TKD Saintek 1 2018
Penulis: Lintang Erlangga
Pada pembahasan matematika UTBK 2018 dengan kode 460 ini saya berupaya memberikan jawaban serta gambaran dalam penyelesaiannya.
Disclaimer: Ingat! Ini bukan pembahasan resmi dari pihak pembuat soal.
Daftar Isi
Soal 1
Jika fungsi mempunyai periode
, maka nilai minimum fungsi
adalah ....
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan 1
Karena fungsi memiliki periode sebesar
, maka fungsi
nilainya akan sama pada, misal
dan
, dikarenakan sifatnya yang periodis, sehingga,
.
Dari ide tersebut, maka kita punya persamaan




Satu-satunya cara untuk mendapatkan kesamaan tersebut, maka perlu dicapai ketika , karena fungsi
berulang setiap
, sehingga


Fungsi seutuhnya merupakan . Untuk mengetahui nilai minimumnya, maka kita gunakan konsep turunan guna mencari nilai di mana gradiennya datar (alias tidak mengalami perubahan).



Fungsi akan bernilai nol ketika argumennya adalah
dan
, artinya ada beberapa nilai
yang memenuhi persamaan tersebut, yaitu ketika
dan ketika
.
Dengan demikian, ada dua yaitu
dan
, kemudian kita periksa ke fungsi
yang awal akan diketahui bahwa
akan menyebabkan fungsi bernilai minimum karena hasilnya adalah
, sedangkan
, menghasilkan 26.
Jawabannya adalah B. .
Soal 2
Diketahui gradien garis yang melalui titik dan
adalah
. Jika
dicerminkan terhadap sumbu
kemudian digeser
satuan ke bawah dan
satuan ke kiri, maka gradien garis yang melalui
dan
adalah
. Titik
adalah ....
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan 2
Kemiringan garis tersebut dapat kita temukan berdasarkan informasi dua titik tersebut, karena garis tersebut melaluinya
Apabila titik tersebut digeser ke bawah sebanyak satuan, artinya posisi
menjadi
, kemudian digeser ke kiri sebanyak
satuan menjadi
.
Dikatakan juga bahwa, gradiennya menjadi , artinya




Substitusikan , maka



, dengan demikian , sehingga titik
yaitu
, jawabannya A.
Soal 3
Diketahui kubus dengan panjang rusuk
. Jika titik
di tengah-tengah
dan titik
di tengah-tengah
, maka jarak antara titik
dengan garis
adalah ...
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan 3
Kita gambar dulu kubusnya, serta garis -nya. Karena kita ingin tahu jaraknya, maka kita ingin mengetahui suatu titik yang berada di sepanjang garis
, yang mana jarak dengan titik
minimal.

Untuk mempermudah perhitungan, kita definisikan sistem koordinat kartesius, dengan anggapan bahwa titik sebagai titik asal kita. Dengan demikian titik
berada di
dan
berada di
.
Karena garis tidak melibatkan sumbu-
, maka persamaan garisnya adalah
dengan

, kita pilih salah satu titik, misal , maka



Misal ada sebuah titik di garis anggap aja di
, maka jaraknya terhadap
minimal, di mana jaraknya adalah




Untuk mencari jarak minimalnya, maka turunan dari persamaan jarak tersebut terhadap salah satu variabelnya haruslah nol, misal terhadap , yaitu
, dalam hal ini

, di mana kita asumasikan

Ada dua cara supaya , penyebutnya mendekati tak hingga, atau membuat
, yang paling masuk akal adalah cara yang kedua, di mana
, dan
sehingga, jaraknya adalah


Soal 4
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan 4
Kita tidak bisa mensubstitusikan secara langsung karena, bentuknya akan menjadi tak terdefinisi
, untuk itu, kita perlu mengalikannya dengan akar sekawan dari penyebutnya terlebih dahulu.









Sehingga jawabannya yang C.
Soal 5
Jika ,
,
membentuk barisan geometri maka jumlah
suku pertama yang mungkin adalah ....
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan 5
Pada baris geometri suku berikutnya merupakan suku sebelumnya dikali rasionya, , dengan demikian kita punya dua persamaan di sini,
dan
.
Dengan demikian maka , selanjutnya




Maka ada dua kemungkinan yaitu dan
, untuk
barisnya adalah
, di mana rasionya adalah
, sedangkan untuk
barisnya adalah
, di mana rasionya adalah
.
Hitung jumlah suku pertamanya, maka

untuk

, kemudian untuk

Soal 6
Daerah dibatasi oleh
,
, untuk
. Jika volume benda padat yang didapat dengan memutar
terhadap sumbu
adalah
, maka
....
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan 6
Volume yang dibatasi oleh suatu fungsi merupakan jumlahan secara kontinyu oleh ibaratnya lapisan-lapisan kecil suatu lingkaran sepanjang sumbu , pada kali ini dibatasi oleh interval
.

Luasan lapisan-lapisan tersebut adalah lingkaran dengan jari-jarinya adalah tinggi fungsi tersebut sehingga luasannya
, dan kita mencoba untuk menjumlahkan, ibaratnya lapisan-lapisan yang sangat tipis ini menggunakan integral
Apabila dibatasi oleh dua fungsi, maka volumenya merupakan selisih antara keduanya

Dalam hal ini dan
, kemudian
dan
, dan hal ini volumenya adalah









Jawabannya ???
Soal 7
Ari dan Ira merupakan anggota dari suatu kelompok yang terdiri dari orang. Banyaknya cara membuat barisan, dengan syarat Ari dan Ira tidak berdampingan, adalah ....
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan 7
Idenya sekarang kita balik, kita cari seberapa banyak kombinasi Ari dan Ira dapat berdampingan sebut saja Ari, dan Ira,
. Hanya ada dua kemungkinan, Ari didepan Ira, atau Ari dibelakang Ira,
seperti berikut.

Dengan demikian ada sebanyak untuk Ari dan Ira berdekatan, karena total kemungkinan barisan ada
, maka total kemungkinan Ari dan Ira tidak berdekatan ada
Soal 8
Jika panjang jari-jari lingkaran


berturut-turut adalah dan
, maka nilai dari adalah ....
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan 8
Kita mulai dari persamaan suatu lingkaran secara umum yaitu , di mana
titik pusat lingkaran dan
adalah jari-jarinya, jika kita ekspansikan, maka akan menjadi


Kita punya dua buah lingkaran, sebut saja titik pusat yang pertama di dengan jari-jari
dan yang kedua
dengan jari-jari
. Jika kita cocokkan dengan persamaan pada soal, maka








Kurangi persamaan untuk lingkaran pertama dengan lingkaran kedua, dan substitusikan nilai-nilai yang ada




Cukup trickynih, balik lagi ke persamaan , kita pilih salah satu aja, mau yang dari lingkaran pertama boleh, dari lingkaran kedua juga oke, karena
(kedua lingkaran berada di
yang sama). Misal kita pilih lingkaran pertama,
maka


, karena , maka kemungkinan jawabannya adalah
,
dan
.
Soal 9
Sisa pembagian

oleh adalah
. Jika
dibagi
bersisa
, maka
....
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan 9
Kita cari dulu sisa pembagian dengan
, yaitu

maka


Kemudian pembagian dengan

maka

Substitusikan , maka didapat bahwa
dan
.
Maka , jawabannya C.
Soal 10
Jika garis singgung kurva di titik
dengan
memotong sumbu
di titik
, maka
adalah ....
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan 10
Garis singgung tersebut mempunyai besar gradien sebesar turunan pada titik
, yaitu


Persamaan garisnya adalah , karena melalui
, maka kita dapatkan hubungan antara
dan
yang pertama, yaitu


, kemudian hubungan yang kedua dengan mensubstitusikan pada kurva

Substitusikan tersebut ke hubungan yang pertama



Karena tentu
lah yang mungkin, maka
, sehingga
, jawabannya B.
Soal 11
Nilai adalah ....
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan 11
Kita bisa gunakan teknik substitusi di sini, misal


Maka integralnya




Dan hasilnya adalah


Jawabannya yang B.
Soal 12
Diketahui dan
adalah dua barisan aritmetika dengan
,
,
, dan
. Jika
dan
, maka banyaknya anggota
adalah ....
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan 12
Rumus untuk barisan bertama yaitu , sedangkan untuk baris yang kedua
. Kita tertarik untuk mengetahui kombinasi
adn
sehingga menghasilkan suku yang sama, sehingga


Pasangan yang pertama yaitu sangat jelas kemudian pasangan yang kedua
, dan seterusnya di mana masing-masing indeks tersebut ternyata membentuk barisan juga.
Barisan indeks pertama persamaannya yaitu
, sedangkan indeks kedua
persamaanya yaitu
. Kita punya anggota maksimal
, artinya baik
dan
harus kurang atau sama dengan
.
Karena baris indeks pertama mempunyai beda lebih besar dari pada baris indeks kedua, maka baris indeks pertama lah yang akan menyentuh kondisi pertama. Dengan demikian kita perlu mencari suku terbesar baris indeks pertama.
Kita bisa periksa dari pilihan yang ada, dan ternyata , lah yang memenuhinya. Jawabannya E.
Soal 13
Himpunan semua bilangan real pada selang
yang memenuhi
berbentuk
. Nilai
adalah ....
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan 13
Bentuknya kita manipulasi terlebih dahulu



Perhatikan bahwa selalu positif, sehingga permasalahan diminimalisir untuk hanya memastikan
. Mengingat
selalu negatif pada kedua kuadran tersebut (3 dan 4), dan
bernilai positif pada kuadran 4.
Artinya, kita hanya perlu memastikan rentang di kuadran 3 saja kalau begitu, dan nilai sendiri akan kurang dari
ketika melewati
.
Dengan demikian rentang yang dimaksud yaitu
. Sehingga
, jawabannya B.
Soal 14
Jika diketahui dan
bersinggungan, maka
....
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan 14
Kedua persamaan tersebut bersinggungan artinya



Sehingga


, ingat! Kedua persamaan bersinggungan bukan saling memotong, artinya hanya ada satu titik, dengan demikian persamaan kuadrat tersebut mempunyai satu solusi saja, , kita sebut saja
.
Maka , kemudian
, lalu kita substitusikan
, sehingga
, dengan demikian
Sehingga , jawabannya B.
Soal 15
Diketahui dua lingkaran dan
. Garis
menyinggung lingkaran pertama di titik
. Garis
menyinggung lingkaran kedua dan tegak lurus dengan garis
. Titik potong garis
dan
adalah ....
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan 15
Garis menyinggung lingkaran pertama di
, maka gradiennya adalah turunan dari persamaan lingkaran pertama pada titik tersebut

, kita gunakan aturan rantai untuk menurunkannya


, sehingga gradien garis pada
, yaitu
.
Karena tegak lurus, maka
. Dengan informasi gradien ini kita bisa mengetahui di titik mana pada lingkaran kedua
menyinggung

, lagi-lagi kita gunakan aturan rantai






Garis menyinggung lingkaran kedua pada
(kita pilih
) yaitu ketika
-nya berada di
.
Persamaan garis pertama ,
, sedangkan persamaan garis yang kedua
,
. Mungkin kalian udah bisa nyari titik potongnya (bisa pake eleminasi atau substitusi), yakni berada di
,
jawabannya A.