Pertidaksamaan Mutlak Pecahan dan Irasional

Akan ada banyak kondisi apabila ekspresi dalam bentuk pecahan dimutlakkan
Akan ada banyak kondisi apabila ekspresi dalam bentuk pecahan dimutlakkan.
Daftar Isi

Pertidaksamaan Mutlak Pecahan

Pembahasan sebelumnya menjadi lebih "seru" ketika kita melibatkan suatu ekspresi pecahan di dalam bentuk mutlak. Tentunya akan semakin banyak kondisi-kondisi yang perlu dipenuhi, secara umum (gak umum-umum banget sebenarnya) ekspresinya yakni sebagai berikut.

\left|\frac{ax+b}{cx+d}\right|\leq\left|\frac{ex+f}{gx+h}\right|

Secara harfiah, maksud dari bentuk di atas yaitu ekspresi yang ada di ruas kiri secara besarannya akan selalu lebih kecil atau sama dengan ekspresi yang ada di ruas kanan.

Mungkin diantara tukang iseng ada yang berpikir, apakah masalah di atas dapat diselesaikan dengan langkah seperti pada pembahasan nilai mutlak dasar? Jawabannya tentu bisa wahai tukang iseng!.

Kalau sebelumnya ada dua kondisi untuk satu bentuk yang memuat nilai mutlak, sekarang karena ruas kanan dan kiri mengandung ekspresi mutlak, maka akan ada banyak kondisi.

Ditambah lagi, di masing-masing ruas bentuknya adalah fraksional atau pecahan, sehingga ada ekspresi pada penyebut yang harus dipenuhi juga.

Sebelum lanjut lebih dalam, untuk kemudahan kita menulis, asumsikan f\left(x\right)=\left|\frac{ax+b}{cx+d}\right| dan g\left(x\right)=\left|\frac{ex+f}{gx+h}\right|.

Interval Nilai x Yang Diperbolehkan

Nah tadi disebutkan bahwa akan ada banyak kondisi, memang seperti apa kondisinya? Kondisi-kondisi tersebut ialah seperti di bawah ini.

Syarat atau kondisi untuk f(x).

f\left(x\right)= \begin{cases} \frac{ax+b}{cx+d},\frac{ax+b}{cx+d}\geq0 \\ \rightarrow \color{Red}{ax+b\geq0 \cap cx+d> 0}\ \\ or\ \color{Green}{ax+b < 0 \cap cx+d < 0}\\-\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right),\frac{ax+b}{cx+d} < 0 \\ \rightarrow \color{Blue}{ax+b\geq0 \cap cx+d < 0}\ \\ or\ \color{Yellow}{ax+b < 0 \cap cx+d> 0} \end{cases}

Dan yang satu lagi untuk g(x).

g\left(x\right)= \begin{cases} \frac{ex+f}{gx+h},\frac{ex+f}{gx+h}\geq0 \\ \rightarrow \color{Purple}{ex+f\geq0 \cap gx+h> 0}\ \\ or\ \color{Cyan}{ex+f < 0 \cap gx+h < 0}\\ -\left(\frac{ex+f}{gx+h}\right),\frac{ex+f}{gx+h} < 0 \\ \rightarrow \color{Pink}{ex+f\geq0 \cap gx+h < 0}\ \\ or\ \color{Orange}{ex+f < 0 \cap gx+h> 0} \end{cases}

Kira-kira ada yang tau gak kenapa bisa banyak banget kondisi-kondisinya? Jadi gini, ingat dalam satu ekspresi mutlak saja sudah terdapat dua kemungkinan solusi.

Ditambah lagi, ekspresi di dalam mutlaknya adalah bentuk pecahan. Ingat bahwa, untuk mendapat hasil positif maka ada dua kemungkinan, positif dengan positif, serta negatif dengan negatif.

Kemudian untuk kondisi negatifnya, ada dua kemungkinan, pembilangnya negatif, penyebut positif, dan sebaliknya.

Contoh Penyelesaian

Sekarang, mari kita gunakan prinsip di atas pada contoh berikut, misal untuk menyelesaikan masalah berikut kita ingin menentukan interval x mana saja yang memenuhi pertidaksamaannya.

\left|\frac{x}{x+5}\right|\leq\left|\frac{x+2}{7-x}\right|

Pertama, cari terlebih dahulu interval untuk ekspresi di sebelah kiri (kita sebut saja f(x)), yaitu.

f\left(x\right)= \begin{cases} \frac{x}{x+5},\frac{x}{x+5}\geq0 \\ \rightarrow \color{Red}{x\geq0 \cap x+5> 0} \\ \,\cup\, \color{Green}{x < 0 \cap x+5 < 0}\\ -\left(\frac{x}{x+5}\right),\frac{x}{x+5} < 0 \\ \rightarrow \color{Blue}{x\geq0 \cap x+5 < 0} \\ \,\cup\, \color{Yellow}{x < 0 \cap x+5> 0} \end{cases}

Kemudian untuk ekspresi yang ruas kanan (kita sebut g(x)), yaitu.

g\left(x\right)= \begin{cases} \frac{x+2}{7-x},\frac{x+2}{7-x}\geq0 \\ \rightarrow \color{Purple}{x+2\geq0 \cap 7-x> 0} \\ \,\cup\, \color{Cyan}{x+2 < 0 \cap 7-x < 0}\\ -\left(\frac{x+2}{7-x}\right),\frac{x+2}{7-x} < 0 \\ \rightarrow \color{Pink}{x+2\geq0 \cap 7-x < 0} \\ \,\cup\, \color{Orange}{x+2 < 0 \cap 7-x> 0} \end{cases}

Kedua interval tersebut dapat disederhanakan lebih lanjut. Proses penyederhanaannya sendiri yaitu mencari interval yang menjadi irisan dari kedua syarat yang ada. Untuk lebih jelas, coba lihat irisan yang di bawah ini.

Kita sederhanakan dulu ekspresi yang di ruas kiri.

\color{Red}{x\geq0 \cap x+5> 0 \rightarrow x\geq0}
\cup
\color{Green}{x < 0 \cap x+5 < 0 \rightarrow x < -5}

\color{Blue}{x\geq0 \cap x+5 < 0 }
\cup
\color{Yellow}{x < 0 \cap x+5> 0\rightarrow -5 < x < 0}

Perhatikan bahwa, interval yang diwarnai bewarna biru tidak mempunyai irisan.

Dilanjut dengan mencari irisan untuk ekspresi di ruas kanan.

\color{Purple}{x+2\geq0 \cap 7-x> 0\rightarrow -2\leq x < 7}
\cup
\color{Cyan}{x+2 < 0 \cap 7-x < 0}

\color{Pink}{x+2\geq0 \cap 7-x < 0\rightarrow x> 7}
\cup
\color{Orange}{x+2 < 0 \cap 7-x> 0 \rightarrow x < -2}

Untuk interval solusi yang diberi warna biru muda (cyan) tidak mempunyai irisan.

Setelah itu, di dapat nih rentang dari masing-masing kondisi tersebut.

Interval pertama x \geq 0 \cup x < -5, interval kedua -5 < x < 0, interval ketiga -2\leq x < 7, dan keempat x> 7\cup x < -2

Setelah informasi interval tersebut di dapat, barulah kita cari rentang nilai variabel x mana saja yang memenuhi pertidaksamaan secara menyeluruh.

Mari dimulai dengan memerika kombinasi interval 1 dengan 3, di mana ekspresi di kedua ruas sama-sama positif, atau f(x) > 0 dan g(x) > 0 .

Apabila keduanya positif, maka pertidaksamaanya menjadi seperti ini.

\frac{x}{x+5}\leq \frac{x+2}{7-x}

Tambahi sedikit manipulasi, sehingga bisa dilihat dengan jelas rentang-rentangnya.

\frac{x}{x+5}+\frac{x+2}{x-7}\leq 0\rightarrow \frac{x^2+5}{(x+5)(x-7)}\leq 0

Perhatikan, pembilang merupakan bentuk yang selalu positif, kalau penasaran, silahkan dilihat diskriminan dan konstanta x^2-nya.

Maka itu kita hanya perlu menentukan interval penyebut, mengingat pembilangan selalu positif maka untuk menghasilkan sesuatu yang negatif (perhatikan \leq 0), maka penyebutnya harus negatif.

Penyelesaiannya sama halnya seperti pada pertidaksamaan kuadrat, di mana rentangnya adalah -5 < x < 7. Dan kita cari irisannya dengan interval 1 dan 3, yaitu 0\leq x < 7.

Dilanjutkan dengan memeriksa kombinasi interval 1 dengan 4, yakni ketika ruas kanan positif dan kiri negatif. Pertidaksamaannya menjadi seperti ini.

\frac{x}{x+5}\leq -1\cdot(\frac{x+2}{7-x})
\frac{x}{x+5} + \frac{x+2}{7-x}\leq 0

Selesaikan dengan cara yang seperti sebelumnya, di dapat intervalnya yaitu x > 7 \cup -5 < x < -\frac{5}{7} interval kedua (x < -2) kita abaikan, karena tidak di dalam interval 1 dan/atau 4.

Kemudian pada rentang 2 dengan 3, ketika f(x) negatif dan g(x) positif.

-1\cdot(\frac{x}{x+5})\leq \cdot(\frac{x+2}{7-x})
\frac{-x}{x+5}) - \frac{x+2}{7-x}\leq 0

Yakni x < -5 \cup -\frac{5}{7}\leq x < 7, irisannya dengan interval 2 dan 3, -\frac{5}{7}\leq x < 0.

Terakhir 2 dengan 4, yaitu x < -5 \cup x> 7, irisannya dengan interval 2 dan 4 tidak sesuai, dengan kata lain di luar nilai x yang diperbolehkan, maka diabaikan saja.

Udah dapat semua nih, nilai-nilai mana saja yang memenuhi. Nah untuk solusi akhirnya yakni merupakan irisan dan/atau gabungan dari seluruh interval sebelumnya, yaitu.

-\frac{5}{7}\leq x < 7 \cup 0\leq x < 7 \cup x > 7

Dalam bentuk yang lebih sederhana.

-\frac{5}{7}\leq x < 7 \cup x > 7

Pertidaksamaan Irasional

Bentuk akar merupakan salah satu ekspresi matematika yang disebut sebagai irasional.

Kalau dulu kita sering berurusan dengan akar dari suatu angka, kali ini kita bakal ketemu akar dari suatu ekspresi Matematika, bisa itu bentuk kuadrat atau sebagainya.

Sebagai contoh, kita ingin menentukan interval x mana saja sehingga berlaku pertidaksamaan dari bentuk irasional tersebut.

\sqrt{2x^2-x-1} < \sqrt{x^2+4x+4}

Pangkatkan Kedua Ruas

Untuk mendapatkan interval yang dimaksud, tentu mustahil untuk menyelesaikannya dengan tangan manual. Kita perlu mengubahnya kedalam ekspresi yang lebih sederhana.

Tukang iseng seharusnya sudah pada tahu kan, bahwa akar merupakan ekspresi lain dari pangkat setengah.

Oke, sebelumnya perlu diingat, jika kita mengalikan ruas kiri, maka ruas kanan juga perlu dikalikan, begitu juga pertambahan. Nah "aksi" ini berlaku juga ketika memberikan pangkat.

Kalau kita memberikat pangkat pada salah satu ruas, maka ruas lainnya juga ikut diberi pangkat.

Artinya, pertidaksamaan sebelumnya bisa diselesaikan dalam bentuk yang tentunya tidak asing lagi, yakni dalam pertidaksamaan kuadrat.

\sqrt{2x^2-x+10} < \sqrt{x^2+4x+4}
\left(2x^2-x+10\right)^{1/2} < \left(x^2+4x+10\right)^{1/2}
2x^2-x+10 < x^2+4x+4

Catatan: Perhatikan bahwa kedua ruas di kuadratkan.

Tinggal pindah-pindah ruas aja tuh suku-sukunya, sampai jadi bentuk minimalnya atau yang paling sederhana.

x^2-5x+6 < 0

Kemudian kita faktorkan menjadi seperti di bawah ini.

\left(x-3\right)\left(x-2\right) < 0

Maka dari itu intervalnya adalah 2 < x < 3.

Perhatikan Jika Nilai Di Dalam Akarnya Negatif

Apakah kita sudah selesai? Tunggu dulu, solusinya belum lengkap bro, ada syarat yang belum dipenuhi, yaitu, 2x^2-x+10 dan x^2+4x+4 harus selalu bernilai positif.

Karena wujud aslinya merupakan di dalam akar, apa yang kita lakukan sebelumnya hanyalah memanipulasi saja tanpa merubah relasi ketaksamaannya. Dengan demikian, tukang iseng perlu mencari interval x mana saja yang memberikan nilai positif.

Ekspresi yang di sebelah kiri merupakan bentuk yang selalu positif atau istilah lainnya definit positif, karena diskriminannya negatif dan konstanta pada x^2-nya positif. Berarti berlaku untuk semua x.

Yang kedua (ruas kanan) juga sama apabila berdasarkan diskriminan dan konstanta x^2-nya. Atau biar lebih jelas, dapat kita faktorkan terlebih dahulu.

x^2+4x+4 > 0
(x+2)^2 > 0

Dari situ terlihat bahwa, mau berapapun nilai x-nya, ketaksamaan akan selalu terpenuhi.

Oleh karena itu, maka solusi interval yang telah ditemukan sebelumnya merupakan solusi akhir dari pertidaksamaan ini.

Label
Search icon