Gerak Lurus - Kecepatan Serta Percepatan Rata-Rata & Sesaat

Diperbarui: August 28th, 2021

Merumuskan gerak lurus beraturan dan berubah beraturan — Apa saja yang memparametrisasi gerak lurus suatu benda?

Memang rasanya terlihat sederhana, kalau bicara tentang gerak. Karena setiap hari juga manusia melakukannya.

Tapi yang bikin daya tariknya saat ini yaitu, bagaimana gerak ini bisa diekspresikan ke dalam bentuk matematis.

Daftar Isi

Gerak Lurus Beraturan (GLB)
Kecepatan Rata-Rata dan Sesaat
- Konsep dan Rumus Kecepatan Rata-Rata
- Konsep dan Rumus Kecepatan Sesaat
Gerak Lurus Berubah Beraturan (GLBB)

Gerak Lurus Beraturan (GLB)

Bicara tentang gerak (apapun itu termasuk gerak lurus), tentu tukang iseng setuju bahwa artinya ada suatu perubahan, dalam hal ini yaitu posisi suatu objek.

Perubahan posisi tersebut dibandingkan dengan suatu ukuran yang lain yaitu waktu. Jadi, di sini kita akan melibatkan waktu tempuh yang diperlukan oleh suatu objek yang bergerak.

Buat kalian yang bertanya-tanya, apa maksud dari beraturan? Makna beraturan yang dimaksud yaitu, suatu objek menempuh satu titik ke titik lainnya dengan perpindahan posisi pada tiap waktunya secara konstan (tidak berubah-ubah).

Kecepatan

Tadi dijelaskan bahwa ada melibatkan waktu tempuh, tentu kita tertarik untuk mengetahui berapa besar perpindahan suatu objek dengan interval waktu tertentu. Nah di fisika besaran tersebut dinamakan sebagai kecepatan.

Kalau bicara tentang gerak, sangat sulit rasanya jika tidak membicarakan mengenai kecepatan. Karena komponen ini salah satu hal yang mengkarakterisasi objek yang bergerak.

Kecepatan akan mengukur seberapa besar perpindahan suatu objek dalam satu satuan waktu (umumnya dalam satu detik).

Dari situ sangat terlihat jelas kalau satuan dari kecepatan adalah jarak per waktu.

Rumus Posisi GLB

Berangkat dari gagasan-gagasan berikutnya tentu sangat masuk akal apabila kita tuangkan ide tersebut menjadi persamaan sebagai berikut:

$x\left(t\right) = x_{0} + v_{x}t$

Keterangan variabelnya:

t adalah durasi atau lamanya objek bergerak.
x(t) adalah posisi objek pada waktu t.
x₀ adalah posisi awal objek.
v_x adalah kecepatan objek.

Representasi Vektor

Karena gerak ini memiliki dua aspek yaitu besaran dan arahnya, maka pastinya bisa dimanfaatkan materi konsep vektor dalam bahasan kali ini.

Persamaan sebelumnya merupakan representasi gerak lurus pada satu dimensi (sebut saja pada sumbu-x).

Apabila kita deskripsikan pada bidang (dua dimensi), maka persamaannya akan ditambahkan untuk satu sumbu lagi yaitu pada sumbu-y.

$y\left(t\right) = y_{0} + v_{y}t$

Dengan penjelasan yang serupa seperti pada rumus sebelumnya untuk sumbu x.

Terus bentuk vektornya mana? Oke biar dapat bayangan, coba kita dempetkan dulu kedua persamaan sebelumnya.

$x\left(t\right) = x_{0} + v_{x}t$

$y\left(t\right) = y_{0} + v_{y}t$

Jika menggunakan asumsi $p\left(t\right) = \begin{bmatrix}x\left(t\right)\\y\left(t\right)\end{bmatrix}$ , kemudian $p_0 = \begin{bmatrix}x_0\\y_0\end{bmatrix}$ , dan $v=\begin{bmatrix}v_x\\v_y\end{bmatrix}$ .

Dengan kata lain, kita dapat merepresentasikan ekspresi di atas menggunakan vektor 2 dimensi dengan elemennya adalah masing-masing besaran di tiap komponen.

Dengan memanfaatkan konsep operasi pada vektor maka menjadi:

$p\left(t\right) = \begin{bmatrix}x\left(t\right)\\y\left(t\right)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x_0\\y_0\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}v_x\\v_y\end{bmatrix}t$

Sehingga rumus posisi GLB dua dimensi dalam bentuk vektornya adalah p(t) = p₀ + vt.

Atau bisa juga diekspresikan dengan persamaan berikut:

$p\left(t\right) = p_{x}\left(t\right)\hat{x} + p_{y}\left(t\right)\hat{y}$

Di mana nilai p_x dan p_y adalah:

$p_{x}\left(t\right) = x(t)$

$p_{y}\left(t\right) = y(t)$

Sedangkan variabel yang ada tanda topinya merupakan vektor satuan (magnitudonya satu) yang menentukan arah pada masing-masing komponen.

Kecepatan Rata-Rata dan Sesaat

Konsep kecepatan sendiri sejatinya memiliki dua jenis, yaitu kecepatan rata-rata dan kecepatan sesaat.

Konsep dan Rumus Kecepatan Rata-Rata

Maksudnya dari kecepatan rata-rata adalah, kita hanya memperhatikan seberapa cepat perpindahan yang telah terjadi dari satu titik ke titik lainnya tanpa mengetahui apakah di tengah jalan pelan terus tiba-tiba cepat.

Besaran ini juga gak peduli kalau rutenya mau berputar-putar dulu, atau apapun itu. Yang terpenting berapa waktu yang diperlukan untuk menempuh jarak dari kedua titik.

Kecepatan rata-rata dapat dirumuskan ke dalam persamaan sebagai berikut.

$v=\frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_f - x_i}{t_f - t_i}$

Di mana:

x_f merupakan posisi akhir dari objek.
x_i merupakan posisi awal dari objek.
t_f merupakan pada detik tersebut objek pada posisi x_f.
t_i merupakan pada detik tersebut objek pada posisi x_i.

Konsep dan Rumus Kecepatan Sesaat

Untuk kecepatan sesaat, prinsipnya adalah mengetahui kecepatan suatu objek pada waktu t tertentu. Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, di dalam perjalanan bisa saja lambat, cepat, dan sebagainya.

Dengan konsep kecepatan sesaat ini, kita bisa tahu kecepatan suatu objek pada suatu waktu.

Prinsipnya adalah serupa dengan kecepatan rata-rata, jadi coba bayangkan misal ingin dicari kecepatan pada waktu t₁ yang besarnya v₁.

Apabila kita mengitungnya berdasarkan rata-rata dari t_i maka didapat rata-ratanya dari t_i hingga t₁, yaitu:

$v\left(t\right) = \frac{x_{1} - x_{i}}{t_1 - t_i}$

Sekarang coba dirata-ratakan untuk waktu setelah t_i, sebut saja t_n.

Sekarang bayangkan, ketika t_n hampir mendekati suatu waktu hingga hampir tepat pada t₁. Dan pada akhirnya diketahui besar kecepatan pada waktu t₁.

Diekspresikan dalam rumus matematika menjadi:

$v_1\left(t\right) = \lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} = \lim_{\Delta t\to 0} \frac{x_1-x_1^*}{t_1 - t_1^*}$

Catatan: Ingat bahwa, dalam matematika tidak ada pembagian dengan nol, alias tidak terdefinisi. Sehingga digunakan konsep limit.

Bentuk tersebut tak lain adalah eskpresi turunan pada matematika. Asumsikan posisi suatu objek diekspresikan sebagai fungsi sebut saja x(t).

Dengan demikian ekspresinya dalam bentuk turunan yakni seperti ini:

$v\left(t\right) = \frac{dx}{dt} = x'\left(t\right)$

Kecepatan sesaat sebuah benda bergerak dihitung berdasarkan turunan dari fungsi posisinya.

Gerak Lurus Berubah Beraturan (GLBB)

Kalau beraturan artinya kecepatannya konstan, mungkin tukang iseng dapat menyimpulkannya sendiri dalam pembahasan kali ini dengan apa yang dimaksud berubah beraturan.

Tentu artinya ada perubahan kecepatan, bisa jadi melambat atau bisa juga tiba-tiba jadi cepat.

Kalau kita telah mengenal perubahan posisi dalam satuan waktu tertentu dinamakan kecepatan. Untuk perubahan kecepatan dalam satuan waktu tertentu dinamakan percepatan.

Hubungan antara kecepatan dan percepatan sendiri sama seperti posisi dengan kecepatan, yang mana dapat diekspresikan dalam persamaan berikut:

$v_{x}\left(t\right) = v_{0x} + a_{x}t$

Percepatan Rata-Rata dan Sesaat

Analogi dengan kecepatan, percepatan juga memiliki konsep rata-rata dan sesaat.

Mungkin tukang iseng dapat menginterpretasikan sendiri. Kalau percepatan rata-rata itu apa dan percepatan sesaat itu apa, dengan menggunakan penjelasan yang serupa seperti sebelumnya.

Rumus Percepatan Rata-Rata

Percepatan rata-rata dapat diekspresikan dalam persamaan berikut:

$a_x=\frac{\Delta v_x}{\Delta t} = \frac{v_{fx} - v_{ix}}{t_f - t_i}$

Di mana:

v_fx merupakan kecepatan akhir dari objek.
v_ix merupakan kecepatan awal dari objek.
t_f merupakan pada detik tersebut objek memiliki kecepatan v_fx.
t_i merupakan pada detik tersebut objek memiliki kecepatan v_ix.

Rumus Percepatan Sesaat

Kemudian untuk percepatan sesaatnya, besarnya dapat diketahui berdasarkan turunan dari fungsi kecepatan, seperti ini:

$a\left(t\right) = \frac{dv}{dt} = v'\left(t\right)$

Bentuk Vektor

Apabila diekspresikan untuk gerak lurus pada dua dimensi, serupa dengan sebelumnya. Lagi, dengan cara yang serupa kita asumsikan $v = \begin{bmatrix} v_{x}\left(t\right)\\v_{y}\left(t\right) \end{bmatrix}$ , $v_0 = \begin{bmatrix} v_{0x}\left(t\right)\\v_{0y}\left(t\right) \end{bmatrix}$ , dan $a = \begin{bmatrix}a_x\\a_y\end{bmatrix}$ .

Alhasil rumus kecepatan GLBB-nya berubah menjadi:

$v\left(t\right) = \begin{bmatrix}v_x\left(t\right)\\v_y\left(t\right)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}v_{0x}\\v_{0y}\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}a_x\\a_y\end{bmatrix}t$

Rumus Posisi GLBB

Untuk persamaan posisi, tentu persamaan posisinya tidak sama ketika suatu objek bergerak beraturan. Dalam hal ini kecepatan merupakan suatu fungsi dari waktu.

Jika kecepatan adalah turunan dari posisi, maka dari ide tersebut kita dapat mendapatkan persamaan suatu posisi saat ada percepatan (berubah beraturan).

$x\left(t\right) = x_0 + v_x\left(t\right)t$

Sehingga menjadi:

$x\left(t\right) = \int_{}^{} v_x\, dt = \int_{}^{} (v_{0x} + a_{x}t)\,dt = v_{0x}t + \frac{a_{x}t^2}{2} + C$

Telah diketahui bahwa pada t awal (t_i = 0), posisinya adalah pada x₀.

Maka dari itu, konstanta C tersebut adalah x₀, demikian rumus posisi GLBB adalah:

$x\left(t\right) = x_0 + v_{0x}t + \frac{a_{x}t^2}{2}$

Buat yang kepikiran, kira-kira ada gak perubahan percepatan tiap waktunya? Di fisika hal itu dikenal sebagai jerk.

Tapi konsep jerk ini jarang banget dipakai. Salah satu faktor utamanya adalah karena dengan konsep percepatan, sistem-sistem di dunia sudah cukup untuk bisa dimodelkan.