Matematika KA 2019

Pembahasan matematika KA SIMAK UI 2019
Pembahasan matematika KA SIMAK UI 2019.

Masalah matematika tentunya bisa diselesaikan dengan menerapkan konsep-konsep yang telah dipelajari. Semuanya didasari oleh logika.

Meski begitu, saya tetap mau memberikan disclaimer kalau ini bukanlah jawaban resminya.

Daftar Isi

Soal 1

Diketahui persamaan lingkaran C_1 dan C_2 berturut-turut adalah x^2+y^2=25 dan (x-a)^2+y^2=r^2. Lingkaran C_1 dan C_2 bersinggungan di titik (5,0). Jika garis l adalah garis singgung lingkaran C_1 di titik (3,4) yang merupakan garis singgung juga untuk lingkaran C_2 di titik (m,n) nilai m+n= ....
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
E. 9

Pembahasan 1

Pertama kita cari dulu gradien garis l tersebut, kita bisa cari dengan memanfaatkan lingkaran x^2+y^2=25, yaitu

y = \sqrt{25-x^2}

, di mana turunannya yaitu

y' = -\frac{x}{\sqrt{25-x^2}} .

Dengan demikian gradien dari l yaitu

m = y'_{x=3} = -\frac{3}{4} .

Garis ini juga menyinggung C_2 dengan gradien yang sama, sehingga dengan turunan lingkaran kedua

y'_{x=m} = -\frac{m-a}{\sqrt{r^2-(m-a)^2}} = -\frac{3}{4}
\rightarrow 4(m-a)^2 = 3(r^2-(m-a)^2)
\rightarrow (m-a) = \frac{3}{5}r

, artinya n

(m-a)^2+n^2=r^2
\left(\frac{3}{5}r\right)^2 +n^2=r^2
\frac{9}{25}r^2 +n^2=r^2
\rightarrow n = \frac{4}{5}r .

Selanjutnya kita cari hubungan m dan r dengan memanfaatkan persamaan garis l pada titik (m,n)

y-4 = -\frac{3}{4}(x-3)
\rightarrow 4n-16 = -3m+9
\rightarrow \frac{16}{5}r-16 = -3m+9
\rightarrow m = \frac{25}{3} - \frac{16}{15}r.

Di sini agak tricky caranya, cari ekspresi dari m+n

m+n = \frac{25}{3} - \frac{16}{15}r + \frac{4}{5}r

, di opsi hanya tersedia bilangan bulat, artinya nilai r yang mungkin yaitu harus kelipatan 5, (perhatikan penyebutnya) namun harus kurang dari 5 juga, karena jika tidak garis l tersebut tidak menyinggung lingkaran kedua, melainkan memotong.

Bisa itu \frac{5}{2} atau bisa juga \frac{5}{4}, dan jawaban yang mungkin yaitu ketika r=\frac{5}{4}, di mana m+n nya adalah 8, jawabannya D.

Soal 2

Jika grafik fungsi kuadrat

f(x) = (a-\sqrt{2})x^2+(a-\sqrt{2})x+a-1

selalu berada di bawah sumbu x untuk a < m, nilai 3m =....
A. 4+\sqrt{2}
B. 3+\sqrt{2}
C. 3-\sqrt{2}
D. 4-\sqrt{2}
E. -3-\sqrt{2}

Pembahasan 2

Dengan kata lain, maka fungsi tersebut bersifat selalu negatif, atau definit negatif. Dan kondisinya terpenuhi jika konstanta dari x^2 selalu negatif, dan begitu juga diskriminannya.

Satu informasi yang sudah didapat yaitu (a-\sqrt{2} < 0), kemudian untuk diskriminanya

D = (a-\sqrt{2})^2 - 4(a-\sqrt{2})(a-1) < 0
\rightarrow (a-\sqrt{2})((a-\sqrt{2}) - 4(a-1)) < 0
\rightarrow (a-\sqrt{2})(-3a + 4 -\sqrt{2}) < 0

Karena kita sudah tahu bahwa (a-\sqrt{2}) < 0, maka satu-satunya cara supaya diskriminannya negatif adalah (-3a + 4 -\sqrt{2}) > 0 alias ekspresi tersebut harus positif. Kita susun ulang syarat tersebut

a < \frac{4 -\sqrt{2}}{3}

Dengan demikian kita dapat m-nya sehingga 3m = 4 - \sqrt{2}, dan jawabannya yang D.

Soal 3

Jika x_1, y_1 dan x_2, y_2 merupakan penyelesaian sistem persamaan berikut:

\begin{cases}4x^2+15y+3=9xy+2y^2+8x \\ 2x = 1+5y \end{cases}

nilai 2x_1+y_1+2x_2+y_2 = ....
A. -7
B. -6
C. -5
D. -4
E. -3

Pembahasan 3

Di sini saya coba substitusikan respresentasi x dari persamaan kedua (yang linear), x=\frac{1+5y}{2} ke persamaan yang pertama, dengan demikian

4\left(\frac{1+5y}{2}\right)^2 - 8\frac{1+5y}{2} -9\frac{1+5y}{2}y + 15y - 2y^2 +3 = 0

, lalu saya kalikan kedua ruas dengan 2 supaya tidak ada pecahan.

Nah kalau kalian benar menghitungnya, maka akan didapat persamaan akhirnya

y^2+y = 0
y(y+1) = 0

, kita anggap y_1 = 0 dan y_2 = -1

Maka didapat x_1 dan x_2 nya dengan memanfaatkan persamaan yang linear, yaitu x_1=\frac{1}{2} dan x_2 = -2. Sehingga nilai dari

2x_1+y_1+2x_2+y_2 = 1 + 0 -4 - 1 = -4

, jawabannya D.

Soal 4

Jika suku banyak f(x) dibagi oleh x-2 menghasilkan sisa 10, sisa pembagian suku banyak f(x) oleh x^2-3x+2 adalah ....
A. f(1)(2-x)-10(x-1)
B. f(1)(x-2)+10(x-1)
C. f(1)(x-2)-10(x+1)
D. f(1)(2-x)+10(x-1)
E. f(1)(2-x)-10(x+1)

Pembahasan 4

Untuk menjawab soal ini, kalian sejatinya tidak perlu menghitung, jadi gini, fungsi tersebut pada x=2 akan menghasilkan 10 atau f(2) = 10. Kemudian untuk pembagian dengan x^2-3x+2, artinya

f(x) = (x^2-3x+2)H(x) + S(x)
\rightarrow = (x^2-3x+2)H(x) + S(x)
\rightarrow = (x-1)(x-2)H(x) + S(x) .

Nah dari bentuk di atas dan informasi dari soal kita dapat melihat bahwa, sisa pembagiannya harus bernilai f(1) ketika x=1, dan bernilai 10 ketika x=2, dan yang memenuhi kondisi tersebut yaitu

S(x) = f(1)(2-x) + 10(x-1)

, jawabannya D. Kita hanya perlu memeriksa dari opsi yang ada.

Soal 5

Penyelesaian dari pertidaksamaan

\frac{\lvert1-2x\rvert}{\sqrt{x^2+4x+4}} \leq x

adalah ....
A. x\geq\sqrt{5}-2
B. x\geq\sqrt{5}-1
C. x\geq\sqrt{5}
D. x\geq\sqrt{5}+1
E. x\geq\sqrt{5}+2

Pembahasan 5

Perlu diperhatikan bahwa di ruas kiri, bentuk tersebut tidak mungkin negatif, pertama karena pembilangnya mutlak, kedua karena bentuk kuadrat di dalam akar penyebutnya definit positif, di mana syaratnya x\neq -2.

Untuk syarat awalnya sendiri, karena bentuk pada ruas kiri selalu positif, maka x\geq0 (memenuhi syarat penyebutnya). Karena x selalu harus positif, maka kita dapat kemudahan karena, kita tidak perlu mengecek kondisi ketika x < 0.

Sehingga pertidaksamaan tersebut dapat kita selesaikan langsung, dengan cara

\frac{\lvert1-2x\rvert}{\sqrt{(x+2)^2}} \leq x
\rightarrow (1-2x) \leq x(x+2)
\rightarrow x^2+4x +1 \geq 0

, ketaksamaannya akan terpenuhi jika akar-akarnya x_1,x_2 \geq 0 atau x_1,x_2 \leq 0.

Dengan rumus ABC maka didapat akar-akarnya

x_1 = -\sqrt{5} - 2
x_2 = \sqrt{5} - 2

, karena tidak bisa negatif, maka solusi yang mungkin yaitu x \geq \sqrt{5} - 2, jawabannya A.

Soal 6

Diberikan deret geometri

1-(a+3)+(a+3)^2-(a+3)^3+\cdots = 2a+9

dengan -4 < a < -2. Jika a, -7, b membentuk barisan geometri baru, nilai 2a+b = \cdots
A. 7
B. 0
C. -7
D. -14
E. -21

Pembahasan 6

Deret tersebut mempunyai rasio r = -(a+3) dan suku pertamanya a=1, jumlah deret tersebut yaitu

\frac{a}{1-r} = \frac{1}{1 -\,-(a+3)} = 2a+9
\rightarrow 2a^2+17a+35 = 0
\rightarrow (2a+7)(a+5) = 0

, berdasarkan batas yang tertera, maka x yang memenuhi yaitu x = -\frac{7}{2}.

Untuk deret geometri yang baru, a-7,b, maka rasio dari deret tersebut yaitu 2. Sehingga b = -14. Dengan demikian

2a+b = 2(-\frac{7}{2}) + (-14) = -21

, jawabannya E.

Soal 7

Jumlah semua nilai x yang memenuhi persamaan

6\cos x-2\cos x\sin 2x-4\cos^2 x+3\sin 2x-2\sin x -2 = 0

, untuk -\frac{\pi}{2}\leq x \leq\pi adalah ....
A. -\frac{\pi}{2}
B. -\frac{\pi}{3}
C. 0
D. \frac{\pi}{3}
E. \frac{\pi}{2}

Pembahasan 7

Dari persamaan tersebut bisa kita asumsikan bahwa a = \cos x dan b = \sin x, kemudian persamaanya menjadi

6\cos x-2\cos x\cdot 2\sin x\cos x-4\cos^2 x+3\cdot2\sin x\cos x -2\sin x -2 = 0
\rightarrow 6a-4a^2b -4a^2+6ab -2b -2 = 0
\rightarrow 4a^2b+4a^2-6ab-6a+2b+2 = 0
\rightarrow (2a-1)(2a-2)(b+1) = 0

Artinya solusi kita yaitu ketika \cos x = \frac{1}{2} atau \cos x = 1 atau \sin x= -1. Berdasarkan batas yang ditentukan di soal, maka solusi yang mungki yaitu

x_1 = \frac{1}{3}\pi
x_2 = -\frac{1}{3}\pi
x_3 = 0
x_4 = -\frac{\pi}{2}

, dengan demikian jumlahannya yaitu \frac{1}{2}\pi, jawabannya E.

Soal 8

Jika \lim\limits_{x\to2} f(x) = 3, maka

\lim\limits_{x\to2} \frac{(f(x)-3)((f(x))^2 - 4f(x) + 1)(x+5)}{((f(x))^2+f(x)-12)(x-1)} = \cdots

A. -4
B. -2
C. -1
D. 0
E. 1

Pembahasan 8

Karena f(x) sendiri mewakili suatu fungsi, yang bentuknya apapun itu, bisa polinomial, trigonometri, dan lainnya. Di sini kita bisa faktorkan penyebut tersebut sehingga menjadi

\lim\limits_{x\to2} \frac{(f(x)-3)((f(x))^2 - 4f(x) + 1)(x+5)}{(f(x)+4)(f(x)-3)(x-1)}
\rightarrow \lim\limits_{x\to2} \frac{((f(x))^2 - 4f(x) + 1)(x+5)}{(f(x)+4)(x-1)} .

Kemudian dengan sifat-sifat limit, seperti sifat pembagian, sifat terhadap fungsi yang dieksponenkan, sifat perkalian fungsi dan sebagainya, maka hasilnya yaitu

\frac{(3^2-4\cdot3+1)(2+5)}{(3+4)(2-1)} = -2

, jawabannya B.

Soal 9

Jika \int_a^b f'(x)f(x)\,dx = 10 dan f(a) = 2 + f(b) nilai f(b) = ....
A. -2
B. -4
C. -6
D. -8
E. -10

Pembahasan 9

Dengan informasi yang bisa kita selesaikan dengan metode substitusi. Kita anggap u = f(x), maka

\frac{du}{dx} = \frac{df(x)}{dx} \rightarrow du = f'(x) dx

, sehingga

\int_a^b f(x)f'(x)\,dx
\rightarrow \int_{f(a)}^{f(b)} u\,du
\rightarrow \frac{u^2}{2} \Big|_{f(a)}^{f(b)}
\rightarrow \frac{(f(b))^2}{2} - \frac{(f(a))^2}{2} = 10

Dengan mensubstitusikan f(a) = 2 + f(b), maka didapat

\rightarrow (f(b))^2 - (2+f(b))^2 = 20
\rightarrow -4 - 4f(b) = 20
\rightarrow f(b) = -6

, jawabannya C.

Soal 10

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 2. Titik P, Q, R, dan S berturut-turut adalah titik tengah dari EH, FG, AD, dan BC. Jika bidang PQRS dan ACH berpotongan di garis MN, perbandingan luas AMN dengan luas permukaan kubus adalah ....
A. \sqrt{3}:16
B. \sqrt{3}:18
C. \sqrt{3}:24
D. \sqrt{3}:48
E. \sqrt{3}:50

Pembahasan 10

Apabila kita perhatikan pada gambar berikut, dapat terlihat bahwa kita bisa gunakan konsep kesebangunan untuk mencari luas dari AMN, yakni membandingkan dengan segitiga ACH. Segitiga ACH yang mempunyai tinggi \sqrt{6} luasnya adalah

L_{\triangle ACH} = \frac{1}{2}\sqrt{6}\cdot2\sqrt{2} = 2\sqrt{3}
Mencari perbandingan luas permukaan terhadap kubus ABCD.EFGH

Jika dibandingkan sisinya, segitiga AMN adalah setengah dari segitiga ACH, sehingga luasnya adalah L_{\triangle AMN} = \sqrt{3}. Kubus tersebut mempunyai luas permukaan 24, sehingga perbandingannya yaitu \sqrt{3}:24, jawabannya C.

Soal 11

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6. Titik P adalah titik tengah rusuk AB. Jika titik Q adalah titik perpotongan BE dan PF, jarak antara titik Q dan titik C adalah....
A. 4\sqrt{11}
B. 3\sqrt{11}
C. 2\sqrt{11}
D. \sqrt{11}
E. \frac{1}{2}\sqrt{11}

Pembahasan 11

Disini kita coba pakai cara favorite saya, yaitu dengan menggunakan persamaan garis lurus. Tentunya kita perlu mendefinisikan mana yang jadi titik asal koordinat kartesius kita, dalam hal ini saya anggap berada di A.

Mencari jarak antar titik pada kubus ABCD.EFGH

Anggap garis pertama l_1 melalui P dan F, dan garis kedua l_2 melalui B dan E. Kedua garis hanya berada di bidang yz artinya x=0. Aritnya titik-titik yang dimaksud berada di (saya hilangkan dulu x-nya) P(3,0), F(6,6), B(6,0), dan E(0,6).

Mungkin kalian sudah bisa untuk mencari persamaan garisnya, untuk l_1 yaitu

z=2y-6

, dan l_2

z=6-y

, kedua garis tersebut memotong di titik (beserta x) Q(0,4,2).

Titik C yang berada di (6,6,0), jaraknya dengan Q dapat ditentukan menggunakan teorema Pythagoras yakni

\lvert PQ \rvert = \sqrt{(6-0)^2 + (6-4)^2 + (0-2)^2} = 2\sqrt{11}

, jawabannya C.

Soal 12

Diketahui p dan q adalah akar-akar persamaan kuadrat ax^2-5x+c = 0, a\neq 0. Jika p, q, \frac{1}{8pq} membentuk barisan geometri dan a\log 18 + ^a\log p = 1, nilai a+c= ....
A. \frac{1}{3}
B. \frac{1}{2}
C. 3
D. 5
E. 7

Pembahasan 12

Dari perbandingan rasio barisan geometri tersebut maka bisa kita dapatkan nilai q yaitu

\frac{q}{p} = \frac{\frac{1}{8pq}}{q}
\rightarrow q^3 = \frac{1}{8}
\rightarrow q = \frac{1}{2} .

Kemudian dari persamaan logaritma tersebut dapat diketahui juga hubungan a dan q, yaitu

^a\log(18p) = 1
\rightarrow a = 18p .

Dari persamaan kuadrat didapat hubungan p dan a juga

ap^2-5p+c = 0

, dan

aq^2-5q+c = 0

, kita kurangkan kedua persamaan tersebut didapat

a(p^2 - q^2) - 5(p-q) = 0
a(p+q)(p-q) - 5(p-q) = 0
a(p+\frac{1}{2}) - 5 = 0 .

Substitusikan a = 18p, maka didapat

18p^2 + 9p - 5 = 0
\rightarrow (6p+5)(3p-1) = 0

, ada dua kemungkinan artinya a = 18(-5/6) = -15 atau a = 18(1/3) = 6. Coba substitusikan satu-satu ke aq^2-5q+c = 0, dan yang paling mungkin adalah a=6.

Untuk c-nya kita dapatkan

6(\frac{1}{2})^2 - 5\frac{1}{2} +c = 0
\rightarrow c = 1

, sehingga a+c = 7, jawabannya E.

Soal 13

Diketahui vektor u = (1,0,2), v = (-1,2,0), w = (3,1,1), dan x = (6,-1,5). Jika x = ku + lv + mw, dan y = (k+l)u, maka ....
(1) k+l+m =2 (2) \text{cosinus} sudut antara u dan v adalah -\frac{1}{5} (3) \sqrt{x\cdot y} = 4 (4) \lvert y\rvert = \lvert u\rvert, tetapi y berlawanan arah dengan u

Pembahasan 13

Kita tulis kombinasi linear x terhadap vektor lainnya

\left[\begin{matrix}6\\-1\\5\end{matrix}\right] = k\left[\begin{matrix}1\\0\\2\end{matrix}\right] + l\left[\begin{matrix}-1\\2\\0\end{matrix}\right] + m\left[\begin{matrix}3\\1\\1\end{matrix}\right]
\left[\begin{matrix}6\\-1\\5\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}k-l+3m\\2l+m\\2k+m\end{matrix}\right]

, di sini kalian menemui sistem persamaan tiga variabel, karena cukup mudah, kita langsung ke solusi persamaannya, yaitu k=2, l=-1, dan m=1, sehingga poin 1 benar.

Untuk mengetahui \text{cosinus} antara dua vektor, kita gunakan operasi dot pada vektor, yaitu

\cos \theta = \frac{u\cdot v}{\lvert u\rvert\lvert v\rvert}
\rightarrow = \frac{(1)(-1) + (0)(2) + (2)(0)}{\sqrt{5}\sqrt{5}} = -\frac{1}{5}

, dengan demikian poin 2 benar.

Kita tentukan dulu y nya, yakni

y = (k+l)u = \begin{matrix}1\\0\\2\end{matrix}

, dot productnya dengan x yaitu

x\cdot y = (6)(1) + (-1)(0) + (5)(2) = 16

, sehingga \sqrt{x\cdot y} = 4, poin 3 benar.

Pernyataan \lvert y\rvert = \lvert u\rvert benar, namun sejatinya arahnya tidak berlawanan (coba perhatikan kembali kedua vektor). Sehingga jawabannya A (1, 2, dan 3 benar).

Soal 14

Jika \sin 3^{\circ} = a, maka ....

(1) \sin 3^{\circ} - 2 \sin 63^{\circ} = \sqrt{3-3a^2}
(2) 2 \sin 63^{\circ} + \sin 3^{\circ} = 2a + \sqrt{3-3a^2}
(3) 3\sin 3^{\circ} - 2 \sin 63^{\circ} = a - \sqrt{3-3a^2}
(4) 2\sin 3^{\circ} - 4 \sin 63^{\circ} = -2\sqrt{3-3a^2}

Pembahasan 14

Apabila \sin 3^{\circ} = 3, maka \cos 3^{\circ} = \sqrt{1-a^2}. Kemudian pertama, kita cari terlebih dahulu \sin 63^{\circ}, yaitu

\sin 63^{\circ} = \sin (60^{\circ}+3^{\circ})
\rightarrow = \sin 60^{\circ}\cos 3^{\circ} + \cos 60^{\circ}\sin 3^{\circ}
\rightarrow = \frac{\sqrt{3-3a^2}}{2} + \frac{a}{2}

Setelah mendapatkan \sin 63^{\circ}, saya rasa kalian dapat membuktikkannya sendiri poin mana saja yang benar. Dan dalam kasus ini yaitu poin (2) dan (4), sehingga jawabannya C.

Soal 15

Jika f(x) = 2x - 3x^{2/3} dengan x\in [-1,3] maka ....
(1) nilai minimum f adalah 5
(2) nilai minimum f terjadi saat x=-1
(3) f naik pada interval (-1,0) atau (1,3)
(4) f turun pada interval (0,1)

Pembahasan 15

Fungsi tersebut kurvanya patah pada titik x = 0, yaitu titik yang merupakan juga sebagai titik balik selain titik x=1, bukti

f'(x) = 2 - 2x^{-1/3} = 2 - \frac{2}{\sqrt[3]{x}}
\rightarrow =\frac{2\sqrt[3]{x} - 2}{\sqrt[3]{x}}

, titik baliknya yaitu ketika \frac{2\sqrt[3]{x} - 2}{\sqrt[3]{x}} = 0, yakni ketika \sqrt[3]{x} = 1 .

Berdasarkan informasi titik balik tersebut maka kita dengan mudah dapat mengetahui pada interval mana saja fungsi tersebut naik atau turun, dengan mengecek salah satu nilai pada interval [-1,0], kemudian [1,0], lalu [1,3].

Apabila gradiennya negatif pada interval teresebut, maka dipastikan fungsi turun, apabila sebaliknya yakni positif, maka fungsi naik.

Pada soal ini semua poin benar, sehingga jawabannya E.

Label

Komentar

Search icon