Gerak Parabola - Titik Puncak dan Jarak Terjauh

Analisis gerak parabola akibat gravitasi
Trajektori yang menyerupai parabola merupakan pengaruh percepatan gravitasi.

Benda yang dilempar ke atas dari arah manapun pasti ujung-ujungnya jatuh ke bawah.

Hal yang bertanggung jawab atas jatuhnya benda itu ada kaitannya dengan gerak parabola yang akan dipelajari sekarang.

Daftar Isi

Gerak Parabola

Pada dasarnya, pada pembahasan kali ini masih sama seperti pembahasan mengenai gerak lurus, yakni sama-sama membicarakan tentang gerak suatu objek.

Yang membedakkan adalah bagaimana bentuk trajektori bendanya. Di sini trajektorinya akan menyerupai sebuah parabola.

Gerak parabola karena pengaruh gravitasi

Pengaruh Percepatan Gravitasi

Bagaimana trajektori tersebut terbentuk? Untuk mengetahui kenapa trajektorinya begitu, sebelumnya kalian harus tahu dulu bahwa gerak ini perlu diekspresikan dalam dua dimensi (sumbu x dan y).

Ada yang tau kenapa harus ada dua komponen? Oke, jadi mengapa seperti itu karena ada perpindahan pada dua arah yang berbeda (vertikal dan horisontal).

Terdapat dua faktor yang menyebabkan terbentuknya trajektori menyerupai parabola, antara lain:

  • Faktor yang pertama yaitu karena adanya pengaruh percepatan gravitasi g.
  • Kedua akibat sudut kemiringan ketika objek dilontarkan.

Percepatan gravitasi memberikan perlambatan pada komponen y. Sedangkan sudut kemiringan memberikan adanya kecepatan awal pada masing-masing komponen.

Karena kecepatan pada komponen y terus menerus mengalami perlambatan, benda akan mengalami perubahan arah. Yaitu saat besar kecepatan pada komponen tersebut adalah nol.

Dari situlah mengapa gerak ini berbentuk seperti parabola.

Untuk menganalisis gerakkan ini, akan lebih mudah ketika kita amati pada masing-masing sumbu.

Komponen kecepatan gerak parabola

Analisis Sumbu x

Apabila kita amati gerakkan pada sumbu x, gerakkan objek cukup sederhana. Karena pada pembahasan kali ini dibatasi sehingga gerakkan pada sumbu x hanyalah berupa gerak lurus beraturan.

Tidak ada melibatkan percepatan di sini (kecuali ingin menambahkan seperti gaya gesek udara atau hal lainnya).

Kecepatan Pada Sumbu x

Pertama, kita perlu mengetahui kecepatan pada komponen tersebut. Bila kita amati lebih rinci pada gambar di bawah ini, dapat diketahui bahwa kecepatan pada sumbu x merupakan:

v_x = v\,\cos\,\theta
Rincian komponen kecepatan gerak parabola

Apabila diketahui kecepatan awalnya adalah v0 maka persamaan yang mewakili gerakkan objek pada sumbu x ialah:

x(t) = x_0 + v_{x}t = x_0 + v\,\cos\,\theta\,t

Di mana x0 merupakan titik asal atau origin, yang merupakan lokasi awal (arah horisontal) benda sebelum bergerak. Atau, jika dianggap x0 = 0 rumusnya menjadi:

x(t) = + v\,\cos\,\theta\,t

Analisis Sumbu y

Jika diperhatikan gerakkan pada sumbu y, objek mengalami perubahan arah gerakkan, yang awalnya bergerak ke atas kemudian ke bawah.

Tentu ada hal yang mempengaruhinya, dan dalam hal ini penyebabnya yaitu percepatan. Lebih spesifik lagi adalah percepatan gravitasi.

Dengan adanya kecepatan di awal, maka objek bergerak ke atas terlebih dahulu.

Namun karena gerakkannya berlawanan dengan arah percepatan gravitasi, objek melambat. Lama-kelamaan mengganti arah menjadi ke bawah hingga sampai ke ketinggian semula lagi.

Oleh karena itu, analisis gerakan pada sumbu y diperlukan analisis dengan gerak lurus berubah beraturan (karena ada percepatan).

Karena arah percepatan gravitasinya (ke bawah) berlawanan dengan arah komponen kecepatan pada sumbu y (ke atas), di sini akan diasumsikan percepatannya bernilai negatif.

Kecepatan Pada Sumbu y

Dengan melihat lagi ilustrasi di bawah, tentu komponen pada sumbu y merupakan:

v_y = v\,\sin\,\theta
Rincian komponen kecepatan gerak parabola

Berdasarkan ide sebelumnya, tentu persamaan geraknya dapat dituliskan secara matematis sebagai berikut:

y\left(t\right) = y_0 + v_{y}t - \frac{gt^2}{2} = v\,\sin\,\theta\,t - \frac{gt^2}{2}

Apabila titik bergeraknya benda berawal di tanah, maka diasumsikan y0 = 0.

Titik Puncak

Ada hal yang menarik untuk diketahui pada gerak ini, kapan dan di mana objek mencapai puncak?

Titik puncak gerak parabola

Mengapa Di Titik Puncak Objek Diam?

Pertama-tama, perlu diketahui terlebih dahulu bahwa, pada saat mencapai puncak maka komponen kecepatan pada sumbu y dari objek akan bernilai nol. Ada yang tau kenapa ini terjadi?

Jadi gini, karena sebelum berbalik arah, objek yang mulanya bergerak dengan kecepatan tertentu akan terdiam terlebih dahulu, barulah berbalik arah.

Kalau di antara kalian masih ada yang bertanya-tanya, kenapa sih objeknya mesti terdiam dulu? Kondisi ini berhubungan dengan energi yang sifatnya konservatif.

Benda yang semula bergerak mempunyai energi kinetik, lalu pada ketinggian tertentu, energi tersebut berubah secara keseluruhan menjadi energi potensial.

Karena energi kinetiknya berubah total, dari situlah mengapa kelajuan pada arah vertikalnya nol.

Rumus Titik Tertinggi

Oke kita lanjut lagi, mengingat kecepatan adalah turunan dari persamaan posisi, maka didapat:

v_y\left(t\right) = \frac{dy\left(t\right)}{dt} = v\,\sin\,\theta - gt

Lalu gunakan ide bahwa kelajuannya nol.

v\,\sin\,\theta - gt = 0

Sehingga ketinggian maksimum dicapai ketika waktunya adalah:

t_{y\,max} = \frac{v\,\sin\,\theta}{g}

Oleh karena itu, untuk mengetahui ketinggian maksimumnya kita dapat dengan mudah dengan mencari posisi pada waktu tmax tersebut, yaitu:

y\left(t_{y\,max}\right) = v\,\sin\,\theta\,\frac{v\,\sin\,\theta}{g} - \frac{g\left(\frac{v\,\sin\,\theta}{g}\right)^2}{2}

Dengan sedikit usaha menyederhanakannya, maka rumus titik tertingginya adalah:

y_{max} = \frac{v^2\,sin^2\theta}{g} - \frac{v^2\,\sin^2\theta}{2g} = \frac{v^2\,\sin^2\theta}{2g}

Jarak Terjauh

Dalam kondisi ideal trajektori parabola ini dianggap simetris terhadap lokasi titik puncaknya.

Maka untuk mencapai jarak tejauh, diperlukan dua kali waktu yang perlu ditempuh untuk mencapai puncak.

Jarak terjauh gerak parabola

Rumus Jarak Terjauh

Sehingga waktu yang dibutuhkan untuk mencapai titik terjauhnya yaitu:

t_{x\,max} = 2t_{y\,max} = \frac{2v\,\sin\,\theta}{g}

Pada waktu tersebut jaraknya adalah:

 x\left(t_{x\,max}\right) = \frac{v^2\,\sin\,2\theta\,}{g}

Sudut Untuk Jarak Terjauh

Untuk mendapatkan jarak horisontal paling jauh, kita mesti menentukan sudut kemiringan yang tepat.

Jarak yang jauh bukan berarti sudutnya besar terhadap tanah, supaya makin lama di udara.

Begitu juga sebaliknya, bukan berarti sudut yang kecil akan memberikan jarak terjauh karena porsi kecepatan pada sumbu x menjadi lebih besar.

Lantas, bagaimana caranya untuk mencapai jarak yang paling optimal?

Oke, sekarang perhatikan kembali rumus sebelumnya untuk jarak terjauh.

 x\left(t_{x\,max}\right) = \frac{v^2\,\sin\,2\theta\,}{g}

Karena besar kecepatan v sengaja dibebaskan nilanya, dan nilai percepatan gravitasi g juga sudah ditentukan, maka satu-satunya yang bisa kita atur adalah sudutnya.

Perhatikan bahwa fungsi sinus merupakan fungsi periodis, yang nilainya berada di antara -1 dan 1. Di mana 1 adalah nilai terbesarnya.

Artinya, supaya menghasilkan nilai terbesar, fungsi sinus pada rumus sebelumnya haruslah bernilai 1.

\sin2\alpha = 1
\sin2\alpha = \sin90^{\circ}
2\alpha = 90^{\circ}
\alpha = 45^{\circ}

Maka dari itu, untuk menghasilan jarak yang optimal, sudut kemiringannya perlu di atur pada 45° atau π/4.

Sebagai bonus, bagaimana jika situasinya dibalik, kita ingin mencari tahu titik tertinggi yang bisa dicapai?

Nah, kalau masalahnya ini, dengan menggunakan cara yang sama persis seperti yang barusan.

Gunakan rumus untuk titik tertinggi, dan cari kapan besar fungsi sinusnya menghasilkan nilai paling besar.

Kalau gak mau ribet, alias gak mau pake perhitungan, bisa juga menggunakan ide bahwa, tidak boleh ada kecepatan pada komponen horisontal.

Besar sudut yang dimaksud yaitu:

\alpha = 90^{\circ}

Amati bahwa pada sudut tersebut, maka gerakkan akan menjadi murni vertikal, tidak ada komponen x-nya.

Secara ideal, gerakkan ini sudah cukup untuk direpresentasikan oleh persamaan-persamaan sebelumnya.

Dan pembahasan mengenai gerak parabola akan semakin "seru" ketika kita melibatkan faktor-faktor lainnya.

Sesuai yang telah disebutkan di awal, seperti gesekkan akibat udara, dan tentunya dengan analisis yang berbeda.

Label

Komentar

Search icon