Himpunan Matematika

Konsep dasar himpunan matematika
Konsep dasar himpunan matematika

Konsep Himpunan

Ketika kita sedang diberi tugas oleh guru, biasanya kita diperintahkan untuk membuat kelompok belajar, biasanya karena tugasnya sulit, atau membutuhkan tenaga yang lebih.

Tapi maknanya tidak sekedar itu, baru saja kita sebut kelompok pada pembahasan sebelumnya, apakah ada makna lain selain itu? Tentu lebih dalam lagi ada, apabila kita tidak mengenal istilah kelompok, kita akan sulit sekali untuk mewakili sekumpulan murid yang mengerjakan tugas.

Seperti contoh, ketika kita tidakk mengenal isitilah kelompok, masa kita harus menyebutkan/memanggil-nya seperti ini, "Tolong, sekumpulan murid yang isinya A, B, dan C dimohon untuk mengumpulkan tugasnya."

Gak efektif kan? Kita perlu isitlah yang dapat mewakili sekumpulan murid tersebut, itu baru tiga murid, bagaimana kalau kita berurusan dengan sekumpulan buah-buahan dari pemasok yang segitu banyaknya?

Itulah mengapa kelompok atau kalau dalam dunia Matematika kita lebih mengenal dengan istilah himpunan.

Secara Simbol

Wah kalau kita tuliskan menggunakan bahasa sehari-hari tentu tidak efektif ya, misal kita punya himpunan bilangan positif yang kurang dari 10. Sangat tidak mungkin kalau kita tuliskan menjadi kalimat ke dalam bahasa Indonesia.

Masa kita harus menuliskannya, "Himpunan bilangan positif yang kurang dari 10 itu berisi 0, 1, 2, 3,\dotsc,9", supaya efektif kita terjemahkan ke dalam "bahasa" Matematika saja.

Kalau himpunan bilangan positif yang kurang dari 10 kita simbolkan sebagai himpunan A, maka penyajian himpunan tersebut ke dalam bentuk Matematikanya, yakni sebagai berikut
A = \{0,2,3,4,\dotsc,9\}
kita hapus kalimat himpunan bilangan positif yang kurang dari 10dan kata itu berisi. Lebih sederhana bukan?

Tidak hanya bilangan, kita juga dapat mengelompokkan misal, huruf. Misal, kita mau mengelompokkan lima huruf pertama dari susunan abjad. Jika kita simbolkan kelompok tersebut sebagai himpunan B, maka ekspresinya dalam Matematika, yaitu sebagai berikut
B = \{a,b,c,d,e\} .

Berdasarkan Sifat

Bagaimana jadinya kalau kita mau menuliskan semua bilangan real positif? Apakah kita harus menuliskan 0, 0.0000000001, 0.0000000002 dan seterusnya? Bahkan bilangan tersebut pun belum mewakili seluruh bilangan real positif karena masih ada yang lebih kecil dari itu nilainya.

Wah harus bagaimana dong? Tenang, kita bisa gunakan simbol ketaksamaan, dan simbol himpunan yang kita gunakan sebelumnya kita tambahkan syarat-syarat sebagai anggota, tentu akan menjadi lebih mudah lagi.

Untuk kasus semua bilangan real positif, misal kita sebut himpunan tersebut adalah himpunan C, hal tersebut dapat disajikan ke dalam bentuk yang super-duper sederhana, yaitu sebagai berikut
C = \{x\,|\,x\geq0\} .

Apa tuh maksudnya? Kalau dibaca kurang lebih seperti ini, himpunan C adalah himpunan yang anggotanya (dalam hal ini adalah x) lebih besar atau sama dengan (karena ada tanda \geq) nol. Kalau kita perhatikan secara rinci
\{\,\text{variabel}\,|\,\text{syarat variabel}\,\}
yang disebelah kiri sekat | adalah variabel yang memenuhi syarat dan yang disebelah kanan adalah syarat atau aturan yang harus dipenuhi variabel guna sebagai anggotanya.

Contoh pertama pun bisa disederhanakan berdasarkan sifatnya. Bilangan bulat yang kurang dari 10 kalau dikaji memiliki dua syarat, tunggu...., dua syarat? Memang bisa? Mau sepuluh dan sebanyak-banyaknya pun juga bisa. Dua syarat tersebut yaitu, yang pertama harus bilangan bulat dan yang kedua kurang dari 10.

Caranya mudah, kita bisa memberikan tanda pemisah antara beberapa syarat yaitu dengan tanda koma(,), sehingga himpunan A sebelumnya dituliskan menjadi

A = \{x\,|\,x\,\text{bilangan bulat}, x\}

Kardinalitas

Bilangan itu bisa menyatakan posisi atau biasa disebut ordinal, bisa juga menyatakan jumlah atau banyak atau disebut sebagai kardinal. Kalau kita bicara pada suatu himpunan artinya kita membicarakan tentang banyaknya anggota pada suatu himpunan.

Jika kardinalitas suatu himpunan kita simbolkan sebagai N(\cdot), maka kardinalitas dari himpunan A adalah N(A) = 10, artinya himpunan A mempunyai 10 anggota. Untuk himpunan B, kardinalitasnya N(B) = 5, artinya himpunan B memiliki 5 anggota.

Nah sekarang ada pertanyaan nih, berapa jumlah anggota pada himpunan C, alias N(C)? Hmmm, jumlahnya tentu tak terhitung, alias tak terhingga jumlah anggotanya \infty, sehingga kardinalitasnya N(C) = \infty.

Cukup jelas ya ketika himpunannya kosong alias tidak anggotanya maka kardinalitasnya adalah nol. Tunggu, ngomong-ngomong bagaimana simbolnya ketika suatu himpunan tidak memiliki anggota atau elemen? Kekosongan hati anggota tersebut dapat dituliskan dengan simbol \emptyset. Misal himpunan D kosong, artinya
D = \{\emptyset\}

Anggota

Pada penulisan himpunan A yang terbaru(sebelumnya), kita baru saja menuliskan x\,\text{bilangan bulat} sebagai syarat kenaggotaan pada himpunan tersebut. Jika kita amati lebih lanjut, perhatikan bahwa bilangan bulat adalah suatu himpunan, yaitu himpunan bilangan bulat.

Kalau himpunan bilangan bulat adalah \mathbb{Z}, alih-alih menyebutkannya menggunakan bahasa sehari-hari, kita tulis saja kedalam simbol Matematika. Misal x anggota bilangan bulat, maka bisa dituliskan sebagai
x \in \mathbb{Z}
, sehingga himpunan A bisa kita tuliskan menjadi
A = \{x\,|\,x\in\mathbb{Z},\,x < 10\} .

Himpunan Bagian

Kita gunakan ilustrasi seperti yang pertama, misal lagi di kelas terus dikasih tugas kelompok, tapi gurunya minta pada setiap kelompok kalau murid dengan nomor absen ganjil untuk mengerjakan nomor yang ganjil juga, dan begitu juga untuk yang absennya bilangan genap maka mengerjakan nomor yang genap.

Pertanyaanya bagaimana kita mengelompokkan anggota tertentu padahal kelompok kecil tersebut merupakan bagian dari suatu kelompok. Nah, baru saja kita sebut "bagian", maksudnya, bagian dari suatu himpunan itu merupakan himpunan bagian dari himpunan besarnya atau biasa disebut himpunan semesta.

Contoh sederhana dulu, misal kita punya himpunan P_1 = \{1,7,9,11,19\}, dan himpunan P_2 = \{7,9,19\}, maka himpunan P_2 bisa dinyatakan sebagai himpunan bagian dari P_1, yakni seperti berikut
P_2 \subset P_1 .

Himpunan Kuasa

Ketika kita mau berangkat ke sekolah, tiba-tiba keingat bahwa hari ini disuruh bawa alat musik, tapi kita lupa-lupa ingat harus bawa alat apa, tapi yang jelas diantara rekorder atau pianika.

Ada beberapa cara yang bisa dilakukan, yang pertama kita bisa gak bawa apapun, karena kita ragu apa yang harus dibawa akhirnya kita gak bawa alat musik satupun.

Cara yang kedua, kita bisa bawa salah satu aja misal, rekorder, begitu juga untuk cara yang ketiga, misal kita bawa pianika aja.

Cara yang terakhir, kita bawa aja keduanya yaitu rekorder dan pianika. Dari kedua barang tadi, rekorder dan pianika, bisa kita kelompokkan ke dalam suatu himpunan, misal A_m, yaitu
A_m = \{\emptyset, \text{Rekorder}, \text{Pianika}\}

Dari keempat cara/solusi tersebut, dapat kita kelompokkan, misal menjadi himpunan solusi, sebut aja S. Maka himpunan S dapat diekspresikan/dituliskan seperti berikut

S = \{\{\emptyset\}, \{\text{Rekorder}\}, \{\text{Pianika}\}, \{\text{Rekorder, Pianika}\} .

Apa maksudnya? Maksudnya adalah, himpunan solusi merupakan himpunan yang anggotanya merupakan himpunan bagian dari himpunan A. Himpunan S tersebut dinamakan sebagai himpunan kuasa. Apa manfaatnya? Kita dapat mengelompokkan solusi yang bisa dihadirkan, misal tadi mau berangkat sekolah, nah solusinya bisa disajikan seperti ini(keburu telat...).

Operasi

Gak cuman bilangan aja yang bisa dioperasikan, misal pada bilangan kita bisa melakukan tambah, kali bagi, dan kurang. Himpunan juga bisa dioperasikan tapi bukan dengan melakukan penambahan, pembagian dkk. Misal, kita punya dua himpunan A dan B, di mana A = \{2,5,7,11,17,21\} dan B = \{3,5,9,17\}.

Dua himpunan yang beranggotakan bilangan bulat

Apa yang menarik dengan kedua himpunan tersebut? Coba perhatikan, ada beberapa anggota yang sama (5 dan 17) pada kedua himpunan, apa yang bisa kita lakukan? Kita bisa memisahkan mereka, yaitu dengan cara meng"iris" kedua himpunan. Di teori himpunan operasi tersebut dinamakan irisan yang ditandai dengan \cap.

Untuk mendapatkan anggota yang sama tersebut maka kita gunaka operasi irisan pada A dan B, yaitu
A\cap B = \{5,17\}
, jadi, irisan bisa diartikan sebagai upaya untuk mendapatkan / memisahkan / menggolongkan elemen yang sama.

Irisan dari dua himpunan yang beranggotakan bilangan bulat

Bagaimana jadinya kalau kita pengen melengkapi satu sama lain (asik...), ingat ya melengkapi, misal gak ada dihimpunan A tapi ada di B dan sebaliknya kita sertakan. Oke, kita meng"gabungkan" keduanya, yaitu dengan operasi gabungan \cup.

Jadi antara A dengan B hasil dari operasi gabungannnya yaitu
A\cup B = \{2,3,5,7,9,11,17,21\}
, perhatikan bahwa tidak ada duplikasi pada elemen yang sama.

Gabungan dari dua himpunan yang beranggotakan bilangan bulat
Label
< Materi SebelumnyaGaris dan Sudut
Search icon