Statistika - Rata-Rata, Median, Modus, Standar Deviasi

Menggali informasi dari sebuah data
Menggali informasi dari sebuah data.

Setiap murid mempunyai kemampuannya masing-masing. Tidak bisa menggeneralisirnya sehingga satu kelas dianggap sama.

Ada cara yang lebih adil dalam mengukur keberagaman tersebut, yaitu dengan ilmu statistika.

Daftar Isi

Statistika

Sekumpulan informasi atau data selalu menjadi hal yang menarik untuk dibicarakan.

Bagaimana kita mengelompokkan data menjadi sebuah himpunan. Lalu sekumpulan informasi tersebut kita sajikan dalam suatu tabel dan diagram.

Dengan tujuan untuk mempermudah melakukan pengamatan pada data tersebut. Baca materi penyajian data untuk lebih lengkapnya.

Menggali Informasi

Dan kali ini, kita juga bakal berurusan dengan sekumpulan informasi atau data.

Pada pembahasan kali ini kita tertarik untuk mengetahui "ciri-ciri" suatu data. Ciri-ciri yang dimaksud akan berupa suatu angka yang dapat mewakili sekumpulan informasi tersebut.

Ibaratnya seperti ini, misal kita mendapatkan pengumuman bahwa seluruh nilai UTS pada mata pelajaran matematika untuk murid kelas 8 telah tersedia di mading sekolah.

Mungkin bagi kalian yang "iseng" berpikir bahwa ada informasi-informasi yang bisa digali dari sekumpulan nilai tersebut.

Menentukan Sifat Sekumpulan Data

Seperti, seberapa besar perbedaan nilai antar kelas tersebut. Kelas mana yang mempunyai "rata-rata" tertinggi, kemudian sebaliknya, kelas mana yang mempunyai "rata-rata" terendah, dan masih banyak lagi.

Apa tujuannya kita gali informasi tersebut? Bagi siswa mungkin kalian bisa membantu teman-teman kalian yang berada di kelas dengan nilai "rata-rata" yang rendah.

Selain itu, kalian juga bisa ikut belajar dengan murid-murid yang berada di kelas dengan nilai "rata-rata" yang tinggi.

Dari sudut pandang guru, mungkin dapat melihat apakah sistem pembelajarannya efektif atau tidak. Begitu juga dapat mengetahui kelas mana yang perlu penanganan khusus.

Rata-Rata atau Mean

Memang agak sedikit aneh pembahasan kali ini, mau menjelaskan sesuatu tapi istilahnya udah disinggung duluan buat ngejelasin hal yang lain.

Tapi tenang aja, inti dari maknanya belum dijelaskan kok.

Oke lupakan aja, sekarang coba dibayangkan kita punya 5 buah naga dan 5 buah belimbing (biar gak mainstream, biasanya apel terus).

Membagi Sama Rata

Kita pengen membagikan buah tersebut ke empat teman kita. Tapi di sini kitanya gak ikut makan permennya, jadi gak perlu dihitung.

Mungkin ada beberapa cara untuk membagikannya, ada yang memberinya dengan cara 3, 3, 3, 1.

Cara lainnya 3, 3, 2, 2 atau bisa juga 4, 2, 2, 2, dan masih banyak lagi. Namun coba amati, tidak ada kombinasi yang adil.

Maksudnya gak adilnya yaitu, keempat teman kita tersebut selalu ada yang lebih dan ada yang kurang.

Sedangkan kita, di sisi lain bisa saja memakan/mengambil dua buah kemudian membagikannya sehingga sama rata.

Tapi anggap saja kita udah kenyang, dan kita bersikeras untuk membagikannya secara sama rata.

Supaya adil, kita bisa menjumlahkan banyak keseluruhan buah kita terlebih dahulu.

Kemudian kita bagi total/jumlah tersebut dengan banyak teman-teman kita.

Dengan demikian, berdasarkan ide tersebut kita hitung total buahnya ada 5 + 5 = 10. Kemudian jumlah teman kita ada 4, sehingga:

\frac{10}{4}= 2.5\,\text{buah}

Kita perlu membagikannya sebanyak 2.5 buah, atau secara bahasa 2 buah utuh, kemudian setengah potongan buah kepada teman-teman kita.

Dan ini selaras seperti konsep rata-rata, yaitu menjumlahkan nilai suatu informasi kemudian membagi dengan banyaknya informasi tersebut.

Rumus Rata-Rata Data Tunggal

Secara matematis, rata-rata \overline{x} sebuah data dapat dirumuskan sebagai:

\overline{x} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + \dotsc + x_n}{n}

Di mana n merupakan banyaknya informasi yang kita miliki.

Contoh Soal 1

Misal, kita punya data berupa rata-rata nilai UTS matematika kelas 8 pada contoh di awal.

Untuk kelas 8A mempunyai rata-rata 85.5, kelas 8B rata-ratanya 81.5, kelas 8C rata-ratanya 87.3, kelas 8D rata-ratanya 90, dan kelas 8E rata-ratanya 88.7.

KelasNilai
8A85.5
8B81.5
8C87.3
8D90
8E88.7

Bisa kah kalian hitung rata-rata nilai untuk keseluruhan kelas, guna membantu guru mengevaluasi pembelajarannya?

Langsung aja kita manfaatkan ide sebelumnya. Totalkan terlebih dahulu nilai tersebut, lalu dibagi dengan banyak nilainya:

\overline{x} = \frac{85.5+81.5+87.3+90+88.7}{5}
\overline{x} = \frac{433}{5}
\overline{x} = 86.6

Median dan Modus

Sengaja nih median dan modus saya gabungin aja. Alasannya, karena keduanya lebih pas kalau dijelasin secara bahasa sehari-hari aja.

Saya gak bakal ngejelasinnya secara matematis banget.

Oke lanjut, misal kita punya sekumpulan nilai fisika anak-anak kelas 8C. Data tersebut yaitu

75,70,90,86,79,95,88,90,77,80,81,90,78,82,79

Anggap aja ada 15 murid dalam satu kelas tersebut. Dan kali kita tertarik nyari tahu nilai tengah.

Atau nilai yang berada di posisi di mana dapat membagi distribusi nilai tersebut menjadi dua bagian sama rata, atau yang dikenal sebagai median.

Cara Menentuka Modus

Selain itu, kita juga tertarik buat nyari tahu nilai yang sering muncul pada distribusi nilai tersebut. Atau yang dikenal sebagai modus.

Mungkin untuk modus kalian bisa mengetahuinya dengan mudah.

Dalam sekumpulan informasi nilai tersebut, kalian bisa langsung tahu bahwa modusnya adalah Mo = 90.

Cara Mencari Median

Untuk median tidak semudah itu. Kalau ada yang menerka bahwa median dari distribusi ini adalah 90, mending kita lanjutkan pembahasannya.

Mengurutkan Data

Ada satu hal yang perlu kalian lakukan pertama-tama. Yaitu menyusunnya terlebih dahulu dengan urutan berdasarkan besar nilai tersebut.

Apabila kita susun distribusi sebelumnya menjadi:

70,75,77,78,79,79,80,81,82,86,88,90,90,90,95

Data Ganjil

Setelah disusun seperti itu, silahkan kalian temukan mediannya. Dalam distribusi ini akan ditemukan bahwa mediannya adalah Me = 81.

Nah, yang jadi pertanyaan sekarang, bagaimana ketika jumlah datanya genap?

Median untuk banyak data ganjil

Pada banya data yang ganjil, seperti sebelumnya dengan banyak data 15, kita dapat dengan mudah mencari nilai tengahnya yaitu berada di posisi ke-8.

Karena dengan memilih posisi itu, ada sebanyak 7 nilai di sebelah kirinya, dan ada 7 juga di sebelah kanannya.

Data Genap

Ketika datanya kita tambah, misal menjadi 16, yang perlu kita lakukan adalah mencari nilai rata-rata pada dua nilai.

Karena kita gak bisa mencari posisi pastinya. Kalau kita pilih posisi ke-8), di kiri ada 7 nilai tapi di kanan ada 8 nilai.

Begitu juga sebaliknya, ketika kita pilih posisi ke-9, di sebelah kiri ada 8, di sebelah kanan jadinya ada 7.

Rumus Median

Dengan ide sebelumnya, maka kita akan merata-ratakan nilai pada posisi ke-8 dan ke-9.

Apabila kita tambahkan satu nilai lagi yaitu 77, maka distribusinya menjadi:

70,75,77,77,78,79,79,80,81,82,86,88,90,90,90,95

Dengan demikian mediannya:

\text{Me} = \frac{x_8 + x_9}{2} = \frac{80+81}{2} = 80.5
Median untuk banyak data genap

Secara umum, bentuk matematis median untuk jumlah data ganjil diekspresikan sebagai berikut:

\text{Me} = x_{\frac{n+1}{2}}

Apabila n atau jumlah datanya genap, maka nilai mediannya yaitu:

\text{Me} = \frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1}}{2}

Standar Deviasi

Ingat lagi pada ilustrasi yang di awal, kita telah menyinggung bahwa kita tertarik untuk mengetahui seberapa berbedanya nilai rata-rata antar kelas.

Sekarang, saya ambil contoh sederhana aja, misal kita punya data pertama yang berisikan:

85,84,85,86,85,85,84,86

Kemudian data yang kedua isinya:

75,81,70,90,85,71,98,79

Kalau saya tanya mana yang paling beragam nilainya? Dan mana yang tidak begitu beragam?

Pastinya kalian bakal ngejawab, bahwa data yang pertama tidak begitu beragam, sedangkan untuk data yang kedua sangat beragam.

Namun perlu diingat, kita perlu sesuatu yang objektif alias ada ukurannya secara angka.

Tidak bisa hanya sekedar melihat munculnya nilai yang kecil dan besar. Meskipun secara kasaran mungkin saja benar.

Rumus Standar Deviasi

Dalam statistika, keberagaman nilai tersebut dapat diukur menggunakan apa disebut sebagai standar deviasi.

Idenya adalah kita menghitung seberapa besar simpangan nilai-nilai tersebut terhadap nilai rata-ratanya. Kemudian total simpangannya dibagi dengan banyak datanya.

Rumusnya sebagai berikut:

\sigma = \sqrt{\frac{{(x_1-\overline{x})}^2+{(x_1-\overline{x})}^2+\cdots+{(x_n-\overline{x})}^2}{n}}

Contoh Soal 2

Untuk data yang pertama, rata-ratanya \overline{x_1} = 85, sedangka data yang kedua \overline{x_2} = 81.125.

Kalau gitu, kita langsung aja hitung standar deviasinya σ, berdasarkan cara sebelumnya. Untuk data pertama keberagamannya:

\sigma_1 = \sqrt{\frac{{(85-85)}^2+{(84-85)}^2+{(85-85)}^2+{(86-85)}^2+{(85-85)}^2+{(85-85)}^2+{(84-85)}^2+{(86-85)}^2}{8}}
\rightarrow \sigma_1 = \sqrt{\frac{{(0)}^2+{(-1)}^2+{(0)}^2+{(1)}^2+{(0)}^2+{(0)}^2+{(-1)}^2+{(1)}^2}{8}}
\rightarrow \sigma_1 = \sqrt{\frac{4}{8}}
\rightarrow \sigma_1 = \sqrt{\frac{1}{2}}
\rightarrow \sigma_1 \approx 0.707

Bisakah kalian hitung untuk data yang kedua?

Jika kalian berhasil menghitungnya, hasil standar deviasi untuk data yang kedua sebesar:

\sigma_2 \approx 9.613

Berdasarkan kasil perhitungan ini, kesimpulannya data kedua lebih beragam ketimbang yang pertama.

Nah sekarang jelas, semakin besar standar deviasinya semakin besar pula keberagaman datanya.

Label

Komentar

Search icon