Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Penulis: Lintang Erlangga

Diperbarui: July 8th, 2021

Cara menghitung nilai eigen dan vektor eigen — Konsep nilai eigen dan vektor eigen.

Baik nilai eigen dan vektor eigen sama-sama mempunyai banyak kegunaan dalam konsep matrks.

Salah satu contohnya, nilai eigen mampu membantu perhitungan pangkat matriks.

Jadi alih-alih menghitung pangkat matriks, kalian hanya perlu menghitung pangkat dari nilai eigennya saja.

Berikut akan dijelaskan bagaimana menghitung keduanya.

Daftar Isi

Pengenalan Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Mencari Nilai Eigen
Menentukan Vektor Eigen
Sifat-Sifat dan Pemanfaatannya
- Menghitung Determinan
- Menghitung Trace

Pengenalan Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Kalau yang pernah belajar transformasi, tentunya teman-teman sekalian pasti tahu kan kalau rotasi maupun translasi bisa dituliskan dalam matriks.

Yaitu dengan mengalikan matriks tersebut dengan posisi yang direpresentasikan oleh vektor.

Di sini kita punya sesuatu yang menarik, jadi ketika kita kalikan suatu vektor tertentu, maka vektor tersebut tidak mengalami rotasi maupun translasi.

Melainkan, vektor tersebut mengalami perubahan panjang, bisa itu makin besar dan bisa juga makin kecil.

Coba ingat kembali bahwa, kalau ingin merubah panjang suatu vektor, maka yang diperlukan hanyalah mengalikan dengan sebuah konstanta.

Misalkan konstantanya diwakili oleh k, maka kalau |k| > 1 vektornya membesar, dan sebaliknya jika 0 < |k| < 1.

Secara matematis, misalnya kita punya matriks A, dengan vektor eigen dari matriks tersebut adalah x, dan nilai eigennya λ. Maka hubungan antara vektor dan nilai tersebut yaitu:

$Ax = \lambda x$

Maksudnya apa? Sesuai perkataan yang disebutkan sebelumnya, operasi perkalian terhadap vektor x setara dengan perkalian dengan suatu konstanta.

Mencari Nilai Eigen

Pembahasan intinya bakal dimulai dengan menghitung nilai eigen (eigenvalues).

Sebab vektor eigen paling gampang ditemukan apabila nilai ini sudah ditemukan.

Kita akan berangkat dari persamaan sebelumnya Ax = λx, dan dibatasi untuk matriks 2x2 terlebih dahulu.

Dari persamaan tersebut, bisa dituliskan kembali sehingga menjadi:

$\begin{align*}Ax-\lambda x&=0\\ (A-\lambda I)x&=0\end{align*}$

Nah sekarang coba perhatikan, persamaan di atas mampu dibayangkan berupa persamaan yang biasa digunakan dalam melakukan proses eliminasi Gauss, yaitu Ax = b.

Pada kasus ini matriks A yang dimaksud adalah A - λI, vektor x-nya masih sama, dan vektor b-nya adalah 0.

Untuk mencapai kesamaan tersebut, maka matriks A - λI setidaknya mempunyai pivot bernilai nol. Apabila kalian bingung pivot itu apa, kalian bisa baca-baca pada materi tentang invers matriks.

Di sini coba disinggung sedikit aja, intinya pivot itu elemen di diagonal setelah dilakukan upaya seperti penukaran baris. Tujuannya supaya pivotnya tidak bernilai nol.

Atau bisa juga dikatakan ketika vektor kolom yang menyusun matriks A - λI merupakan kombinasi linear dari vektor kolom lainnya.

Dua kondisi tersebut sebenarnya sama saja, hanya beda istilah saja. Maksudnya, jika kondisi pertama terjadi, maka otomatis yang kedua juga berlaku, dan sebaliknya.

Selain itu, bisa juga dikatakan ketika det (A - λI) = 0, ini juga situasi yang sama. Dan kita akan gunakan konsep determinan seterusnya.

Sekarang langsung dicoba aja langkah-langkah sebelumnya. Selaras langkah pertamanya, sebut saja matriksnya adalah A, misal elemen-elemennya yakni seperti berikut:

$\begin{bmatrix}5&&2\\3&&4\end{bmatrix}$

Substitusikan matriks tersebut ke dalam persamaan determinan sebelumnya, sehingga diperoleh:

$\det(\begin{bmatrix}5&&2\\3&&4\end{bmatrix}-\lambda\begin{bmatrix}1&&0\\0&&1\end{bmatrix})=0$

$\det(\begin{bmatrix}5-\lambda&&2\\3&&4-\lambda\end{bmatrix})=0$

$\begin{align*}(5-\lambda)(4-\lambda)-2\cdot3&=0\\\lambda^2-9\lambda+14&=0\end{align*}$

Apa yang kita temui merupakan sebuah persamaan kuadrat, mengingat matriksnya berukuran 2x2. Jika matriksnya berukuran NxN, maka akan berupa polinomial.

Oleh karena itu, untuk mencari nilai eigennya, yang perlu dilakukan adalah mencari akar dari persamaan kuadrat tersebut.

$(\lambda - 7)(\lambda - 2) = 0$

Didapat nilai eigennya yaitu λ₁ = 7 dan λ₂ = 2.

Menentukan Vektor Eigen

Berikutnya akan ditentukan vektor eigen (eigenvector) dari matriks A berdasarkan masing-masing nilai eigen tadi.

Sekarang, subsitusikan masing-masing λ atau nilai eigen tersebut ke dalam persamaan (A - λI)x = 0.

Dimulai dari nilai eigen pertama λ₁:

$(A-7\cdot I)x=0$

$\left( \begin{bmatrix}5&&2\\3&&4\end{bmatrix}-7\cdot\begin{bmatrix}1&&0\\0&&1\end{bmatrix}\right)x=0$

$\begin{bmatrix}-2&&2\\3&&-3\end{bmatrix}x = 0$

Asumsikan elemen dari solusinya adalah x₁ dan x₂, dapat dituliskan sebagai berikut:

$x=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}$

Tulis ulang persamaan matriks sebelumnya.

$\begin{bmatrix}-2&&2\\3&&-3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=0$

Di sini tidak bisa diselesaikan langsung menggunakan eleminasi. Sebab kedua vektor kolomnya (atau barisnya) saling dependent.

Atau istilah lainnya, salah baris/kolomnya merupakan kombinasi linear dari baris/kolom lainnya.

Coba perhatikan persamaan antara baris 2 dari matriks tersebut dengan solusi x. Persamaan tersebut yaitu:

$\begin{align*}3x_1-3x_2&=0\\x_1&=x_2\end{align*}$

Berangkat dari persamaan ini maka bisa kita tuliskan bahwa vektor eigennya mempunyai bentuk:

$\begin{align*}x&=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}x_1\\x_1\end{bmatrix}\\&=x_1\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}\end{align*}$

Itu artinya, vektor eigen dari nilai eigen pertama merupakan semua vektor yang mana nilai kedua elemennya sama.

Lanjut, kita cari vektor eigen yang kedua. Substitusikan nilai eigen kedua, sehingga diperoleh:

$(A - 2\cdot I)x = 0$

$(\begin{bmatrix}5&&2\\3&&4\end{bmatrix}-2\cdot\begin{bmatrix}1&&0\\0&&1\end{bmatrix})x=0$

$\begin{bmatrix}3&&2\\3&&2\end{bmatrix}x=0$

Berhubung persamaan yang tersusun baik dari baris 1 maupun baris 2 tidak ada perbedaannya, silahkan dipilih salah satunya aja.

Karena keduanya sama-sama mempunyai bentuk sebagai berikut:

$\begin{align*}3x_1+2x_2&=0\\x_2&=-\frac{3}{2}x_1\end{align*}$

Vektor eigen dari nilai eigen yang kedua dengan demikian yaitu:

$\begin{align*}x&=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}x_1\\-\frac{3}{2}x_1\end{bmatrix}\\&=x_1\begin{bmatrix}1\\-\frac{3}{2}\end{bmatrix}\end{align*}$

Biar gak ketuker-tuker, kita ganti konstanta untuk vektor eigen pertama menjadi k dan yang kedua l.

Demikian, apabila ditulis kembali kedua vektor eigennya, menjadi:

$\begin{align*}x_1&=k\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}\\x_2&=l\begin{bmatrix}1\\-\frac{3}{2}\end{bmatrix}\end{align*}$

Sifat-Sifat dan Pemanfaatannya

Kira-kira apa saja yang menarik nih dari nilai eigen serta vektor eigen ini?

Mungkin itu kan yang menjadi pertanyaan di benak teman-teman.

Sekarang, coba perhatikan ketika vektor sebelumnya dikalikan dengan sebuah matriks A berkali-kali. Saya pilih vektor eigen pertama.

$\begin{align*}Ax_1&=\lambda_1 x_1\\AAx_1&=A\lambda_1 x_1\\A^2x_1&=\lambda_1(A x_1)\\A^2x_1&=\lambda_1(\lambda_1 x_1)\\A^2x_1&=\lambda_1^2 x_1\end{align*}$

Coba kalian kalikan lagi dengan A dan ikuti langkah seperti di atas.

Tentunya ini merupakan suatu hal yang menarik, karena ketika kita mengalikan suatu vektor dengan matriks berpangkat, maka hasilnya setara dengan mengalikan suatu konstanta berpangkat.

$A^n x = \lambda^n x$

Dengan syarat bahwa x adalah vektor eigen dari A.

Jadi maksudnya, kita gak perlu repot-repot melakukan banyak operasi perkalian pada matriks.

Yang hanya perlu dilakukan hanyalah melakukan operasi perkalian terhadap skalar.

Menghitung Determinan

Ada juga pemanfaatan dari nilai ini, yaitu dapat digunakan untuk mencari nilai determinan.

Jika matriks A nilai-nilai eigennya adalah λ₁, λ₂, …, λ_n, maka nilai determinannya yaitu:

$\det A = \lambda_1\cdot\lambda_2\cdot\ldots\cdot\lambda_n$

Emang beneran kayak gitu? Sekarang gini aja, tadi kan udah dijelasin bahwa untuk ukuran matriks sembarang akan ditemui polinomial pangkat n.

Secara umum, bisa dituliskan menjadi:

$\det (A-\lambda I) = p(\lambda) = (\lambda_1 - \lambda)(\lambda_2 - \lambda)\cdots(\lambda_n - \lambda)$

Coba perhatikan ketika nilai λ kita beri nilai nol. Pastinya persamaan sebelumnya akan menjadi:

$\det A = \lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n$

Menghitung Trace

Selain itu, jumlahan nilai eigen ini bisa digunakan juga sebagai pengganti trace atau jumalahan diagonal dari matriks A.

Hubungannya yakni sebagai berikut:

$\lambda_1 + \lambda_2+\cdots+\lambda_n = a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn}$

$\text{tr} A = \Sigma_i^n \lambda_i = \Sigma_i^n a_{ii}$

Konsep ini akan sangat berguna bagi teman-teman yang ingin berkuliah di bidang sains dan teknik.

Karena konsep ini bakal membantu kalian semua terutama kalian-kalian yang bakal berurusan dengan dinamika sebuah sistem.

Sistem linear yang umumnya dimodelkan dengan persamaan diferensial, bisa diselesaikan menggunakan konsep nilai dan vektor eigen ini.