Kaidah Pencacahan - Faktorial, Kombinasi, Permutasi

Saat menemui masalah berupa menentukan peluang suatu kejadian, biasanya kita menuliskan seluruh kemungkinan kejadian yang mungkin akan muncul.

Misal pada dua buah dadu, kita pengen tahu seberapa banyak kemungkinan bahwa dua dadu tersebut menampilkan angka genap.

Mungkin karena seluruh kejadian yang mungkin muncul pada dadu sedikit, kita bisa menuliskannya satu per satu.

Namun seiring berkembangnya masalah, seperti misal, ingin diketahui berapa banyak bilangan di antara 7000 dan 9000 di mana bilangan tersebut angka ratusan dan puluhannya ganjil.

Kalau niat bisa saja sebenarnya menuliskannya satu per satu, namun resikonya suka ada yang terlewat, dan cara seperti itu dirasa kurang elegan.

Lantas adakah cara yang lebih cocok untuk digunakan dalam penyelesaian masalah tersebut?

Kita mulai dari permasalahan yang sederhana dulu, misal pada pelemparan dua koin.

Seluruh kemungkinan kejadian yang muncul pada kasus tersebut idenya yaitu masing-masing koin mempunyai serta menyumbang satu dari dua kejadian, gambar atau angka.

Apapun kejadian yang muncul pada koin pertama, akan ada dua kemungkinan kejadian lainnya untuk koin kedua, muncul angka atau gambar.

Mengingat koin pertama juga punya dua kemungkinan, artinya masing-masing menyumbang dua kejadian, maka seluruh kemungkinannya yaitu:

Biar lebih jelas maksud kalimat di atas, coba perhatikan gambar di bawah.

Coba kita ganti permasalahan, misal sebuah koin dengan sebuah dadu.

Mengingat sebuah dadu mempunyai total kemungkinan kejadiannya adalah 6, maka setiap kejadian yang muncul pada koin akan mempunyai 6 kemungkinan.

Atau kalimatnya boleh juga dibalik. Karena koin sendiri terdapat dua kejadian, maka masing-masing kejadian koin terdapat enam kemungkinan untuk berpasangan dengan dadu.

Dengan demikian keseleruhan kejadiannya:

Kira-kira udah dapat belum idenya? Oke, kita nyatakan langsung aja secara eksplisit.

Ketika dua kejadian, sebut saja A dan B, terus keduanya masing-masing mempunyai banyak kemungkinan kejadian yang muncul sebanyak n_A dan n_B.

Keseluruhan kemungkinan ketika keduanya terjadi bersamaan yaitu:

Bagaimana jika ada kejadian yang lain, sebut saja C kemudian secara bersamaan diasumsikan terjadi?

Apabila banyak kemungkinan kejadian pada C adalah n_C, seluruh kemungkinannya menjadi:

Terus, gimana jika ada kejadian lain, dan seterusnya? Jika kalian nangkap idenya, kalian tentu tahu jawabannya.

Yakni, kita hanya perlu mengalikan jumlah semua kemungkinan dari kejadian lainnya.

Coba kita terapkan pada permasalahan bilangan yang awal-awal (bilangan antara 7000 hingga 9000 di mana puluhan dan ratusannya ganjil).

Kali ini permasalahan bisa kita bagi menjadi empat bagian. Yaitu seluruh kejadian angka pada ribuan, ratusan, puluhan, dan satuan.

Angka pada satuan, seluruh kejadian yang mungkin sebanyak 10, karena tidak ada batasan di sini, angkanya mulai dari 0 sampai 9.

Untuk ribuan, akan hanya ada dua kemungkinan, yaitu 7 dan 8, ada yang tau?

Alasannya karena, jika 9 dilibatkan maka akan ada kemungkinan angkanya lebih dari 9. Misal saja ketika angka satuannya yang paling terkecil yaitu 1.

Kemudian, untuk ratusan dan puluhan, maka jumlah kejadian yang mungkin yakni sebanyak angka ganjil dari 0 sampai 9 yakni terdapat 5 (1,3,5,7,9).

Dengan demikian, seluruh kemungkinan ratusan dan puluhannya merupakan bilangan ganjil yaitu:

Ketika suatu kejadian yang terjadi tidak bisa terjadi dua kali pada waktu yang bersamaan, secara tidak langsung seluruh kemungkinan yang terjadi menjadi berkurang.

Seperti contoh, anggap aja lagi menyusun barisan dari 5 orang teman kita. Sebut saja mereka adalah A, B, C, D, dan E.

Perhatikan bahwa, jika salah satu murid berada di baris pertama, misal C, maka tidak mungkin secara bersamaan dia (C) berada di baris yang kedua dan baris lainnya.

Artinya, pada baris pertama semua pilih masih tersedua, kita mempunyai kemungkinan sebanyak 5.

Namun pada baris yang kedua, karena salah satu orang sudah terpilih, kita cuman punya empat kemungkinan.

Lalu untuk baris yang ketiga, semakin dikit lagi, karena dua orang sudah terpilih, kita cuman punya tiga kemungkinan.

Dan seterusnya sehingga hanya tersedia satu pilihan saja.

Prinsipnya mirip dengan aturan perkalian sebelumnya, hanya saja kali ini banyak kejadiannya berkurang setiap kali suatu kejadian terjadi.

Permasalahan tersebut bisa kita tuliskan sebagai:

Artinya terdapat 120 cara untuk kita menyusun teman-teman kita.

Bentuk perkalian tersebut disebut sebagai faktorial dan dinotasikan sebagai berikut:

Untuk permasalahan sebelumnya, bisa kita tuliskan menjadi 5!

Berapa nilai dari nol faktorial? Nilai dari 0! adalah satu. Kenapa bisa begitu?

Sebelumnya, harus sepakat dulu kalau 1! (satu faktorial) nilainya adalah 1. Karena ibaratnya mencari 1 susunan dari satu pilihan yang ada.

Kalau begitu, maka dengan rumus sebelumnya bisa kita tuliskan sebagai:

Nah, terus bisakah faktorial memuat angka negatif? Tidak bisa. Oleh karena itu perlu ditegaskan kalau rumus sebelumnya hanya berlaku untuk n ≥ 0.

Permasalahan sebelumnya kemudian kita kembangkan lagi. Selain tidak bisa memilih kejadian yang sama, kali ini kita mempunyai batasan dalam pemilihan kejadiannya.

Misal kita punya 5 angka berupa 1, 2, 3, 4, dan 5. Terus akan disusun menjadi satu angka saja dari seluruh opsi yang ada.

Tentu totalnya hanya terdapat 5 kemungkinan. Bagaimana kalau kita ingin menyusun dua angka saja yang berbeda (seperti 12) dari opsi-opsi tersebut?

Pastinya angka pertama terdapat 5 pilihan, sedangkan angka kedua terdapat 4 pilihan.

Berarti secara keseluruhan ada 5×4=20 kemungkinan.

Bagaimana untuk tiga angka (seperti 312)? Pastinya kalian akan paham bahwa seluruh kemungkinannya terdapat 5×4×3 = 60. Begitu seterunsya, untuk empat dan lima angka.

Nah permasalahan seperti ini disebut sebagai permutasi, secara matematis dituliskan sebagai berikut:

Kalau diartikan rumus sebelumnya, maksudnya adalah memilih pasangan sebanyak k dari n buah opsi yang tersedia.

Bedanya dengan faktorial sebelumnya yaitu, kalau dengan permutasi bisa dipilih beberapa pasangan saja.

Sekarang permasalahannya akan ditambah lagi batasannya. Sehingga, apabila terdapat susunan dengan opsi-opsi yang sama, maka susunan tersebut dianggap sama.

Misalnya, kita mempunyai angka dari 0 sampai 9. Kemudian kita ingin menyusun satu angka dari seluruh opsi yang ada, dan tidak boleh mengandung angka yang sama.

Tentu jika kita tertarik pada susunan satu angka saja, tidak mungkin ada yang bisa sama, dan banyak kemungkinannya yaitu 9 cara.

Bagaimana untuk dua angka, yang mana tidak boleh ada opsi sama, seperti 21 dan 12 (maksudnya disusun oleh dua angka yang sama)?

Artinya, jika kita telah memilih satu angka dari sembilan opsi yang ada, kita akan kehilangan satu opsi angka lainnya.

Demikian kondisinya mirip dengan permutasi. Namun perlu diketahui lagi, misal dua angka tersebut yaitu a dan b, berapa banyak cara untuk menyusun dua angka tersebut?

Tentu jawabannya sebanyak 2!, sehingga banyak susunan dua angka dengan tidak ada susunan dengan elemen yang sama yaitu:

Kemudian bagaimana dengan susunan tiga angka? Dengan ide seperti sebelumnya, maka kita cari dahulu banyak kemungkinan susunannya, yaitu .

Nah misal susunan angkanya adalah abc, banyak susunan ketiga angka tersebut adalah 3!. Sehingga untuk tiga angka sebanyak:

Konsep ini dinamakan sebagai kombinasi, dan secara matematis dapat ditulis sebagai berikut:

Jika diartikan kurang lebih maksudnya seperti ini, kita cari dahulu semua kemungkinan pasangan sebanyak k dari n opsi yang ada.

Lalu dari susunan k opsi tersebut, kita cari berapa banyak cara untuk menyusunnya.