Pertidaksamaan Mutlak Pecahan dan Irasional

Akan ada banyak kondisi apabila ekspresi dalam bentuk pecahan dimutlakkan
Akan ada banyak kondisi apabila ekspresi dalam bentuk pecahan dimutlakkan.

Pertidaksamaan Mutlak Pecahan

Pembahasan sebelumnya menjadi lebih "seru" ketika kita melibatkan suatu bentuk pecahan yang kurang lebih, tentunya akan semakin banyak kondisi-kondisi yang perlu dipenuhi, secara umum (gak umum-umum banget sebenarnya) ekspresinya yakni sebagai berikut.

\left|\frac{ax+b}{cx+d}\right|\leq\left|\frac{ex+f}{gx+h}\right|

Secara harfiah, maksud di atas yaitu ekspresi yang ada di ruas kiri secara besarannya akan selalu lebih kecil atau sama dengan ekspresi yang ada di ruas kanan.

Mungkin diantara tukang iseng ada yang berpikir, apakah masalah di atas dapat diselesaikan dengan langkah sebelumnya? Jawabannya tentu bisa wahai tukang iseng!.

Kalau sebelumnya ada dua kondisi untuk satu bentuk yang memuat nilai mutlak, sekarang karena ruas kanan dan kiri mengandung ekspresi mutlak, maka akan ada banyak kondisi.

Untuk kemudahan kita menulis, asumsikan f\left(x\right)=\left|\frac{ax+b}{cx+d}\right| dan g\left(x\right)=\left|\frac{ex+f}{gx+h}\right|

Nah tadi disebutkan bahwa akan ada banyak kondisi, memang seperti apa kondisinya? Kondisi-kondisi tersebut ialah.....

Syarat atau kondisi untuk f(x)

f\left(x\right)= \begin{cases} \frac{ax+b}{cx+d},\frac{ax+b}{cx+d}\geq0 \\ \rightarrow \color{Red}{ax+b\geq0 \cap cx+d> 0}\ \\ or\ \color{Green}{ax+b < 0 \cap cx+d < 0}\\-\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right),\frac{ax+b}{cx+d} < 0 \\ \rightarrow \color{Blue}{ax+b\geq0 \cap cx+d < 0}\ \\ or\ \color{Yellow}{ax+b < 0 \cap cx+d> 0} \end{cases}

Dan untuk g(x)

g\left(x\right)= \begin{cases} \frac{ex+f}{gx+h},\frac{ex+f}{gx+h}\geq0 \\ \rightarrow \color{Purple}{ex+f\geq0 \cap gx+h> 0}\ \\ or\ \color{Cyan}{ex+f < 0 \cap gx+h < 0}\\ -\left(\frac{ex+f}{gx+h}\right),\frac{ex+f}{gx+h} < 0 \\ \rightarrow \color{Pink}{ex+f\geq0 \cap gx+h < 0}\ \\ or\ \color{Orange}{ex+f < 0 \cap gx+h> 0} \end{cases}

Mari kita gunakan prinsip di atas pada contoh berikut, misal untuk menyelesaikan masalah berikut, kita ingin menentukan interval x mana saja yang memenuhi pertidaksamaannya.

\left|\frac{x}{x+5}\right|\leq\left|\frac{x+2}{7-x}\right|

Pertama cari terlebih dahulu intervalnya, yaitu

f\left(x\right)= \begin{cases} \frac{x}{x+5},\frac{x}{x+5}\geq0 \\ \rightarrow \color{Red}{x\geq0 \cap x+5> 0} \\ \cup \color{Green}{x < 0 \cap x+5 < 0}\\ -\left(\frac{x}{x+5}\right),\frac{x}{x+5} < 0 \\ \rightarrow \color{Blue}{x\geq0 \cap x+5 < 0} \\ \cup \color{Yellow}{x < 0 \cap x+5> 0} \end{cases}

dan yang satu lagi

g\left(x\right)= \begin{cases} \frac{x+2}{7-x},\frac{x+2}{7-x}\geq0 \\ \rightarrow \color{Purple}{x+2\geq0 \cap 7-x> 0} \\ \cup \color{Cyan}{x+2 < 0 \cap 7-x < 0}\\ -\left(\frac{x+2}{7-x}\right),\frac{x+2}{7-x} < 0 \\ \rightarrow \color{Pink}{x+2\geq0 \cap 7-x < 0} \\ \cup \color{Orange}{x+2 < 0 \cap 7-x> 0} \end{cases}

Interval tersebut dapat disederhanakan

\color{Red}{x\geq0 \cap x+5> 0 \rightarrow x\geq0} \cup \color{Green}{x < 0 \cap x+5 < 0 \rightarrow x < -5}
\color{Blue}{x\geq0 \cap x+5 < 0 }\rightarrow tidak ada irisan \cup \color{Yellow}{x < 0 \cap x+5> 0\rightarrow -5 < x < 0}

dan

\color{Purple}{x+2\geq0 \cap 7-x> 0\rightarrow -2\leq x < 7} \cup \color{Cyan}{x+2 < 0 \cap 7-x < 0}\rightarrow tidak ada irisan
\color{Pink}{x+2\geq0 \cap 7-x < 0\rightarrow x> 7} \cup \color{Orange}{x+2 < 0 \cap 7-x> 0 \rightarrow x < -2}

Interval pertama x\geq0 \cup x < -5, interval kedua -5 < x < 0
interval ketiga -2\leq x < 7, dan keempat x> 7\cup x < -2

Kemudian kita periksa kombinasi interval 1 dengan 3 di mana, f\left(x\right) positif dan g\left(x\right) positif

Yaitu \frac{x}{x+5}\leq \frac{x+2}{7-x}, kemudian

\frac{x}{x+5}+\frac{x+2}{x-7}\leq 0\rightarrow \frac{x^2+5}{(x+5)(x-7)}\leq 0

Perhatikan, pembilang merupakan bentuk yang selalu positif, maka itu kita hanya perlu menentukan interval penyebut yang mana -5 < x < 7, irisannya dengan interval 1 dan 3, 0\leq x < 7

Dilanjutkan dengan periksa kombinasi interval 1 dengan 4, didapat intervalnya yaitu x> 7 \cup -5 < x < -\frac{5}{7} interval kedua kita abaikan, karena tidak didalam interval 1 dan/atau 4.

Kemudian 2 dengan 3, yaitu x < -5 \cup -\frac{5}{7}\leq x < 7, irisannya dengan interval 2 dan 3, -\frac{5}{7}\leq x < 0

Terakhir 2 dengan 4, yaitu x < -5 \cup x> 7, irisannya dengan interval 2 dan 4 tidak sesuai maka diabaikan.

Maka solusi akhirnya

-\frac{5}{7}\leq x < 7 \cup 0\leq x < 7 \cup x>7

atau yang lebih sederhana -\frac{5}{7}\leq x < 7 \cup x>7

Pertidaksamaan Irasional

Bentuk akar merupakan salah satu ekspresi Matematika yang disebut sebagai irasional.

Kalau dulu kita sering berurusan dengan akar dari suatu angka, kali ini kita bakal ketemu akar dari suatu ekspresi Matematika, bisa itu bentuk kuadrat atau sebagainya.

Sebagai contoh, kita ingin menentukan interval x mana saja sehingga berlaku \sqrt{2x^2-x-1} < \sqrt{x^2+4x+4}

Untuk mendapatkan interval yang dimaksud tentu mustahil untuk menyelesaikannya dengan tangan manual, kita perlu mengubahnya kedalam ekspresi yang lebih sederhana.

Tukang iseng seharusnya sudah pada tahu kan, bahwa akar merupakan ekspresi lain dari pangkat setengah.

Oke, sebelumnya perlu diingat, jika kita mengalikan ruas kiri, maka ruas kanan juga perlu dikalikan, begitu juga pertambahan, nah "aksi" ini berlaku juga ketika memberikan pangkat

Dengan demikian

\sqrt{2x^2-x+10} < \sqrt{x^2+4x+4}
\rightarrow \left(2x^2-x+10\right)^{1/2} < \left(x^2+4x+10\right)^{1/2}
\rightarrow 2x^2-x+10 < x^2+4x+4

(dikuadratkan kedua ruas).

Kita sederhanakan ekspresinya x^2-5x+6 < 0, kemudian kita faktorkan \left(x-3\right)\left(x-2\right) < 0 intervalnya yaitu, 2 < x < 3

Apakah kita sudah selesai? Belum, ada syarat yang belum dipenuhi, yaitu, 2x^2-x+10 dan x^2+4x+4 harus selalu bernilai positif.

Karena wujud aslinya merupakan di dalam akar, dengan demikian, tukang iseng perlu mencari interval x mana saja yang memberikan nilai positif

Kemudian terakhir tentukan dengan irisan solusi sebelumnya.

Label
< Materi SebelumnyaPersamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel Nilai Mutlak
Search icon