Matematika KA 2019

Dipublikasi: March 14th, 2021

Masalah matematika tentunya bisa diselesaikan dengan menerapkan konsep-konsep yang telah dipelajari. Semuanya didasari oleh logika.

Meski begitu, saya tetap mau memberikan disclaimer kalau ini bukanlah jawaban resminya.

Daftar Isi

Soal 1

Diketahui persamaan lingkaran $C_1$ dan $C_2$ berturut-turut adalah $x^2+y^2=25$ dan $(x-a)^2+y^2=r^2$ . Lingkaran $C_1$ dan $C_2$ bersinggungan di titik $(5,0)$ . Jika garis $l$ adalah garis singgung lingkaran $C_1$ di titik $(3,4)$ yang merupakan garis singgung juga untuk lingkaran $C_2$ di titik $(m,n)$ nilai $m+n=$ ....
A. $5$
B. $6$
C. $7$
D. $8$
E. $9$

Pembahasan 1

Pertama kita cari dulu gradien garis $l$ tersebut, kita bisa cari dengan memanfaatkan lingkaran $x^2+y^2=25$ , yaitu

$y = \sqrt{25-x^2}$

, di mana turunannya yaitu

$y' = -\frac{x}{\sqrt{25-x^2}}$ .

Dengan demikian gradien dari $l$ yaitu

$m = y'_{x=3} = -\frac{3}{4}$ .

Garis ini juga menyinggung $C_2$ dengan gradien yang sama, sehingga dengan turunan lingkaran kedua

$y'_{x=m} = -\frac{m-a}{\sqrt{r^2-(m-a)^2}} = -\frac{3}{4}$

$\rightarrow 4(m-a)^2 = 3(r^2-(m-a)^2)$

$\rightarrow (m-a) = \frac{3}{5}r$

, artinya $n$

$(m-a)^2+n^2=r^2$

$\left(\frac{3}{5}r\right)^2 +n^2=r^2$

$\frac{9}{25}r^2 +n^2=r^2$

$\rightarrow n = \frac{4}{5}r$ .

Selanjutnya kita cari hubungan $m$ dan $r$ dengan memanfaatkan persamaan garis $l$ pada titik $(m,n)$

$y-4 = -\frac{3}{4}(x-3)$

$\rightarrow 4n-16 = -3m+9$

$\rightarrow \frac{16}{5}r-16 = -3m+9$

$\rightarrow m = \frac{25}{3} - \frac{16}{15}r$ .

Di sini agak tricky caranya, cari ekspresi dari $m+n$

$m+n = \frac{25}{3} - \frac{16}{15}r + \frac{4}{5}r$

, di opsi hanya tersedia bilangan bulat, artinya nilai $r$ yang mungkin yaitu harus kelipatan $5$ , (perhatikan penyebutnya) namun harus kurang dari $5$ juga, karena jika tidak garis $l$ tersebut tidak menyinggung lingkaran kedua, melainkan memotong.

Bisa itu $\frac{5}{2}$ atau bisa juga $\frac{5}{4}$ , dan jawaban yang mungkin yaitu ketika $r=\frac{5}{4}$ , di mana $m+n$ nya adalah $8$ , jawabannya D.

Soal 2

Jika grafik fungsi kuadrat

$f(x) = (a-\sqrt{2})x^2+(a-\sqrt{2})x+a-1$

selalu berada di bawah sumbu $x$ untuk $a < m$ , nilai $3m =$ ....
A. $4+\sqrt{2}$
B. $3+\sqrt{2}$
C. $3-\sqrt{2}$
D. $4-\sqrt{2}$
E. $-3-\sqrt{2}$

Pembahasan 2

Dengan kata lain, maka fungsi tersebut bersifat selalu negatif, atau definit negatif. Dan kondisinya terpenuhi jika konstanta dari $x^2$ selalu negatif, dan begitu juga diskriminannya.

Satu informasi yang sudah didapat yaitu $(a-\sqrt{2} < 0)$ , kemudian untuk diskriminanya

$D = (a-\sqrt{2})^2 - 4(a-\sqrt{2})(a-1) < 0$

$\rightarrow (a-\sqrt{2})((a-\sqrt{2}) - 4(a-1)) < 0$

$\rightarrow (a-\sqrt{2})(-3a + 4 -\sqrt{2}) < 0$

Karena kita sudah tahu bahwa $(a-\sqrt{2}) < 0$ , maka satu-satunya cara supaya diskriminannya negatif adalah $(-3a + 4 -\sqrt{2}) > 0$ alias ekspresi tersebut harus positif. Kita susun ulang syarat tersebut

$a < \frac{4 -\sqrt{2}}{3}$

Dengan demikian kita dapat $m$ -nya sehingga $3m = 4 - \sqrt{2}$ , dan jawabannya yang D.

Soal 3

Jika $x_1, y_1$ dan $x_2, y_2$ merupakan penyelesaian sistem persamaan berikut:

$\begin{cases}4x^2+15y+3=9xy+2y^2+8x \\ 2x = 1+5y \end{cases}$

nilai $2x_1+y_1+2x_2+y_2 =$ ....
A. $-7$
B. $-6$
C. $-5$
D. $-4$
E. $-3$

Pembahasan 3

Di sini saya coba substitusikan respresentasi $x$ dari persamaan kedua (yang linear), $x=\frac{1+5y}{2}$ ke persamaan yang pertama, dengan demikian

$4\left(\frac{1+5y}{2}\right)^2 - 8\frac{1+5y}{2} -9\frac{1+5y}{2}y + 15y - 2y^2 +3 = 0$

, lalu saya kalikan kedua ruas dengan $2$ supaya tidak ada pecahan.

Nah kalau kalian benar menghitungnya, maka akan didapat persamaan akhirnya

$y^2+y = 0$

$y(y+1) = 0$

, kita anggap $y_1 = 0$ dan $y_2 = -1$

Maka didapat $x_1$ dan $x_2$ nya dengan memanfaatkan persamaan yang linear, yaitu $x_1=\frac{1}{2}$ dan $x_2 = -2$ . Sehingga nilai dari

$2x_1+y_1+2x_2+y_2 = 1 + 0 -4 - 1 = -4$

, jawabannya D.

Soal 4

Jika suku banyak $f(x)$ dibagi oleh $x-2$ menghasilkan sisa $10$ , sisa pembagian suku banyak $f(x)$ oleh $x^2-3x+2$ adalah ....
A. $f(1)(2-x)-10(x-1)$
B. $f(1)(x-2)+10(x-1)$
C. $f(1)(x-2)-10(x+1)$
D. $f(1)(2-x)+10(x-1)$
E. $f(1)(2-x)-10(x+1)$

Pembahasan 4

Untuk menjawab soal ini, kalian sejatinya tidak perlu menghitung, jadi gini, fungsi tersebut pada $x=2$ akan menghasilkan $10$ atau $f(2) = 10$ . Kemudian untuk pembagian dengan $x^2-3x+2$ , artinya

$f(x) = (x^2-3x+2)H(x) + S(x)$

$\rightarrow = (x^2-3x+2)H(x) + S(x)$

$\rightarrow = (x-1)(x-2)H(x) + S(x)$ .

Nah dari bentuk di atas dan informasi dari soal kita dapat melihat bahwa, sisa pembagiannya harus bernilai $f(1)$ ketika $x=1$ , dan bernilai $10$ ketika $x=2$ , dan yang memenuhi kondisi tersebut yaitu

$S(x) = f(1)(2-x) + 10(x-1)$

, jawabannya D. Kita hanya perlu memeriksa dari opsi yang ada.

Soal 5

Penyelesaian dari pertidaksamaan

$\frac{\lvert1-2x\rvert}{\sqrt{x^2+4x+4}} \leq x$

adalah ....
A. $x\geq\sqrt{5}-2$
B. $x\geq\sqrt{5}-1$
C. $x\geq\sqrt{5}$
D. $x\geq\sqrt{5}+1$
E. $x\geq\sqrt{5}+2$

Pembahasan 5

Perlu diperhatikan bahwa di ruas kiri, bentuk tersebut tidak mungkin negatif, pertama karena pembilangnya mutlak, kedua karena bentuk kuadrat di dalam akar penyebutnya definit positif, di mana syaratnya $x\neq -2$ .

Untuk syarat awalnya sendiri, karena bentuk pada ruas kiri selalu positif, maka $x\geq0$ (memenuhi syarat penyebutnya). Karena $x$ selalu harus positif, maka kita dapat kemudahan karena, kita tidak perlu mengecek kondisi ketika $x < 0$ .

Sehingga pertidaksamaan tersebut dapat kita selesaikan langsung, dengan cara

$\frac{\lvert1-2x\rvert}{\sqrt{(x+2)^2}} \leq x$

$\rightarrow (1-2x) \leq x(x+2)$

$\rightarrow x^2+4x +1 \geq 0$

, ketaksamaannya akan terpenuhi jika akar-akarnya $x_1,x_2 \geq 0$ atau $x_1,x_2 \leq 0$ .

Dengan rumus ABC maka didapat akar-akarnya

$x_1 = -\sqrt{5} - 2$

$x_2 = \sqrt{5} - 2$

, karena tidak bisa negatif, maka solusi yang mungkin yaitu $x \geq \sqrt{5} - 2$ , jawabannya A.

Soal 6

Diberikan deret geometri

$1-(a+3)+(a+3)^2-(a+3)^3+\cdots = 2a+9$

dengan $-4 < a < -2$ . Jika $a, -7, b$ membentuk barisan geometri baru, nilai $2a+b = \cdots$
A. $7$
B. $0$
C. $-7$
D. $-14$
E. $-21$

Pembahasan 6

Deret tersebut mempunyai rasio $r = -(a+3)$ dan suku pertamanya $a=1$ , jumlah deret tersebut yaitu

$\frac{a}{1-r} = \frac{1}{1 -\,-(a+3)} = 2a+9$

$\rightarrow 2a^2+17a+35 = 0$

$\rightarrow (2a+7)(a+5) = 0$

, berdasarkan batas yang tertera, maka $x$ yang memenuhi yaitu $x = -\frac{7}{2}$ .

Untuk deret geometri yang baru, $a-7,b$ , maka rasio dari deret tersebut yaitu $2$ . Sehingga $b = -14$ . Dengan demikian

$2a+b = 2(-\frac{7}{2}) + (-14) = -21$

, jawabannya E.

Soal 7

Jumlah semua nilai $x$ yang memenuhi persamaan

$6\cos x-2\cos x\sin 2x-4\cos^2 x+3\sin 2x-2\sin x -2 = 0$

, untuk $-\frac{\pi}{2}\leq x \leq\pi$ adalah ....
A. $-\frac{\pi}{2}$
B. $-\frac{\pi}{3}$
C. $0$
D. $\frac{\pi}{3}$
E. $\frac{\pi}{2}$

Pembahasan 7

Dari persamaan tersebut bisa kita asumsikan bahwa $a = \cos x$ dan $b = \sin x$ , kemudian persamaanya menjadi

$6\cos x-2\cos x\cdot 2\sin x\cos x-4\cos^2 x+3\cdot2\sin x\cos x -2\sin x -2 = 0$

$\rightarrow 6a-4a^2b -4a^2+6ab -2b -2 = 0$

$\rightarrow 4a^2b+4a^2-6ab-6a+2b+2 = 0$

$\rightarrow (2a-1)(2a-2)(b+1) = 0$

Artinya solusi kita yaitu ketika $\cos x = \frac{1}{2}$ atau $\cos x = 1$ atau $\sin x= -1$ . Berdasarkan batas yang ditentukan di soal, maka solusi yang mungki yaitu

$x_1 = \frac{1}{3}\pi$

$x_2 = -\frac{1}{3}\pi$

$x_3 = 0$

$x_4 = -\frac{\pi}{2}$

, dengan demikian jumlahannya yaitu $\frac{1}{2}\pi$ , jawabannya E.

Soal 8

Jika $\lim\limits_{x\to2} f(x) = 3$ , maka

$\lim\limits_{x\to2} \frac{(f(x)-3)((f(x))^2 - 4f(x) + 1)(x+5)}{((f(x))^2+f(x)-12)(x-1)} = \cdots$

A. $-4$
B. $-2$
C. $-1$
D. $0$
E. $1$

Pembahasan 8

Karena $f(x)$ sendiri mewakili suatu fungsi, yang bentuknya apapun itu, bisa polinomial, trigonometri, dan lainnya. Di sini kita bisa faktorkan penyebut tersebut sehingga menjadi

$\lim\limits_{x\to2} \frac{(f(x)-3)((f(x))^2 - 4f(x) + 1)(x+5)}{(f(x)+4)(f(x)-3)(x-1)}$

$\rightarrow \lim\limits_{x\to2} \frac{((f(x))^2 - 4f(x) + 1)(x+5)}{(f(x)+4)(x-1)}$ .

Kemudian dengan sifat-sifat limit, seperti sifat pembagian, sifat terhadap fungsi yang dieksponenkan, sifat perkalian fungsi dan sebagainya, maka hasilnya yaitu

$\frac{(3^2-4\cdot3+1)(2+5)}{(3+4)(2-1)} = -2$

, jawabannya B.

Soal 9

Jika $\int_a^b f'(x)f(x)\,dx = 10$ dan $f(a) = 2 + f(b)$ nilai $f(b) = ....$
A. $-2$
B. $-4$
C. $-6$
D. $-8$
E. $-10$

Pembahasan 9

Dengan informasi yang bisa kita selesaikan dengan metode substitusi. Kita anggap $u = f(x)$ , maka

$\frac{du}{dx} = \frac{df(x)}{dx} \rightarrow du = f'(x) dx$

, sehingga

$\int_a^b f(x)f'(x)\,dx$

$\rightarrow \int_{f(a)}^{f(b)} u\,du$

$\rightarrow \frac{u^2}{2} \Big|_{f(a)}^{f(b)}$

$\rightarrow \frac{(f(b))^2}{2} - \frac{(f(a))^2}{2} = 10$

Dengan mensubstitusikan $f(a) = 2 + f(b)$ , maka didapat

$\rightarrow (f(b))^2 - (2+f(b))^2 = 20$

$\rightarrow -4 - 4f(b) = 20$

$\rightarrow f(b) = -6$

, jawabannya C.

Soal 10

Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $2$ . Titik $P, Q, R,$ dan $S$ berturut-turut adalah titik tengah dari $EH, FG, AD$ , dan $BC$ . Jika bidang $PQRS$ dan $ACH$ berpotongan di garis $MN$ , perbandingan luas $AMN$ dengan luas permukaan kubus adalah ....
A. $\sqrt{3}:16$
B. $\sqrt{3}:18$
C. $\sqrt{3}:24$
D. $\sqrt{3}:48$
E. $\sqrt{3}:50$

Pembahasan 10

Apabila kita perhatikan pada gambar berikut, dapat terlihat bahwa kita bisa gunakan konsep kesebangunan untuk mencari luas dari $AMN$ , yakni membandingkan dengan segitiga $ACH$ . Segitiga $ACH$ yang mempunyai tinggi $\sqrt{6}$ luasnya adalah

$L_{\triangle ACH} = \frac{1}{2}\sqrt{6}\cdot2\sqrt{2} = 2\sqrt{3}$

Mencari perbandingan luas permukaan terhadap kubus ABCD.EFGH

Jika dibandingkan sisinya, segitiga $AMN$ adalah setengah dari segitiga $ACH$ , sehingga luasnya adalah $L_{\triangle AMN} = \sqrt{3}$ . Kubus tersebut mempunyai luas permukaan $24$ , sehingga perbandingannya yaitu $\sqrt{3}:24$ , jawabannya C.

Soal 11

Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $6$ . Titik $P$ adalah titik tengah rusuk $AB$ . Jika titik $Q$ adalah titik perpotongan $BE$ dan $PF$ , jarak antara titik $Q$ dan titik $C$ adalah....
A. $4\sqrt{11}$
B. $3\sqrt{11}$
C. $2\sqrt{11}$
D. $\sqrt{11}$
E. $\frac{1}{2}\sqrt{11}$

Pembahasan 11

Disini kita coba pakai cara favorite saya, yaitu dengan menggunakan persamaan garis lurus. Tentunya kita perlu mendefinisikan mana yang jadi titik asal koordinat kartesius kita, dalam hal ini saya anggap berada di $A$ .

Mencari jarak antar titik pada kubus ABCD.EFGH

Anggap garis pertama $l_1$ melalui $P$ dan $F$ , dan garis kedua $l_2$ melalui $B$ dan $E$ . Kedua garis hanya berada di bidang $yz$ artinya $x=0$ . Aritnya titik-titik yang dimaksud berada di (saya hilangkan dulu $x$ -nya) $P(3,0)$ , $F(6,6)$ , $B(6,0)$ , dan $E(0,6)$ .

Mungkin kalian sudah bisa untuk mencari persamaan garisnya, untuk $l_1$ yaitu

$z=2y-6$

, dan $l_2$

$z=6-y$

, kedua garis tersebut memotong di titik (beserta $x$ ) $Q(0,4,2)$ .

Titik $C$ yang berada di $(6,6,0)$ , jaraknya dengan $Q$ dapat ditentukan menggunakan teorema Pythagoras yakni

$\lvert PQ \rvert = \sqrt{(6-0)^2 + (6-4)^2 + (0-2)^2} = 2\sqrt{11}$

, jawabannya C.

Soal 12

Diketahui $p$ dan $q$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $ax^2-5x+c = 0$ , $a\neq 0$ . Jika $p$ , $q$ , $\frac{1}{8pq}$ membentuk barisan geometri dan $a\log 18 + ^a\log p = 1$ , nilai $a+c=$ ....
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $3$
D. $5$
E. $7$

Pembahasan 12

Dari perbandingan rasio barisan geometri tersebut maka bisa kita dapatkan nilai $q$ yaitu

$\frac{q}{p} = \frac{\frac{1}{8pq}}{q}$

$\rightarrow q^3 = \frac{1}{8}$

$\rightarrow q = \frac{1}{2}$ .

Kemudian dari persamaan logaritma tersebut dapat diketahui juga hubungan $a$ dan $q$ , yaitu

$^a\log(18p) = 1$

$\rightarrow a = 18p$ .

Dari persamaan kuadrat didapat hubungan $p$ dan $a$ juga

$ap^2-5p+c = 0$

, dan

$aq^2-5q+c = 0$

, kita kurangkan kedua persamaan tersebut didapat

$a(p^2 - q^2) - 5(p-q) = 0$

$a(p+q)(p-q) - 5(p-q) = 0$

$a(p+\frac{1}{2}) - 5 = 0$ .

Substitusikan $a = 18p$ , maka didapat

$18p^2 + 9p - 5 = 0$

$\rightarrow (6p+5)(3p-1) = 0$

, ada dua kemungkinan artinya $a = 18(-5/6) = -15$ atau $a = 18(1/3) = 6$ . Coba substitusikan satu-satu ke $aq^2-5q+c = 0$ , dan yang paling mungkin adalah $a=6$ .

Untuk $c$ -nya kita dapatkan

$6(\frac{1}{2})^2 - 5\frac{1}{2} +c = 0$

$\rightarrow c = 1$

, sehingga $a+c = 7$ , jawabannya E.

Soal 13

Diketahui vektor $u = (1,0,2)$ , $v = (-1,2,0)$ , $w = (3,1,1)$ , dan $x = (6,-1,5)$ . Jika $x = ku + lv + mw$ , dan $y = (k+l)u$ , maka ....
(1) $k+l+m =2$ (2) $\text{cosinus}$ sudut antara $u$ dan $v$ adalah $-\frac{1}{5}$ (3) $\sqrt{x\cdot y} = 4$ (4) $\lvert y\rvert = \lvert u\rvert$ , tetapi $y$ berlawanan arah dengan $u$

Pembahasan 13

Kita tulis kombinasi linear $x$ terhadap vektor lainnya

$\left[\begin{matrix}6\\-1\\5\end{matrix}\right] = k\left[\begin{matrix}1\\0\\2\end{matrix}\right] + l\left[\begin{matrix}-1\\2\\0\end{matrix}\right] + m\left[\begin{matrix}3\\1\\1\end{matrix}\right]$

$\left[\begin{matrix}6\\-1\\5\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}k-l+3m\\2l+m\\2k+m\end{matrix}\right]$

, di sini kalian menemui sistem persamaan tiga variabel, karena cukup mudah, kita langsung ke solusi persamaannya, yaitu $k=2$ , $l=-1$ , dan $m=1$ , sehingga poin 1 benar.

Untuk mengetahui $\text{cosinus}$ antara dua vektor, kita gunakan operasi dot pada vektor, yaitu

$\cos \theta = \frac{u\cdot v}{\lvert u\rvert\lvert v\rvert}$

$\rightarrow = \frac{(1)(-1) + (0)(2) + (2)(0)}{\sqrt{5}\sqrt{5}} = -\frac{1}{5}$

, dengan demikian poin 2 benar.

Kita tentukan dulu $y$ nya, yakni

$y = (k+l)u = \begin{matrix}1\\0\\2\end{matrix}$

, dot productnya dengan $x$ yaitu

$x\cdot y = (6)(1) + (-1)(0) + (5)(2) = 16$

, sehingga $\sqrt{x\cdot y} = 4$ , poin 3 benar.

Pernyataan $\lvert y\rvert = \lvert u\rvert$ benar, namun sejatinya arahnya tidak berlawanan (coba perhatikan kembali kedua vektor). Sehingga jawabannya A (1, 2, dan 3 benar).

Soal 14

Jika $\sin 3^{\circ} = a$ , maka ....

(1) $\sin 3^{\circ} - 2 \sin 63^{\circ} = \sqrt{3-3a^2}$

(2) $2 \sin 63^{\circ} + \sin 3^{\circ} = 2a + \sqrt{3-3a^2}$

(3) $3\sin 3^{\circ} - 2 \sin 63^{\circ} = a - \sqrt{3-3a^2}$

(4) $2\sin 3^{\circ} - 4 \sin 63^{\circ} = -2\sqrt{3-3a^2}$

Pembahasan 14

Apabila $\sin 3^{\circ} = 3$ , maka $\cos 3^{\circ} = \sqrt{1-a^2}$ . Kemudian pertama, kita cari terlebih dahulu $\sin 63^{\circ}$ , yaitu

$\sin 63^{\circ} = \sin (60^{\circ}+3^{\circ})$

$\rightarrow = \sin 60^{\circ}\cos 3^{\circ} + \cos 60^{\circ}\sin 3^{\circ}$

$\rightarrow = \frac{\sqrt{3-3a^2}}{2} + \frac{a}{2}$

Setelah mendapatkan $\sin 63^{\circ}$ , saya rasa kalian dapat membuktikkannya sendiri poin mana saja yang benar. Dan dalam kasus ini yaitu poin (2) dan (4), sehingga jawabannya C.

Soal 15

Jika $f(x) = 2x - 3x^{2/3}$ dengan $x\in [-1,3]$ maka ....
(1) nilai minimum $f$ adalah $5$
(2) nilai minimum $f$ terjadi saat $x=-1$
(3) $f$ naik pada interval $(-1,0)$ atau $(1,3)$
(4) $f$ turun pada interval $(0,1)$

Pembahasan 15

Fungsi tersebut kurvanya patah pada titik $x = 0$ , yaitu titik yang merupakan juga sebagai titik balik selain titik $x=1$ , bukti

$f'(x) = 2 - 2x^{-1/3} = 2 - \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$

$\rightarrow =\frac{2\sqrt[3]{x} - 2}{\sqrt[3]{x}}$

, titik baliknya yaitu ketika $\frac{2\sqrt[3]{x} - 2}{\sqrt[3]{x}} = 0$ , yakni ketika $\sqrt[3]{x} = 1$ .

Berdasarkan informasi titik balik tersebut maka kita dengan mudah dapat mengetahui pada interval mana saja fungsi tersebut naik atau turun, dengan mengecek salah satu nilai pada interval $[-1,0]$ , kemudian $[1,0]$ , lalu $[1,3]$ .

Apabila gradiennya negatif pada interval teresebut, maka dipastikan fungsi turun, apabila sebaliknya yakni positif, maka fungsi naik.

Pada soal ini semua poin benar, sehingga jawabannya E.