misal kita ditantang oleh teman atau mungkin guru kita untuk menyelesaikan teka-teki.

Mereka mengatakan "coba carilah bilangan yang kalau ditambah 9 hasilnya adalah 11". Bisa juga tantangannya "bro, kamu tau gak bilangan yang kalau dikali 5 hasilnya 35?".

Permasalahan tersebut bisa dituangkan ke dalam bentuk matematika, jadi gak disusun dengan kata-kata.

Kalau misal bilangan yang tidak diketahui tersebut kita simbolkan dengan suatu huruf x.

Maka untuk permasalahan yang pertama bisa dituliskan seperti berikut:

x+9 = 11

Sedangkan untuk permasalahan yang kedua bisa kita ekspresikan seperti berikut:

x\times5=35

Umumnya untuk perkalian, kita mengabaikan tanda operasi perkalian tersebut. Sehingga penulisannya menjadi kayak gini:

5x=35

Dan kedua bentuk ini merupakan dua contoh ekspresi dari aljabar.

Kalau kita menyelesaikan permasalahan tersebut menggunakan nalar, akan cukup sulit.

Misal pada permasalahan yang kedua, kita harus mencari angka yang kalau dikali 5 akan menghasilkan 35.

Sangat tidak mungkin jika ingin coba mencarinya satu per satu, mulai dari angka 1, 2, 3, dan seterusnya.

Permasalahan akan semakin ribet dan sulit jika bilangannya tak terbatas bilangan bulat.

Contohnya angka-angka yang dimaksud merupakan bilangan pecahan. Dan semakin merepotkan jika bilangannya real.

Untuk menyelesaikannya, ada satu hal yang harus kalian pahami.

Sejatinya x merupakan pengganti/perwakilan dari suatu bilangan yang belum diketahui. Pada aljabar hal tersebut dinamakan variabel.

Jadi intinya, variabel merupakan reprentasi bilangan sehingga kita dapat pula melakukan operasi seperti halnya bilangan.

Namun, tidak bisa dioperasikan dengan yang wujudnya sudah bilangan. Kalimatnya agak ribet ya? Biar jelas, coba lanjut ke bagian berikutnya.

Operasi Aljabar

Misal kita punya persamaan 2x + 2 = x + 4, tentu kalau diselesaikan secara bahasa akan ngebingungin.

Ini dia jika secara kalimat "Carilah suatu bilangan yang kalau dikali 2 terus ditambah 4 nilainya sama seperti bilangan itu sendiri ditambah 4".

Dilakukan Pada Kedua Ruas

Sebelum lanjut, coba perhatikan sebentar, misal ada kesamaan 9 = 3 + 6.

Operasi pada baik persamaan ataupun kesamaan selalu dilakukan pada kedua ruasnya, kenapa demikian?

Karena jika tidak, kita akan merusak relasi antara kedua ruas. Seperti:

9 = 3 + 6 + \color{Red}{2}

Saat ditambahkan angka 2 (diberi warna merah) pada ruas kanan saja, maka relasi kesamaan nilai antara keduanya jadi gak sesuai.

Sehingga nantinya berubah dan dinyatakan sebagai:

9\neq3+6+{\color{Red}{2}}

Alias kedua ruas menjadi tidak sama nilainya.

Apabila ingin mengoperasikan kesamaannya, maka perlu dilakukan kedua ruas, sehingga tanda kesamaan tetap terjaga:

9+{\color{Red}{2}} = 3+ 6 + {\color{Red}{2}}
Operasi yang sama harus pada sebuah persamaan serta kesamaaan harus dilakukan pada keduas ruasnya.

Operasi Pertambahan dan Pengurangan

Balik lagi ke 2x + 2 = x + 4. Nah sekarang coba lakukan operasi pada variabel. Kurangi masing-masing ruas dengan x, sehingga:

2x + 2 - {\color{Red}{x}} = x + 4 - {\color{Red}{x}}

Operasi pada aljabar juga berlaku sifat-sifat seperti asosiatif, komutatif, distributif dan sebagainya.

Sehingga tak masalah jika urutan operasinya dilakukan dari depan, seperti:

-{\color{Red}{x}} + 2x + 2 = -{\color{Red}{x}} + x + 4

Kedua operasinya sama-sama menghasilkan:

x + 2 = 4

Selanjutnya kita tinggalkan variabel x sebatang kara di ruas kiri. Dengan mengurangi dengan angka 2 di setiap ruas.

x + 2 - {\color{Red}{2}} = 4 - {\color{Red}{2}}
x = 2

Sampa sini, sudah dicapau ekspresi atau bentuk di mana variabel x tinggal sendiri di salah satu ruas.

Juga tidak ada pengalinya (contoh 2x, 9x, dsb.), maka bisa diartikan bahwa x merupakan pengganti angka 2.

Dan itu adalah solusi akhir kita. Mau buktinya? Coba kita ganti/substitusi variabel x pada persamaan sebelumnya, sehingga:

2(2) + 2 = (2) + 4
6 = 6

Kedua ruas nilainya sama, sehingga kesamaannya terpenuhi, terbukti bukan?

Operasi Perkalian dan Pembagian

Begitu juga pada operasi lainnya, seperti perkalian dan pembagian. Misal ada persamaan:

\frac{1}{2}x+1=3

Untuk mengetahui x, kalikan saja dengan angka 2 pada kedua ruas persamaan tersebut, sehingga:

\left(\frac{1}{2}x+1\right)\times{\color{Red}{2}}=3\times{\color{Red}{2}}
x+2=6

Melalui proses yang sama seperti sebelumnya, kita bakal tahu bahwa x adalah 4.

Hint: kurangi kedua ruas dengan 2.

Untuk operasi pembagian, bisa tukang iseng coba sendiri. Dari persamaan 3x+6=9, cari berapa x yang dimaksud!

Istilah-Istilah Bentuk Aljabar

Tunggu..., rasanya tidak lengkap kalau kita gak kenal istilah-istilah yang muncul pada suatu ekspresi atau bentuk aljabar.

Variabel

Sebelumnya telah diketahui apa itu variabel. Mungkin kita buat aja kalimat secara eksplisitnya biar lebih paham.

Jadi variabel itu intinya pengganti suatu bilangan yang belum kita ketahui dan mungkin ingin kita cari nilainya.

Sebelumnya kita selalu punya variabel x yang selalu berpangkat satu. Bentuk aljabar sebenernya tidak sebatas itu,

Bentuk persamaan seperti:

x^2 + 2x + 1= 0
x^2 -1 = 0
x^3+5x^2+2x+9=0

Dan masih banyak lagi juga merupakan bagian dari bentuk aljabar. Bahkan pangkat n juga bisa, maksudnya pangkatnya bebas berapa pun itu.

Koefisien, Suku, dan Pangkat

Perhatikan persamaan di bawah, bilangan yang merupakan pengali suatu variabel disebut sebagai koefisien.

Sedangkan gabungan antara koefisien dan variabel disebut sebagai suku.

Bilangan yang berada di atas variabel merupakan pangkat. Yang menentukan berapa kali variabel tersebut dikalikan dengan dirinya sendiri.

Istilah-istilah pada bentuk aljabar seperti, konstanta, variabel, suku, dan pangkat

Sebentar..., apakah suku x2 variabelnya x2 itu sendiri?

Betul bro, mungkin di antara kalian ada yang bertanya, kok bisa? Padahal kan x2 = (x)(x) alias sama-sama x itu sendiri isinya?

Sederhana aja, ketika kita substitusikan, misal aja x = 2. Apakah x dan x2 akan selalu menghasilkan nilai yang sama? Tentunya gak selalu.

Sebelumnya kita tahu kalau pangkatnya tidak terbatas pada pangkat satu saja.

Jumlah variabel pun sama, tidak terbatas pada satu variabel saja, misal x aja. Bisa juga ada variabel lainnya, misal y, z, dan lainnya.

Seperti ini beberapa contohnya:

x+2y = 9
2x-z = 5
x+2y+3z = 11

Kalau variabelnya bisa berpangkat berapapun, dan jumlah variabelnya bisa ada beberapa macam. Berarti bisa juga dong digabungin keduanya? Tentu bisa.

Beberapa di antaranya seperti berikut:

x^2-y^2 = 5
x^2-2z = 10

Penyederhanaan

Persamaan seperti 5x+y+7 = 2x - 3y - 3 merupakan persamaan yang cukup membingungkan dan bisa dibilang boros penulisannya.

Karena ada dua variabel x dan y masing-masing berada di kedua ruas persamaan.

Kita dapat menyederhanakannya sehingga variabel yang sama direpresentasikan menjadi satu suku yang sama.

Dengan menggunakan prinsip operasi aljabar pada pembahasan sebelum-sebelumnya, akan ditemukan persamaan dalam bentuk sederhananya:

3x+4y+10=0
Pada sebuah persamaan dapat disederhanakan terhadap suku-suku yang variabelnya sama. Sehingga diwakili oleh satu suku saja.

Bentuk Pertambahan dan Pengurangan

Contoh lainnya misal:

9xz - yz + 7xy + 11 = 6xy + 2xz -2yz + 9

Kelihatannya emang asing, seolah-olah kita memiliki enam variabel di sini, yang terdiri dari x, y, z, xy, xz, dan yz.

Namun pada persamaan tersebut kita perhatikan hanya ada tiga saja xy, xz, yz.

Guna menyederhanakannya, pertama-tama kurangi kedua ruas dengan 6x.

9xz - yz + 7xy + 11 - {\color{Red}{6xy}} = 6xy + 2xz -2yz + 9 - {\color{Red}{6xy}}

Kemudian kurangi dengan 2xz.

9xz - yz + xy + 11 - {\color{Red}{2xz}} = 2xz -2yz + 9 - {\color{Red}{2xz}}

Begitu juga pada suku lainnya. Untuk yz dilakukan pertambahan dengan yz.

Terakhir pada konstantanya dikurangi dengan 9. Sehingga persamaan dalam bentuk sederhananya:

7xz + yz + xy + 2 = 0

Bentuk Perkalian dan Pembagian

Ingat lagi, variabel dapat dioperasikan seperti halnya bilangan (ya memang karena dia mewakili bilangan).

Dalam bentuk pecahan, misal \frac{9xyz}{3x}, maka kita dapat perlakukan variabel seolah-olah bilangan juga, dengan demikian:

\frac{9\cancel{x}yz}{3\cancel{x}}
3yz

Perhatikan juga bahwa angka 9 pada pembilang disederhankan akibat ada faktor yang sama pada penyebut.

\frac{9}{3} = \frac{3\cdot3}{3} = 3

Setelah mempelajari materi bentuk aljabar, akan lebih mudah untuk kita menyelesaikan permasalahan dalam bentuk persamaan linear.

Fokus kita di situ adalah mencari solusi sehingga baik persamaan ataupun pertidaksamaannya terpenuhi.

Label

Komentar

Search icon