Peluang Kejadian Majemuk

Konsep dasar peluang kejadian majemuk
Konsep dasar peluang kejadian majemuk.

Kejadian Majemuk

Selama ini mungkin kita selalu berurusan dengan peluang satu kejadian saja, misal pelemparan sebuah koin, pelemparan dadu, dan lainnya. Mentok-mentok mungkin kejadian seperti dua buah koin, atau bisa juga dua buah dadu, mungkin juga gabungan antara keduanya.

Nah, mungkin alternatif penyelesaian pada permasalahan peluang untuk dua kejadian, kita dapat menjabarkannya terlebih dahulu kemungkinan-kemungkinan kejadian yang mungkin terjadi. Kemudian kita hitung rasio antara banyak kemungkinan suatu kejadan terjadi terhadap seluruh kemungkinan yang ada.

Pada pembahasan kali ini kita tidak perlu repot-repot untuk menjabarkannya, kita akan menggunakan suatu prinsip bahwa, ketika dua kejadian terjadi, maka peluang dua kejadian tersebut yang terjadi secara bersamaan merupakan sumbangsih dari masing-masing peluang kejadian tersebut.

Kejadian Saling Bebas

Ketika kita ingin mengetahui peluang terjadinya bagian gambar pada koin dan secara bersamaan munculnya angka 5 pada dadu, dua kejadian tersebut tentunya tidak saling mempengaruhi, mau koinnya dilempar dulu, atau sebaliknya, dadunya dilempar dahulu, atau bisa juga dilempar berbarengan.

Peluang terjadinya gambar pada koin tetaplah \frac{1}{2}, dan peluang munculnya angka 5 pada dadu juga tetap \frac{1}{6}. Misal kita sebut kejadian muncul gambar pada koin sebagai A, kemudian kejadian munculnya angka 5 pada dadu sebagai B, peluang terjadi keduanya terjadi yaitu

P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B)
\rightarrow = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6} = \frac{1}{12} .

Ketika dua kejadian tidak saling berkaitan atau mempengaruhi, maka kondisi ini disebut sebagai kejadian saling bebas (independent).

Berbeda cerita ketika kita mencoba mengambil kartu remi seperti berikut, misal kita ingin mengambil dua kartu remi tapi tidak sekaligus melainkan satu persatu, namun setelah pengambilan pertama, kartu yang telah diambil tidak dibalikkan lagi ke tumpukan kartu.

Jika pada kartu remi mulanyan terdapat 52 buah kartu, maka peluang masing-masing kartu untuk muncul yaitu \frac{1}{52}. Kemudian, karena kartu telah diambil satu maka totalnya sekarang terdapat 51 kartu, artinya peluang masing-masing kartu untuk terjadi yaitu \frac{1}{51} .

Misal kita ingin mengetahui peluang terjadinya kartu angka 9 pada pengambilan pertama, sebut saja kejadian A, dan kartu AS pada pengambilan kedua, sebut saja kejadian B, peluang terjadinya kejadian tersebut yaitu

P(A\cap B) = \frac{4}{52}\cdot\frac{4}{51}
\rightarrow = \frac{4}{663}

Kejadian Saling Lepas

Ada beberapa kondisi pada kejadian majemuk di mana dua kejadian tidak bisa terjadi secara bersamaan, atau terjadi dua kali. Seperti contoh, kita berharap untuk muncul kartu jack hati pada pengambilan pertama, maka pada pengambilan kedua jika kita berharap kemunculan yang sama, maka tidak akan terjadi.

Karena opsi jack hati tersebut sudah tidak ada di susunan kartu sehingga \frac{0}{51} = 0, ingat bahwa peluang nol sendiri artinya kejadian tersebut tidak pernah terjadi, dan sebaliknya jika satu artinya selalu terjadi.

Contoh lainnya, misal pada pelemparan sebuah koin, dan kita berharap untuk terjadinya gambar dan angka sekaligus, tentu hal ini tidak mungkin terjadi. Kondisi ini dinamakan sebagai saling lepas, secara matematis, jika ada suatu kejadian A dan B saling lepas, maka

P(A\cap B) = 0 .

Kejadian saling lepas bukan berarti bahwa suatu kejadian selalu tidak pernah terjadi, hal tersebut akan bergantung kondisinya. Misal pada pelemparan sebuah dadu, jika kita berharap bahwa muncul angka 2 dan 5 secara bersamaan tentu tidak mungkin.

Namun, jika kita berharap bahwa muncul 2 atau 4, maka ada peluang terjadinya kejadian tersebut yaitu

P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)
\rightarrow =\frac{1}{6} + \frac{1}{6} - 0 = \frac{1}{3}

, perhatikan bahwa P(A\cap B)=0, karena tidak mungkin keduanya terjadi.

Peluang Kejadian Bersyarat

Ada kondisi lain ketika suatu kejadian, sebut saja kejadian A, di mana peluang kemunculannya bergantung dengan peluang kejadian yang lain, misal kejadian B, secara notasi peluang terjadinya A dengan syarat B terjadi yaitu P(A|B).

Misal kita punya 7 bola pada suatu keranjang, yang terdiri dari 3 bola merah dan 4 bola biru. Jika kita ingin mengetahui peluang terjadinya bola biru pada pengambilan kedua, maka akan ada dua kemungkinan, yang pertama kita mendapat bola biru dan yang kedua kita mendapat bola merah.

Kita sebut untuk kejadian pengambilan pertama di mana kita mendapatkan bola biru sebagai A, kemudian untuk kejadian pengambilan kedua di mana kita mendapatkan bola biru sebagai B. Jika C merupakan kejadian di mana kita mendapatkan bola biru pada pengambilan kedua.

Peluang kejadian bersyarat pengambilan bola

Maka peluang C dengan syarat A terjadi yaitu

P(C|A) = \frac{2}{7}

, perhatikan bahwa jumlah bola berkurang. Kemudian untuk peluang C dengan syarat B terjadi yaitu

P(C|B) = \frac{3}{7}

, perhatikan bahaw jumlah bola tidak berkurang pada kondisi ini.

Jika kita lihat proses sebelumnya, secara gak langsung kita melihat bahwa, jika kita berharap A dan C terjadi, maka sama halnya seperti P(A)\cdot P(C|A), begitu juga untuk kejadian B dan C, maka peluangnya P(B)\cdot P(C|B).

Kurang lebih seperti itu konsep dari peluang kejadian bersyarat. Dan secara umum, apabila terdapat suatu kejadian A dengan syarat kejadian B harus terjadi terlebih dahulu, P(A|B), secara matematis dituliskan seperti berikut

P(A\cap B) = P(B)\cdot P(A|B)
P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}
Label
< Materi SebelumnyaKonsep Matriks
Search icon