Kesebangunan dan Kekongruenan

Serupa tidak tak sama, bagaimana kita menyebut dua bangun dengan sifat seperti itu?
Serupa tidak tak sama, bagaimana kita menyebut dua bangun dengan sifat seperti itu?.

Kesebangunan

Sebelumnya kita telah melihat bahwa suatu bangun dapat kita lakukan translasi, rotasi, refleksi, dan dilatasi. Meskipun baik dari posisi, orientasi, bahkan hingga ukurannya berubah akibat transformasi yang dilakukan, sejatinya bangun-bangun tersebut masih sama atau kemiripian, ya gak? Kita menyebutnya sebagai kesebangunan.

Mengapa kita mengatakan bangun-bangun yang telah ditransformasikan memiliki kemiripan atau kesamaan? Karena ada beberapa hal yang tidak diubah oleh transformasi tersebut, yaitu sudut-sudut yang dibentuk oleh sisi-sisi yang menyusun bangun tersebut. Nah, sekarang coba perhatikan trapesium ABCD dan EFGH berikut.

Dua trapesium sebangun

Berdasarkan fakta tersebut, seharusnya kita dapat mengetahui apakah dua bangun dianggap sebangun atau tidak, karena berdasarkan fakta tersebut (sudut-sudutnya tidak berubah), lalu idenya seperti apa?

Idenya yaitu, untuk sisi yang merepresentasikan bagian yang sama pada suatu bangun, maka panjangnya merupakan kelipatan dari sisi lainnya, misal pada trapesium EFGH, karena ukurannya lebih besar ketimbang trapesium ABCD, maka dengan ide tersebut AD = kEH
, perlu diperhatikan juga bahwa, AD dan EH merepresentasikan bagian yang sama pada trapesium tersebut.

Begitu juga yang lainnya, misal CD dengan GH, maka hubungan antara keduanya yaitu CD = kGH. Nah yang jadi pertanyaan sekarang yaitu, buat apa kita mengetahui hubungan tersebut? Oke, sekarang kalian ingat lagi konsep persamaan.

Tanda = mempunyai makna bahwa kedua ruas memiliki nilai yang sama, ya gak? Karena perbandingan antara dua sisi yang setara AD = kEH\rightarrow \frac{AD}{EH} = k dan CD = kGH\rightarrow \frac{CD}{GH} = k, sama-sama bernilai k, maka kita dapat mengetahui hubungan keduanya, yaitu
\frac{AD}{EH} = \frac{CD}{GH} .

Apabila kita maknai persamaan di atas, artinya adalah kita dapat mengetahui panjang suatu sisi yang belum kita ketahui dengan cara, melakukan perbandingan pada sisi-sisi yang setara. Misal, jika AD panjangnya adalah 8, kemudian CD panjangnya adalah 5, kemudian EH = 16, dan kita gak tahu panjang GH.

Dengan ide sebelumnya maka GH, yaitu
\frac{AD}{EH} = \frac{CD}{GH}
\frac{8}{16} = \frac{5}{GH}
GH = 10 .

Bagaimana hubungan sisi yang lainnya? Tinggal kita cari saja, sisi-sisi yang merepresentasikan bagian yang sama, seperti AB = kEF, dan yang satu lagi BC = kFG. Dengan demikian kita dapatkan hubungan antara semua sisi pada trapesium secara utuh berdasarkan kesamaan berikut

\frac{AD}{EH}=\frac{CD}{GH}=\frac{AB}{EF}=\frac{BC}{FG}=k .

Nah sekarang kita beralih ke sudutnya, seperti yang telah disebutkan bahwa, sudutnya tidak berubah, alias segitu-segitu aja, dan kita juga tertarik untuk mengetahui besar sudut yang belum diketahui, namun kita tidak memerlukan perbandingan, karena nilainya memang benar-benar sama.

Misal kita mengetahui besar sudut di titik A yaitu \angle A = 60^{\circ}, dan sudut di titik C yaitu C = 100^{\circ}, kemudian kita tertarik untuk mengetahui besar sudut di semua titik yaitu E, F, G, dan H.

Sudut \angle E merupakan sudut yang sama seperti \angle A, karena sudut tersebut dibentuk oleh dua sisi yang setara, kemudian sudut \angle G merupakan sudut yang sama seperti \angle C dengan alasan yang sama. Dengan demikian
\angle E = \angle A = 60^{\circ}
\angle G = \angle C = 100^{\circ}.

Kemudian untuk sudut yang lainnya yaitu \angle F dan \angle H dapat kita ketahui berdasarkan informasi yang udah ada, yaitu berdasarkan sudut \angle E dan \angle G. Coba ingat lagi, konsep-konsep mengenai sudut berseberangan, karena dengan konsep ini kita dapat mengetahui sudut tersebut yaitu
\angle F = 180^{\circ} - \angle E = 120^{\circ}
dan
\angle H = 180^{\circ} - \angle G = 80^{\circ} .

Sekarang sampailah pada suatu pertanyaan, apakah konsep kesebangunan ini dapat kita terapkan pada bangun yang lainnya, misal segitiga, segilima, bahkan segi-n? Jawabannya bisa, asalkan dua bangun yang dimaksud sebangun (wajib), dan kita dapat menentukan mana saja sisi yang setara.

Misal, seperti pada dua segitiga di bawah ini, dengan konsep kesebangunan maka hubungan antara dua segitiga \triangle ABC dan \triangle ADE tersebut yaitu

Dua segitiga sebangun
\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE} = k

, kemudian untuk sudutnya
\angle D = \angle B
dan
\angle E = \angle C .

Kekongruenan

Konsep kekongruenan sejatinya hanya berbeda sedikit dengan konsep kesebangunan, perbedaannya yaitu ukuran dari bangun tersebut haruslah sama. Artinya apabila ditransformasikan, maka dilatasi akan "melanggar" prinsip kekongruenan (kecuali faktor skalanya 1).

Misal kita punya trapesium ABCD yang sama, kemudian terdapat pula trapesium lain sebut saja trapiesum EFGH (maaf simbolnya sama kayak yang pertama, semoga gak bingung), hubungan antara keduanya sama seperti sebelumnya namun pada konsep ini faktor pengali k-nya bernilai satu, k=1.

Dua trapesium kongruen

Yang artinya sisi-sisi yang merepresentasikan bagian yang sama memiliki panjang yang sama juga. Karena konsepnya benar-benar sama, maka secara umum kedua trapesium sebelumnya mempunyai hubungan seperti berikut

\frac{AD}{EH}=\frac{CD}{GH}=\frac{AB}{EF}=\frac{BC}{FG}=1

, begitu juga untuk hubungan antar sudutnya.

Dengan ini, kita bisa mengatakan bahwa kekongruenan merupakan kondisi khusus dari konsep kesebangunan di mana ukuran bangunnya harus bernilai sama, yaitu ketika faktor pengalinya, k bernilai satu.

Label
< Materi SebelumnyaHimpunan Matematika
Search icon