TKA Saintek 1 2019
Penulis: Lintang Erlangga
Perbedaan antara jawaban sesungguhnya mungkin saja ada dalam pembahasan ini. Mengingat ini bukanlah solusi Matematika UTBK 2019 resmi.
Saya cuman berupaya memberikan jawaban sesuai dengan konsep-konsep matematika yang ada.
Daftar Isi
- Soal 1
- Pembahasan 1
- Soal 2
- Pembahasan 2
- Soal 3
- Pembahasan 3
- Soal 4
- Pembahasan 4
- Soal 5
- Pembahasan 5
- Soal 6
- Pembahasan 6
- Soal 7
- Pembahasan 7
- Soal 8
- Pembahasan 8
- Soal 9
- Pembahasan 9
- Soal 10
- Pembahasan 10
- Soal 11
- Pembahasan 11
- Soal 12
- Pembahasan 12
- Soal 13
- Pembahasan 13
- Soal 14
- Pembahasan 14
- Soal 15
- Pembahasan 15
- Soal 16
- Pembahasan 16
- Soal 17
- Pembahasan 17
- Soal 18
- Pembahasan 18
- Soal 19
- Pembahasan 19
- Soal 20
- Pembahasan 20
Soal 1
Jika , maka
mempunyai penyelesaian ....
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan 1
Kita asumsikan , maka ketidaksamaan tersebut bisa kita tuliskan

, dengan asumsi bahwa atau
.

Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat tersebut yaitu

, dan nampaknya solusi yang memenuhi yaitu atau bisa juga di
.
Tapi karena , alias
-nya positif, maka
yang tepat. Dengan demikian





, jawabannya adalah A.
Soal 2
Lingkaran yang berpusat di , dengan
, menyinggung garis
. Jika lingkaran tersebut berjari-jari
, maka
....
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan 2
Garis singgung suatu lingkaran dengan pusat apabila diketahui gradiennya yaitu

, pada soal ini gradiennya adalah .
Maka persamaan garisnya yaitu





, kemudian kita cocokan dengan persamaan garis .
Satu-satunya cara untuk mencapai tersebut yakni ketika , maka
, sehingga jawabannya E.
Soal 3
Jumlah semua ordinat penyelesaian sistem persamaan dan
adalah ....
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan 3
Kita sebut kedua persamaan secara berturut-turut sebagai persamaan 1 dan persamaan 2, kemudian kita jumlahkan keduanya




, dan solusi kedua persamaan terjadi ketika dan
.
Kita substitusikan kedua tersebut ke salah satu persamaan, kali ini saya coba ke persamaan 1. Untuk



Lalu untuk


, berdasarkan rumus ABC, maka solusinya adalah

Maka total ordinatnya yaitu


, jawabannya yang B.
Soal 4
Himpunan penyelesaian dari adalah interval
. Nilai
adalah ....
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan 4
Karena bentuk alias selalu positif, maka satu-satunya cara supaya terpenuhi maka
alias harus positif juga, artinya
.
Maka solusi ketidaksamaan tersebut



, solusinya yaitu
Namun karena harus positif, maka solusinya adalah
, artinya
dan
.
Sehingga nilai adalah
, jawabannya D.
Soal 5
Jika habis dibagi
, maka nilai
adalah ....
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan 5
Jika habis dibagi
, maka sisa pembagiannya bernilai nol

Artinya harus bernilai nol. Nah, karena
nilainya bebas, alias bisa berapapun, maka satu-satunya cara untuk menghasilkan nol yaitu
dan
.
Sehingga nilai dari yaitu
, jawabannya D.
Soal 6
Jika diketahui suku barisan aritmetika bersifat , dengan
, untuk sebarang bilangan asli positif
, maka
....
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan 6
Jika kita substitusikan aturan aritmetika tersebut, maka deret tersebut menjadi




Sehingga

, perhatikan bahwa terdapat sebanyak
, sedangkap jumlahan
bisa kita anggap deret aritmatika dengan suku pertama adalah
dan bedanya juga
dan terdapat
angka.
Jumlah yaitu
, sedangkan jumlah
, yaitu


, sehingga jumlahnya deret yang awal adalah

Karena

, kita susun ulang maka menjadi

, jawabannya A mungkin?
Soal 7
Jika


A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan 7
Caranya benar-benar tricky, supaya bentuk pertama menjadi bentuk yang kedua, kita bisa kalikan kedua ruas persamaan pertama dengan limit berikut
](https://iseng-project.id/icon/placeholder-img.webp)
, sebut saja dan hasilnya adalah
Sehingga
 = K\cdot \lim\limits_{t\to a} [(\lvert t\rvert-1)^2-(\lvert a\rvert-1)^2](t+a)](https://iseng-project.id/icon/placeholder-img.webp)
, karena
 = K\cdot 4a(\lvert a\rvert -1)^2](https://iseng-project.id/icon/placeholder-img.webp)

Maka jawabannya C.
Soal 8
Grafik

Grafik

Dibuat menggunakan DESMOS.
Diketahui grafik fungsi dan
dengan beberapa nilai fungsi
dan
sebagai berikut.
![]() | ![]() | ![]() |
---|---|---|
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
Jika , maka nilai
adalah ....
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan 8
Fungsi merupakan komposisi fungsi
dengan
, artinya turunan fungsi
terhadap
bisa diselesaikan dengan aturan rantai


Turunannya yaitu


Jika kita perhatika pada grafik tersebut maka terlihat bahwa

, berdasarkan data , dan kita lihat grafik kembali
.
Dan hasilnya adalah



, jawabannya B.
Soal 9
Diberikan fungsi dengan sifat
untuk setiap
. Jika
, maka
...
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan 9
Ibaratnya seperti fungsi atau
yang nilai berulang atau periodis setiap kenaikan
, nah di sini fungsinya berulang kenaikan
. Sekarang coba kita gunakan sifat integral mengenai penambahan interval



Karena periodis maka



Dengan sifat periodis tersebut bisa kita tuliskan juga





, sehingga jawabannya A.
Soal 10
Misalkan menyatakan garis singgung kurva
di titik
dan
menyatakan garis singgung kurva
yang sejajar dengan garis
. Jarak
dan
adalah ....
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan 10
Karena garis dan
saling sejajar, maka untuk mencari jaraknya idenya yaitu, kita cari suatu garis yang saling tegak lurus terhadap kedua garis tersebut. Kemudian cari jarak titik potong dengan kedua garis itu.
Kita cari dulu gradien dan


Garis yang memotong secara tegak lurus tersebut mempunyai gradien, . Biar gampang kita anggap garis tersebut melalui
, dan persamaan garisnya adalah


Kemudian kita cari persamaan garis . Karena kita udah tahu gradiennya maka



, artinya -nya adalah
Persamaan garisnya adalah


Titik potong garis dengan
yakni berada di
, sehingga jaraknya terhadap
adalah






, sehingga jawabannya D.
Soal 11
Jika garis tidak memotong elips
, maka nilai
adalah ....
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan 11
Sederhana aja logikanya, jika ada suatu titik di garis tersebut, maka jika kita substitusikan ke persamaan elips tersebut, maka nilainya akan selalu lebih besar dari , sebut saja titik tersebut
. Maka



Bentuk tersebut tak lain mengartikan bahwa, persamaan kuadrat di atas selalu positif atau definit positif, di mana syaratnya adalah diskriminannya negatif, .
Diskriminannya yaitu





, sehingga solusinya adalah , jawabannya D.
Soal 12
Diketahui dan
. Jika
adalah matriks berukuran
sehingga
, maka determinan dari
adalah ....
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan 12
Pertama kita cari dulu dan
, yaitu


Kemudian dengan sifat determinan, maka



Sehingga adalah

, jawabannya A.
Soal 13
Sebuah kotak berisi bola berwarna merah dan berwarna biru. Diambil
bola sekaligus secara acak. Jika peluang terambil sedikitnya
bola berwarna merah adalah
, maka banyaknya bola berwarna biru adalah ....
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan 13
Hanya ada dua kemungkinan untuk terambilnya minimal satu bola merah, yaitu ketika keduanya merah, atau ketika salah satunnya biru. Misal banyak bola warna merah adalah , banyak kombinasi dari kondisi ini yaitu




Banyak kombinasi memilih dua bola dari sepuluh bola yang ada sama seperti

Maka dari itu dengan menyocokkan peluang kejadiannya kita dapat




Solusi persamaan kuadrat tersebut yaitu

, solusi yang mungkin yaitu ketika , yang artinya banya bola birunya adalah
, jawabannya E.
Soal 14
Diberikan data, setelah diurutkan, sebagai berikut:
. Jika rata-rata data tersebut
dan simpangan rata-ratanya
, maka
....
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan 14
Kita gunakan dua informasi rata-rata terlebih dahulu, untuk mengetahui hubungan dengan


Lalu kita gunakan informasi simpangan rata-ratanya, nah tapi sebelum lanjut, coba perhatika lagi. Datanya sudah diurut, artinya jika rata-ratanya dan
beserta
disebelah kiri, maka
.
Artinya simpangan rata-ratanya bisa kita tulis



Kita gunakan metode eleminasi, maka akan didapat bahwa dan
, sehingga
. Jawabannya A.
Soal 15
Jika diketahui dan
, maka nilai terbesar
tercapai saat ....
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan 15
Kita coba cari dulu bentuk nya





, tentu dengan tercapai bentuk seperti itu maka supaya nilainya besar kita ingin nilai dari adalah
, supaya nilainya
.
Dan hal tersebut dicapai ketika , sehingga jawabannya E.
Soal 16
Joni menabung di Bank Central yang menggunakan sistem bunga majemuk dengan saldo awal . Dalam waktu
tahun, saldo joni di tabungan menjadi
. Citra menabung di bank yang sama dengan saldo awal
. Jika dalam waktu
tahun, saldo Citra
lebih banyak daripada saldo milik Joni, maka
....
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan 16
Pada bunga majemuk artinya pertambahan yang dirasakan nasabah akan berbeda tiap tahunnya, dan dimodelkan seperti berikut . Untuk
tahun pertama Joni, misal bunganya
artinya

Citra menabung setelah Joni tahun menabung, kemudian enam tahun kemudian saldonya,
lebih besar sebanyak
dari Joni,
, artinya



Sehingga


Balik lagi ke tabungan tahun pertama Joni, maka



, sehingga jawabannya E.
Soal 17
Jika garis digeser ke bawah sejauh
satuan kemudian diputar, dengan pusat titik
, searah jarum jam sebesar
sehingga menghasilkan bayangan garis
, maka nilai
adalah ....
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan 17
Kita cari dahulu garis setelah ditranslasi sejauh satuan ke bawah, yaitu

Kemudian dirotasi sejauh searah jarum jam atau
, artinya
dan
![y' = ax'+b - 6\xrightarrow{\left[O,-90^{\circ}\right]} -x=ay+b-6](https://iseng-project.id/icon/placeholder-img.webp)


Supaya sama dengan , maka
dan
, dengan demikian

, jawabannya B.
Soal 18

Diketahui segitiga siku-siku di
. Titik
berada pada sisi
sehingga
. Jika
dan
, maka luas segitiga
adalah ....
A.
D.
C.
D.
E.
Pembahasan 18
Pertama kita cari dahulu panjang dengan teorema Pythagoras, yakni

, dengan informasi yang ada



Kemudian dengan konsep kesebangunan kita dapat


Lalu kita cari


Untuk panjang sendiri adalah

, sehingga luas adalah


, jawabannya D.
Soal 19
Misalkan balok dengan
,
, dan
. Jika
adalah titik tengah
dan
adalah
, maka
adalah ....
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan 19

Kita akan manfaat ketiga sisi segitiga untuk mencari
, pertama kita cari dahulu panjang

, kemudian panjang


Kemudian untuk panjang

Sehingga adalah



Dengan demikian jawabannya A.
Soal 20
Jika , dengan
, merupakan penyelesaian dari sistem persamaan


maka ....
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan 20
Kita ubah terlebih dahulu bentuk yang pertama menjadi bentuk


, substitusikan





, perhatikan bahwa pada interval ini, nilai selalu positif.
Dengan demikian , sehingga

, jawabannya B.