TKA Saintek 1 2019

Dipublikasi: March 1st, 2021

Perbedaan antara jawaban sesungguhnya mungkin saja ada dalam pembahasan ini. Mengingat ini bukanlah solusi Matematika UTBK 2019 resmi.

Saya cuman berupaya memberikan jawaban sesuai dengan konsep-konsep matematika yang ada.

Daftar Isi

Soal 1

Jika $0 < a < 1$ , maka $\frac{3+3a^x}{1+a^x} = a^x$ mempunyai penyelesaian ....
A. $x>\log_a 3$
B. $x < -2\log_a 3$
C. $x < \log_a 3$
D. $x>-\log_a 3$
E. $x < \log_a 3$

Pembahasan 1

Kita asumsikan $u=a^x$ , maka ketidaksamaan tersebut bisa kita tuliskan

$3+3u < u(1+u)$

, dengan asumsi bahwa $1+a^x \neq 0$ atau $u\neq-1$ .

$u^2-2u-3 > 0$

Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat tersebut yaitu

$(u-3)(u+1) > 0$

, dan nampaknya solusi yang memenuhi yaitu $u > 3$ atau bisa juga di $u < 3$ .

Tapi karena $0 < a < 1$ , alias $a$ -nya positif, maka $u > 3$ yang tepat. Dengan demikian

$a^x > 3$

$\log a^x > \log 3$

$x\log a > \log 3$

$x > \frac{\log 3}{\log a}$

$x > \log_a 3$

, jawabannya adalah A.

Soal 2

Lingkaran yang berpusat di $(a,b)$ , dengan $a,b>3$ , menyinggung garis $3x+4y=12$ . Jika lingkaran tersebut berjari-jari $12$ , maka $3a+4b=$ ....
A. $24$
B. $36$
C. $48$
D. $60$
E. $72$

Pembahasan 2

Garis singgung suatu lingkaran dengan pusat $(a,b)$ apabila diketahui gradiennya yaitu

$y-b = m(x-a)\pm r\sqrt{1+m^2}$

, pada soal ini gradiennya adalah $m=-\frac{3}{4}$ .

Maka persamaan garisnya yaitu

$y-b = -\frac{3}{4}(x-a)\pm 12\sqrt{1+\left(-\frac{3}{4}\right)^2}$

$y-b = -\frac{3}{4}(x-a)\pm 12\sqrt{\frac{25}{16}}$

$y-b = -\frac{3}{4}(x-a)\pm 15$

$4y-4b = -3x+3a \pm 15$

$3x+4y = 3a + 4b \pm 60$

, kemudian kita cocokan dengan persamaan garis $3x+4y = 12$ .

Satu-satunya cara untuk mencapai tersebut yakni ketika $-60$ , maka $3a+4b = 72$ , sehingga jawabannya E.

Soal 3

Jumlah semua ordinat penyelesaian sistem persamaan $x^2-y^2=2y+8$ dan $x^2+y^2-4x+2y-8=0$ adalah ....
A. $-2$
B. $0$
C. $1$
D. $2$
E. $4$

Pembahasan 3

Kita sebut kedua persamaan secara berturut-turut sebagai persamaan 1 dan persamaan 2, kemudian kita jumlahkan keduanya

$x^2-y^2=2y+8$

$\underline{x^2+y^2-4x+2y-8=0}+$

$2x^2-4x-16=0$

$(x-4)(x+2)=0$

, dan solusi kedua persamaan terjadi ketika $x=4$ dan $x=-2$ .

Kita substitusikan kedua $x$ tersebut ke salah satu persamaan, kali ini saya coba ke persamaan 1. Untuk $x=4$

$4^2-y^2-2y-8=0$

$-y^2-2y+8=0$

$(y+4)(y-2)=0$

Lalu untuk $x=-2$

$(-2)^2-y^2-2y-8=0$

$-y^2-2y-4=0$

, berdasarkan rumus ABC, maka solusinya adalah

$y_{1,2} = -1 \pm \sqrt{-3}$

Maka total ordinatnya yaitu

$4 - 2 - 1 +\sqrt{-3} - 1 - \sqrt{-3}$

$\rightarrow 0$

, jawabannya yang B.

Soal 4

Himpunan penyelesaian dari $\lvert x-1 \rvert < \frac{6}{x}$ adalah interval $(a,b)$ . Nilai $3a+2b$ adalah ....
A. $0$
B. $2$
C. $4$
D. $6$
E. $12$

Pembahasan 4

Karena bentuk $\lvert x-1 \rvert >0$ alias selalu positif, maka satu-satunya cara supaya terpenuhi maka $\frac{6}{x} > 0$ alias harus positif juga, artinya $x>0$ .

Maka solusi ketidaksamaan tersebut

$(x-1) < \frac{6}{x}$

$x^2-x-6 < 0$

$(x-3)(x+2) < 0$

, solusinya yaitu $-2 < x < 3$

Namun karena $x$ harus positif, maka solusinya adalah $0 < x < 3$ , artinya $a = 0$ dan $b = 3$ .

Sehingga nilai $3a+2b$ adalah $6$ , jawabannya D.

Soal 5

Jika $p(x) = ax^3+bx^2+2x-3$ habis dibagi $x^2+1$ , maka nilai $3a-b$ adalah ....
A. $-9$
B. $-3$
C. $3$
D. $9$
E. $12$

Pembahasan 5

Jika $p(x)$ habis dibagi $x^2+1$ , maka sisa pembagiannya bernilai nol

$\begin{array}{r} ax+b \\ x^2+1 )\overline{ax^3+bx^2+2x-3} \\ -\underline{(ax^3+ax)} \\ bx^2+(2-a)x-3 \\ -\underline{(bx^2+b)} \\ (2-a)x-3-b \end{array}$

Artinya $(2-a)x-3-b$ harus bernilai nol. Nah, karena $x$ nilainya bebas, alias bisa berapapun, maka satu-satunya cara untuk menghasilkan nol yaitu $a=2$ dan $b = -3$ .

Sehingga nilai dari $3a-b$ yaitu $9$ , jawabannya D.

Soal 6

Jika diketahui suku barisan aritmetika bersifat $x_{k+2} = x_k + p$ , dengan $p\neq0$ , untuk sebarang bilangan asli positif $k$ , maka $x_3+x_5+x_7+\cdots +x_{2n+1} =$ ....
A. $\frac{pn^2+2nx_2}{2}$
B. $\frac{2pn^2+nx_2}{2}$
C. $\frac{pn^2+nx_2}{2}$
D. $\frac{pn^2+2x_2}{2}$
E. $\frac{pn^2+2pnx_2}{2}$

Pembahasan 6

Jika kita substitusikan aturan aritmetika tersebut, maka deret tersebut menjadi

$x_5 = x_3 + p$

$x_7 = x_5 + p = x_3 + 2p$

$\vdots$

$x_{2n+1} = \cdots = (n-1)p$

Sehingga

$x_3 + x_3 + p + x_3 + 2p +\cdots + x_3 + (n-1)p$

, perhatikan bahwa $x_3$ terdapat sebanyak $n$ , sedangkap jumlahan $p$ bisa kita anggap deret aritmatika dengan suku pertama adalah $p$ dan bedanya juga $p$ dan terdapat $n-1$ angka.

Jumlah $x_3$ yaitu $nx_3$ , sedangkan jumlah $p$ , yaitu

$S_p = \frac{(n-1)}{2} (2p - ((n-1)-1)p)$

$\rightarrow = \frac{(n-1)np}{2}$

, sehingga jumlahnya deret yang awal adalah

$nx_3 + \frac{(n-1)np}{2}$

Karena $x_3 = x_1 + p$

$n(x_1+p) + \frac{(n-1)np}{2}$

, kita susun ulang maka menjadi

$\frac{pn^2+2nx_2}{2}$

, jawabannya A mungkin?

Soal 7

Jika

$\lim\limits_{t\to a} \frac{(\lvert t\rvert-1)^2-(\lvert a\rvert-1)^2}{t^2-a^2} = K$ , maka

$\lim\limits_{t\to a} \frac{(\lvert t\rvert-1)^4-(\lvert a\rvert-1)^4}{t-a} =$ ....

A. $2K(\lvert a\rvert)-1)^2$
B. $K(\lvert a\rvert)-1)^2$
C. $4aK(\lvert a\rvert)-1)^2$
D. $aK(\lvert a\rvert)-1)^2$
E. $K^2(\lvert a+K\rvert)-1)^2$

Pembahasan 7

Caranya benar-benar tricky, supaya bentuk pertama menjadi bentuk yang kedua, kita bisa kalikan kedua ruas persamaan pertama dengan limit berikut

$\lim\limits_{t\to a} [(\lvert t\rvert-1)^2-(\lvert a\rvert-1)^2](t+a)$

, sebut saja $L$ dan hasilnya adalah $4a(\lvert a\rvert -1)^2$

Sehingga

$\lim\limits_{t\to a} \frac{(\lvert t\rvert-1)^2-(\lvert a\rvert-1)^2}{t^2-a^2} \cdot \lim\limits_{t\to a} [(\lvert t\rvert-1)^2-(\lvert a\rvert-1)^2](t+a) = K\cdot \lim\limits_{t\to a} [(\lvert t\rvert-1)^2-(\lvert a\rvert-1)^2](t+a)$

, karena

$\lim\limits_{t\to a} \frac{(\lvert t\rvert-1)^2-(\lvert a\rvert-1)^2}{(t-a)(t+a)} \cdot [(\lvert t\rvert-1)^2-(\lvert a\rvert-1)^2](t+a) = K\cdot 4a(\lvert a\rvert -1)^2$

$\lim\limits_{t\to a} \frac{(\lvert t\rvert-1)^4-(\lvert a\rvert-1)^4}{t-a} = 4aK(\lvert a\rvert -1)^2$

Maka jawabannya C.

Soal 8

Grafik $f'(x)$

Grafik $g'(x)$

Dibuat menggunakan DESMOS.

Diketahui grafik fungsi $f'$ dan $g'$ dengan beberapa nilai fungsi $f$ dan $g$ sebagai berikut.

$x$	$f(x)$	$g(x)$
$1$	$3$	$2$
$2$	$1$	$3$
$3$	$2$	$1$

Jika $h(x) = (f\circ g)(x)$ , maka nilai $h'(2)$ adalah ....
A. $-27$
B. $-9$
C. $0$
D. $3$
E. $9$

Pembahasan 8

Fungsi $h$ merupakan komposisi fungsi $f$ dengan $g$ , artinya turunan fungsi $h$ terhadap $x$ bisa diselesaikan dengan aturan rantai

$h(x) = (f\circ g)(x)$

$h(x) = f(g(x))$ .

Turunannya yaitu

$h'(x) = \frac{df}{dg}\cdot\frac{dg}{dx}$

$h'(x) = f'(g(x))\cdot g'(x)$ .

Jika kita perhatika pada grafik tersebut maka terlihat bahwa

$g'(2) = -3$

, berdasarkan data $g(2) = 3$ , dan kita lihat grafik kembali $f'(3) = -3$ .

Dan hasilnya adalah

$h'(2) = f'(g(2))\cdot g'(2)$

$\rightarrow = f'(3)\cdot 3$

$\rightarrow = -3\cdot 3 = -9$

, jawabannya B.

Soal 9

Diberikan fungsi $f$ dengan sifat $f(x+3) = f(x)$ untuk setiap $x$ . Jika $\int_{-3}^{6}f(x)\,dx=-6$ , maka $\int_{3}^{9}f(x)\,dx=$ ...
A. $-4$
B. $-6$
C. $-8$
D. $-10$
E. $-12$

Pembahasan 9

Ibaratnya seperti fungsi $\sin$ atau $\cos$ yang nilai berulang atau periodis setiap kenaikan $2\pi$ , nah di sini fungsinya berulang kenaikan $3$ . Sekarang coba kita gunakan sifat integral mengenai penambahan interval

$\int_{-3}^{6}f(x)\,dx=-6$

$\int_{0}^{6}f(x)\,dx + \int_{0}^{-3}f(x)\,dx +=-6$

$\int_{3}^{6}f(x)\,dx + \int_{0}^{3}f(x)\,dx + \int_{-3}^{0}f(x)\,dx +=-6$

Karena periodis maka

$\int_{0}^{3}f(x)\,dx + \int_{0}^{3}f(x)\,dx + \int_{0}^{3}f(x)\,dx +=-6$

$3\int_{0}^{3}f(x)\,dx +=-6$

$\int_{0}^{3}f(x)\,dx +=-2$

Dengan sifat periodis tersebut bisa kita tuliskan juga

$\int_{3}^{9}f(x)\,dx =$

$\rightarrow \int_{0}^{6}f(x)\,dx =$

$\rightarrow \int_{3}^{6}f(x)\,dx + \int_{0}^{3}f(x)\,dx$

$\rightarrow \int_{0}^{3}f(x)\,dx + \int_{0}^{3}f(x)\,dx$

$\rightarrow 2\int_{0}^{3}f(x)\,dx = -4$

, sehingga jawabannya A.

Soal 10

Misalkan $l_1$ menyatakan garis singgung kurva $y=x^2+1$ di titik $(2,5)$ dan $l_2$ menyatakan garis singgung kurva $y=1-x^2$ yang sejajar dengan garis $l_1$ . Jarak $l_1$ dan $l_2$ adalah ....
A. $\frac{2}{17}$
B. $\frac{4}{17}$
C. $\frac{6}{17}$
D. $\frac{8}{17}$
E. $\frac{10}{17}$

Pembahasan 10

Karena garis $l_1$ dan $l_2$ saling sejajar, maka untuk mencari jaraknya idenya yaitu, kita cari suatu garis yang saling tegak lurus terhadap kedua garis tersebut. Kemudian cari jarak titik potong dengan kedua garis itu.

Kita cari dulu gradien $l_1$ dan $l_2$

$y' = 2x$

$\rightarrow m_{1} = m_{2} = 2(2) = 4$ .

Garis yang memotong secara tegak lurus tersebut mempunyai gradien, $m_a = -\frac{1}{4}$ . Biar gampang kita anggap garis tersebut melalui $(2,4)$ , dan persamaan garisnya adalah

$y - 5 = -\frac{1}{4}(x-2)$

$y= -\frac{1}{4}x+\frac{11}{2}$

Kemudian kita cari persamaan garis $l_2$ . Karena kita udah tahu gradiennya maka

$y' = -2x$

$m_2 = -2x = 4$

$\rightarrow x = -2$ .

, artinya $y$ -nya adalah $y = 1 - (-2)^2 = -3$

Persamaan garisnya adalah

$y- (-3) = 4(x-(-2))$

$y = 4x+5$

Titik potong garis $y = 4x+5$ dengan $y= -\frac{1}{4}x+\frac{11}{2}$ yakni berada di $(\frac{2}{17}, \frac{93}{17})$ , sehingga jaraknya terhadap $(2,5)$ adalah

$\sqrt{\left(2 - \frac{2}{17}\right)^2 + \left(5 - \frac{93}{17}\right)^2}$

$\sqrt{\left(\frac{32}{17}\right)^2 + \left(-\frac{8}{17}\right)^2}$

$\sqrt{\left(\frac{2^5}{17}\right)^2 + \left(\frac{2^3}{17}\right)^2}$

$\sqrt{\left(\frac{2^{10}+2^6}{17^2}\right)}$

$\sqrt{\left(\frac{2^6\cdot 17}{17^2}\right)} = \frac{8}{\sqrt{17}}$

, sehingga jawabannya D.

Soal 11

Jika garis $y=mx+4$ tidak memotong elips $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{8} = 1$ , maka nilai $m$ adalah ....
A. $-\frac{1}{2} < m < \frac{1}{2}$
B. $-\frac{1}{\sqrt{2}} < m < \frac{1}{\sqrt{2}}$
C. $-1 < m < 1$
D. $-\sqrt{2} < m < \sqrt{2}$
E. $-2 < m < 2$

Pembahasan 11

Sederhana aja logikanya, jika ada suatu titik di garis tersebut, maka jika kita substitusikan ke persamaan elips tersebut, maka nilainya akan selalu lebih besar dari $1$ , sebut saja titik tersebut $x, mx+4$ . Maka

$\frac{x^2}{4} + \frac{(mx+4)^2}{8} > 1$

$2x^2 + m^2x^2 + 8mx + 16 > 8$

$(m^2+2)x^2 + 8mx + 8 > 0$

Bentuk tersebut tak lain mengartikan bahwa, persamaan kuadrat di atas selalu positif atau definit positif, di mana syaratnya adalah diskriminannya negatif, $D < 0$ .

Diskriminannya yaitu

$b^2 - 4ac < 0$

$(8m)^2 - 4(m^2+2)8 < 0$

$32m^2 - 64 < 0$

$m^2 - 2 < 0$

$(m-\sqrt{2})(m+\sqrt{2}) < 0$

, sehingga solusinya adalah $-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ , jawabannya D.

Soal 12

Diketahui $B = \left[\begin{matrix}2&&0\\0&&1\end{matrix}\right]$ dan $B+C= \left[\begin{matrix}2&&1\\-3&&1\end{matrix}\right]$ . Jika $A$ adalah matriks berukuran $2\times2$ sehingga $AB+AC = \left[\begin{matrix}4&&2\\-3&&1\end{matrix}\right]$ , maka determinan dari $AB$ adalah ....
A. $4$
B. $2$
C. $1$
D. $-1$
E. $-2$

Pembahasan 12

Pertama kita cari dulu $\det B$ dan $\det B+C$ , yaitu

$\det B = ad -bc = 2\cdot1 - 0=2$

$\det (B+C) = 2\cdot1 - 1\cdot(-3)=5$ .

Kemudian dengan sifat determinan, maka $\det A$

$\det (AB+AC) = 4\cdot1 - 2\cdot(-3)=10$

$\det A\cdot\det (B+C) =10$

$\det A =2$ .

Sehingga $\det AB$ adalah

$\det AB = \det A\cdot \det B = 2\cdot2=4$

, jawabannya A.

Soal 13

Sebuah kotak berisi $10$ bola berwarna merah dan berwarna biru. Diambil $2$ bola sekaligus secara acak. Jika peluang terambil sedikitnya $1$ bola berwarna merah adalah $\frac{1}{5}$ , maka banyaknya bola berwarna biru adalah ....
A. $1$
B. $3$
C. $5$
D. $7$
E. $9$

Pembahasan 13

Hanya ada dua kemungkinan untuk terambilnya minimal satu bola merah, yaitu ketika keduanya merah, atau ketika salah satunnya biru. Misal banyak bola warna merah adalah $m$ , banyak kombinasi dari kondisi ini yaitu

$n(M) = C_{2}^m + C_1^m \cdot C_1^{10-m}$

$\rightarrow = \frac{m!}{2!(m-2)!} + \frac{m!}{1!(m-1)!} \cdot \frac{(10-m)!}{1!((10-m)-1)!}$

$\rightarrow = \frac{m(m-1)}{2} + m \cdot (10-m)$

$\rightarrow = \frac{m(m-1)}{2} + m \cdot (10-m) = \frac{19m-m^2}{2}$ .

Banyak kombinasi memilih dua bola dari sepuluh bola yang ada sama seperti

$C_2^10 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = 45$ .

Maka dari itu dengan menyocokkan peluang kejadiannya kita dapat

$p(M) = \frac{1}{5}$

$\rightarrow \frac{\frac{19m-m^2}{2}}{45} = \frac{1}{5}$

$\rightarrow 19m-m^2 = 18$

$\rightarrow m^2 - 19m + 18 = 0$

Solusi persamaan kuadrat tersebut yaitu

$(x-1)(x-18)= 0$

, solusi yang mungkin yaitu ketika $x=1$ , yang artinya banya bola birunya adalah $10-m=10-1=9$ , jawabannya E.

Soal 14

Diberikan $7$ data, setelah diurutkan, sebagai berikut: $a, a+1, a+1, 7, b, b, 9$ . Jika rata-rata data tersebut $7$ dan simpangan rata-ratanya $\frac{8}{7}$ , maka $a+b =$ ....
A. $12$
B. $13$
C. $14$
D. $15$
E. $16$

Pembahasan 14

Kita gunakan dua informasi rata-rata terlebih dahulu, untuk mengetahui hubungan $a$ dengan $b$

$\overline{x} = \frac{a+(a+1)+(a+1)+7+b+b+9}{7} = 7$

$\rightarrow 3a+2b = 30$ .

Lalu kita gunakan informasi simpangan rata-ratanya, nah tapi sebelum lanjut, coba perhatika lagi. Datanya sudah diurut, artinya jika rata-ratanya $7$ dan $a$ beserta $a+1$ disebelah kiri, maka $\lvert a+1\rvert \leq 7$ .

Artinya simpangan rata-ratanya bisa kita tulis

$S_{r} = \frac{\lvert 7- a\rvert +\lvert 7-(a+1) \rvert + \lvert 7-(a+1) \rvert + \lvert 7-7 \rvert + \lvert 7-b \rvert + \lvert 7-b \rvert + \lvert 7-9 \rvert}{7} = \frac{8}{7}$

$\rightarrow \frac{7- a+ 7-(a+1) + 7-(a+1) + 7-7 + b-7+ b-7 + 9-7}{7} = \frac{8}{7}$

$\rightarrow -3a + 2b = -6$

Kita gunakan metode eleminasi, maka akan didapat bahwa $a=6$ dan $b= 6$ , sehingga $a+b = 12$ . Jawabannya A.

Soal 15

Jika diketahui $x=\sin \alpha + \sin \beta$ dan $y = \cos \alpha - \cos \beta$ , maka nilai terbesar $x^2 + y^2$ tercapai saat ....
A. $\alpha = -\beta + 45^{\circ}$
B. $\alpha = -\beta + 60^{\circ}$
C. $\alpha = -\beta + 90^{\circ}$
D. $\alpha = -\beta + 120^{\circ}$
E. $\alpha = -\beta + 180^{\circ}$

Pembahasan 15

Kita coba cari dulu bentuk $x^2+y^2$ nya

$x^2+y^2 = (\sin \alpha + \sin \beta)^2 + (\cos \alpha - \cos \beta)^2$

$\rightarrow = (\sin \alpha + \sin \beta)^2 + (\cos \alpha - \cos \beta)^2$

$\rightarrow = (\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + 2\sin \alpha \sin \beta) + (\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta - 2\cos \alpha \cos \beta)$

$\rightarrow = 1 + 1 + 2\sin \alpha \sin \beta - 2\cos \alpha \cos \beta$

$x^2+y^2 = 2 - 2 \cos (\alpha+\beta)$

, tentu dengan tercapai bentuk seperti itu maka supaya nilainya besar kita ingin nilai dari $\cos (\alpha+\beta)$ adalah $-1$ , supaya nilainya $4$ .

Dan hal tersebut dicapai ketika $\alpha=\beta+180^{\circ}$ , sehingga jawabannya E.

Soal 16

Joni menabung di Bank Central yang menggunakan sistem bunga majemuk dengan saldo awal $A$ . Dalam waktu $3$ tahun, saldo joni di tabungan menjadi $B$ . Citra menabung di bank yang sama dengan saldo awal $X$ . Jika dalam waktu $6$ tahun, saldo Citra $A$ lebih banyak daripada saldo milik Joni, maka $X=$ ....
A. $\frac{A^2}{B}+A$
B. $\frac{A^2}{B^2}+A$
C. $\frac{A^3}{B}+A$
D. $\frac{A^3}{B^3}+A$
E. $\frac{A^3}{B^2}+A$

Pembahasan 16

Pada bunga majemuk artinya pertambahan yang dirasakan nasabah akan berbeda tiap tahunnya, dan dimodelkan seperti berikut $N_n = N_0(1+b)^n$ . Untuk $3$ tahun pertama Joni, misal bunganya $b$ artinya

$B=A(1+b)^3$

Citra menabung setelah Joni $3$ tahun menabung, kemudian enam tahun kemudian saldonya, $S_C$ lebih besar sebanyak $A$ dari Joni, $S_J$ , artinya

$S_C = X(1+b)^6 = S_J + A$

$\rightarrow X(1+b)^6 = A(1+b)^6 + A$

$\rightarrow (1+b)^6(X-A) = A$

Sehingga

$(1+b)^6 = \frac{A}{X-A}$

$(1+b)^3 = \sqrt{\frac{A}{X-A}}$

Balik lagi ke tabungan $3$ tahun pertama Joni, maka

$B = A\sqrt{\frac{A}{X-A}}$

$\rightarrow B^2 = A^2\frac{A}{X-A}$

$\rightarrow X = \frac{A^3}{B^2} + A$

, sehingga jawabannya E.

Soal 17

Jika garis $y=ax+b$ digeser ke bawah sejauh $6$ satuan kemudian diputar, dengan pusat titik $O(0,0)$ , searah jarum jam sebesar $90^{\circ}$ sehingga menghasilkan bayangan garis $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ , maka nilai $\frac{b}{a^2}$ adalah ....
A. $1$
B. $2$
C. $3$
D. $4$
E. $6$

Pembahasan 17

Kita cari dahulu garis setelah ditranslasi sejauh $6$ satuan ke bawah, yaitu

$y=ax+b\xrightarrow{T(0,-6)}y = ax+b - 6$

Kemudian dirotasi sejauh $90^{\circ}$ searah jarum jam atau $-90^{\circ}$ , artinya $x' = y$ dan $y' = -x$

$y' = ax'+b - 6\xrightarrow{\left[O,-90^{\circ}\right]} -x=ay+b-6$

$\rightarrow -x=ay+b-6$

$\rightarrow y = -\frac{1}{a}y + 6 - b$

Supaya sama dengan $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ , maka $b = 6$ dan $-\sqrt{3}$ , dengan demikian

$\frac{b}{a^2} = \frac{6}{3} = 2$

, jawabannya B.

Soal 18

Diketahui segitiga $ABC$ siku-siku di $C$ . Titik $D$ berada pada sisi $AB$ sehingga $AD = 2BD$ . Jika $AC=a$ dan $BC = b$ , maka luas segitiga $CDD'$ adalah ....
A. $\frac{1}{24}ab$
D. $\frac{1}{18}ab$
C. $\frac{1}{12}ab$
D. $\frac{1}{9}ab$
E. $\frac{1}{6}ab$

Pembahasan 18

Pertama kita cari dahulu panjang $AB$ dengan teorema Pythagoras, yakni

$AB = \sqrt{{AC}^2+{BC}^2}=\sqrt{a^2+b^2}$

, dengan informasi yang ada $AD=2BD$

$AB = AD + BD$

$\rightarrow \sqrt{a^2+b^2} = 2BD + BD$

$\rightarrow BD = \frac{1}{3}\sqrt{a^2+b^2}$ .

Kemudian dengan konsep kesebangunan kita dapat $BD'$

$BD' = \frac{BD}{AD}BC$

$\rightarrow = \frac{1}{3}b$ .

Lalu kita cari $DD'$

$DD' = \sqrt{{BD}^2 - {BD'}^2}=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{9} - \frac{b^2}{9}}$

$\rightarrow = \sqrt{\frac{a^2}{9}} = \frac{a}{3}$ .

Untuk panjang $CD'$ sendiri adalah

$CD' = BC - BD' = b - \frac{1}{3}b = \frac{2}{3}b$

, sehingga luas $CDD'$ adalah

$L_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} DD'\cdot DC'$

$\rightarrow \frac{1}{2}\frac{a}{3}\frac{2b}{3}=\frac{1}{9}ab$ .

, jawabannya D.

Soal 19

Misalkan balok $ABCD.EFGH$ dengan $AB = 2\,\text{cm}$ , $BC =1\,\text{cm}$ , dan $AE = 1\,\text{cm}$ . Jika $P$ adalah titik tengah $AB$ dan $\theta$ adalah $\angle EPG$ , maka $\cos \theta$ adalah ....
A. $0$
B. $\frac{1}{\sqrt{6}}$
C. $\frac{2}{\sqrt{6}}$
D. $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}$
E. $1$