Konsep Dasar Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Konsep nilai eigen dan vektor eigen
Konsep nilai eigen dan vektor eigen.
Daftar Isi

Pengenalan Vektor Eigen dan Nilai Eigen

Kalau yang pernah belajar transformasi, tentunya teman-teman sekalian pasti tahu kan kalau rotasi maupun translasi bisa dituliskan dalam matriks. Yaitu dengan mengalikan matriks tersebut dengan posisi yang direpresentasikan dengan vektor.

Di sini kita punya sesuatu yang menarik, jadi ketika kita kalikan suatu vektor tertentu, maka vektor tersebut tidak mengalami rotasi maupun translasi. Melainkan, vektor tersebut mengalami perubahan panjang, bisa itu makin besar dan bisa juga makin kecil.

Coba ingat kembali bahwa, kalau kita ingin merubah panjang suatu vektor, maka yang kita perlukan hanyalah mengalikan dengan sebuah konstanta. Jika kita sebut konstantanya k, maka kalau |k| > 1 vektornya membesar, dan sebaliknya jika 0 < |k| < 1.

Perkalian dengan vektor eigen

Secara matematis, misal kita punya matriks A, dengan vektor eigen dari matriks tersebut adalah x, dan nilai eigennya \lambda. Maka hubungan antara vektor dan nilai tersebut yaitu.

Ax = \lambda x

Maksudnya apa? Sesuai dengan yang disebutkan sebelumnya, operasi perkalian terhadap vektor x setara dengan mengalikannya dengan suatu konstanta.

Mencari Nilai Eigen

Mari kita mulai untuk mencari nilai eigen (eigenvalues) terlebih dahulu. Kita akan berangkat dari persamaan sebelumnya, dan dibatasi untuk matriks 2x2 terlebih dahulu.

Dari persamaan tersebut, bisa kita tuliskan kembali menjadi.

Ax - \lambda x = 0
(A - \lambda I) x = 0

Nah sekarang coba perhatikan, persamaan di atas bisa kita bayangkan berupa persamaan yang biasa kita gunakan untuk melakukan eleminasi Gauss, yaitu Ax=b.

Pada kasus ini matriks A yang dimaksud adalah A - \lambda I, vektor x-nya tetap, dan vektor b-nya adalah 0.

Untuk mencapai kesamaan tersebut, maka matriks A - \lambda I setidaknya mempunyai pivot yang bernilai nol. Bagi kalian yang bingung pivot itu apa, kalian bisa baca-baca pada materi tentang invers matriks.

Atau bisa juga dikatakan ketika vektor kolom yang menyusun matriks A -\lambda I merupakan kombinasi linear dari vektor kolom lainnya.

Dua kondisi tersebut sebenarnya sama saja, hanya beda istilah saja. Maksudnya, jika kondisi pertama terjadi, maka otomatis yang kedua juga berlaku, dan sebaliknya.

Selain itu, bisa juga dikatakan ketika \det (A - \lambda I) = 0, ini juga situasi yang sama. Dan kita akan gunakan konsep determinan seterusnya.

Selaras dengan yang pertama, kita sebut matriksnya adalah A, misal elemen-elemennya yakni seperti berikut.

\begin{bmatrix}5&&2\\3&&4\end{bmatrix}

Substitusikan matriks tersebut ke dalam persamaan determinan sebelumnya, maka didapat.

\det \left( \begin{bmatrix}5&&2\\3&&4\end{bmatrix} - \lambda \begin{bmatrix}1&&0\\0&&1\end{bmatrix} \right) = 0
\det \left( \begin{bmatrix}5-\lambda&&2\\3&&4-\lambda\end{bmatrix} \right) = 0
(5-\lambda)(4-\lambda) - 2\cdot3 = 0
\lambda^2 - 9\lambda + 14 = 0

Apa yang kita temui merupakan sebuah persamaan kuadrat mengingat matriksnya berukuran 2x2. Jika matriksnya berukuran NxN, maka akan berupa polinomial.

Oleh karena itu, untuk mencari nilai eigennya, yang perlu kita lakukan adalah mencari akar dari persamaan kuadrat tersebut.

(\lambda - 7)(\lambda - 2) = 0

Didapat nilai eigennya yaitu \lambda_1 = 7 dan \lambda_2 = 2.

Menentukan Vektor Eigen

Untuk menentukan vektor eigen (eigenvector) dari matriks A, sekarang kita subsitusikan masing-masing lambda ke dalam persamaan (A - \lambda I) x = 0. Dimulai dari nilai eigen yang pertama.

(A - 7\cdot I)x = 0
\left( \begin{bmatrix}5&&2\\3&&4\end{bmatrix} - 7\cdot\begin{bmatrix}1&&0\\0&&1\end{bmatrix} \right)x = 0
\begin{bmatrix}-2&&2\\3&&-3\end{bmatrix}x = 0

Asumsikan elemen dari solusinya adalah x_1 dan x_2, dapat dituliskan sebagai berikut.

x = \begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}

Tulis ulang persamaan matriks sebelumnya.

\begin{bmatrix}-2&&2\\3&&-3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix} = 0

Di sini tidak bisa kita selesaikan langsung menggunakan eleminasi, coba perhatikan persamaan antara baris 2 dari matriks tersebut dengan solusi x.

Persamaan tersebut yaitu.

3x_1 -3x_2 = 0
x_1 = x_2

Berangkat dari persamaan ini maka bisa kita tuliskan bahwa vektor eigennya mempunyai bentuk

x = \begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}
 = \begin{bmatrix}x_1\\x_1\end{bmatrix}
 = x_1\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}

Itu artinya, vektor eigen dari nilai eigen yang pertama merupakan semua vektor yang mana nilai kedua elemennya sama.

Lanjut, kita cari vektor eigen yang kedua. Substitusikan nilai eigen yang kedua, maka didapat.

(A - 2\cdot I)x = 0
\left( \begin{bmatrix}5&&2\\3&&4\end{bmatrix} - 2\cdot\begin{bmatrix}1&&0\\0&&1\end{bmatrix} \right)x = 0
\begin{bmatrix}3&&2\\3&&2\end{bmatrix}x = 0

Berhubung persamaan yang bisa kita susun baik dari baris 1 maupun baris 2 sama, kita pilih salah satu aja. Karena keduanya sama memepunyai bentuk sebagai berikut.

3x_1 + 2x_2 = 0
x_2 = -\frac{3}{2}x_1

Vektor eigen dari nilai eigen yang kedua dengan demikian yaitu.

x = \begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}
 = \begin{bmatrix}x_1\\-\frac{3}{2}x_1\end{bmatrix}
 = x_1\begin{bmatrix}1\\-\frac{3}{2}\end{bmatrix}

Biar gak ketuker-tuker, kita ganti konstanta untuk vektor eigen yang pertama menjadi k dan yang kedua l.

Ditulis kembali kedua vektor eigennya, yaitu.

x_1 = k\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}
x_2 = l\begin{bmatrix}1\\-\frac{3}{2}\end{bmatrix}

Sifat-Sifat dan Pemanfaatannya

Kira-kira apa saja yang menarik nih dari nilai serta vektor ini? Mungkin itu kan yang menjadi pertanyaan di benak teman-teman. Sekarang, coba perhatikan ketika vektor sebelumnya kita kalikan dengan matriks A berkali-kali. Saya pilih yang vektor eigen pertama.

Ax_1 = \lambda_1 x_1
AAx_1 = A\lambda_1 x_1
A^2x_1 = \lambda_1 (A x_1)
A^2x_1 = \lambda_1 (\lambda_1 x_1)
A^2x_1 = \lambda_1^2 x_1

Coba kalian kalikan lagi dengan A dan ikuti langkah seperti di atas. Tentunya ini suatu hal yang menarik karena, ketika kita mengalikan suatu vektor dengan matriks berpangkat, maka hasilnya setara dengan mengalikan suatu konstanta berpangkat.

A^n x = \lambda^n x

Dengan syarat bahwa x adalah vektor eigen dari A.

Jadi maksudnya, kita gak perlu repot-repot melakukan banyak operasi perkalian pada matriks. Yang hanya perlu kita lakukan adalah melakukan operasi pada skalar.

Menghitung Determinan

Ada juga pemanfaatan dari nilai ini, yaitu dapat digunakan untuk mencari nilai determinan. Jika matriks A nilai-nilai eigennya adalah \lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n, maka determinanya yaitu.

\det A = \lambda_1\cdot\lambda_2\cdot\ldots\cdot\lambda_n

Emang beneran kayak gitu? Sekarang gini aja, tadi kan udah dijelasin bahwa untuk ukuran matriks sembarang akan ditemui polinomial pangkat n. Secara umum bisa dituliskan menjadi.

\det (A-\lambda I) = p(\lambda) = (\lambda_1 - \lambda)(\lambda_2 - \lambda)\cdots(\lambda_n - \lambda)

Coba perhatikan ketika nilai \lambda kita beri nilai nol. Pastinya persamaan sebelumnya akan menjadi.

\det A = \lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n

Menghitung Trace

Selain itu, jumlahan nilai eigen ini bisa digunakan juga sebagai pengganti trace atau jumalahan diagonal dari matriks A. Hubungannya yakni sebagai berikut.

\lambda_1 + \lambda_2+\cdots+\lambda_n = a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn}
\text{tr} A = \Sigma_i^n \lambda_i = \Sigma_i^n a_{ii}
Label
Search icon