Transformasi Wye Delta

Dipublikasi: September 6th, 2021

Transformasi rangkaian Wye-Delta — Cara mentransformasikan rangkaian Wye-Delta.

Selain teorema Thevenin dan Norton, ada cara lainnya untuk menyederhanakan rangkaian kompleks. Yaitu menggunakan metode transformasi Wye-Delta.

Daftar Isi

Transformasi Wye-Delta
- Kegunaan Rangkaian Wye dan Delta
Konversi Delta ke Wye
Konversi Wye ke Delta
- Kondisi Khusus
Contoh Transformasi Rangkaian
- Alternatif Penyelesaian
- Lebih Sederhana Mana?

Transformasi Wye-Delta

Kalian pernah dengar rangkaian bernama jembatan Wheatstone? Pada rangkaian tersebut, apabila ingin ditentukan rangkaian penggantinya tidak bisa secara langsung menggunakan hukum Ohm dan Kirchoff.

Jembatan Wheatstone bukan rangkaian seri ataupun paralel

Perlu ada penangan khusus terhadap susunan itu. Karena situasinya memang membingungkan, disebut paralel enggak, dibilang seri juga bukan.

Inti dari transformasi ini yaitu menyederhanakan rangkaian yang rumit sehingga disusun menjadi susunan komponen lainnya dan sifatnya ekuivalen.

Jadi secara karakteristik sinyalnya, sebenarnya tetap sama, cuman bentuk komposisinya jadi beda.

Terus kenapa sih disebut transformasi Wye-Delta? Alasannya karena kita bakal merubah dari satu bentuk rangkaian ke rangkaian lainnya.

Jadi ada dua konfigurasi yang bakal dibahas yaitu Wye serta Delta. Dan kedua konfigurasi rangkaian itu bisa saling ditransformasikan satu sama lain.

Mungkin di antara kalian, bertanya-tanya tujuannya apa sih sehingga dilakukan transformasi ini?

Karena begini, di satu sisi kadang dengan susunan Wye itu lebih mudah dalam menganalisis rangkaiannya. Kadang juga pada susunan Delta malah lebih gampang.

Kegunaan Rangkaian Wye dan Delta

Begini, listrik yang dibangkitkan oleh pembangkit (generator) itu lebih efisien apabila ditransmisikan dengan tegangan 3 fase.

Maksud tiga fase tersebut artinya terdapat tiga buah sinyal dalam bentuk sinus. Jadi terdapat arus bolak-balik yang masing-masing fasenya berbeda sejauh 120^°.

Daya yang dihasilkan oleh tegangan 3 fase cenderung lebih stabil, ketimbang 1 fase.

Terus dengan adanya 3 isyarat ini, daya lebih besar mampu dikirim melalui kabel dengan ukuran lebih kecil (faktor ekonomis).

Beberapa alasan lainnya mengapa digunakan konfigurasi Wye-Delta:

Khusus transmisi tegangan tinggi digunakan konfigurasi Delta, karena tidak memerlukan jalur netral (hembat penggunaan kabel).
Saat didistribusikan, karena peralatan elektronik perlu proteksi, digunakan konfigurasi Wye.

Konversi Delta ke Wye

Tahapan konversinya dilakukan dengan mengabaikan salah satu terminal pada rangkaian.

Masing-masing susunan mempunyai tiga terminal, nah kalau pengen dianalisis dua di antaranya, terminal lainnya diabaikan terlebih dahulu.

Mengabaikan salah satu terminal sendiri merupakan konsekuensi dari prinsip superposisi untuk rangkaian yang sifatnya linear.

Jika masing-masing terminal terhubung dengan sumber arus yang berbeda, maka sumber pada salah satu terminal bisa dijadikan terbuka (open circuit).

Nah itu kan baru dari satu sumber aja, bukannya sumbangsih dari sumber yang sebelumnya dihilangin harus disertakan?

Kebetulan karena berfokus pada dua terminal saja, jika diabaikan sumber pada sisi yang diamati, menyebabkan tegangan antara dua terminalnya nol. Sebab rangkaiannya menjadi terbuka.

Misalnya untuk terminal 1 dan 2, apabila karakteristik sinyal pada kedua terminal tetap sama, maka rangkaian pengganti pada konfigurasi keduanya harus setara.

$R_{12,\Delta} = R_1 + R_2$

$R_{12,Y} = R_c \| (R_a + R_b)$

Dalam hal ini R_12,Y = R_12,Δ, demikian:

$R_1 + R_2 = R_c \| (R_a + R_b)$

$R_1 + R_2 = \frac{R_c(R_a + R_b)}{R_a + R_b + R_c}\quad (\text{I})$

Lakukan hal serupa kepada pasangan terminal lainnya. Selanjutnya untuk terminal 1 dan 3:

$R_1 + R_3 = \frac{R_b(R_a + R_c)}{R_a + R_b + R_c}\quad (\text{II})$

Terakhir, terminal 2 dengan 3, didapat persamaannya:

$R_2 + R_3 = \frac{R_a(R_b + R_c)}{R_a + R_b + R_c}\quad (\text{III})$

Sekarang, saatnya manipulasi persamaannya, bakal kita lakukan eleminasi untuk mendapatkan nilai hambatan pada koneksi Wye.

Kurangi persamaan II dengan III, sehingga didapat persamaan baru:

$R_1 - R_2 = \frac{R_c(R_b - R_a)}{R_a + R_b + R_c}\quad (\text{IV})$

Selanjutnya, jumlahkan persamaan I dengan IV untuk mendapatkan nilai R₁:

$R_1 = \frac{R_b R_c}{R_a + R_b + R_c}$

Guna mendapatkan nilai hambatan lainnya, kita cukup mensubstitusikan R₁ sehubung udah diketahui nilainya.

$R_2 = \frac{R_a R_c}{R_a + R_b + R_c}$

$R_3 = \frac{R_a R_b}{R_a + R_b + R_c}$

Berdasarkan ketiga rumus ini, masing-masing resistor pada susunan Wye bisa dikatakan sebagai berikut:

Hambatan konfigurasi Wye setara dengan perkalian antara dua resistor yang mengapitnya, dibagi dengan jumlahan resistansi pada susunan Delta.

Konversi Wye ke Delta

Berikutnya, untuk melakukan konversi sebaliknya, yakni dari Delta ke Wye, ini memerlukan "sedikit" manipulasi persamaan yang sudah didapat.

Yang bakal dilakukan adalah menghitung jumlahan atas perkalian (sum of product) dari resistor pada susunan Wye. Seperti begini maksudnya:

$R_1 R_2 + R_1 R_3 + R_2 R_3$

$\frac{R_a R_b R_c^2}{(R_a + R_b + R_c)^2} + \frac{R_a R_b^2 R_c}{(R_a + R_b + R_c)^2} + \frac{R_a^2 R_b R_c}{(R_a + R_b + R_c)^2}$

$\frac{R_a R_b R_c(R_a + R_b + R_c)}{(R_a + R_b + R_c)^2}$

$\frac{R_a R_b R_c}{R_a + R_b + R_c}$

Nah dari sini agak sedikit tricky, coba amati hasil sebelumnya. Karena bisa dipilih mana kombinasi yang ingin disubstitusikan terhadap nilai yang udah diketahui.

Contohnya, ingin dicari nilai R_a, maka ekspresi pengalinya akan menjadi R₁, seperti berikut:

$R_1 R_2 + R_1 R_3 + R_2 R_3 = \frac{R_a R_b R_c}{R_a + R_b + R_c}$

$R_1 R_2 + R_1 R_3 + R_2 R_3 = R_a\cdot\frac{R_b R_c}{R_a + R_b + R_c}$

$R_1 R_2 + R_1 R_3 + R_2 R_3 = R_a R_1$

$R_a = \frac{R_1 R_2 + R_1 R_3 + R_2 R_3}{R_1}$

Sampai sini dapat kan idenya bagaimana? Selanjutnya untuk mengetahui besar R_b serta R_c dilakukan dengan langkah yang sama persis.

$R_b = \frac{R_1 R_2 + R_1 R_3 + R_2 R_3}{R_2}$

$R_c = \frac{R_1 R_2 + R_1 R_3 + R_2 R_3}{R_3}$

Kesimpulannya untuk konversi dari Wye ke Delta bisa diutarakan sebagai berikut:

Hambatan pengganti pada susunan Delta setara dengan jumlahan perkalian (sum of product) resistansi pada susunan Wye dibagi dengan hambatan yang berseberangan.

Kondisi Khusus

Konversi antara keduanya semakin mudah ketika semua resistornya seragam nilai hambatannya. Misalnya untuk susunan Delta R_a = R_b = R_c = R_Δ, maka akan menyebabkan kondisi yang sama pada susunan Wye.

$R_1 = \frac{R_\Delta R_\Delta}{R_\Delta + R_\Delta + R_\Delta}$

$R_1 = \frac{R_\Delta}{3}$

Mengingat semua rumusnya diisi oleh variabel yang sama, maka begitu pula untuk R₂ serta R₃. Mengakibatkan berlaku R₁ = R₂ = R₃ = R_Y, sehingga relasi kedua susunan ini menjadi:

$R_Y = \frac{R_\Delta}{3}$

$R_\Delta = 3R_Y$

Contoh Transformasi Rangkaian

Sesuai perkataan di awal, kalau metode ini bisa diterapkan untuk mencari rangkaian ekuivalen jembatan Wheatstone.

Sejatinya bebas mau pilih opsi resistor yang mana, namun untuk kali ini saya pilih R₁, R₃, berikut R₅.

Jika kita berfokus pada ketiga resistor itu aja, sangat jelas bahwa ketiganya membentuk susunan Delta. Sengaja dikonversi menjadi Wye supaya bisa diterapkan prinsip seri-paralel seperti biasa.

Penentuan resistor pengganti barunya kita buat seperti ini:

R_a diapit oleh R₁ serta R₃
R_b dihimpit oleh R₁ dan R₅
R_c bersebelahan dengan R₃ dan R₅

Dengan menggunakan rumus untuk konversi Delta ke Wye, didapat resistansi penggantinya yaitu:

$R_a = \frac{R_1 R_3 + R_1 R_5 + R_3 R_5}{R_5}$

$R_b = \frac{R_1 R_3 + R_1 R_5 + R_3 R_5}{R_3}$

$R_c = \frac{R_1 R_3 + R_1 R_5 + R_3 R_5}{R_1}$

Setelah ditransformasikan, maka rangkaian jembatan Wheatstonenya bisa dicari bentuk ekuivalennya menggunakan konsep seri-paralel pada materi arus searah.

Alternatif Penyelesaian

Jembatan Wheatstone sebelumnya boleh juga diselesaikan dengan cara sebaliknya. Yakni dengan konversi Wye ke Delta.

Ada dua opsi yang bisa kalian pilih, di sini saya kasih contoh untuk pasangan R₁, R₂, dan R₅.

Kita sepakati resistor penggantinya adalah:

R'₁ diapit oleh R₁ serta R₅
R'₂ dihimpit oleh R₂ dan R₅
R'₃ bersebelahan dengan R₁ dan R₂

Berdasarkan rumus konversi Wye ke Delta, diperoleh hambatan penggantinya adalah:

$R'_1 = \frac{R_1 R_5}{R_1 + R_2 + R_5}$

$R'_2 = \frac{R_2 R_5}{R_1 + R_2 + R_5}$

$R'_3 = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2 + R_5}$

Rangkaian ekuivalen secara keseluruhannya bisa didapat menggunakan langkah yang sama seperti sebelumnya.

Lebih Sederhana Mana?

Untuk kasus rangkaian ini, saya pribadi lebih milih pakai konversi Delta ke Wye. Alasan utamanya, karena membutuhkan operasi lebih sedikit.

Coba aja perhatiin, walaupun konversi dari Wye ke Delta gak melibatkan sum of product, tetapi untuk menentukan rangkaian ekuivalen keseluruhannya terdiri 3 susunan paralel.

Berbeda dengan cara pertama di mana meski muncul sum of product tapi cukup dihitung sekali. Keuntungan lainnya, susunan paralelnya cuman satu.

Tetapi hal ini akan balik lagi bergantung dengan permasalahan yang sedang dihadapi.