Matematika KA 2019
Penulis: Lintang Erlangga
Masalah matematika tentunya bisa diselesaikan dengan menerapkan konsep-konsep yang telah dipelajari. Semuanya didasari oleh logika.
Meski begitu, saya tetap mau memberikan disclaimer kalau ini bukanlah jawaban resminya.
Daftar Isi
Soal 1
Diketahui persamaan lingkaran dan
berturut-turut adalah
dan
. Lingkaran
dan
bersinggungan di titik
.
Jika garis
adalah garis singgung lingkaran
di titik
yang merupakan garis singgung juga untuk lingkaran
di titik
nilai
....
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan 1
Pertama kita cari dulu gradien garis tersebut, kita bisa cari dengan memanfaatkan lingkaran
, yaitu

, di mana turunannya yaitu

Dengan demikian gradien dari yaitu

Garis ini juga menyinggung dengan gradien yang sama, sehingga dengan turunan lingkaran kedua



, artinya




Selanjutnya kita cari hubungan dan
dengan memanfaatkan persamaan garis
pada titik




Di sini agak tricky caranya, cari ekspresi dari

, di opsi hanya tersedia bilangan bulat, artinya nilai yang mungkin yaitu harus kelipatan
, (perhatikan penyebutnya) namun harus kurang dari
juga, karena jika tidak garis
tersebut tidak menyinggung lingkaran kedua,
melainkan memotong.
Bisa itu atau bisa juga
, dan jawaban yang mungkin yaitu ketika
, di mana
nya adalah
, jawabannya D.
Soal 2
Jika grafik fungsi kuadrat

selalu berada di bawah sumbu untuk
, nilai
....
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan 2
Dengan kata lain, maka fungsi tersebut bersifat selalu negatif, atau definit negatif. Dan kondisinya terpenuhi jika konstanta dari selalu negatif, dan begitu juga diskriminannya.
Satu informasi yang sudah didapat yaitu , kemudian untuk diskriminanya



Karena kita sudah tahu bahwa , maka satu-satunya cara supaya diskriminannya negatif adalah
alias ekspresi tersebut harus positif. Kita susun ulang syarat tersebut

Dengan demikian kita dapat -nya sehingga
, dan jawabannya yang D.
Soal 3
Jika dan
merupakan penyelesaian sistem persamaan berikut:

nilai ....
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan 3
Di sini saya coba substitusikan respresentasi dari persamaan kedua (yang linear),
ke persamaan yang pertama, dengan demikian

, lalu saya kalikan kedua ruas dengan supaya tidak ada pecahan.
Nah kalau kalian benar menghitungnya, maka akan didapat persamaan akhirnya


, kita anggap dan
Maka didapat dan
nya dengan memanfaatkan persamaan yang linear, yaitu
dan
. Sehingga nilai dari

, jawabannya D.
Soal 4
Jika suku banyak dibagi oleh
menghasilkan sisa
, sisa pembagian suku banyak
oleh
adalah ....
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan 4
Untuk menjawab soal ini, kalian sejatinya tidak perlu menghitung, jadi gini, fungsi tersebut pada akan menghasilkan
atau
. Kemudian untuk pembagian dengan
, artinya



Nah dari bentuk di atas dan informasi dari soal kita dapat melihat bahwa, sisa pembagiannya harus bernilai ketika
, dan bernilai
ketika
, dan yang memenuhi kondisi tersebut yaitu

, jawabannya D. Kita hanya perlu memeriksa dari opsi yang ada.
Soal 5
Penyelesaian dari pertidaksamaan

adalah ....
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan 5
Perlu diperhatikan bahwa di ruas kiri, bentuk tersebut tidak mungkin negatif, pertama karena pembilangnya mutlak, kedua karena bentuk kuadrat di dalam akar penyebutnya definit positif, di mana syaratnya .
Untuk syarat awalnya sendiri, karena bentuk pada ruas kiri selalu positif, maka (memenuhi syarat penyebutnya). Karena
selalu harus positif, maka kita dapat kemudahan karena, kita tidak perlu mengecek kondisi ketika
.
Sehingga pertidaksamaan tersebut dapat kita selesaikan langsung, dengan cara



, ketaksamaannya akan terpenuhi jika akar-akarnya atau
.
Dengan rumus ABC maka didapat akar-akarnya


, karena tidak bisa negatif, maka solusi yang mungkin yaitu , jawabannya A.
Soal 6
Diberikan deret geometri

dengan . Jika
membentuk barisan geometri baru, nilai
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan 6
Deret tersebut mempunyai rasio dan suku pertamanya
, jumlah deret tersebut yaitu



, berdasarkan batas yang tertera, maka yang memenuhi yaitu
.
Untuk deret geometri yang baru, , maka rasio dari deret tersebut yaitu
. Sehingga
. Dengan demikian

, jawabannya E.
Soal 7
Jumlah semua nilai yang memenuhi persamaan

, untuk adalah ....
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan 7
Dari persamaan tersebut bisa kita asumsikan bahwa dan
, kemudian persamaanya menjadi




Artinya solusi kita yaitu ketika atau
atau
. Berdasarkan batas yang ditentukan di soal, maka solusi yang mungki yaitu




, dengan demikian jumlahannya yaitu , jawabannya E.
Soal 8
Jika , maka

A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan 8
Karena sendiri mewakili suatu fungsi, yang bentuknya apapun itu, bisa polinomial, trigonometri, dan lainnya. Di sini kita bisa faktorkan penyebut tersebut sehingga menjadi


Kemudian dengan sifat-sifat limit, seperti sifat pembagian, sifat terhadap fungsi yang dieksponenkan, sifat perkalian fungsi dan sebagainya, maka hasilnya yaitu

, jawabannya B.
Soal 9
Jika dan
nilai
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan 9
Dengan informasi yang bisa kita selesaikan dengan metode substitusi. Kita anggap , maka

, sehingga




Dengan mensubstitusikan , maka didapat



, jawabannya C.
Soal 10
Diketahui kubus dengan panjang rusuk
. Titik
dan
berturut-turut adalah titik tengah dari
, dan
. Jika bidang
dan
berpotongan di garis
, perbandingan luas
dengan luas permukaan kubus adalah ....
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan 10
Apabila kita perhatikan pada gambar berikut, dapat terlihat bahwa kita bisa gunakan konsep kesebangunan untuk mencari luas dari , yakni membandingkan dengan segitiga
. Segitiga
yang mempunyai tinggi
luasnya adalah


Jika dibandingkan sisinya, segitiga adalah setengah dari segitiga
, sehingga luasnya adalah
. Kubus tersebut mempunyai luas permukaan
, sehingga perbandingannya yaitu
,
jawabannya C.
Soal 11
Diketahui kubus dengan panjang rusuk
. Titik
adalah titik tengah rusuk
. Jika titik
adalah titik perpotongan
dan
, jarak antara titik
dan titik
adalah....
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan 11
Disini kita coba pakai cara favorite saya, yaitu dengan menggunakan persamaan garis lurus. Tentunya kita perlu mendefinisikan mana yang jadi titik asal koordinat kartesius kita, dalam hal ini saya anggap berada di .

Anggap garis pertama melalui
dan
, dan garis kedua
melalui
dan
. Kedua garis hanya berada di bidang
artinya
. Aritnya titik-titik yang dimaksud berada di (saya hilangkan dulu
-nya)
,
,
, dan
.
Mungkin kalian sudah bisa untuk mencari persamaan garisnya, untuk yaitu

, dan

, kedua garis tersebut memotong di titik (beserta )
.
Titik yang berada di
, jaraknya dengan
dapat ditentukan menggunakan teorema Pythagoras yakni

, jawabannya C.
Soal 12
Diketahui dan
adalah akar-akar persamaan kuadrat
,
. Jika
,
,
membentuk barisan geometri dan
, nilai
....
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan 12
Dari perbandingan rasio barisan geometri tersebut maka bisa kita dapatkan nilai yaitu



Kemudian dari persamaan logaritma tersebut dapat diketahui juga hubungan dan
, yaitu


Dari persamaan kuadrat didapat hubungan dan
juga

, dan

, kita kurangkan kedua persamaan tersebut didapat



Substitusikan , maka didapat


, ada dua kemungkinan artinya atau
. Coba substitusikan satu-satu ke
, dan yang paling mungkin adalah
.
Untuk -nya kita dapatkan


, sehingga , jawabannya E.
Soal 13
Diketahui vektor ,
,
, dan
. Jika
, dan
, maka ....
(1) (2)
sudut antara
dan
adalah
(3)
(4)
, tetapi
berlawanan arah dengan
Pembahasan 13
Kita tulis kombinasi linear terhadap vektor lainnya
![\left[\begin{matrix}6\\-1\\5\end{matrix}\right] = k\left[\begin{matrix}1\\0\\2\end{matrix}\right] + l\left[\begin{matrix}-1\\2\\0\end{matrix}\right] + m\left[\begin{matrix}3\\1\\1\end{matrix}\right]](https://iseng-project.id/icon/placeholder-img.webp)
![\left[\begin{matrix}6\\-1\\5\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}k-l+3m\\2l+m\\2k+m\end{matrix}\right]](https://iseng-project.id/icon/placeholder-img.webp)
, di sini kalian menemui sistem persamaan tiga variabel, karena cukup mudah, kita langsung ke solusi persamaannya, yaitu ,
, dan
, sehingga poin 1 benar.
Untuk mengetahui antara dua vektor, kita gunakan operasi dot pada vektor, yaitu


, dengan demikian poin 2 benar.
Kita tentukan dulu nya, yakni

, dot productnya dengan yaitu

, sehingga , poin 3 benar.
Pernyataan benar, namun sejatinya arahnya tidak berlawanan (coba perhatikan kembali kedua vektor). Sehingga jawabannya A (1, 2, dan 3 benar).
Soal 14
Jika , maka ....




Pembahasan 14
Apabila , maka
. Kemudian pertama, kita cari terlebih dahulu
, yaitu



Setelah mendapatkan , saya rasa kalian dapat membuktikkannya sendiri poin mana saja yang benar. Dan dalam kasus ini yaitu poin (2) dan (4), sehingga jawabannya C.
Soal 15
Jika dengan
maka ....
(1) nilai minimum adalah
(2) nilai minimum terjadi saat
(3) naik pada interval
atau
(4) turun pada interval
Pembahasan 15
Fungsi tersebut kurvanya patah pada titik , yaitu titik yang merupakan juga sebagai titik balik selain titik
, bukti
![f'(x) = 2 - 2x^{-1/3} = 2 - \frac{2}{\sqrt[3]{x}}](https://iseng-project.id/icon/placeholder-img.webp)
![\rightarrow =\frac{2\sqrt[3]{x} - 2}{\sqrt[3]{x}}](https://iseng-project.id/icon/placeholder-img.webp)
, titik baliknya yaitu ketika , yakni ketika
.
Berdasarkan informasi titik balik tersebut maka kita dengan mudah dapat mengetahui pada interval mana saja fungsi tersebut naik atau turun, dengan mengecek salah satu nilai pada interval , kemudian
, lalu
.
Apabila gradiennya negatif pada interval teresebut, maka dipastikan fungsi turun, apabila sebaliknya yakni positif, maka fungsi naik.
Pada soal ini semua poin benar, sehingga jawabannya E.