Pola Bilangan

Kalau saya pribadi memang kurang suka sama yang namanya kuis mendadak, biasanya ada satu atau dua guru yang suka banget kuis di kelas secara dadakan. Tapi tak jarang juga pada guru tertentu, bisa kita tebak kapan saja biasanya seorang guru memberikan kuis.

Ada yang mungkin setiap 3 pertemuan sekali, dan bisa jadi ada juga yang 2 pertemuan sekali, sangar sih kalau sampe 2 pertemuan sekali mah. Artinya ada pola kapan suatu kuis dilaksanakan. Untungnya apa sih emangnya? Kita bisa mempersiapkan terlebih dahulu tentunya.

Itu baru contoh sederhana di lingkungan sekolah (yang diidealkan). Pola-pola yang ada di muka bumi ini bisa jadi memiliki perulangan yang tidak semudah itu. Di samping itu, menurut Tim ISENG, matematika itu digunakan sebagai bahasa untuk berinteraksi dengan alam, jadi apapun yang ada di alam ini berusaha untuk dituangkan ke dalam bentuk matematis.

Seperti halnya pola yang direpresentasikan oleh bilangan maupun persamaan. Contoh pola yang direpresentasikan oleh bilangan, , rentetan bilangan tersebut secara nalar bisa kita tebak, yaitu bilangan-bilangan genap positif. Angka selanjutnya pun bisa diterka dengan mudah yaitu .

Namun yang membuat kita tetarik adalah, dari situ kita melihat ada pola pertambahan sebesar (), dari urutan pertama, kedua, dan seterusnya. Dan pola seperti itu yang menjadi fokus kita saat ini.

Tadi sudah disebutkan bahwa, pola bilangan bisa saja tidak selalu lurus, maksudnya seperti halnya pertambahan yang sifatnya monoton, alias gitu-gitu aja. Kayak sebelumnya, pertambahannya dua dan dua seterusnya. Misal kita punya pola bilangan seperti berikut.

Mulai dari bilangan pertama ke bilangan kedua, kita melihat ada pertambahan sebesar (berasal dari ). Namun berbeda untuk kasus ketika kita beranjak dari bilangan kedua menuju yang ketiga, kita melihat pertambahannya adalah (berasal dari . Begitu seterusnya, kalau udah pertambahan , jadi , terus , balik ke lagi.

Pembuatan pola juga tidak terbatas pada pertambahan, operasi yang lainnya juga bisa, seperti pengurangan, perkalian, dan pembagian juga mungkin. Oke, kita tahu kalau operasinya bisa apa aja, selain itu nilai dari suatu bilangan pada urutan tertentu, bisa juga dipengaruhi oleh urutan dua suku sebelumnya, seperti ini.

Kira-kira ada yang bisa nebak gak polanya gimana? Oke kita bongkar saja. Jadi, pola bilangan di atas merupakan bersifat tidak monoton dan pola perubahannya dipengaruhi/bergantung pada dua suku sebelumnya (seperti yang barusan dijelaskan), seperti berikut.

Karena bingung nulis scriptnya kita bagi dua aja ya.

Dengan mengetahui pola bilangan ini, sewaktu-waktu ketika kita menemui sebuah permasalahan, yaitu disuruh menentukan bilangan pada urutan tertentu, seperti pada pola yang satu ini.

Tentu supaya lebih pasti kita tidak bisa mengandalkan nalar saja untuk mencari tahunya.

Polanya merupakan perkalian () berdasarkan urutan bilangan sebelumnya, seperti ini polanya.

Dengan mengetahui polanya, kita bisa mengetahui juga bilangan-bilangan setelahnya, namun akan menjadi pertanyaan bagaimana kalau kita pengen tahu bilangan pada urutan, misal ke-?

Cukup menarik, ketika kita pengen tahu berapa bilangan yang berada di urutan ke-, mengingat kita tidak mungkin untuk menghitungnya atau mencarinya satu persatu. Dengan demikian, kita perlu mencari suatu "hal" yang menggeneralisir atau memodelkan suatu pola bilangan.

Contoh awal, coba kita modelkan permasalahan yang tadi.

Mungkin untuk pola perkalian sebelumnya cukup sederhana, pola tersebut dapat kita wakili dengan persamaan yaitu . Sekarang coba kita periksa:

Dan seterusnya. Saya rasa, memang belum saatnya untuk kita mengetahui bagaimana bisa seperti itu, namun setidaknya kalian tahu bahwa suatu pola dapat kita ketahui persamaan yang mewakili bilangan pada urutan tertentu.

Tapi bagi teman-teman yang penasaran, bisa mempelajarinya pada materi tentang baris dan deret.

Selanjutnya, misal pola bilangan ganjil, dapat diketahui melalui persamaan:

Biar gak penasaran, kita periksa aja.

Kalau dimaknai rumus tersebut, artinya seperti ini, sesuatu bilangan yang dikalikan dengan bilangan genap, pasti akan menjadi genap, dan dalam hal ini bilangan pengalinya adalah (genap). Kemudian, suatu bilangan genap apabila dioperasikan dengan tambah dengan bilangan ganjil, maka hasilnya pasti akan menjad ganjil, dalam kasus ini adalah .

Dari pemaparan sebelumnya, kita bisa dapat informasi nih, berarti kalau kita tidak operasikan lebih lanjut (dengan pertambahan), bisa dong kita dapat pola bilangan genap? Betul, sehingga untuk pola bilangan genap, persamaannya menjadi:

Coba tukang iseng tulis sendiri bilangan pertama dari urutan tersebut, dan lihat hasilnya.

Ada pula yang dinamakan sebagai pola bilangan persegi, yang mana bilangan-bilangannya merupakan kuadrat dari bilangan yang menunjukkan urutan tersebut, seperti ini:

Kemudian kita periksa 3 bilangan utamanya.

Dan begitu seterusnya.

Dan satu lagi, ada pola bilangan yang kalau mau tau bilangan pada urutan tertentu kita gak bisa langsung hitung secara langsung, alias harus satu persatu. Pola tersebut adalah pola bilangan Fibonacci mengapa kita gak bisa langsung cari? karena setiap bilangan pada rentetan tersebut bergantung pada jumlah dua bilangan sebelumnya, seperti ini.

Untuk rinciannya seperti ini.

Kalau dimodelkan dengan persamaann, misal kita mau tahu bilangan pada suku ke-, maka kita harus tahu dulu bilangan pada dua suku sebelumnya alias di dan , kalau dibuat rumus menjadi: