Bangun Ruang Sisi Lengkung

Konsep dasar bangun ruang sisi lengkung
Konsep dasar bangun ruang sisi lengkung.
Daftar Isi

Bangun Ruang Sisi Lengkung

Sisi melengkung selalu menghadirkan pembahasan tersendiri pada suatu bangun, seperti halnya pada bangun datar (lingkaran). Untuk mengetahui hal-hal yang mengkuantifisikasi bangun yang melengkung tersebut, kita memerlukan konstanta bantuan. Seperti misal untuk menghitung keliling dan luasnya kita memerlukan konstanta berupa \pi.

Di sini, kita bakal banyak menganalogikan bangun ruang sisi lengkung dengan bangun ruang sisi datar. Karena sejatinya, bangun ruang yang akan kita bahas saat ini konsepnya serupa, yaitu menyusun bangun-bangun datar (2 dimensi) sedemikian rupa sehingga terbentuklah suatu bangun yang mengisi ruang (3 dimensi).

Meskipun ada keterlibatan bangun datar yang mempunyai sisi melengkung, namun berdasarkan ide sebelumnya (susunan bangun-bangun datar), maka kita dapat mengetahui, misal luas permukaanya dengan mengilustrasikannya dengan jaring-jaring terlebih dahulu.

Maka dari itu, konsep mengenai bangun ruang sisi datar bisa kita terapkan pada materi kali ini.

Tabung

Tabung ini ibaratnya suatu prisma, namun alas dan atapnya merupakan sebuah lingkaran. Apabila kita perhatikan jaring-jaringnya, maka tabung akan memiliki dua lingkaran yang serupa, dan satu selimut berupa persegi panjang.

Tabung dan jaring-jaringnya

Luas Permukaan Tabung

Untuk mengetahui luas permukaannya, coba ingat lagi konsep pada bangun ruang sisi datar. Kita dapat mengetahuinya dengan menjumlahkan sumbangsih dari masing-masing permukaan yang membentuk bangun ruang ini, artinya luas permukaannya adalah dua luas lingkaran ditambah dengan satu persegi panjang. Apabila tabung tersebut mempunyai tinggi t dan jari-jari lingkarannya adalah r, maka untuk luas lingkarannya yaitu.

L = \pi r^2

Bagaimana dengan luas selimutnya? Perhatikan bahwa selimut tersebut mengelilingi lingkaran alas atau atapnya, sehingga selimutnya mempunyai panjang yang merupakan keliling dari lingkaran alas atau atapnya, yaitu 2\pi r, dan luas perseginya adalah L = 2\pi rt. Sehingga luas permukaan tabung merupakan.

L_T = \pi r^2 + \pi r^2 + 2\pi rt
 = 2\pi r^2 + 2\pi rt
 = 2\pi r(r + t)

Volume Tabung

Sekarang kita lanjut ke volumenya, jika pada bangun ruang sisi datar terutama pada balok dan kubus, kita memahami volumenya sebagai jumlahan dari volume satuan yang mengisi bangun ruang yang dimaksud. Di sini, kita ubah sedikit sudut pandangnya. Pada suatu tabung kita bisa menganggapnya sebagai tumpukkan lingkaran/piringan yang tipis.

Maksudnya? Coba perhatikan ilustrasi di bawah ini, kemudian kita jumlahkan piringan-piringan tersebut. Saat ini kita gak akan ngebahas tentang bagaimana kita mejumlahkan piringan-piringan tersebut. Namun yang pasti, kita seolah-olah menjumlahkan suatu piringan yang luasnya adalah \pi r^2, dan mempunyai tinggi yang sangat tipis.

Volume tabung yang dianggap sebagai tumpukkan lingkaran atau piringan tipis

Jika tinggi tabung tersebut adalah t, jumlahan atau dalam hal ini adalah volumenya yaitu.

V_T = \pi r^2 t

Untuk mendapatkan hasil di atas ini memerlukan setidaknya pemahaman mengenai dasar-dasar kalkulus, oleh karena itu kami langsung beri hasilnya aja.

Kerucut

Kalau bangun ruang yang satu ini analoginya seperti limas pada bangun ruang sisi datar, di mana salah satu bangun datar yang menjadi alas atau atapnya dihilangkan. Perbedaannya, pada kerucut alasnya yakni berupa lingkaran.

Luas Permukaan Kerucut

Pada kerucut, luas permukaannya merupakan jumlahan dari dua bangun datar berupa lingkaran, yang merupakan alasnya, dan selimutnya yang berupa suatu juring, seperti pada gambar di bawah ini. Apabila kerucut tersebut mempunyai spesifikasi bahwa, jari-jari alasnya adalah r, kemudian tingginya adalah t.

Kerucut dan jaring-jaringnya

Maka luas permukaanya adalah jumlahan dari masing-masing luas bangun datar tersebut. Untuk alasnya mungkin cukup sederhana, luasnya yaitu L = \pi r^2. Kemudian untuk selimutnya, coba perhatikan bahwa, jari-jari dari juring tersebut adalah diagonal dari dua garis yang saling tegak lurus, yaitu antara jari-jari alas dan tinggi kerucut.

Sehingga, panjang jari-jari dari juring tersebut yaitu l = \sqrt{r^2 + t^2}. Pertanyaanya, berapa sudut yang dicakup oleh juring ini? Untuk mengetahui informasi ini, kita akan gunakan informasi bahwa, panjang kurva (bukan keliling) dari juring ini merupakan keliling dari lingkaran alasnya, artinya.

2\pi l\cdot\frac{\alpha}{360^{\circ}}= 2\pi r
\alpha = \frac{r}{l}\times360^{\circ}

Berarti, luas dari selimutnya adalah \pi r^2 \times \frac{\alpha}{360^{\circ}} atau dengan kita substitusikan \alpha-nya, L = \pi \frac{r^3}{l}. Sehingga luas permukaan dari kerucut ini, secara umum yaitu.

L_K = \pi r^2 + \pi \frac{r^3}{l}
 = \pi r^2 (1 + \frac{1}{l})

Volume Kerucut

Kemudian untuk volumenya, kita bisa gunakan sudut pandang yang sama seperti pada tabung, yaitu teradpat suatu piringan yang sangat tipis kemudian kita jumlahkan piringan-piringan tipis tersebut. Yang berbeda pada kerucut ialah jari-jari piringan yang dimaksud berbeda-beda, dari mulai yang besar kemudian dijumlahkan hingga yang kecil.

Volume kerucut yang dianggap sebagai tumpukkan lingkaran atau piringan tipis

Secara nalar, mungkin kita bisa menebaknya bahwa volume kerucut pasti lebih kecil dibandingkan dengan tabung. Karena jumlahan piringannya yang mengicil. Pada bangun ini besar volumenya yaitu.

V_K = \frac{1}{3}\pi r^2t

Di mana, r adalah jari-jari lingkaran alasnya, dan t merupakan tinggi kerucut tersebut.

Bola

Nah, sampailah kita pada bangun ruang di mana perwujudannya benar-benar lengkung, gak ada bagian yang datar sedikit pun. Jika pada tabung dan kerucut, secara visual kita masih melihat ada garis lurusnya. Yang jadi pertanyaan, apakah masih bisa dibuat jari-jaringnya? Tentu saja bisa.

Luas Permukaan Bola

Analoginya mungkin seperti kita sedang membuka kulit pisang dari atas kemudian ke bawah, namun kali ini objek kita merupakan suatu bola. Ilustrasinya kurang lebih seperti di bawah ini.

Bola dan jaring-jaringnya

Mungkin kali ini kita langsung aja, untuk luas permukaan bola, secara umum dapat diekspresikan secara matematis seperti berikut.

L_B = 4\pi r^2

Di mana r adalah jari-jari bola.

Volume Bola

Kemudian untuk volumenya, lagi-lagi bisa kita analogikan seperti sebelumnya, yaitu dengan menjumlahkan piringan-piringan tipis yang mengisi ruang pada bangun tersebut, seperti pada gambar di bawah ini.

Kali ini tumpukannya mulai dari piringan yang kecil jari-jarinya, kemudian membesar di tengah-tengah. Dan diakhiri dengan piringan yang kecil sama seperti di awal.

Volume bola yang dianggap sebagai tumpukkan lingkaran atau piringan tipis

Secara umum volume bola dapat diekspresikan sebagai.

V_B = \frac{4}{3}\pi r^3
Label

Komentar

Search icon