Himpunan - Simbol, Kardinalitas, Operasi Irisan dan Gabungan

Ketika kita sedang diberi tugas oleh guru, biasanya kita diperintahkan untuk membuat kelompok belajar.

Seringnya sih karena tugasnya sulit, atau membutuhkan tenaga yang lebih. Berat untuk dilakukan secara mandiri.

Tapi maknanya tidak sekedar itu. Baru saja kita sebut kelompok pada kalimat tadi.

Apakah ada makna lain selain itu? Tentu jika lebih dalam lagi, ada. Apabila kita tidak mengenal istilah kelompok, kita akan sulit sekali untuk mewakili sekumpulan murid yang mengerjakan tugas.

Seperti contoh, anggap kita tidak mengenal istilah kelompok. Masa iya kita harus menyebutkan/memanggil-nya seperti ini, "Tolong, sekumpulan murid yang isinya A, B, dan C dimohon untuk mengumpulkan tugasnya."

Gak efektif kan? Artinya diperlukan isitlah yang dapat mewakili sekumpulan murid tersebut.

Itu baru untuk tiga murid, bagaimana kalau kita berurusan dengan sekumpulan buah-buahan dari pemasok yang segitu banyaknya?

Itulah mengapa konsep kelompok sangat penting. Kalau dalam dunia matematika, umumnya lebih dikenal dengan istilah himpunan.

Wah kalau kita tuliskan menggunakan bahasa sehari-hari tentu tidak efektif ya.

Misal kita punya himpunan bilangan positif yang kurang dari 10. Sangat tidak mungkin kalau kita tuliskan menjadi kalimat ke dalam bahasa Indonesia.

Masa kita harus menuliskannya, "Himpunan bilangan positif yang kurang dari 10 itu berisi 0, 1, 2, 3,..., 9". Supaya efektif kita terjemahkan ke dalam "bahasa" matematika saja.

Simbol matematis dari himpunan secara umum yaitu:

Kalau himpunan bilangan positif yang kurang dari 10 kita simbolkan sebagai himpunan A. Maka penyajian himpunan tersebut ke dalam bentuk matematikanya, yakni sebagai berikut:

Tidak digunakan lagi kalimat himpunan bilangan positif yang kurang dari 10 serta kalimat itu berisi. Lebih sederhana bukan?

Sebenarnya, masih bisa lebih sederhana lagi, seperti ini:

Meskipun hanya ditulis tiga bilangan pertama, sangat jelas kalau lanjutan dan isinya yang lainnya seperti apa.

Tidak hanya bilangan, kita juga dapat mengelompokkan misal, huruf. Misal, kita mau mengelompokkan lima huruf pertama dari susunan abjad.

Jika kita simbolkan kelompok tersebut sebagai himpunan , maka ekspresinya secara matematis, yakni sebagai berikut:

Bagaimana jadinya kalau kita mau menuliskan semua bilangan real positif? Apakah kita harus menuliskan 0, 0.0000000001, 0.0000000002 dan seterusnya?

Bahkan bilangan tersebut pun belum mewakili seluruh bilangan real positif karena masih ada yang lebih kecil dari itu nilainya.

Belum lagi bilangan-bilangan yang besarnya ribuan, miliaran, hingga triliunan. Ada banyak sekali bilangan yang harus ditulis.

Kalau gitu, harus bagaimana dong? Tenang, kita bisa gunakan simbol ketaksamaan.

Dan simbol himpunan yang kita gunakan sebelumnya kita tambahkan syarat-syarat sebagai anggota. Tentunya representasinya akan menjadi lebih mudah lagi.

Untuk kasus semua bilangan real positif, misal kita sebut himpunan tersebut adalah himpunan .

Hal tersebut dapat disajikan ke dalam bentuk yang super-duper sederhana, yaitu seperti ini:

Apa tuh maksudnya? Kalau dibaca kurang lebih seperti ini.

Himpunan C adalah himpunan yang anggotanya (dalam hal ini adalah x) lebih besar atau sama dengan (karena ada tanda ≥) nol. Kalau kita perhatikan secara rinci, bentuknya:

Yang di sebelah kiri sekat adalah variabel yang memenuhi syarat. Lalu yang di sebelah kanan adalah syarat atau aturan yang harus dipenuhi variabel guna dianggap sebagai anggota.

Contoh pertama pun bisa disederhanakan berdasarkan sifatnya. Bilangan bulat yang kurang dari 10 kalau diamati lagi, akan memiliki dua syarat.

Tunggu..., kok dua syarat? Memang bisa? Mau sepuluh dan sebanyak-banyaknya pun juga bisa.

Caranya mudah, kita bisa memberikan tanda pemisah antara beberapa syarat yaitu dengan tanda koma(,). Sehingga himpunan A sebelumnya dituliskan menjadi:

Balik ke contoh yang pertama. Dua syarat yang dimaksud yaitu, yang pertama harus bilangan bulat dan yang kedua kurang dari 10. Dituliskan:

Bilangan itu bisa menyatakan posisi atau biasa disebut ordinal. Bisa juga menyatakan jumlah atau banyak atau disebut sebagai kardinal.

Kalau kita bicara pada suatu himpunan, artinya ada hubungan juga tentang banyaknya anggota pada suatu himpunan.

Jika kardinalitas suatu himpunan kita simbolkan sebagai N(...). Maka kardinalitas dari himpunan A adalah N(A) = 10.

Artinya himpunan A mempunyai 10 anggota. Untuk himpunan B, kardinalitasnya N(B) = 5, artinya himpunan B memiliki 5 anggota.

Nah sekarang ada pertanyaan nih, berapa jumlah anggota pada himpunan C, alias N(C)?

Hmmm, jumlahnya tentu tak terhitung, alias tak terhingga jumlah anggotanya ∞, sehingga kardinalitasnya N(C) = ∞.

Cukup jelas ya ketika himpunannya kosong alias tidak anggotanya maka kardinalitasnya adalah nol.

Tunggu, ngomong-ngomong bagaimana simbolnya ketika suatu himpunan tidak memiliki anggota atau elemen?

Kekosongan anggota tersebut dapat dituliskan dengan simbol . Misal himpunan D kosong, bisa dituliskan:

Pada penulisan himpunan A yang barusan banget. Kita baru saja menuliskan sebagai syarat keanggotaan pada himpunan tersebut.

Jika kita amati lebih lanjut, perhatikan bahwa bilangan bulat juga merupakan suatu himpunan. Yaitu himpunan yang terdiri dari bilangan-bilangan bulat.

Kalau himpunan bilangan bulat adalah . Alih-alih menyebutkannya menggunakan bahasa sehari-hari, kita tulis saja menjadi simbol matematika.

Misal x anggota bilangan bulat, maka bisa dituliskan sebagai:

Sehingga himpunan A bisa kita tuliskan menjadi:

Ini ada beberapa simbol yang sering digunakan untuk menyatakan sekelompok bilangan tertentu:

• kelompok bilangan natural.
• kelompok bilangan bulat.
• kelompok bilangan real.
• kelompok bilangan rasional.

Kita gunakan ilustrasi seperti yang pertama. Anggap sedang di kelas terus dikasih tugas kelompok.

Tapi gurunya minta pada setiap kelompok kalau murid dengan nomor absen ganjil untuk mengerjakan nomor yang ganjil juga. Dan begitu juga untuk yang absennya bilangan genap maka mengerjakan nomor yang genap.

Pertanyaanya, bagaimana kita mengelompokkan anggota tertentu padahal kelompok kecil tersebut merupakan bagian dari suatu kelompok?

Nah, baru saja kita sebut "bagian". Maksudnya, bagian dari suatu himpunan itu merupakan himpunan bagian dari himpunan yang lebih besar atau biasa disebut himpunan semesta.

Contoh sederhana dulu, misal kita punya himpunan P₁:

Serta himpunan P₂:

Apabila diperhatikan, elemen dari P₂ seluruhnya ada di P₁. Tapi tidak semua anggota P₁ ada di P₂.

Oleh karena itu, himpunan P₂ bisa dinyatakan sebagai himpunan bagian dari P₁, yakni seperti berikut:

Ketika kita mau berangkat ke sekolah, tiba-tiba keingat bahwa hari ini disuruh bawa alat musik.

Tapi kita lupa-lupa ingat harus bawa alat apa, tapi yang jelas di antara rekorder atau pianika.

Ada beberapa cara yang bisa dilakukan. Yang pertama kita bisa aja gak membawa apa pun.

Karena kita ragu apa yang harus dibawa, akhirnya kita gak bawa alat musik satu pun.

Cara yang kedua, kita bisa bawa salah satu aja misal, rekorder. Begitu juga untuk cara yang ketiga, misal kita bawa pianika aja.

Pilihan yang terakhir, kita bawa aja keduanya yaitu rekorder serta pianika. Dari kedua barang tadi, rekorder dan pianika bisa kita kelompokkan ke dalam suatu himpunan, misal A_m, yaitu:

Dari keempat cara/solusi tersebut, dapat kita kelompokkan. Misal menjadi himpunan solusi, sebut aja S.

Maka himpunan S dapat diekspresikan/dituliskan seperti berikut:

Apa maksudnya? Maksudnya adalah, himpunan solusi merupakan himpunan yang anggotanya merupakan himpunan bagian dari himpunan A.

Himpunan S tersebut dinamakan sebagai himpunan kuasa. Lalu, apa manfaatnya?

Keuntungannya, dapat dikelompokkan solusi yang bisa dihadirkan. Misal tadi mau berangkat sekolah, nah solusinya bisa disajikan seperti itu. Kalau gitu keburu telat dong? #JanganSerius.

Gak cuman bilangan aja yang bisa dioperasikan. Pada bilangan dapat dilakukan operasi tambah, kali, bagi, dan kurang.

Himpunan juga bisa dioperasikan, tapi bukan dengan melakukan penambahan, pembagian dkk. Misal, kita punya dua himpunan A dan B, di mana:

Apa yang menarik dengan kedua himpunan tersebut? Coba perhatikan, ada beberapa anggota yang sama (5 dan 1) pada kedua himpunan.

Emagnnya, apa yang bisa kita lakukan? Kita bisa memisahkan mereka, yaitu dengan cara "mengiris" kedua himpunan.

Di teori himpunan operasi tersebut dinamakan irisan yang ditandai dengan simbol:

Untuk mendapatkan anggota yang sama itu, maka akan digunakan operasi irisan pada A dan B, yaitu:

Jadi, irisan bisa diartikan sebagai upaya untuk mendapatkan/memisahkan/menggolongkan elemen yang sama. Biar lebih jelasnya coba perhatikan di gambar di bawah ini.

Bagaimana jadinya kalau kita pengen melengkapi satu sama lain (asik...), ingat ya "melengkapi".

Misal terdapat anggota yang gak ada di himpunan A tapi ada di B dan sebaliknya, lalu kita jadikan satu.

Oke, dalam hal ini akan digabungkan keduanya, yaitu dengan operasi gabungan:

Jadi antara A dengan B hasil dari operasi gabungannya yaitu:

Perhatikan bahwa tidak ada duplikasi, yakni munculnya elemen yang sama. Lebih rincinya, lihat gambar di bawah.