Peluang Kejadian Majemuk - Kejadian Saling Bebas, Lepas, dan Bersyarat

Selama ini mungkin kita selalu berurusan dengan peluang satu kejadian saja, misal pelemparan sebuah koin, pelemparan dadu, dan lainnya.

Mentok-mentok mungkin kejadian seperti dua buah koin, atau bisa juga dua buah dadu, mungkin juga gabungan antara keduanya.

Nah, mungkin alternatif penyelesaian pada permasalahan peluang untuk dua kejadian, kita dapat menjabarkannya terlebih dahulu opsi-opsi kejadian yang mungkin muncul.

Dari itu diperoleh ruang sampel dari seluruh opsi yang mungkin.

Kemudian, kita hitung rasio antara banyak kemungkinan sebuah kejadian terjadi (titik sampel) terhadap seluruh kemungkinan yang tersedia. Prinsip ini kalian pelajari pada materi teori peluang.

Pada pembahasan kali ini kita tidak perlu repot-repot untuk menjabarkannya.

Sebab bakal digunakan suatu prinsip bahwa, ketika dua kejadian terjadi, maka nilai peluang dua kejadian tersebut yang terjadi secara bersamaan merupakan sumbangsih dari masing-masing peluang kejadiannya.

Terdapat dua kemungkinan saat dua kejadian terjadi, apakah keduanya saling terkait (dependent) atau tidak (independent).

Ketika kita ingin mengetahui peluang terjadinya bagian gambar pada koin dan secara bersamaan munculnya angka 5 pada mata dadu. Dua kejadian tersebut tentunya tidak saling mempengaruhi.

Mau koinnya dilempar dulu, atau sebaliknya, dadunya dilempar dahulu, dan bisa juga dilempar berbarengan. Catatan: Anggap aja saat dilempar kedua benda tidak bertabrakan.

Maksud dari tidak saling mempengaruhinya yaitu, pelemparan pada satu kejadian tidak akan mempengaruhi kejadian lainnya.

Peluang terjadinya gambar pada koin tetaplah 1/2, dan peluang munculnya mata dadu 5 pada dadu juga tetap 1/6.

Misal kita sebut kejadian muncul gambar pada koin sebagai A, kemudian kejadian munculnya angka 5 pada dadu sebagai B, peluang terjadi keduanya terjadi yaitu:

Ketika dua kejadian tidak saling berkaitan atau mempengaruhi, maka kondisi ini disebut sebagai kejadian saling bebas (independent).

Berbeda cerita ketika kita mencoba mengambil kartu remi seperti contoh berikut.

Asumsikan kita ingin mengambil dua kartu remi tapi tidak sekaligus melainkan satu persatu. Namun setelah pengambilan pertama, kartu yang telah diambil tidak dibalikkan lagi ke tumpukan kartu.

Jika pada kartu remi mulanya terdapat 52 buah kartu, maka peluang masing-masing kartu untuk muncul yaitu 1/52.

Kemudian, karena kartu telah diambil satu, maka totalnya sekarang terdapat 51 kartu.

Artinya, peluang masing-masing kartu untuk terjadi yaitu 1/51.

Secara keseluruhan, misal kita ingin mengetahui peluang terjadinya kartu angka 9 pada pengambilan pertama, sebut saja kejadian A.

Lalu kartu AS pada pengambilan kedua, sebut saja kejadian B, peluang terjadinya kejadian tersebut yaitu:

Situasi ini dinamakan kejadian tidak saling bebas atau dependent.

Ada beberapa kondisi pada kejadian majemuk di mana dua kejadian tidak bisa terjadi secara bersamaan, atau terjadi dua kali.

Seperti contoh, kita berharap untuk muncul kartu jack hati pada pengambilan pertama.

Maka pada pengambilan kedua jika kita berharap kemunculan yang sama, maka tidak akan terjadi. Mengingat kartu itu sendiri telah diambil.

Karena opsi jack hati tersebut sudah tidak ada di susunan kartu sehingga menyebabkan peluangnya menjadi 0/51 = 0.

Ingat bahwa, peluang nol sendiri artinya kejadian tersebut tidak pernah terjadi. Dan sebaliknya, jika peluangnya adalah satu artinya kejadian tersebut selalu terjadi.

Contoh lainnya, misalnya pada pelemparan sebuah koin, dan kita berharap untuk terjadinya gambar dan angka sekaligus. Tentu hal ini tidak mungkin terjadi.

Kondisi ini dinamakan sebagai saling lepas, secara matematis, jika ada dua kejadian A dan B saling lepas. Apabila dirumuskan menjadi:

Kejadian saling lepas bukan berarti bahwa suatu kejadian selalu tidak pernah terjadi, hal tersebut akan bergantung kondisinya.

Misal pada pelemparan sebuah dadu, jika kita berharap bahwa muncul angka 2 dan 5 secara bersamaan tentu tidak mungkin.

Namun, jika kita berharap bahwa muncul angka 2 atau 4, maka ada peluang terjadinya kejadian tersebut, yaitu:

Perhatikan bahwa P(A ∩ B) = 0, karena tidak mungkin keduanya terjadi.

Perhatikan konjungsi dari dua kejadian, apakah hubungannya dengan kata dan atau dengan kata atau.

Ada kondisi lain ketika sebuah kejadian, sebut saja kejadian A, di mana peluang kemunculannya bergantung dengan peluang kejadian lainnya.

Sebagai contoh sebut saja kejadian B, secara notasi peluang terjadinya A dengan syarat B terjadi yaitu P(A | B).

Misal kita punya 7 bola pada suatu keranjang, yang terdiri dari 3 bola merah dan 4 bola biru.

Jika kita ingin mengetahui peluang terjadinya bola biru pada pengambilan kedua, maka akan ada dua kemungkinan.

Pengambilan pertama kita mendapat bola biru dan kemungkinan lainnya kita mendapat bola merah.

Kita sebut untuk kejadian pengambilan pertama di mana kita mendapatkan bola biru sebagai A.

Kemudian untuk kejadian pengambilan kedua di mana kita mendapatkan bola merah sebagai B.

Lalu anggap C sebagai kejadian di mana kita mendapatkan bola biru pada pengambilan kedua.

Dengan demikian peluang C dengan syarat A terjadi yaitu:

Perhatikan bahwa jumlah bola berkurang (lihat pada penyebut). Kemudian untuk peluang C dengan syarat B terjadi yaitu:

Coba perhatikan juga bahwa jumlah bola tidak berkurang pada kondisi ini.

Jika kita lihat proses sebelumnya, secara gak langsung kita melihat bahwa, jika kita berharap A dan C terjadi, P(A ∩ C), maka sama halnya seperti P(A)·P(C | A).

Begitu juga untuk kejadian B dan C terjadi bersamaan, P(B ∩ C), maka peluangnya P(B)·P(C | B). Kurang lebih seperti itu konsep dari peluang kejadian bersyarat.

Secara umum, apabila terdapat suatu kejadian A dengan syarat kejadian B harus terjadi terlebih dahulu, P(A | B).

Bentuk matematisnya rumus peluang kejadian bersyarat ditulis: