Kaidah Pencacahan

Published: February 21st, 2021

Kaidah Pencacahan

Ketika kita menemui masalah berupa menentukan peluang suatu kejadian, biasanya kita menuliskan seluruh kemungkinan kejadian yang mungkin akan muncul. Misal pada dua buah dadu, kita pengen tahu seberapa banyak kemungkinan bahwa dua dadu tersebut menampilkan angka genap.

Mungkin karena seluruh kejadian yang mungkin muncul pada dadu sedikit, kita bisa menuliskannya satu per satu. Namun seiring berkembangnya masalah, seperti misal, kita ingin mengetahui berapa banyak bilangan diantara $7000$ dan $9000$ di mana bilangan tersebut angka ratusan dan puluhannya ganjil.

Kalau niat bisa saja sebenarnya, menuliskannya satu per satu, namun resikonya suka ada yang terlewat, dan cara seperti itu dirasa kurang elegan. Lantas adakah cara yang lebih cocok digunakan dalam penyelesaian masalah tersebut?

Aturan Perkalian

Kita mulai dari permasalahan yang sederhana dulu, misal pada pelemparan dua koin. Seluruh kemungkinan kejadian yang muncul pada kasus tersebut idenya seperti ini, masing-masing koin mempunyai dua kejadian, gambar dan angka.

Setiap kejadian yang muncul misal pada koin yang pertama, maka akan ada dua kejadian yaitu ketika koin kedua muncul angka atau gambar. Mengingat koin pertama juga punya dua kemungkinan, dan masing-masing mempunyai dua kejadian, maka seluruh kemungkinannya yaitu

$2\times2 = 4$ .

Seluruh kemungkinan kejadian pada dua buah koin

Coba kita ganti permasalahan, misal sebuah koin dengan sebuah dadu. Mengingat sebuah dadu mempunyai total kemungkinan kejadiannya adalah $6$ , maka setiap kejadian yang muncul pada koin akan mempunyai $6$ kemungkinan. Mengingat koin mempunyai dua kejadian, dan masing-masingnya mempunyai enam kemungkinan, maka keseleruhannya

$2\times6=12$

Kira-kira udah dapat belum idenya? Oke, kita nyatakan langsung aja secara eksplisit, ketika dua kejadian, sebut saja $A$ dan $B$ , ketika keduanya masing-masing mempunyai banyak kemungkinan kejadian yang muncul sebanyak $n_A$ dan $n_B$ , keseluruhan kemungkinan ketika keduanya terjadi bersamaan yaitu

$n_A\times n_B$

Bagaiaman jika ada kejadian yang lain, sebut saja $C$ kemudian secara bersamaan diasumsikan terjadi? Jika banyak kemungkinan kejadian pada $C$ adalah $n_C$ , seluruh kemungkinannya menjadi

$n_A\times n_B\times n_C$

, bagaimana jika ada kejadian lain, dan seterusnya? Jika kalian nangkap idenya, kalian tentu tahu jawabannya.

Coba kita terapkan pada permasalahan bilangan sebelumnya, kali ini permasalahan bisa kita bagi menjadi empat bagian, yaitu seluruh kejadian angka pada ribuan, ratusan, puluhan, dan satuan. Angka pada satuan, seluruh kejadian yang mungkin sebanyak $10$ , karena tidak ada batasan di sini, bisa angka $0$ sampai $9$ .

Untuk ribuan, kita hanya mempunyai dua kemungkinan, yaitu $7$ dan $8$ , ada yang tau? Karena jika $9$ dilibatkan maka akan ada kemungkinan angkanya lebih dari $9000$ , misal saja ketika angka satuannya adalah $1$ .

Kemudian, untuk ratusan dan puluhan, maka jumlah kejadian yang mungkin yakni sebanyak angka ganjil dari $0$ sampai $9$ yakni sebanyak $5$ , dengan demikian seluruh kemungkinan ratusan dan puluhan merupakan bilangan ganjil yaitu

$2\times5\times5\times10 = 500$

Faktorial

Ketika suatu kejadian yang terjadi tidak bisa terjadi dua kali pada waktu yang bersamaan, secara tidak langsung seluruh kemungkinan yang terjadi menjadi berkurang. Seperti contoh, kita mencoba menyusun barisan dari $5$ orang teman kita.

Sebut saja mereka adalah $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , dan $E$ . Perhatikan bahwa, jika salah satu murid berada di baris pertama, misal $C$ , maka tidak mungkin secara bersamaan dia ( $C$ ) berada di baris yang kedua, artinya, jika pada baris pertama kita mempunyai kemungkinan sebanyak $5$ .

Maka pada baris yang kedua, karena salah satu orang sudah terpilih, kita cuman punya empat kemungkinan yaitu. Lalu untuk baris yang ketiga, semakin dikit lagi, karena dua orang sudah terpilih, kita cuman punya tiga kemungkinan. Dan seterusnya sehingga, kita hanya mempunyai satu pilihan saja.

Prinsipnya mirip dengan aturan perkalian sebelumnya, hanya saja kali ini banyak kejadiannya berkurang setiap kali suatu kejadian terjadi. Permasalahan tersebut bisa kita tuliskan sebagai

$5\times4\times3\times2\times1 = 120$

, artinya terdapat $120$ cara untuk kita menyusun teman-teman kita.

Bentuk perkalian tersebut disebut sebagai faktorial dan dinotasikan sebagai berikut

$n! = n\times n-1\times n-2\times\cdots\times 1$ .

Untuk permasalahan sebelumnya, bisa kita tuliskan menjadi $5!$ .

Permutasi

Permasalahan sebelumnya kemudian kita kembangkan lagi, selain tidak bisa memilih kejadian yang sama, kali ini kita mempunyai batasan dalam pemilihan kejadiannya. Misal kita punya angka $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , dan $5$ , kita mau menyusun satu angka dari seluruh opsi yang ada.

Tentu jawabannya adalah terdapat $5$ kemungkinan, bagaimana kalau kita ingin menyusun dua angka yang berbeda (seperti $12$ ) dari opsi-opsi tersebut? Tentu angka pertama terdapat $5$ pilihan, sedangkan angka kedua terdapat $4$ pilihan.

Bagiaman untuk tiga angka (seperti $312$ )? Pastinya kalian akan paham bahwa seluruh kemungkinannya terdapat $5\times4\times3$ . Begitu seterunsya, untuk empat dan lima angka. Nah permasalahn seperti ini disebut sebagai permutasi, secara matematis dituliskan sebagai berikut

$P_k^n = \frac{n!}{(n-k)!}$

Kalau diartikan, maksudnya adalah memilih pasangan sebanyak $k$ dari $n$ buah opsi yang ada.

Kombinasi

Sekarang kita kembangkan lagi permasalahannya, sehingga apabila terdapat susunan dengan opsi-opsi yang sama maka susunan tersebut dianggap sama. Misal, kita mempunyai angka dari $0$ sampai $9$ , kemudian kita ingin menyusun satu angka dari seluruh opsi yang ada, dan tidak boleh sama.

Tentu dengan adanya satu angka saja, tidak mungkin bisa sama, dan banyak kemungkinannya yaitu $9$ cara. Bagaimana untuk dua angka, di mana tidak boleh ada opsi yang sama, seperti $21$ dan $12$ ? Artinya, jika kita telah memilih satu angka dari sembilan opsi yang ada, kita akan kehilangan satu opsi angka.

Maka kondisinya mirip dengan permutasi. Kemudian perlu diketahui, misal dua angka tersebut yaitu $a$ dan $b$ , berapa banyak cara untuk menyusun dua angka tersebut? Tentu jawabannya sebanyak $2!$ , sehingga banyak susunan dua angka dengan tidak ada susunan dengan elemen yang sama yaitu $\frac{P_2^10}{2!}$

Kemudian bagaimana dengan susunan tiga angka? Dengan ide seperti sebelumnya, maka kita cari dahulu banyak kemungkinan susunannya, yaitu $P_3^10$ . Nah misal susunan angkanya adalah $abc$ , banyak susunan ketiga angka tersebut adalah $3!$ , sehingga untuk tiga angka, $\frac{P_3^10}{3!}$

Konsep ini dinamakan sebagai kombinasi, dan secara matematis dapat ditulis sebagai berikut

$C_k^n = \frac{P_k^n}{k!}$

$C_k^n = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Jika diartikan kurang lebih maksudnya seperti ini, kita cari dahulu semua kemungkinan pasangan sebanyak $k$ dari $n$ opsi yang ada, kemudian dari susunan $k$ opsi tersebut, kita cari berapa banyak cara untuk menyusunnya.