Dinamika Rotasi - Kesetimbangan, Torsi, Inersia, Pusat Massa

Diperbarui: September 1st, 2021

Dasar dinamika rotasi dan kesetimbangan — Konsep dasar fisika mengenai kesetimbangan dan dinamika rotasi.

Coba perhatiin gambar di atas, secara nalar semua orang kayaknya tahu kalau menekan di titik A akan lebih susah ketimbang di B.

Pada materi dinamika rotasi ini kalian bakal tahu alasannya.

Daftar Isi

Momen Gaya
- Parameter Yang Terlibat
- Rumus Momen Gaya
Pusat Massa
- Letak Pusat Massa
Momen Inersia
- Rumus Momen Inersia
Dinamika Rotasi
Momentum Sudut
Kesetimbangan
Energi Kinetik Rotasi

Momen Gaya

Di kesempatan lain, telah dibahas dinamika atau penyebab benda bergerak pada suatu objek untuk melakukan gerak translasi.

Biar adil (?), kali ini akan dijelaskan tentang dinamika pada gerak rotasi suatu benda.

Pada bahasan mengenai hukum Newton, teman-teman sekalian sepakat kalau penyebab benda bergerak translasi adalah gaya.

Lebih tepatnya lagi adalah gaya yang memiliki komponen (misal pada sumbu x) searah dengan arah perpindahan.

Penyebab benda melakukan rotasi pun sama yaitu gaya. Tapi perlu diketahui bahwa, tidak semua gaya bisa menyebabkan suatu objek berputar.

Gaya yang mampu menyebabkan benda melakukan rotasi ialah momen gaya, umumnya dikenal juga sebagai torsi. Emangnya apa sih perbedaannya dengan gaya biasa?

Secara logika saja, jika kita memberikan gaya arahnya sejajar dengan penyangga benda untuk berotasi, tentu objeknya tidak akan berputar.

Parameter Yang Terlibat

Sekarang coba bayangkan, misal kita berikan gaya pada benda dengan arah seperti berikut:

Penyebab gerak rotasi benda pada sudut tertentu

Terus, coba bandingkan dengan saat kita beri gaya dengan arah seperti ilustrasi berikut (tegak lurus).

Secara gak langsung bisa diamati, ada keterlibatan sudut dalam upaya memutar sebuah objek.

Torsi penyebab gerak rotasi diberikan secara tegak lurus

Berikutnya, tanpa perlu mempraktekkannya, tukang iseng saya rasa sudah dapat memahaminya, mana yang akan menghasilkan momen lebih besar.

Yakni benda yang didorong maupun ditarik secara tegak lurus terhadap penyangganya bakal merasakan gaya lebih besar.

Sekarang coba tukang iseng ambil strapless, atau kalau mau dibayangkan aja juga boleh. Sekalian memaparkan fenomena di awal.

Terkadang di kehidupan sehari-hari orang-orang sudah menyadari, kalau ingin memberikan tenaga lumayan besar, tentu perlu menekan strapless pada ujungnya.

Sebab sudah menjadi ilmu mendasar jika kita tekan dekat pangkalnya, alhasil tenaganya kurang.

Maka dari itu, jarak antara gaya dengan poros putaran berpengaruh terhadap besar momen.

Selain itu, yang pastinya terlibat adalah kekuatan gaya yang dikeluarkan. Tentunya semakin besar gayanya semakin besar pula momen tersebut.

Rumus Momen Gaya

Berangkat dari ide-ide sebelumnya, semoga dapat mudah dimengerti bahwa bentuk torsi τ dalam rumus matematika sebagai berikut:

$\tau = r\times F = \|r\|\|F\|sin\,\theta$

Di mana:

r adalah jarak antara poros dengan letak gaya diberikan atau lengan gaya.
F adalah gaya yang diberikan.

Begitu jelas kalau satuan dari torsi adalah N·m (newton meter).

Catatan: Tanda ||·|| menunjukan besar/panjang yang dimiliki vektor tersebut.

Pusat Massa

Seluruh benda yang telah dianalisis selama ini massanya diwakili oleh suatu titik bernama pusat massa.

Sehingga, dianggap suatu partikel tunggal yang memiliki massa. Di mana partikel tersebut mempunyai ukuran yang sangat kecil bahkan dianggap tak berdimensi.

Meskipun terkadang saya ilustrasikan sebagai balok, namun sejatinya balok tersebut diwakilkan oleh partikel bermassa.

Benda-benda berdimensi seperti contoh berbentuk balok, lingkaran, ataupun bentuk kompleks lainnya, disusun oleh bagian-bagian kecil partikel bermassa tersebut.

Distribusi massa dari partikel-partikel tersebut sejatinya dapat diwakilkan dengan mengetahui pusat massanya.

Konsep tentang pusat massa ini sangat berguna terutama untuk menyederhanakan analisis tentang gerak.

Contoh sederhananya pada gerak parabola, jika kita melempar sebuah balok dengan trayektori tersebut, aslinya partikel-partikel balok mempunyai arah yang bervariasi.

Namun, apabila diwakili oleh satu partikel yang massanya setara dengan bola itu sendiri, kita bisa fokus memperhatikan trayektorinya saja.

Letak Pusat Massa

Emangnya di mana sih posisi pusat massa sebenarnya, apakah selalu di tengah-tengah dari bentuk geometri benda?

Belum tentu selalu di tengah bro! Posisinya akan bergantung pada massa dan jarak partikel penyusunnya.

Apabila didefinisikan menggunakan titik x, y, z, letaknya berada di:

$x_{pm} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + \ldots + m_n x_n}{M}$

$y_{pm} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2 + \ldots + m_n y_n}{M}$

$z_{pm} = \frac{m_1 z_1 + m_2 z_2 + \ldots + m_n z_n}{M}$

Penjelasan variabelnya:

x_i, y_i, z_i merupakan koordinat partikel.
m_i adalah massa masing-masing partikel.
M_i adalah total massa benda.

Momen Inersia

Ada hal unik pada analisis gerak rotasi sebuah benda. Kalau pada objek bergerak translasi, dikenal istilah massa sebagai ukuran suatu kecenderungan benda untuk mempertahankan keadaannya.

Bisa itu saat lagi gerak atau diam. Dalam dinamika rotasi mempunyai konsepnya tersendiri.

Pada objek yang sedang berotasi, kecenderungan benda untuk mempertahankan keadaan rotasi untuk menjadi diam, atau sebaliknya dinamakan momen inersia.

Rumus Momen Inersia

Dalam persamaan matematikanya, momen inersia I diekspresikan sebagai berikut:

$I = \Sigma_i m_i{r_i}^2$

Variabel-variabel tersebut mewakili:

m_i merupakan massa partikel ke-i.
r_i yaitu jarak partikel ke-i ke porosnya.

Realitanya, objek-objek yang ada di muka bumi ini partikelnya penyusunnya terdistribusi secara kontinyu.

Sehingga kita perlu menggunakan konsep integral dalam perhitungannya.

$I = \int r^2 dm$

Dinamika Rotasi

Untuk rotasi partikel tunggal bermassa, dinamikanya bisa ditentukan berdasarkan konsep torsi serta hukum Newton II.

Asumsikan lintasan melingkarnya mempunyai jari-jari r, dan percepatan tangensialnya adalah a_t.

$\tau = Fr = (m a_t) r$

Catatan: Dianggap dorongan/tarikan dikenai secara tegak lurus.

$= m (\alpha r) r = (mr^2)\alpha$

Secara matematis rumus dinamika rotasi sebuah benda yaitu:

$\tau = I\alpha$

Supaya lebih paham konsep dinamika rotasi ini, saya beri analoginya dengan dinamika gerak translasi. Kalau torsi (τ) itu ibaratnya gaya, yakni sama-sama penyebabnya.

Ukuran kelembamannya, momen inersia (I) itu ibaratnya massa. Dan terakhir, percepatan sudut (α) ibaratnya percepatan linear.

Momentum Sudut

Momentum sudut ini bener-bener unik. Karena besarnya bergantung dengan posisi terhadap acuan sumbu rotasinya.

Rumus momentum sudut adalah:

$L = mvr$

Bisa juga dituliskan dalam variabel kecepatan sudut:

$L = m\omega$

Coba lihat lagi rumus tadi, besar momentum sudutnya dipengaruhi oleh jari-jari lintasan lingkarannya. Emangnya kenapa kalau gitu?

Begini, momentum sudut itu sifatnya konservatif (bahasa sederhananya kekal), seperti halnya momentum linear.

Demikian, apabila jari-jari putarnya berkurang, maka akan diikuti kenaikan nilai lainnya supaya besar momentumnya tetap konstan. Dalam hal ini kecepatannya bakal meningkat.

Kesetimbangan

Memang sedikit membingungkan kalau sedang berbicara tentang kesetimbangan. Karena di antara kita mungkin mempertanyakan apa bedanya dengan kata "diam"?

Kenapa sih, gak cuman tinggal sebut benda sedang diam?

Perbedaan Dengan Kata Diam

Sejauh ini, mungkin bisa diartikan bahwa, diam itu tidak kemana-mana posisi partikel yang mewakili pusat massanya.

Artinya, walaupun secara translasi diam atau tidak ada perubahan posisi, tapi bisa saja pusat massanya sedang berotasi.

Sedangkan pada kondisi setimbang, suatu objek dikatakan benar-benar tidak ada gerakan, baik translasi ataupun rotasi.

Syarat Kesetimbangan

Berangkat dari ide sebelumnya, maka apabila dinyatakan dalam bentuk matematisnya, dengan demikian total gaya serta torsi yang bekerja pada suatu benda haruslah bernilai nol.

$\Sigma F = 0$

$\Sigma \tau = 0$

Contoh Permasalahan

Sekarang coba perhatikan ilustrasi berikut, kita akan gunakan konsep sebelumnya untuk mengetahui seberapa besar sudut yang diperbolehkan supaya batang tetap setimbang.

Penerapan prinsip kesetimbangan pada balok yang tersender

Misal, kalau kita definisikan dua komponen, yaitu sumbu x dan y dengan ketetapan arahnya sebagai berikut:

Artinya, supaya tetap setimbang ada tiga aturan yang harus dipenuhi, yaitu:

Σ F_x = 0
Σ F_y = 0
Σ τ = 0

Gaya gesek yang diterima oleh batang akan bergantung oleh seberapa besar gaya yang diterima tanah terhadap batang.

Karena kebetulan gak tahu nilainya, tapi sehubung besarnya sama dengan gaya normal, maka dimisalkan dengan koefisien gesek μ, besarnya f₁ = μN₁ dan f₂ = μN₂.

Pertama, total komponen gaya pada sumbu x (horisontal) haruslah nol. Syarat pertama (I):

$\Sigma F_x = 0 = N_2 - f_1$

$N_2 = \mu N_1$

Kedua, untuk resultan gaya pada sumbu y (vertikal). Syarat kedua (II):

$\Sigma F_y = 0 = N_1 + f_2 - mg$

$N_1 + \mu N_2 = mg$

Misalnya, sumbu putarnya berada di lokasi gaya normal N₁, maka:

$\Sigma \tau = 0 = mg\,sin\,\theta - N_2\,cos\,\theta - f_2\,sin\,\theta$

$mg\,sin\,\theta = N_2\,cos\,\theta + \mu N_2\,sin\,\theta$

$mg = N_2\,cot\,\theta + \mu N_2$

$N_2 = \frac{mg}{cot\,\theta + \mu}$ (III)

Aslinya tidak ada patokan untuk menentukan poros putarannya. Kalian bisa juga memilih sumbu putarnya di titik N₂ bekerja.

Lakukan substitusi N₁ dari persamaan (II) ke persamaan (I), didapat:

$N_2 = \mu mg - \mu^2N_2$

$N_2(1+\mu^2) = \mu mg$

$N_2 = \frac{\mu mg}{1+\mu^2}$

Samakan kedua ruas untuk N₂ dengan persamaan (III), diperoleh:

$cot\,\theta = \frac{1+\mu^2}{\mu} - \mu = \frac{1}{\mu}$

Sehingga batas maksimum sudutnya adalah:

$\theta = cot^{-1}\left(\frac{1}{\mu}\right)$

Karena sudut tersebut didefinsikan di titik N₂ bekerja, maka untuk tetap setimbang, besar sudut ini tidak boleh lebih dari batasan tersebut (semakin besar semakin miring bendanya).

Berbeda situasi ketika teman-teman mendefinisikannya pada titik N₁, batang tersebut akan semakin miring jika sudutnya semakin kecil.

Energi Kinetik Rotasi

Barusan disebutkan, meskipun objek sedang diam secara tranlasi, tetapi bisa saja sedang melakukan gerak rotasi. Nah ingat lagi, kemampuan bergerak itu mempunyai relasi dengan energi.

Anehnya, dengan kelajuan linearnya bernilai nol berarti gak ada energi kinetik kan? Tapi nyatanya benda lagi bergerak (berputar).

Nah yang bertanggung jawab atas gerakan itu adalah energi kinetik rotasi. Rumusnya ialah:

$E_r = \frac{1}{2}I\omega^2$