TKD Saintek 1 2018

Published: February 9th, 2021

Pembahasan matematika TKD Saintek UTBK Kode 460 2018.

Daftar Isi

Soal dan Pembahasan 1 - mencari nilai minimum suatu fungsi periodis berupa sinusoid.
Soal dan Pembahasan 2 - menentukan suatu titik dengan informasi bahwa titik tersebut ditransformasikan.
Soal dan Pembahasan 3 - mencari jarak antara titik dengan garis pada suatu kubus.
Soal dan Pembahasan 4 - mencari suatu limit ketika bentuknya tidak terdefinisi.
Soal dan Pembahasan 5 - jumlah sebelas suku pertama dari suatu barisan geometri.
Soal dan Pembahasan 6 - mencari koefisien persamaan yang membatasi volume suatu benda padat.
Soal dan Pembahasan 7 - mencari banyak kemungkinan dua orang tidak saling bersebelahan.
Soal dan Pembahasan 8 - mengetahui suatu konstanta pada dua buah persamaan lingkaran yang diketahui jari-jarinya.
Soal dan Pembahasan 9 - menentukan nilai koefisien dari suatu polynomial yang diketahui faktor pembaginya.
Soal dan Pembahasan 10 - menentukan perkalian dari dua komponen suatu titik singgung pada suatu garis.
Soal dan Pembahasan 11 - mencari nilai integral tentu pada suatu bentuk yang mana dapat diselesaikan dengan teknik substitusi.
Soal dan Pembahasan 12 - mengetahui banyak anggota pada suatu irisian dari dua himpunan.
Soal dan Pembahasan 13 - penjumlahan antara batas atas dengan batas bawah interval yang merupakan solusi pertidaksamaan.
Soal dan Pembahasan 14 - mencari suatu konstanta yang belum diketahui yang mana muncul pada suatu sistem persamaan eksponen.
Soal dan Pembahasan 15 - mencari titik potong antara dua garis yang saling menyinggung lingkaran yang berbeda.

Soal 1

Jika fungsi $f(x) = a^2\sin(ax) + 10$ mempunyai periode $\frac{\pi}{2}$ , maka nilai minimum fungsi $f$ adalah ....
A. $-16$
B. $-6$
C. $1$
D. $6$
E. $9$

Pembahasan 2

Karena fungsi $f$ memiliki periode sebesar $\frac{\pi}{2}$ , maka fungsi $f$ nilainya akan sama pada, misal $x$ dan $x+\frac{\pi}{2}$ , dikarenakan sifatnya yang periodis, sehingga, $f(x) = f(x+\frac{\pi}{2})$ .

Dari ide tersebut, maka kita punya persamaan

$a^2\sin(ax) + 10 = a^2\sin(a(x+\frac{\pi}{2})) + 10$

$a^2\sin(ax) = a^2\sin(a(x+\frac{\pi}{2}))$

$\sin(ax) = \sin(a(x+\frac{\pi}{2}))$

$\sin(ax) = \sin(ax+a\frac{\pi}{2})$

Satu-satunya cara untuk mendapatkan kesamaan tersebut, maka perlu dicapai ketika $a\frac{\pi}{2} = 2\pi$ , karena fungsi $\sin$ berulang setiap $2\pi$ , sehingga

$a\frac{\pi}{2} = 2\pi$

$a = 4$

Fungsi seutuhnya merupakan $f(x) = 16\sin(4x) + 10$ . Untuk mengetahui nilai minimumnya, maka kita gunakan konsep turunan guna mencari nilai di mana gradiennya datar (alias tidak mengalami perubahan).

$f'(x) = 64cos(4x)$

$\rightarrow 64cos(4x) = 0$

$\rightarrow cos(4x) = 0$

Fungsi $\cos$ akan bernilai nol ketika argumennya adalah $\frac{\pi}{2}$ dan $\frac{3\pi}{2}$ , artinya ada beberapa nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut, yaitu ketika $4x=\frac{\pi}{2}$ dan ketika $4x = \frac{3\pi}{2}$ .

Dengan demikian, ada dua $x$ yaitu $x = \frac{\pi}{8}$ dan $x = \frac{3\pi}{8}$ , kemudian kita periksa ke fungsi $f$ yang awal akan diketahui bahwa $x = \frac{3\pi}{8}$ akan menyebabkan fungsi bernilai minimum karena hasilnya adalah $-6$ , sedangkan $x = \frac{\pi}{8}$ , menghasilkan 26.

Jawabannya adalah B. $-6$ .

Soal 2

Diketahui gradien garis yang melalui titik $O(0,0)$ dan $P(a,b)$ adalah $-2$ . Jika $P$ dicerminkan terhadap sumbu $x$ kemudian digeser $5$ satuan ke bawah dan $1$ satuan ke kiri, maka gradien garis yang melalui $P'$ dan $O(0,0)$ adalah $-1$ . Titik $P$ adalah ....
A. $(-2,4)$
B. $(-1,2)$
C. $(1,-2)$
D. $(2,-4)$
E. $(3,-6)$

Pembahasan 2

Kemiringan garis tersebut dapat kita temukan berdasarkan informasi dua titik tersebut, karena garis tersebut melaluinya
$m_{PO} = \frac{a-0}{b-0}$
$\rightarrow \frac{a}{b} = -2$
$\rightarrow a = -2b$

Apabila titik tersebut digeser ke bawah sebanyak $5$ satuan, artinya posisi $P$ menjadi $(a,b-5)$ , kemudian digeser ke kiri sebanyak $1$ satuan menjadi $(a-1,b-5)$ .

Dikatakan juga bahwa, gradiennya menjadi $-1$ , artinya

$m_{P'O} = \frac{(a-1) - 0}{(b-5)-0}$

$\rightarrow \frac{a-1}{b-5} = -1$

$\rightarrow a-1 = 5+b$

$\rightarrow a = b+6$

Substitusikan $a=-2b$ , maka

$-2b = b+6$

$\rightarrow 3b = -6$

$\rightarrow b = -2$

, dengan demikian $a = -2b = -2(-2) = 4$ , sehingga titik $P$ yaitu $-2,4$ , jawabannya A.

Soal 3

Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $2\sqrt{2}\,\text{cm}$ . Jika titik $P$ di tengah-tengah $AB$ dan titik $Q$ di tengah-tengah $BC$ , maka jarak antara titik $H$ dengan garis $PQ$ adalah ... $\text{cm}$
A. $\sqrt{15}$
B. $4$
C. $\sqrt{17}$
D. $3\sqrt{2}$
E. $\sqrt{19}$

Pembahasan 3

Kita gambar dulu kubusnya, serta garis $PQ$ -nya. Karena kita ingin tahu jaraknya, maka kita ingin mengetahui suatu titik yang berada di sepanjang garis $PQ$ , yang mana jarak dengan titik $H$ minimal.

Kubus ABCD.EFGH beserta ketetapan koordinatnya

Untuk mempermudah perhitungan, kita definisikan sistem koordinat kartesius, dengan anggapan bahwa titik $A$ sebagai titik asal kita. Dengan demikian titik $P$ berada di $(0,\sqrt{2},0)$ dan $Q$ berada di $(\sqrt{2}, \sqrt{2},0)$ .

Karena garis $PQ$ tidak melibatkan sumbu- $z$ , maka persamaan garisnya adalah $y - y_1 = m(x-x_1)$ dengan

$m = \frac{y_P - y_Q}{x_P - x_Q} = \frac{0-\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 2\sqrt{2}} = 1$

, kita pilih salah satu titik, misal $P$ , maka

$y - y_1 = m(x-x_1)$

$y - \sqrt{2} = 1\cdot(x-0)$

$y = x + \sqrt{2}$

Misal ada sebuah titik di garis $PQ$ anggap aja di $(x,y,0)$ , maka jaraknya terhadap $H(2\sqrt{2},0,-2\sqrt{2})$ minimal, di mana jaraknya adalah

$s = \sqrt{(x - x_H)^2 + (y - y_H)^2 + (0 - z_H)^2}$

$\rightarrow = \sqrt{(x - 2\sqrt{2})^2 + ((x+\sqrt{2}) - 0)^2 + (0 - (-2\sqrt{2})))^2}$

$\rightarrow = \sqrt{(x^2 - 4\sqrt{2}x + 8) + (x^2+2\sqrt{2}x + 2)^2 + 8}$

$\rightarrow = \sqrt{x^2-2\sqrt{2}x + 18}$

Untuk mencari jarak minimalnya, maka turunan dari persamaan jarak tersebut terhadap salah satu variabelnya haruslah nol, misal terhadap $x$ , yaitu $\frac{ds}{dx} = s' = 0$ , dalam hal ini

$\frac{ds}{dx} = \frac{ds}{du}\frac{du}{dx}$

, di mana kita asumasikan $u =x^2-2\sqrt{2}x + 18$

$s' = \frac{1}{2\sqrt{x^2-2\sqrt{2}x + 18}}(4x-2\sqrt{2}) = 0$

Ada dua cara supaya $s' = 0$ , penyebutnya mendekati tak hingga, atau membuat $4x-2\sqrt{2} = 0$ , yang paling masuk akal adalah cara yang kedua, di mana $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ , dan $y = x+\sqrt{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ sehingga, jaraknya adalah

$s = \sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{2} - 2\sqrt{2})^2 + (\frac{3\sqrt{3}}{2} - 0)^2 + (0 - (-2\sqrt{2}))^2}$

$\rightarrow = \sqrt{17}$

Soal 4

$\lim_{x\rightarrow2}\frac{\sin(2x-4)}{2-\sqrt{6-x}}=\dotsc$
A. $-8$
B. $-2$
C. $0$
D. $2$
E. $8$

Pembahasan 4

Kita tidak bisa mensubstitusikan $x=2$ secara langsung karena, bentuknya akan menjadi tak terdefinisi $\frac{0}{\infty}$ , untuk itu, kita perlu mengalikannya dengan akar sekawan dari penyebutnya terlebih dahulu.

$\lim_{x\rightarrow2}\frac{\sin(2x-4)}{2-\sqrt{6-x}}$

$\rightarrow \lim_{x\to2}\frac{\sin(2x-4)}{2-\sqrt{6-x}}\frac{2+\sqrt{6+x}}{2+\sqrt{6+x}}$

$\rightarrow \lim_{x\to2}\frac{\sin(2x-4)(2-\sqrt{6-x})}{4-(6-x)}$

$\rightarrow \lim_{x\to2}\frac{\sin(2x-4)(2-\sqrt{6-x})}{x-2}$

$\rightarrow \lim_{x\to2}\frac{\sin(2x-4)(2-\sqrt{6-x})}{x-2} \frac{2}{2}$

$\rightarrow \lim_{x\to2}\frac{2\sin(2x-4)(2-\sqrt{6-x})}{2x-4}$

$\rightarrow 2\cdot\lim_{x\to2}\frac{\sin(2x-4)}{2x-4} \lim_{x\rightarrow2}(2-\sqrt{6-x})$

$\rightarrow 2\cdot1 \lim_{x\to2}2-\sqrt{6-x}$

$\rightarrow 2 \cdot 0 = 0$

Sehingga jawabannya yang C.

Soal 5

Jika $a+1$ , $a-3$ , $2$ membentuk barisan geometri maka jumlah $11$ suku pertama yang mungkin adalah ....
A. $2$
B. $4$
C. $6$
D. $7$
E. $9$

Pembahasan 5

Pada baris geometri suku berikutnya merupakan suku sebelumnya dikali rasionya, $U_n = U_{n-1}r$ , dengan demikian kita punya dua persamaan di sini, $(a+1)r = a-3$ dan $(a-3)r=2$ .

Dengan demikian maka $r = \frac{2}{a-3}$ , selanjutnya

$(a+1)\frac{2}{a-3} = a-3$

$2a+2 = a^2-6x+9$

$a^2-8x+7 = 0$

$(a-1)(a-7) = 0$

Maka ada dua kemungkinan yaitu $a=1$ dan $a=7$ , untuk $a=1$ barisnya adalah $2,-2,2,\dotsc$ , di mana rasionya adalah $-1$ , sedangkan untuk $a=7$ barisnya adalah $8,4,2$ , di mana rasionya adalah $\frac{1}{2}$ .

Hitung jumlah $11$ suku pertamanya, maka

$S = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$

untuk $r=-1$

$S_{11} = \frac{2(1-(-1)^{11}}{1-(-1)} = 2$

, kemudian untuk $r= \frac{1}{2}$

$S_{11} = \frac{8(1-(\frac{1}{2})^{11})}{1-(\frac{1}{2})} = \frac{2^{11}-1}{2^7}$

Soal 6

Daerah $R$ dibatasi oleh $y=b\sqrt{x}$ , $y=bx$ , untuk $x\in[0,2]$ . Jika volume benda padat yang didapat dengan memutar $R$ terhadap sumbu $x$ adalah $\pi$ , maka $b=$ ....
A. $5$
B. $4$
C. $3$
D. $2$
E. $1$

Pembahasan 6

Volume yang dibatasi oleh suatu fungsi merupakan jumlahan secara kontinyu oleh ibaratnya lapisan-lapisan kecil suatu lingkaran sepanjang sumbu $x$ , pada kali ini dibatasi oleh interval $[0,2]$ .

Menghitung volume dengan melakukan perputaran suatu fungsi terhadap sumbu x

Luasan lapisan-lapisan tersebut adalah lingkaran dengan jari-jarinya adalah tinggi fungsi $f(x)$ tersebut sehingga luasannya $\pi f(x)^2$ , dan kita mencoba untuk menjumlahkan, ibaratnya lapisan-lapisan yang sangat tipis ini menggunakan integral
$V = \int_a^b \pi f(x)^2 dx$

Apabila dibatasi oleh dua fungsi, maka volumenya merupakan selisih antara keduanya

$V = \int_a^b \pi (f_1(x)^2 - f_2(x)^2) dx$

Dalam hal ini $f_2(x) = b\sqrt{x}$ dan $f_1(x) = bx$ , kemudian $a = 0$ dan $b = 2$ , dan hal ini volumenya adalah $\pi$

$\pi = \int_0^2 \pi ((bx)^2-(b\sqrt{x})^2) dx$

$\pi = \pi \int_0^2 (bx)^2-(b\sqrt{x})^2 dx$

$1 = \int_0^2 b^2x^2 - b^2x dx$

$1 = \frac{b^2x^3}{3} - \frac{b^2x^2}{2} \Big|_0^2$

$1 = \frac{b^2(2)^3}{3}) - \frac{b^2(2)^2}{2} - (0 - 0)$

$1 = \frac{8}{3}b^2 - 2b^2$

$1 = \frac{2}{3}b^2$

$b^2 = \frac{3}{2}$

$b = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ .

Jawabannya ???

Soal 7

Ari dan Ira merupakan anggota dari suatu kelompok yang terdiri dari $9$ orang. Banyaknya cara membuat barisan, dengan syarat Ari dan Ira tidak berdampingan, adalah ....
A. $7\times8!$
B. $6\times8!$
C. $5\times8!$
D. $7\times7!$
E. $6\times7!$

Pembahasan 7

Idenya sekarang kita balik, kita cari seberapa banyak kombinasi Ari dan Ira dapat berdampingan sebut saja Ari, $A$ dan Ira, $I$ . Hanya ada dua kemungkinan, Ari didepan Ira, atau Ari dibelakang Ira, seperti berikut.

Seluruh kemungkinan Ari dan Ira berdekatan

Dengan demikian ada sebanyak $2\times8\times7!$ untuk Ari dan Ira berdekatan, karena total kemungkinan barisan ada $9!$ , maka total kemungkinan Ari dan Ira tidak berdekatan ada
$9! - 2\times8\times7!$
$9\times8! - 2\times8!$
$(9-2)\times8!$
$7\times8!$

Soal 8

Jika panjang jari-jari lingkaran

$x^2+y^2+Ax+2Ay+C = 0$ dan

$x^2+y^2+Ax+3Ay+C = 0$

berturut-turut adalah $1$ dan $\sqrt{6}$

, maka nilai dari $C$ adalah ....
A. $1$
B. $2$
C. $3$
D. $4$
E. $5$

Pembahasan 8

Kita mulai dari persamaan suatu lingkaran secara umum yaitu $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ , di mana $(a,b)$ titik pusat lingkaran dan $r$ adalah jari-jarinya, jika kita ekspansikan, maka akan menjadi

$x^2 -2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2 - r^2=0$

$x^2 + y^2 -2ax - 2by + a^2 + b^2 - r^2=0$ .

Kita punya dua buah lingkaran, sebut saja titik pusat yang pertama di $(a_1, b_1)$ dengan jari-jari $r_1$ dan yang kedua $(a_2, b_2)$ dengan jari-jari $r_2$ . Jika kita cocokkan dengan persamaan pada soal, maka

$A = -2a_1$ dan $A = -2a_2$ , sehingga $a_2 = a_1$

$2A = -2b_1$ dan $3A = -2b_2$ , sehingga $b_2 = \frac{3}{2}a_1$

$C = {a_1}^2 + {b_1}^2 - {r_1}^2$ dan $C = {a_2}^2 + {b_2}^2 - {r_2}^2$

Kurangi persamaan $C$ untuk lingkaran pertama dengan lingkaran kedua, dan substitusikan nilai-nilai yang ada

$C = {a_1}^2 + {b_1}^2 - {r_1}^2$

$\underline{C = {a_2}^2 + {b_2}^2 - {r_2}^2}-$

$0 = {b_1}^2 - {\frac{3}{2}b_1}^2 - 1 + 6$

$\rightarrow b_1 = 2 \cap b_2 = 3$

Cukup tricky nih, balik lagi ke persamaan $C$ , kita pilih salah satu aja, mau yang dari lingkaran pertama boleh, dari lingkaran kedua juga oke, karena $a_1 = a_2$ (kedua lingkaran berada di $x$ yang sama). Misal kita pilih lingkaran pertama, maka

$C = {a_1}^2 + 2^2 - 1^2$

$C = {a_1}^2 + 3$

, karena ${a_1}^2 \geq0$ , maka kemungkinan jawabannya adalah $3$ , $4$ dan $5$ .

Soal 9

Sisa pembagian

$p(x) = x^3 + ax^2 + 4x + 5b +1$

oleh $x^2+4$ adalah $a+1$ . Jika $p(x)$ dibagi $x+1$ bersisa $-22$ , maka $a-2b=$ ....
A. $1$
B. $2$
C. $3$
D. $4$
E. $5$

Pembahasan 9

Kita cari dulu sisa pembagian $p(x)$ dengan $a+1$ , yaitu

$\begin{array}{r}x+a\\x^2+4)\overline{x^3+ax^2+4x+5b+1}\\-\underline{(x^3+4x)}\\ax^2+5b+1\\-\underline{(ax^2+4a)}\\5b-4a+1 \rightarrow a+1 \end{array}$

maka

$5b = 5a$

$b = a$

Kemudian pembagian dengan $x+1$

$\begin{array}{r}x^2+(a-1)x+(5-a)\\x+1)\overline{x^3+ax^2+4x+5b+1}\\-\underline{(x^3+x^2)}\\\ (a-1)x^2+4x+5b+1\\-\underline{((a-1)x^2+(a-1)x)} \\ (5-a)x+5b+1\\-\underline{((5-a)x+(5-a))}\\5b-(5-a)+1 \rightarrow -22 \end{array}$

maka

$5b +a = -18$

Substitusikan $a=b$ , maka didapat bahwa $a = -3$ dan $b = -3$ .

Maka $a-2b = -3 -2(-3) = 3$ , jawabannya C.

Soal 10

Jika garis singgung kurva $y = 9-x^2$ di titik $P(a,b)$ dengan $b>0$ memotong sumbu $x$ di titik $Q(-5,0)$ , maka $ab$ adalah ....
A. $-10$
B. $-8$
C. $0$
D. $8$
E. $10$

Pembahasan 10

Garis singgung tersebut mempunyai besar gradien sebesar turunan $y$ pada titik $P$ , yaitu

$y' = -2x$

$\rightarrow m = -2a$

Persamaan garisnya adalah $y-b=-2a(x-a)$ , karena melalui $Q$ , maka kita dapatkan hubungan antara $a$ dan $b$ yang pertama, yaitu

$0 - b=-2a(-5 - a)$

$\rightarrow 2a^2 + 10a + b = 0$

, kemudian hubungan yang kedua dengan mensubstitusikan pada kurva

$b = 9-a^2$

Substitusikan $b$ tersebut ke hubungan yang pertama

$2a^2 + 10a + (9 -a^2) = 0$

$a^2 + 10a + 9 = 0$

$(a+1)(a+9) = 0$

Karena $b>0$ tentu $a=-1$ lah yang mungkin, maka $b = 8$ , sehingga $ab=-8$ , jawabannya B.

Soal 11

Nilai $\int_{1/8}^{1/3} \frac{3}{x^2}\sqrt{1+\frac{1}{x}}\,dx$ adalah ....
A. $19$
B. $38$
C. $57$
D. $76$
E. $95$

Pembahasan 11

Kita bisa gunakan teknik substitusi di sini, misal $u = 1+\frac{1}{x}$

$\frac{du}{dx} = -\frac{1}{x^2}$

$\rightarrow du = -\frac{dx}{x^2}$

Maka integralnya

$\int_{1/8}^{1/3} \frac{3}{x^2}\sqrt{1+\frac{1}{x}}\,dx$

$3\int_{1/8}^{1/3} \sqrt{u}\cdot\frac{1}{x^2}\,dx$

$-3\int_{1/8}^{1/3} \sqrt{u}\,du$

$-3\,\frac{2}{3}u^{3/2} \Big|_{1/8}^{1/3}$

Dan hasilnya adalah

$-2 ({(1+\frac{1}{1/3})}^{3/2} - {(1+\frac{1}{1/8})}^{3/2})$

$-2 (8 - 27) = 38$

Jawabannya yang B.

Soal 12

Diketahui $(a_n)$ dan $(b_n)$ adalah dua barisan aritmetika dengan $a_1 = 5$ , $a_2 = 8$ , $b_1 = 3$ , dan $b_2 = 7$ . Jika $A = \{a_1,a_2,\dotsc,a_{100}\}$ dan $B = \{b_1,b_2,\dotsc,b_{100}\}$ , maka banyaknya anggota $A\cap B$ adalah ....
A. $20$
B. $21$
C. $22$
D. $23$
E. $24$

Pembahasan 12

Rumus untuk barisan bertama yaitu $5 + 3(n_1-1)$ , sedangkan untuk baris yang kedua $3+4(n_2-1)$ . Kita tertarik untuk mengetahui kombinasi $n_1$ adn $n_2$ sehingga menghasilkan suku yang sama, sehingga

$5 + 3(n_1-1) = 3+4(n_2-1)$

$4n_2-3n_1 =3$ .

Pasangan yang pertama yaitu sangat jelas $n_2 = 3, n_1 = 3$ kemudian pasangan yang kedua $n_2 = 6, n_1 = 7$ , dan seterusnya di mana masing-masing indeks tersebut ternyata membentuk barisan juga.

Barisan indeks pertama $n_1$ persamaannya yaitu $3+4(l-1)$ , sedangkan indeks kedua $n_2$ persamaanya yaitu $3+3(k-1)$ . Kita punya anggota maksimal $100$ , artinya baik $n_1$ dan $n_2$ harus kurang atau sama dengan $100$ .

Karena baris indeks pertama mempunyai beda lebih besar dari pada baris indeks kedua, maka baris indeks pertama lah yang akan menyentuh kondisi $\leq100$ pertama. Dengan demikian kita perlu mencari suku terbesar baris indeks pertama.

Kita bisa periksa dari pilihan yang ada, dan ternyata $l = 24$ , lah yang memenuhinya. Jawabannya E.

Soal 13

Himpunan semua bilangan real $x$ pada selang $(\pi,2\pi)$ yang memenuhi $\csc x(1-\cot x)<0$ berbentuk $(a,b)$ . Nilai $a+b$ adalah ....
A. $\frac{9\pi}{4}$
B. $\frac{11\pi}{4}$
C. $3\pi$
D. $\frac{13\pi}{4}$
E. $\frac{15\pi}{4}$

Pembahasan 13

Bentuknya kita manipulasi terlebih dahulu

$\csc x(1-\cot x)<0$

$\frac{1}{\sin x}(1 - \frac{\cos x}{\sin x})<0$

$\frac{\sin x - \cos x}{\sin^2 x}<0$

Perhatikan bahwa $\sin^2 x$ selalu positif, sehingga permasalahan diminimalisir untuk hanya memastikan $\sin x - \cos x<0$ . Mengingat $\sin$ selalu negatif pada kedua kuadran tersebut (3 dan 4), dan $\cos$ bernilai positif pada kuadran 4.

Artinya, kita hanya perlu memastikan rentang di kuadran 3 saja kalau begitu, dan nilai $\sin$ sendiri akan kurang dari $\cos$ ketika melewati $\frac{3\pi}{4}$ .

Dengan demikian rentang $(a,b)$ yang dimaksud yaitu $(\frac{3\pi}{4}, 2\pi)$ . Sehingga $a+b = \frac{11\pi}{4}$ , jawabannya B.

Soal 14

Jika diketahui $y = 2^{3x^2+cx-1}$ dan $y = 4^{x^2-\frac{c}{2}}$ bersinggungan, maka $c^2 + c=$ ....
A. $2$
B. $6$
C. $12$
D. $20$
E. $30$

Pembahasan 14

Kedua persamaan tersebut bersinggungan artinya

$2^{3x^2+cx-1} = 4^{x^2-\frac{c}{2}}$

$2^{3x^2+cx-1} = 2^{2(x^2-\frac{c}{2})}$

$2^{3x^2+cx-1} = 2^{2x^2-c}$

Sehingga

$3x^2+cx-1 = 2x^2-c$

$x^2+cx+c-1 = 0$

, ingat! Kedua persamaan bersinggungan bukan saling memotong, artinya hanya ada satu titik, dengan demikian persamaan kuadrat tersebut mempunyai satu solusi saja, $x_1 = x_2 = a$ , kita sebut saja $a$ .

Maka $-(x_1+x_2) = -2a = c$ , kemudian $x_1x_2 = a^2 = c-1$ , lalu kita substitusikan $\left(-\frac{c}{2}\right)^2=c-1$ , sehingga $c^2-4c+4 = 0$ , dengan demikian $c=2$

Sehingga $c^2+c =6$ , jawabannya B.

Soal 15

Diketahui dua lingkaran $x^2+y^2 =2$ dan $x^2+y^2=4$ . Garis $l_1$ menyinggung lingkaran pertama di titik $(1,-1)$ . Garis $l_2$ menyinggung lingkaran kedua dan tegak lurus dengan garis $l_1$ . Titik potong garis $l_1$ dan $l_2$ adalah ....
A. $(1+\sqrt{2},\sqrt{2}-1)$
B. $(1-\sqrt{2},\sqrt{2}-1)$
C. $(1+\sqrt{2},\sqrt{2}+1)$
D. $(1-\sqrt{2},\sqrt{2}-2)$
E. $(1+\sqrt{2},\sqrt{2}+2)$

Pembahasan 15

Garis $l_1$ menyinggung lingkaran pertama di $1,-1$ , maka gradiennya adalah turunan dari persamaan lingkaran pertama pada titik tersebut

$y = \sqrt{2-x^2}$

, kita gunakan aturan rantai untuk menurunkannya

$y' = -\frac{1}{2\sqrt{2-x^2}}(-2x)$

$\rightarrow y' = \frac{x}{\sqrt{2-x^2}}$

, sehingga gradien garis $l_1$ pada $(1,-1)$ , yaitu $m_1=y'(1)=1$ .

Karena $l_2$ tegak lurus, maka $m_2\cdot m_1 = -1\rightarrow m_2 = -1$ . Dengan informasi gradien ini kita bisa mengetahui di titik mana pada lingkaran kedua $l_2$ menyinggung

$y = \sqrt{4-x^2}$

, lagi-lagi kita gunakan aturan rantai

$y' = -\frac{1}{2\sqrt{4-x^2}}(-2x)$

$\rightarrow y' = \frac{x}{\sqrt{4-x^2}}$

$\frac{x}{\sqrt{4-x^2}} = -1$

$x = -\sqrt{4-x^2}$

$\rightarrow x^2 = 4-x^2$

$\rightarrow x^2 -2 = 0$

Garis $l_2$ menyinggung lingkaran kedua pada $x = \pm\sqrt{2}$ (kita pilih $x=\sqrt{2}$ ) yaitu ketika $y$ -nya berada di $y = \sqrt{2}$ .

Persamaan garis pertama $l_1$ , $y + 1 = 1\cdot(x-1)$ , sedangkan persamaan garis yang kedua $l_2$ , $y - \sqrt{2} = -1\cdot(x-\sqrt{2})$ . Mungkin kalian udah bisa nyari titik potongnya (bisa pake eleminasi atau substitusi), yakni berada di $(1+\sqrt{2},\sqrt{2}-1)$ , jawabannya A.